以前所讨论的函数都只有一个变量，这种函数叫做一元函数.但在许多实际问题中，一个问题往往受多因素影响，反映在数学上，就是一个变量与另外多个变量的相互关系，这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题.本章讨论多元函数微分学，讨论中将主要以二元函数为主要对象.一元函数微分学与二元函数微分学有许多相似之处，但也有一些重大差别，学习中要注意它们的异同点.








91多元函数的基本概念

911平面区域


1邻域
二元有序实数组的全体，即R2=R×R={(x,y)|x,y∈R}表示坐标平面(R×R称为实数集的笛卡儿积或称为直积).设P0(x0,y0)是R2的一个点，δ是一个正数，与点P0(x0,y0)距离小于δ的点P(x,y)的全体数组称为点P0的δ邻域，简称邻域，记为U(P0,δ)），即U(P0,δ)={P||PP0|<δ}或U(P0,δ)=(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2<δ.
在几何上，U(P0,δ)就是xOy平面上以点P0(x0,y0)为中心，δ>0为半径的圆内部的点P(x,y)的全体.
U(P0,δ)中除去点P0后的部分称为点P0的去心δ邻域，记作U。(P0,δ)，即U。(P0,δ)=P|0<|PP0|<δ.
如果不需要强调邻域的半径δ，则用U(P0)表示点P0的某个邻域，U。(P0)表示点P0的去心邻域.


2内点与边界点
设E是R2的一个点集，P是R2的任意一点.
内点：如果存在点P的某一邻域U(P)，使得U(P)E，则称P为E的内点，如图91所示.
边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P点为E的边界点，如图92所示.E的边界点的全体，称为E的边界，记作E.
E的内点必属于E,而E的边界点可能属于E,也可能不属于E.


图91
图92

例如，设平面点集E={(x,y)|1≤x2+y2<4}，则满足1<x2+y2<4的一切点(x,y)都是E的内点；满足x2+y2=1的一切点(x,y)都是E的边界点，它们都属于E;满足x2+y2=4的一切点(x,y)都是E的边界点，它们不属于E；边界Ε={(x,y)|x2+y2=1或x2+y2=4}.


3区域与闭区域
开集：如果点集E中的每一点都是内点，则称E为开集.
闭集：如果点集E的边界EE,则称E为闭集.
连通集：如果对于开集E中任何两点可用属于E内的折线连接起来，则称E为连通集.
区域：连通的开集称为开区域（简称区域）.
闭区域：开区域连同其边界一起所构成的点集成为闭区域.


有界区域：对于区域E，如果存在某一正数r，使得EU(O,r)，其中O是坐标原点，则称E为有界区域；否则，称为无界区域.
例如，集合{(x,y)|1<x2+y2<4}是开区域，集合{(x,y)|1≤x2+y2≤4}是闭区域.
例如，集合{(x,y)|1≤x2+y2≤4}是有界闭区域；{(x,y)|1＜x2+y2＜4}是有界开区域，如图93所示；集合{(x,y)|x+y≥0}是无界闭区域；集合{(x,y)|x+y>0}是无界开区域，如图94所示.


图93
图94
以上概念均可推广到n维空间Rn={(x1,x2…，xn)|xi∈R,i=1,2，…，n}中.
912多元函数的基本概念
多元函数又叫多变量函数，是指自变量多于一个的函数，仅有一个自变量的函数叫做一元函数.本书主要讨论二元函数.下面列出一些熟知的二元函数：
矩形面积A=xy(x为长，y为宽).
圆柱体的体积V=πr2h（r为底圆半径，h为高）.
1 000元按复利计算本利和

F=1 000(1+r)t（r为利率，t为时间周期）.
收益R=PQ(P为价格，Q为销售数量).
利润L=R-C(R为收益，C为成本).
一般地有如下定义.
定义91设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的每一点(x,y)，按照某种法则f,都有唯一的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，记为z=f(x,y)，其中x,y称为自变量，z称为因变量.点集D称为该函数的定义域，数集{z|z=f(x,y),(x,y)∈D}称为函数的值域.
类似地，可定义三元及三元以上的函数当n≥2时，n元函数统称为多元函数.
如同一元函数一样，对二元函数的定义域作如下约定：
在一般讨论用算式表达的二元函数z=f(x,y)时，其定义域为使函数表达式有意义的自变量的变化范围；若函数与实际问题有关，则由问题的实际意义确定.例如，收益函数R=PQ的定义域为P＞0,Q＞0.
例91求函数z=arcsin(2-x2-y2)x-y2的定义域.

图95
解要使表达式有意义，必须|2-x2-y2|≤1，
x-y2＞0.,
即1≤x2+y2≤3，
x＞y2.
故所求的定义域为D={(x,y)|1≤x2+y2≤3,x＞y2}，如图95所示.



下面来看经济学中两个二元函数的例子.
例92设厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为P1和P2，销售量分别为Q1和Q2，若需求函数分Q1=24-02P1,Q2=10-005P2，总成本函数为C=35+40(Q1+Q2）.试问：总成本C与售价P1和P2的函数关系如何？
解因为Q1=20-02P1，Q2=10-005P2.

所以C=35+40(Q1+Q2）

=35+40［(20-02P1)+(10-005P2)］
=1 235-8P1-2P2.

所以，总成本C与售价P1和P2的函数关系为
C=1 235-8P1-2P2.
例93在经济学中有著名的柯布道格拉斯生产函数模型Q(K,L)=AKαL1-α，其中K代表劳动力的数量，L表示资本数量（确切地说是y个单位资本），A与α是常数(0<α<1)，由各企业的具体情形而定，该函数简称CD函数.
这是一个齐次函数，它有许多性质：
（1）齐次性.
一般地，如果函数z=f(x,y)满足
f(λx,λy)=λKf(x,y)(K为正整数)
则称z=f(x,y)为二元K次齐次函数，对CD函数而言，有Q(λK,λL)=λQ(K,L).
所以说Q(K,L)是一个齐次函数.
这一性质表明，当劳动增加一倍，资本增加一倍时，产量也增加一倍，称为规模报酬不变，意指该厂的生产规模扩大时，每单位投入的生产要素的报酬（产量）固定不变.
（2）系数A表示技术水平.

图96
这是因为当α固定不变时，A越大，Q也越大，这反映了企业不同的技术水平.
关于二元函数的几何意义解释如下:
设二元函数z=f(x,y)的定义域为D，空间中所有点［x,y,f(x,y)］的集合，其中(x,y）在f的定义域里，称为z=f(x,y)的图像，通常也说二元函数z=f(x,y)的图像是空间直角坐标系中的一张曲面，定义域D就是该曲面在平面上的投影.
例如，函数z=4-x2-y2的图形是上半球面（见图96），函数z=3x-5y+7的图形是一个平面，读者可自己给出.




92二元函数的极限与连续

921二元函数的极限
与一元函数的极限概念类似，二元函数的极限也是反映函数值随自变量的变化而变化的趋势问题，只不过自变量是两个而已.
定义92设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，如果当点P(x,y)无限趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y）无限趋于一个常数A，则称A为函数z=f(x,y)当(x,y）→(x0,y0)时的极限，记为
limx→x0y→y0f(x,y)=A

或
lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A

或

f(x,y)→A((x,y)→(x0,y0)),
也记作limP→P0f(P)=A

或

f(P)→A(P→P0）.
该定义为二元函数极限的描述性定义,比较直观易懂.下面给出二元函数极限的“ε-δ”语言性定义.
定义93设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P(x,y)∈D∩U。(P0,δ)时，都有|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<ε成立，则称常数A为函数f(x,y)当(x,y）→(x0,y0)时的极限.
二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则.为了区别于一元函数的极限，称二元函数极限为二重极限.由二元函数的极限定义可以推广到n(n≥3)元函数的极限定义.
例94讨论lim(x,y)→(00)x2-xyx-y.
解因为分式x-y当(x,y)→(0,0)时趋于0，不能利用极限商的法则，这时分子、分母同乘以x+y，得到
lim(x·y)→(00)x2-xyx-y=lim(x·y)→(0.0)(x2-xy)(x+y)(x-y)(x+y)
=lim(x·y)→(0.0)x(x-y)(x+y)x-y
=lim(x·y)→(0.0)x(x+y)=0(0+0)=0.
例95求limx→0y→0(x2+y2)sin1x2+y2.
解令x2+y2=u,x→0,y→0时，u→0，
则原式=limu→0u·sin1u=0.
注：无穷小与有界量的积是无穷小.
例96求lim(x,y)→(2,0)sin(xy)y.
解这里函数sin(xy)y的定义域为D={(x,y)|y≠0,x∈R}.

由极限积的运算法则得
lim(x·y)→(2.0)sin(xy)y=lim(x·y)→(2.0)sin(xy)xyx=limxy→0sin(xy)xylimx→2x=1×2=2.
例97讨论函数f(x,y)=2xyx2+y2(x,y)≠(0,0),
0(x,y)=(0,0).(x,y)→(0,0)的极限是否存在？
解（1）当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时，
lim(x,y)→(0.0)f(x,y)=limx→0f(x，0)=limx→00=0.
（2）当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时，
lim(x·y)→(0.0)f(x,y)=limy→0f(0,y)=limy→00=0.
当点P(x,y)以上述两种方式（沿x轴或y轴）趋于原点时，函数的极限存在并且相等，但此时不能就说lim(x·y)→(0.0)f(x,y)存在，这是因为（3）.
（3）当点P(x,y)沿着直线y=kx趋于(0,0)时，
lim(x·y)→(0.0)f(x,y)=limx→02x·kxx2+(kx)2=2k1+k2.
显然，此极限随着k值的变化而变化，所以极限不存在.
该题给出了判断函数极限不存在的一种方法，即如果当P(x,y)以不同方式（不同路径）趋于P0(x0,y0)时，f(x,y)趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在.
922二元函数的连续性
定义94设函数z=f(x,y)的定义域为D，y=f(x,y)在(x0,y0)有定义，如果lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续.
如果函数x=f(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则称函数z=f(x,y)在(x0,y0)处间断，称点(x0,y0)为间断点.
例98讨论函数f(x,y)=cos1x2+y2-1在圆周C={(x,y)|x2+y2=1}上的连续性.
解该函数定义域D={(x,y)|x2+y2≠1}，即f(x,y)在C上没有定义，当然f(x,y)在C上各点都不连续.所以圆周C上各点都是该函数的间断点.

例99讨论函数
f(x,y)=2xyx2+y2(x,y)≠(0,0),
0  (x,y)=(0,0)

在点(0,0)处的连续性.
解由例97知，f(x,y)当(x,y)→(0,0)时的极限不存在，所以函数在点(0,0)处不连续.
与一元函数类似，二元连续函数经过有限次四则运算和复合运算后仍为二元连续函数，并且与一元初等函数类似，
二元初等函数是指用一个式子表示的二元函数，这个式子是由常数及其两个自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而得到的.例如，x2-y21+x2+y2,cos(x+y)和exy等都是二元初等函数.
一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.这里所说的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.因此利用这个结论，当求某个二元初等函数在其定义域内点p0处的极限时，只要计算出函数在该点的函数值即可.即lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0).
例910求lim(x,y)→(0,1)x-y1-xy.
解函数x-y1-xy是初等函数，其定义域为D={(x,y)|x≠0,y≠0}.
函数在P0(0,1)处有定义，所以函数x-y1-xy在(0,1)处连续.所以lim(x,y)→(0,1)x-y1-xy=0-11-01=-1.
与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域D上连续的二元函数也有以下性质：
性质1（有界性与最大值最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.
性质2（介值定理）在有界闭区域上的二元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.


93偏导数

931偏导数的定义及其计算
一元函数的导数与微分推广到多元函数会是什么样子呢？一元函数的导数刻画了函数本身对于自变量的变化率，多元函数的自变量有两个或两个以上，研究函数对于自变量的变化率问题首先要考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率.以二元函数z=f(x,y)为例，如果自变量y保持定值，y=y0，而只有自变量x变化，这时z就是自变量x的一元函数z=f(x,y0)，该函数对x在x=x0处导数存在，则称此导数为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，定义如下：
定义95设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有改变量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，如果
limΔx→0f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)Δx(91)

存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作zxx=x0y=y0,fxx=x0y=y0，zx

x=x0y=y0或fx(x0,y0),即

fx(x0,y0)=limΔx→0f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)Δx（92）
类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为
limΔy→0f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0)Δy（93）
记作zyx=x0y=y0，fyx=x0y=y0，
zy
x=x0y=y0，fy(x0,y0),
即fy(x0,y0)=limΔy→0f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0)Δy.（94）
根据定义94，求导数z=f(x,y)的偏导数并不需要新方法，只要把其中一个自变量看作常量，而对另一个自变量按一元函数求导法求出导数即可.
偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数，例如三元函数W=f(x,y,z)，在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为fx(x,y,z)=limΔx→0f(x+Δx,y,z)-f(x,y,z)Δx.
如果函数z=f(x,y)在定义域z内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x,y的函数，称它为z=f(x,y)对x的偏导函数，记作
zx，fx,zx或fx(x,y)，

显然有fx(x,y)=limΔx→0f(x+Δx,y)-f(x,y)Δx.（95）
类似地，可定义函数z=f(x,y)对y的偏导函数记为
zy，fy，zy，fy(x,y)，

显然有fy(x,y)=limΔy→0f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0)Δy.（96）
显然，对初等函数f(x,y)而言，f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数fx(x0,y0)就是偏导函数fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值；fy(x0,y0)就是偏导函数fy(x,y)在点(x0,y0)处的函数值，以后在不至于混淆的情况下，也把偏导函数简称为偏导数.
例911求f(x,y)=x2+2xy+3y2在（1，2）处的偏导数.
解把y看作常数，对x求导得到
fx(x,y)=2x+2y
把x看作常数，对y求导得到
fy(x,y)=2x+6y
将x=1，y=2带入上两式，所求偏导数为
fx(1,2)=6,fy(1,2)=14
这是一种解法.请同学再用另一种解法，即偏导数定义方法完成此题.
例912求z=arcsinyx的偏导数.
解zx=11-yx2-yx2=-yxx2-y2，
zy=11-yx21x=1x2-y2.
例913求γ=x2+y2+z2的偏导数.
解把y和z看作常数，对x求导，得
γx=xx2+y2+z2=xγ，

利用函数对自变量的对称性，得
γy=yγ，γz=zγ.
例914设f(x,y)=2xyx2+y2x2+y2≠0
0x2+y2=0，求fx(0,0)，fy(0,0).
解由偏导数的定义，得
fx(0,0)=limΔx→0f(0+Δx,0)-f(0,0)Δx=limΔx→00Δx=0，
fy(0,0)=limΔy→0f(0,0+Δy)-f(0,0)Δy=limΔy→00Δy=0.
关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：
①大家知道，对一元函数导数，dydx可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商，而偏导数的记号zx是一个整体，仅仅是一个记号，不能看作分子与分母的商.
②与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.
③对于一元函数，如果在某点存在导数，则它在该点必连续，但对于多元函数而言，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续（见例99、例914）.
932偏导数的几何意义


图97

二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数有下述几何意义：
设M0(x0,y0f(x0,y0))为曲面z=f(x,y)上的一点，过M0作平面y=y0，截此曲面得一曲线，此曲线方程z=f(x,y)
y=y0，则偏导数fx(x0,y0)表示上述曲线在M0处的切线M0Tx对x轴正向的斜率.
同理，偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面x=x0所截得的曲线在M0处的切线M0Ty对y轴正向的斜率,如图97所示.


94偏导数在经济学中的应用

在一元函数微分中，通过引入边际分析和弹性分析，知道了导数在经济学中的广泛应用，这些概念在多元微分中也得到推广，并具有应用价值.
941偏边际分析
定义96设经济函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导函数存在，称
fx(x0,y0)=limΔx→0f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)Δx

为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏边际，称fx(x,y)是对x的偏边际函数.
同样，称
fy(x0,y0)=limΔy→0f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0)Δy

为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏边际，称fy(x,y)是对y的偏边际函数.
偏边际fx(x0,y0)的经济意义解释如下：
在点(x0,y0)处，当y保持不变而x多生产一个单位,z=f(x,y)近似地改变fx(x0,y0)个单位.
同理，可得到fy(x0,y0)的经济意义解释，同学们可以自己总结一下.
例915假如某厂家生产两种型号电视机的周成本函数为
c(s,t)=20s2+5st+10t2+300 000

其中,c以元计;s为每周生产S型电视机的数目;t为每周生产T型电视机的数目.已知厂商价格如下：
S型价格为P1=5 000元/台；
T型价格为P2=6 000元/台.

每周生产S型电视机50台，T型电视机60台.试求：
（1）周成本和偏边际成本；
（2）周收益和偏边际收益；
（3）周利润和偏边际利润.
解(1)每周生产S型电视机50台，T型电视机60台的成本为
c(50,60)=20×502+5×50×60+10×602+300 000=401 000（元），

偏边际成本函数分别为
cs(s,t)=40s+5t；
ct(s,t)=5s+20t.

当s=50,t=60时，偏边际成本分别为
cs(50,60)=40×50+5×60=2 300（元），
ct(50,60)=5×50+20×60=1 450（元）.
这就是说当t保持60台不变的情况下，厂商生产S型电视机由50台再多生产1台的成本为2 300元；在S型保持50台不变时，厂商生产T型电视机由60台再多生产1台的成本为1 450元.
（2）收益与偏边际收益，厂商的周收益为
R(s,t)=5 000s+6 000t；

R(50,60)=5 000×50+6 000×60=610 000（元）.
边际收益分别为Rs(s,t)=5 000；
Rt(s,t)=6 000.
这恰好是S型和T型电视机的价格.
（3）利润与偏边际利润
P(s,t)=R(s,t)-C(s,t)=5 000s+6 000t-20s2-5st-10t2-300 000.
厂商的利润为P(50,60)=610 000-401 000=209 000（元）
偏边际利润分别为
Ps(s,t)=5 000-(40s+5t)；

Pt(s,t)=6 000-(5s+20t).
Ps(50,60)=2 700元，Pt（50,60）=4 500元.
这就是说，当T型保持60台不变时，厂商在销售50台S型电视机的基础上，再多销售1台S型电视机所得的利润为2 700元；在S型保持50台不变时，厂商在销售60台T型电视机的基础上，再多销售1台T型电视机所得的利润为4 550元.
942偏弹性分析
定义97设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数存在，z=f(x,y)对x的偏改变量记为Δxz=f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，称Δxz的相对改变量Δxzz0与自变量x的相对改变量Δxx0之比
Δxzz0Δxx0=ΔxzΔx·x0z0（97）

为函数f(x,y)在点(x0,y0)处对x从x0到x0+Δx两点间的弹性，令Δx→0，则式（97）的极限称为f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏弹性，记为Ex，即
Ex=limΔx→0ΔxzΔx·x0x0=fx(x0,y0)x0f(x0,y0).（98）
偏弹性Ex反映在点(x0,y0)处f(x,y)随x变化的强弱程度，其经济意义是在点(x0,y0)处，当y不变而x产生1%的改变时，f(x,y)近似地改变Ex%.
同样，可得到
Ey=limΔx→0ΔyzΔy·y0z0=fy(x0，y0)y0f(x0，y0).（99）
一般地，称Ex=fx(x,y)xf(x,y)及Ey=fy(x,y)yf(x,y)为f(x,y)分别对x和y的偏弹性函数.
例916设某城市计划建设一批经济住房，如果价格（单位：百元/m2）为p，需求量为（单位：百间）为Q，当地居民年均收入（单位：万元）为y,根据分析调研，得到需求函数为Q=10+py-p210，求当p=30，y=3时，需求θ对价格p及收入y的偏弹性，并解析其经济含义.
解因为Qp=y-2p10=y-p5;
Qy=p.
将p=30,y=3代入，得
Qp(30,3)=3-305=-3;
Qy(30,3)=30.
又因为p=30，y=3时,Q(30,3）=10，因此需求Q对价格p和收入y的偏弹性分别为
Ep=p0Q0fy(p0,y0)=3010(-3)=-9;
Ey=y0Q0fy(p0,y0)=310×30=9.
其经济含义是：当价格在3 000元/m2，人均收入3万元/年的条件下，若价格每平方米提高1%而人均年收入不变，则需求量将减少9%；若价格不变，而人均年收入增加1%，则需求量将增加9%.


95高阶偏导数

从94节讨论中知道，二元函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数zx=fx(x,y)，zy=fy(x,y)，则在D内fx(x,y)和fy(x,y)仍然是x和y的函数，如果这两个偏导数再对x和y的偏导数存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同，二阶偏导数共有4个，用记号表示为
2zx2=xzx或fx x(x,y),2fx2,zx x;
2zxy=yzx或fx y(x,y),2fxy,zx y;
2zyx=xzy或fy x(x,y),2fyx,zy x;
2zy2=yzy或fy y(x,y),2fy2,zy y.

其中,2zxy，2zyx称为混合偏导数.
类似地，可以定义二阶以上的偏导数，我们把二阶和二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例917z=4x3-3xy2-x-y,求z的4个二阶偏导数.
解zx=12x2-3y2-1;
zy=-6xy-1;
2zx2=24x,2zxy=-6y,
2zyx=-6y,2zy2-6x.
例918验证函数z=lnx2+y2满足方程2zx2+2zy2=0.
证明因为z=lnx2+y2=12ln(x2+y2),
zx=xx2+y2，zy=yx2+y2;
2zx2=x2+y2-x·2x(x2+y2)2=y2-x2(x2+y2)2;
2zy2=x2+y2-y·2y(x2+y2)2=x2-y2(x2+y2)2;

所以2zx2+2zy2=0.
类似地，可以证明函数μ=1γ，满足
2μx2+2μy2+2μz2=0.

其中,γ=x2+y2+z2.
以上两个方程分别称为二维、三维拉普拉斯（Laplace）方程，它是数学物理方面的一个重要方程.
我们看到例917中的两个二阶混合偏导数相等，即2zxy=2zyx，这不是偶然的.事实上，有下述定理.
定理91如果函数z=f(x,y)的两个混合二阶偏导数2zxy，2zyx在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.


96全微分及其应用


961全微分的定义
在一元函数微分学中，我们给出过定义，如果函数y=f(x)在点x0可微，即函数的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示为Δy=AΔx+ο(Δx)，其中A=f′(x0)是与Δx无关的常数，类似于一元函数的微分.我们可以将它推广到多元函数.我们以二元函数为例，对一般多元函数也有相应结果.
定义98如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域有定义，对P(x0+Δx,y0+Δy)∈U(P0)，称f(x0+Δx,y0+Δx)-f(x0,y0)为函数在点P0对应于自变量增量Δx,Δy的全增量，记为Δz，我们也希望与一元函数的微分相类似，利用关于自变量增量Δx,Δy的线性函数来近似地代替函数的全增量Δz.下面给出二元函数全微分的定义.
定义99如果函数z=f(x,y)在点P0(x0，y0)的某个邻域有定义，对于P(x0+Δx,y0+Δy)∈U(P0)，若全增量
Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)（910）
可表示为Δz=AΔx+BΔy+ο(ρ),（911）

其中，A,B不依赖于Δx,Δy，而仅与x0,y0有关，ρ=Δx2+Δy2，则称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微，称AΔx+BΔy为z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的全微分，记为dz，即
dz=AΔx+BΔy（912）
若函数z=f(x,y)在区域D内各点处可微，则称z=f(x,y)在D内可微.
962可微与连续、偏导数存在之间的关系
由例99、例914知，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，也不能保证在该点连续，但是，由微分的定义可知，如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，那么这个函数在该点必定连续，这是因为
limρ→0Δz=limρ→0［AΔx+BΔy+ο(ρ)］=0.

从而limΔy→0Δx→0f(x0+Δx,y0+Δy)=f(x0,y0)

所以函数在(x0,y0)处连续，即可微一定连续.
我们也可以说不连续一定不可微.
下面讨论函数在一点P0(x0,y0)可微分的条件.
定理92（必要条件）如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)处可微分，则该函数在点(x,y)处的偏导数zx和zy必定存在，且z=f(x0,y0)在点(x0,y0)处的全微分为

dz=zxdx+zydy.（913）
证明设函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)处可微分.由定义知，对于任意一点P(x0+Δx,y0+Δy)∈U(P0)，式（911）总成立.特别当Δy=0时，式（911）也应成立，这时ρ=|Δx|，所以式（911）成为
Δz=AΔx+(|Δx|）.

上式两边各除以|Δx|，再令Δx→0时取极限，就得
limΔx→0f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)Δx=A，

即偏导zx存在，且等于A.
同理可证zy=B.所以式（913）成立.
对于一元函数，在某点的导数存在是微分的充分必要条件，但对于多元函数，偏导数存在是全微分的必要条件，但不是充分条件.事实上，由例914知
f(x)=2xyx2+y2(x,y)≠(0,0)
0,(x,y)=(0,0)

在点(0,0)处偏导存在，但不连续，所以不可微.但是，如果函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面的定理.
定理93（充分条件）如果函数z=f(x,y)的偏导数zx，zy在点(x,y)处连续，则函数在该点可微.
证明由假设函数的偏导数在点p(x,y)的某邻域内存在，设点(x+Δx,y+Δy)为这邻域内任意一点，考查函数的全增量

Δz=f(z+Δx,y+Δy)-f(x,y)

=［f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y+Δy)］+［f(x,y+Δy)-f(x,y)］.
第一部分，由于y+Δy不变，因而可被看作x的一元函数f(x,y+Δy)的增量.于是，应用拉格朗日中值定理，得到
f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y+Δy)=fx(x+θ1Δx,y+Δy)Δx,(0<θ1<1).
又假设fx(x,y)在点(x,y)处连续，所以上式可以写成
f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y+Δy)=fx(x,y)Δx+ε1Δx,

其中,ε1为Δx,Δy的函数，且当Δx→0,Δy→0时,ε1→0.
同理可证第二部分
f(x,y+Δy)-f(x,y)=fy(x,y)Δy+ε2Δy,

其中,ε2为Δy的函数，且当Δy→0时ε2→0.
由上述两式相加，即得Δz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy+ε1Δx+ε2Δy.

图98
容易看出:

ε1Δx+ε2Δyρ=ε1Δx+ε2ΔyΔx2+Δy2≤|ε1|+|ε2|
是随着(Δx,Δy)→0(即ρ→0)而趋于零.
所以说,在fx(x,y),fy(x,y)连续的条件下，函数是可微的.
最后，我们给出连续、偏导存在、偏导连续、可微的关系图，如图98所示.

例919计算函数z=lnxy在（1,1）处的全微分.
解因为
zx=yxy=1x，zy=xxy=1y,

这两个偏导数在（1,1）处连续，所以可微.
zxx=1y=1=1,zyx=1y=1=1.

全微分dz=fx(1,1)dx+fy(1,1)dy=dx+dy.
例920求函数u=f(x,y,z)=xy+cosz+exz的全微分.
解因为

fx=y+zexz,fy=x,fz=-sinz+xexz,

所以u=(y+zexz)dx+xdy+(xexz-sinx)dz.
963全微分在实际问题中的应用
由二元函数的全微分定义及全微分存在的充分条件知，如果二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)处的两个偏导数fx(x,y)及fy(x,y)连续，且当|Δx|和|Δy|都较小时，就有
Δz≈dz=fz(x,y)Δx+fy(x,y)Δy.（914）

由于Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y),

上式也可写成

f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy.(915)

与一元函数的情形相类似，可以利用式（914）或式（915）对二元函数进行近似计算及误差估计.



1近似计算
例921计算(1004)21的近似值.
解设f(x,y)=xy，则(1004)21的近似值就是该函数在x=1.004,y=2.1时,函数的近似值.取x=1,Δx=0.004,y=2，Δy=01.由于
f(12)=1，
且fx(x,y)=yxx-1,fy(x,y)=xylnx,
fx(12)=2,fy(12)=0,

则根据式（915）得到
(1004)21=(1+0.004)2+01≈1+2×0004+0×01=1008.



2用微分预测误差
例922测得一个长方形盒子的边长为45cm、60cm、40cm,测定边长可能的最大误差为01cm,使用全微分估计利用以上测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.
解以x、y、z为长、宽、高，体积v=xyz

所以dv=vxdx+vydy+vzdz

=yzdx+xzdy+xydz.

由于已知|Δx|≤01，|Δy|≤01,|Δz|≤01,求体积的最大误差，取dx=dy=dz=01.

又已知x=45,y=60,z=40,则

Δv≈dv=(60×40×01)+(45×40×01)+(45×60×01)=690(cm3)，

即每边误差为01cm时可使体积的误差达到690cm3.



3对变量变化的敏感性
例923工厂制造高为15cm、半径为5cm的陶瓷罐，罐的体积对高和半径的微小变化的敏感度是多少？
解已知罐的体积是v=πr2h.
当半径和高在发生微小变化时，引起的体积变化是
dv=vr(5,15)dr+vh(5,15)dh

=(2πrh)(5,15)dr+πr2(5,15)dh

=150πdr+25πdh，

那么dv是dr、dh的函数，此时，r变化1个单位，dr=1，h不变，dh=0,则v将变化大约150π个单位，即Δv≈dv=150π；同理，h变化1个单位，v将变化大约25π个单位，罐的体积对r的微小变化的敏感度是对h的同样大小的敏感度的10倍，所以工厂在制造罐时，将特别关注半径的精确性.


97多元复合函数的求导法则

本节将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形，多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中起着重要作用，下面分几种情形来讨论.
971复合函数的中间变量为一元函数的情形
定理94如果函数u=φ(t)和ν=ψ(t)都在点t可导，函数z=f(u,ν)在对应点(u,ν)处具有连续偏导数，则复合函数z=f［φ(t),ψ(t)］在点t处可导，其导数
dzdt=zu·dudt+zν·dνdy.（916）
证明因为z=f(u,ν)在(u,ν)处具有连续偏导数，所以z=f(u,ν)在(u,ν)处可微，即
dz=fuΔu+fνΔν+ορ，

其中,ρ=Δu2+Δν2,
dzdt=limΔt→0ΔzΔt=limΔt→0fuΔu+fνΔν+ο(ρ)Δt

=fududt+fνdνdt.

注意：当Δt→0时，由于u=φ(t),ν=φ(t)在t处可导，所以u=φ(t),ν=φ(t)在t处连续.所以,当Δt→0时,Δu→0,Δν→0，即ρ→0.

图99
这就证明了复合函数z=f［φ(t),ψ(t)］在点t处可导，且其导数可用式（916）计算.
式（916）即为二元函数求导的链式法则，变量的树结构如图99所示.
为求dzdt，从z开始沿每条路径找到t，把路径上的导数相乘，然后把乘积相加，即同路相乘，异路相加.
定理95定理94的结论可推广到中间变量多于两个的情形，例如
z=f(u,ν,w),u=u(t),ν=ν(t),w=(t)

复合而成的复合函数z=f(u(t),ν(t),w(t))，在与定理94相类似的条件下，有
dzdt=zududt+zνdνdt+zwdwdt （917）

式（916）与式（917）中的dzdt称为全导数.
例924设
z=ulnν,u=et,ν=cost,求dzdt.
解dzdt=zududt+zνdνdt

=lnνet-uνsint

=etln cost-etcostsint

=etln cost-ettant.
例925已知w=xy,x=cost,y=sint，求x对t的导数在t=π2处的导数值.
解利用链式法则
dwdt=wx dxdt+wy dydt

=(xy)xddt(cost)+(xy)yddt(sint)

=(y)(-sint)+(x)cost

=-sin2t+cos2t

=cos2t,
dwdtt=π2=cos2·π2=cosπ=-1.
972复合函数的中间变量为多元函数的情形
定理96如果函数u=u(x,y)和ν=ν(x,y)都在点(x,y)处具有对x和y的偏导数，函数z=f(u,ν)在对应点(u,ν)处具有连续偏导数，则复合函数z=f［u(x,y),ν(x,y)］在对应点(x,y)处存在偏导函数，且其偏导数有
zx=zuux+zννx，（918）
zy=zuuy+zννy.（919）

定理96中复合函数的变量树结构如图910所示.

图910
定理96的结论也可以推广到中间变量多于两个的情形.例如设
z=f(u,ν,w),u=u(x,y),ν=ν(x,y),w=w(x,y)，

则在满足定理95相应的条件下，有
zx=zuux+zννx+zwwx，（920）
zy=zuuy+zννy+zwwy.（921）
该复合函数的变量树结构读者可自行画出.
例926z=sinνeu,u=x2+y2,ν=xy,求zx，zy.
解
zx=zuux+zννx

=sinνeu·2x+cosνeu·y

=2xex2+y2·sin(xy)+yex2+y2cos(xy)
zy=zuuy+zννy

=sinνeu·2y+cosνeu·x

=2yex2+y2sin(xy)+xex2+y2cos(xy).
例927设z=f(2x-y,ysinx)，其中f具有连续的二阶偏导数，求2zxy.
解令u=2x-y,ν=ysinx

引入记号f′1=f(u,ν)u，f′12=2f(u,ν)uν，

其中,下标1表示对第一个变量求偏导;下标2表示对第二个变量求偏导.同理,有f′11,f′12,f′21,…
ux=2,uy=-1,νx=ycosx,νy=sinx.

由定理94得
zx=fuux+fννx

=2f′1+ycosxf′2;
2zxy=y(2f′1+ycosxf′2)

=2f ″11uy+f ″12νy+cosxf′2+ycosxf ″21νy++f ″22νy

=2（-f ″11+sinxf ″12）+cosxf′2+ycosx(-f ″21+sinxf ″22)

=-2f ″11+(2sinx-ycosx)f ″12+ycosxsinxf ″22+cosf′2.
973复合函数的中间变量既有一元函数也有多元函数的情形
定理97如果函数u=u(x,y)定点(x,y)处具有对x和y的偏导数，函数ν=ν(x)在点x处可导，函数z=f(u,ν)在对应点(u,ν)处具有连续偏导数，则复合函数z=f［u(x,y),ν(x)］在对应点(x,y)处的两个偏导数存在，且有
zx=zuux+zνdνdx，（922）
zy=zuuy.（923）
事实上，这种情形是定理96的一种特例.即变量ν与y无关，ν是x的一元函数.此时，νy=0，νx换成dνdx.由式(918)、式(919)得到上述公式.
定理97中复合函数的变量树结构如图911所示.

图911
例928求z=(3x2+y2)lny的偏导数.
设u=3x2+y2ν=lny,则z=uν，
zx=zuux+zννx
=(νuν-1)1y+1y·0
=6x·lny(3x2+y2)lny-1;
zy=zuuy+zνdνdy

=(νuν-1)(2y)+(uν)lnu1y

=2ylny(3x2+y2)lny-1+1y(3x2+y2)lnyln(3x2+y2).
例929设z=f(u，x,y)=ex2+y2+u2而对u=x2siny，求zx和zy.
解zx=fx+fuux=2xex2+y2+u2+2uex2+y2+u2·2xsiny

=2x(1+2x2sin2y)ex2+y2+u2.
zy=fy+fuuy=2yex2+y2+u2+2uex2+y2+u2·x2cosy

=2(y+x4sinycosy)ex2+y2+u2.
注意，这里的zx和fx是不同的，zx是把复合函数f［u(x,y),x,y］中的y看作不变而对x的偏导数；fx是把z=f(u,x,y)中的u和y看作不变而对x的偏导数.同样，zy和fy也有类似的区别.


98隐函数的导数公式

在一元函数微分中，已经知道由形如F(x,y)=0的方程所确定函数y=f(x)称为隐函数，其求导的方法是利用复合函数求导法则，不必经过显化而直接由方程求出导数.本节将从理论上给出隐函数的存在定理，并通过多元复合函数的求导法则建立隐函数的求导公式“隐式”求导法.
定理98（隐函数存在定理）设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0,则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件y0=f(x0)，并有
dydx=-FxFy.（924）

这就是隐函数的求导公式.
这个定理我们不作证明，仅给出式（924）的验证过程
将方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)代入F(x,y)=0中，

得恒等式F［x,f(x)］≡0.
将其左端看作x的一个复合函数，利用复合函数求导法则，将方程两端对x求导，得
Fx+Fydydx=0.

由于Fy连续，由Fy(x0,y0)≠0,故存在P(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内Fy≠0，所以
dydx=-FxFy.
例930求由方程xy+ey-5=0所确定的隐函数y的导数dydx，并求dydxx=0.
解令F(x,y)=xy+ey-5
Fx=y

Fy=x+ey

由式（924）知dydx=-FxFy=-yx+ey

由所给方程知，x=0时，y=ln5，

所以dydxx=0=-ln55.
将式（924）推广到F含两个以上变量的情况，例如，若方程F(x,y,z)=0确定隐函数z=f(x,y)，则分别将y和x看作常数，应用式（924）得到
zx=-FxFz，zy=-FyFz（925）

其中，Fx表示函数F(x,y,z)对x求偏导数.Fy与Fz的含义类似.
例931设x2+y2+z2-4z=0，求2zx2.
解令
F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z,
Fx=2x,Fy=2y,Fz=2z-4.

利用式（925）
zx=-FxFz=-2x2z-4=x2-z,

将上式再对x求偏导数，得
2zx2=zzx=(2-z)-xx(2-z)(2-z)2
=(2-z)+xzx(2-z)2
=(2-z)+xx2-z(2-z)2
=2-z2+x2(2-z)3.
例932设z=f(x+y+z,xyz).求zx,zy.
解法1令F(x,y,z)=z-f(x+y+z,xyz)

则
Fx=-f1-yzf2,Fy=-f1-xzf2,Fz=1-f1-xyf2.

利用式（2）得
zx=-FxFz=f1+yzf21-f1-xyf2;
zy=-FyFz=f1+xzf21-f1-xyf2.
解法2将z看成x,y函数，直接用z=f(x+y+z,xyz)对x求偏导数，得
zx=f11+zx+f2yz+xzzx.
解得
zx=f1+yzf21-f1-xyf2;
同理得zy=f1+xyf21-f1-xyf2.
从以上两个例题可以看出，求方程所确定的多元函数的偏导数时，套公式是一种解法；利用求偏导的过程解方程则更为简捷、清楚.


99二元函数的极值与最值

991二元函数的极值
在大量的生产实践、科学技术以及经济问题中，有许多多元函数的最大值和最小值问题，正如用导数研究一元函数的极值一样，也可以用偏导函数研究多元函数的极值.下面以二元函数为例讨论多元函数的极值问题.
定义910设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的任意一点(x,y)，如果f(x,y)＜f(x0,y0)，则称函数在(x0,y0)处有极大值；如果f(x,y)>f(x0,y0)，则称函数在(x0,y0)处有极小值；极大值和极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.
例933讨论函数z=4-4x2-y2在点(0,0)处有极大值z=4.
解当(x,y)=(0,0)时，z=4；当(x,y)≠(0,0)时，z＜4.因此z=4是函数的极大值.
从几何上看，z=4-4x2-y2表示开口向下的椭圆抛物面，顶点为(0,0,4).
例934讨论函数z=x2+y2在点(0,0)处有极小值.
解当(x,y)=(0,0)时，z=0；而当(x,y)≠(0,0)时，z＞0.因此z=0是函数的极小值，点(0,0)是函数的极小值点.
从几何上看，z=x2+y2表示一个开口向上的旋转抛物面，点(0,0,0)是它的顶点.
以上关于二元函数的极值概念，读者可推广到n(n≥3)元函数.
在一元函数中，可导函数在点x0处有极值的必要条件是在该点处的导数为零，对于多元函数也有类似的结论.
定理99（必要条件）设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)存在偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则必有
fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0.
证明不妨设z=f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值.根据定义，对于(x0,y0)的某个邻域内的任意一点(x,y)有
f(x,y)≤f(x0,y0)，

则取y=y0时，也有f(x,y0)≤f(x0,y0).
由一元函数z=fx(x,y0)在x0处取得极值的必要条件知，z=fx(x,y0)在x0处对x的导数为零，即fx(x0,y0)=0；同理可得fy(x0,y0)=0.
与一元函数类似，使一阶偏导数fx(x,y)=0，fy(x,y)=0同时成立的点(x,y)称为函数z=f(x,y)的驻点.
如何判定驻点是否为极值点呢？
定理910（充分条件）设函数z=f(x,y)在定义域内一点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又(x0,y0)是f(x,y)的驻点，记
fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C，

则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：
（1）AC-B2>0时，有极值，且当A<0时有极大值，A>0时有极小值；
（2）AC-B2<0时，没有极值；
（3）AC-B2=0时，可能有极值，也可能没有极值，还需另外讨论.
定理证明从略.
利用定理99和定理910，可把具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的求极值的步骤归纳如下：
第一步，解方程组fx(x,y)=0
fy(x,y)=0，求出f(x,y)的所有驻点；
第二步，对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值；
第三步，根据AC-B2的符号逐一判定驻点是否为极值点，是极大值或是极小值点，最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值.
例935求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x-5的极值.
解解方程组fx(x,y)=3x2+6x-9=0

fy(x,y)=-3y2+6y=0.

求得驻点为（1,0）（1,2）（-3,0）（-3,2）.
再求出二阶偏导数
fxx(x,y)=6x+6，fxy(x,y)=0，fyy(x,y)=-6y+6.
在点（1,0）处，A=fxx(x0,y0)=12，B=fxy(x0,y0)=0，C=fyy(x0,y0)=6，AC-B2=12×6>0，又A＞0，所以函数在（1，0）处有极小值f(1,0)=-5.
在点（1,2）处，AC-B2=(+12)×（-6）<0，所以f(1,2)不是极值点.
在点（-3,0）处，AC-B2=(-12)×6<0，所以f(-3,0)不是极值点.
在点（-3,2）处，AC-B2=(-12)×(-6)>0，又A<0，所以函数在（-3,2）处有极大值f(-3,2)=31.
讨论函数的极值问题时，如果函数在所讨论的区域内具有偏导数，则由定理99可知，极值只可能在驻点处取得.然而，如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点.例如，函数z=-x2+y2在点（0,0）处的偏导数不存在，但该函数在点（0,0）处却具有极大值，因此在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，也应考虑偏导数不存在的点.
992无约束最优化问题
同一元函数一样，所谓最优化问题就是寻求目标函数的最大（小）值，在92性质1中已经指出，如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则函数f(x,y)在区域D上必能取得最大值和最小值.为此，先求出函数f(x,y)在定义域D内的极值，再与函数f(x,y)在D的边界点的值加以比较，其中最大（小）的一个就是最大（小）值.在实际问题中，往往根据问题的性质，可以判断最值一定在D的内部取得，而函数f(x,y)在D内仅有唯一的驻点，则可以肯定该驻点就是函数f(x,y)在D上的最值点，求出该驻点的函数值就是函数f(x,y)的最大值或最小值，此时就不必再检验了.
例936求函数f(x,y)=4-x2-y2在D={(x,y)|x2+y2≤1}上的最大值.
解连续函数在闭区域上必有最大值，在D内x2+y2＜1时，由
fx=-x4-x2-y2=0，fy=-y4-x2-y2=0

解得驻点为（0,0）,则f(0,0)=4=2在D的边界x2+y2=1上，有


f(x,y)x2+y2=1=4-1=3<2.

故f(x,y)在（0,0）处有最大值f(0,0)=2.
例937某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.
解设水箱的长为x,宽为y,高为z，由题意知，z=2xy，水箱所用材料的面积

A=2xy+y2xy+x2xy,
即A=2xy+2x+2y（x>0,y>0）.
可见,面积A=A(x,y)是x和y的二元函数，这就是目标函数.
令Ax=2y-2x2=0

Ay=2x-2y2=0，

解这个方程组，得x=32,y=32.
由实际问题知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在D=(x,y)|x>0,y>0}内取得，又函数A=2xy+2x+2y在D内只有唯一的驻点(32,32)，因此可以判定当x=32,y=32时，A取得最小值，即当水箱的长、宽、高各为32m时，水箱所用材料最省.
从此例可以看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小.
例938设某公司每天生产甲产品x kg与乙产品y kg的成本为
C(x,y)=x2+2xy+2y2+3 000.
甲产品的价格为200元/kg，乙产品的价格为300元/kg，现在假定两种产品全部售完，试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平，公司获得的最大利润是多少？
解由题意，公司的收益函数为R(x,y)=200x÷300y，因此利润函数为

L(x,y)=R(x,y)-C(x,y)
=200x+300y-x2-2xy-2y2-3 000.

令Lx(x,y)=200-2x-2y=0
Ly(x,y)=300-2x-4y=0.

解方程组求得驻点得x=50,y=50.

再求二阶偏导数，

A=fx x=-2,B=fx y=-2,C=fy y=-4.

知在驻点（50,50）处AC-B2=8-4=4＞0,A=-2＜0.
因此，函数在驻点（50,50）处取得极大值.又由题意知，该极大值点一定是最大值点，即当甲产品生产50 kg,乙产品生产50 kg时，公司可获得最大利润，最大利润L=(50,50)=9 500元.
993有约束最优化问题
什么是有约束最优化问题呢？这要与无约束最优化问题做一比较.直观来看，无约束最优化问题，求曲面z=4-x2-y2的最大值z=2（见图912）；约束最优化问题，求曲面z=4-x2-y2在条件2x+2y=1下的最大值，z=624.实际上，就是用平面2z+2y=1去截上半球面z=4-x2-y2所得截痕（半圆）的最高点624＜2（见图913），平面方程2x+2y=1是对自变量x,y加以限制的约束条件.

图912

图913
对于有些实际问题，可以把条件极值问题转化为无条件极值问题.例如例937求体积为2m2的长方体的水箱用料最省问题，就是求函数A=2(xy+yz+xz)在约束条件xyz=2下的最小值问题，由条件解得z=xy2，于是A=2xy+yxy2+xxy2，所以只需求A的无条件极值问题.
在很多情形下，将条件极值转化为无条件极值并不容易，因而需要另外寻求一种方法来求条件极值，这就是下面介绍的拉格朗日乘数法.
下面讨论函数

z=f(x,y)（926）

在约束条件

φ(x,y)=0（927）

下的约束最优化的极值问题.
如果函数（926）在(x0,y0)取得极值，那么一定有
φ(x0,y0)=0.（928）
假定函数f(x,y)，φ（x,y）在点(x0,y0)的邻域内都有连续的一阶偏导数，且φx(x0,y0)，φy(x0,y0)不全为0，不妨设φy(x,y)≠0.由隐函数存在定理，方程（926）确定一个连续且具有连续导数的函数y=ψ(x)，将其代入式（926），得到一元函数
z=f［x,ψ(x)］.（929）

于是，函数（926）在(x0,y0)处取得极值，也就相当于函数（929）在x=x0处取得极值.由一元函数取得极值的必要条件，知道dzdxx=x0=0，即
fx(x0,y0)+fy(x0,y0)dydxx=x0=0.（930）

而y=y(x)由φ(x,y)=0所确定，所以由（927）用隐函数求导公式，有
dydxx=x0=-φx(x0,y0)φy(x0,y0).

将其代入式（930），得
fx(x0,y0)-fy(x0,y0)φx(x0,y0)φy(x0,y0)=0.（931）

式（928）和式（931）两式就是函数（926）在条件（927）下在(x0,y0)处取得极值的必要条件.
下面进一步讨论.如果令-fy(x0,y0)φy(x0,y0)=λ，则上述必要条件就变为
fx(x0,y0)+λφx(x0,y0)=0

fy(x0,y0)+λφy(x0,y0)=0

φ(x0,y0)=0.（932）
为了便于记忆，引进辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)，

则不难看出式（932）就是
Lx(x0,y0)=0

Ly(x0,y0)=0

Lλ(x0,y0)=0，（933）

称L(x,y,λ)为拉格朗日函数，参数λ称为拉格朗日乘子.
设二元函数f(x,y)和φ(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数，则求z=f(x,y)在D内满足条件φ(x,y)=0的极值问题可转化为拉格朗日函数
L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)

的无条件极值问题.于是，求函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下极值的基本步骤为
第一步，构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)；
第二步，由方程组fx(x,y)+λφx(x,y)=0

fy(x,y)+λφy(x,y)=0

φ(x,y)=0.

解出x，y，λ，其中点(x,y)就是所求条件极值的可能极值点.
下面用拉格朗日乘数法证明前面提到的求函数z=4-x2-y2在条件2z+2y=1下的最大值问题.
例939求z=4-x2-y2在条件2x+2y=1下的最大值.
解构造拉格朗日函数
L(x,y,z)=4-x2-y2+λ(2x+2y-1);
解方程组Lx(x,y,λ)=-x4-x2-y2+λ=0

Ly(x,y,λ)=-y4-x2-y+2λ=0

Lλ(x,y,λ)=x+2y-1=0，

求得x=14，y=14.
这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得，即最大值z=f14,14=624，这也证实了本节开始提到的这个问题.
例940设某公司销售收入R（单位：万元）与广告投入之间的关系为
R=200xx+5+100y10+y，

其中，x,y（单位：万元）分别为投放两种广告形式的宣传费用，而利润额是销售收入的两成，并要扣除广告费用，已知广告费用总预算金额是17万元.试问：如何分配两种广告费用使利润最大？
解设利润为z=z(x,y)，则由题意可知
z=15R-x-y=40xx+5+20y10+y-x-y，

其约束条件x+y=17(x＞0,y＞0)，即φ(x,y)=x+y-17.

令L(x,y,λ)=z(x,y)+λφ(x,y)
=40xx+5+20y10+y-x-y+λ(x+y-17).

解Lx=200(5+x)2-1+λ=0

Lx=200(10+y)2-1+λ=0

Lλ=x+y-17=0,

得x=11,y=6，即驻点为(11,6).
根据题意知该驻点为极值点，即当投入两种广告费用分别为11万元和6万元时，可使利润最大.
例941在91节曾提到过在经济学中著名的柯布道格拉斯生产函数模型f(x,y)=cxαy1-α，现在已知某制造商的柯布道格拉斯生产函数是f(x,y)=100x3/4y1/4，每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元，该制造商的总预算为80 000元.试问制造商该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与投入资本以使生产量最高？
解该问题是个条件极值，约束条件为
150x+250y=80 000，

目标函数为
f(x,y)=100x3/4y1/4.

令L(x,y)=100x3/4y1/4+λ(150x+250y-80 000).
解方程组Lx=75x-14y14-150λ=0①

Ly=25x34y-34-250λ=0②

Lλ=150x+250y-80 000=0③

由式①得λ=12x-1/4y1/4,代入式②中得
25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0.
25x-125y=0,
将x=5y代入式③,解得x=400,y=80.
即该制造商应该雇用400个劳动力，把其余的20 000元（250×80）作为资本投入可获得最高产量
f(400,80)=26 750.


一、二元函数的概念、极限与连续
1二元函数的定义
设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的每一点(x,y)按照某种法则f,都有唯一的实数z与之对应，则称f是D上的二次函数，记为z=f(x,y)，其中x,y称为自变量，z称为因变量.点集D称为该函数的定义域，数集{z|z=f(x,y),(x,y)∈D}称为函数的值域.
2二元函数的几何意义
设二元函数z=f(x,y)的定义域为D，空间中所有点(x,y,f(x,y)的集合，称为z=f(x,y)的图像，通常也说二元函数z=f(x,y)的图像是空间直角坐标系中的一张曲面，定义域D就是该曲面在平面上的投影.
3二元函数的极限
定义设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，如果当点P(x,y)无限趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无限趋于一个常数A，则称A为函数z=f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限，记为:limx→x0y→y0f(x,y)=A或lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A,或f(x,y)→A((x,y)→(x0,y0)).
二元函数的极限比一元函数的极限复杂得多，须注意以下两点：
①二元函数的极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近于A.
②如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在，这是判断二元函数极限不存在的一种很好方法.
4二元函数的连续性
（1）定义.
设函数z=f(x,y)的定义域为D，y=f(x,y)在(x0,y0)有定义，如果lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0),则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.
（2）性质.
①一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.
②与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域D上连续的二元函数也有以下性质：有界性、最大值与最小值定理、介值定理.
二、多元函数的偏导数与全微分
1二元函数偏导数的概念与计算
定义：设函数z=f(x.y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有改变量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，如果
limΔx→0f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)Δx(1)

存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点（x0,y0）处对x的偏导数,记作zxx=x0
y=y0，fxx=x0
y=y0，
zx
x=x0
y=y0，或fx(x0,y0),

即fx(x0,y0)=limΔx→0f(x0+Δx,y0)Δx.（2）
类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为
limΔy→0f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0)Δy，（3）

记作zyx=x0
y=y0，fyx=x0
y=y0，
zy
x=x0
y=y0，zy(x0,y0),

即fy(x0,y0)=limΔy→0f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0)Δy.（4）
求导数z=f(x,y)的偏导数并不需要新方法，只要把其中一个自变量看作常量，而对另一个自变量按一元函数求导法求出导数就行了.
二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数有下述几何意义：
设M0［x0,y0f(x0,y0)］为曲面z=f(x,y)上一点，过M0作平面y=y0，截此曲面得一曲线，此曲线方程为z=f(x,y)
y=y0，则偏导数fx(x0,y0)表示上述曲线在M0处的切线M0Tx对x轴正向的斜率.
同理，偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面x=x0所截得的曲线在M0处的切线M0Ty对y轴正向的斜率.
2二阶偏导数
二阶偏导数共有4个，用记号表示为
2x2=xzx或fxx(x,y),2fx2,zxx；
2xy=yzx或fxy(x,y),2fxy,zxy；
2yx=xzy或fyx(x,y),2fyx,zyx；
2y2=yzy或fyy(x,y),2fy2,zyy.

其中，2zxy，2zyx称为混合偏导数.
3偏导数在经济学中的应用
（1）偏边际分析.
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导函数存在，称
fx(x0,y0)=limΔx→0f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)Δx

为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏边际，称fx(x,y)是对x的偏边际函数.
同样，称fy(x0,y0)=limΔy→0f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0)Δy

为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏边际，称fy(x,y)是对y的偏边际函数.
边际fx(x0,y0)的经济意义解释如下：在点(x0,y0)处，当y保持不变而x多生产一个单位,z=f(x,y)近似地改变fx(x0,y0)个单位.
（2）偏弹性分析.
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数存在，z=f(x,y)对x的偏改变量记为Δxz=f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，称Δxz的相对改变量Δxzz0与自变量x的相对改变量Δxx0之比
Δxzz0Δxx0=ΔxzΔx·x0z0（1）

为函数f(x,y)在点(x0,y0)处对x从x0到x0+Δx两点间的弹性，令Δx→0，则式（1）的极限称为f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏弹性，记为Ex，即
Ex=limΔx→0ΔxzΔxx0z0=fx(x0，y0)x0f(x0，y0).（2）

偏弹性Ex反映在点(x0,y0)处f(x,y)随x变化的强弱程度，其经济意义是在(x0,y0)处，当y不变而x产生1%的改变时，f(x,y)近似地改变Ex%.
同样，可得到
Ey=limΔx→0ΔyzΔyy0z0=fy(x0，y0)y0f(x0，y0).（3）
一般地，称Ex=fx(x,y)xf(x,y)及Ey=f(x,y)yf(x,y)为f(x,y)分别对x和y的偏弹性函数.

4全微分
(1)二元函数z=f(x,y)的全微分写成dz=zxdx+zydy.
(2)可微与连续、偏导数存在之间的关系如图98所示.
(3)全微分在实际问题中的应用.
三、多元复合函数的求导法与隐函数求导法
1多元复合函数的求导法——链式法则（口诀:同路相乘，异路相加）
（1）第一种类型.
z=f(u,ν)，u=φ(t)，ν=ψ(t),

有dzdt=zududt+zνdνdt.
（2）第二种类型.
z=f(u,ν),u=u(x,y),ν=ν(x,y),

有zx=zuux+zννx;
zy=zuuy+zννy.
（3）第三种类型.
z=f(u,ν,w),u=u(x,y),ν=ν(x,y),w=w(x,y),

有zx=zuux+zννx+zwwx;
zy=zuuy+zννy+zwwy.
（4）第四种类型.
z=f(u,ν),u=u(x,y)，ν=ν(x),

有zx=zuux+zνdνdx;
zy=zuuy.
2隐函数求导法
(1)当方程F(x,y)=0时，有
dydx=-FxFy
(2)当方程F(x,y,z)=0时，有
zx=-FxFz；zy=-FyFz.
四、二元函数极值与最值
1求函数z=f(x,y)的极值的步骤
归纳如下：
第一步，解方程组fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求出f(x,y)的所有驻点；
第二步，对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值：
fxx(x0,y0)=A,Fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C;
第三步，根据AC-B2的符号逐一判定驻点是否为极值点.
当AC-B2＞0时,有极值，且当A<0时有极大值，A>0时有极小值；
当AC-B2<0时，没有极值；
当AC-B2=0时，可能有极值，也可能没有极值，还需另外讨论.
2用拉格朗日乘数法求函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下极值的基本步骤归纳如下：
第一步，构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)；
第二步，由方程组Lx=fx(x,y)+λφy(x,y)=0

Ly=fy(x,y)+λφy(x,y)=0

Lλ=φ(x,y)=0，

解出x,y,λ，其中点(x,y)就是所求条件极值的可能极值点.
3求有界闭区域D上二元连续函数f(x,y)的最大值和最小值的一般步骤归纳如下：
第一步，求出函数f(x,y)在定义域D内的极值；
第二步，求出函数f(x,y)在D的边界点的值；
第三步，比较前两步得到的所有函数值，其中最大（小）的一个就是最大（小）值.


(A)
1判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集.
(1) {(x,y)|x+y>0};
(2) {(x,y)|1≤x2+y2＜4};
(3) {(x,y)|x>y2};
(4) {(x,y)|x2+(y-1)2≥1}∩{(x,y)|x2+(y-2)2≤4}.
2求下列函数的表达式.
（1）设f(x+y,x-y)=x2-y2x2+y2,求f(x,y);
（2）设f(x,y)=∫yx1tdt,求f(1,4).
3求下列函数的定义域，并作略图.
（1）z=x-y;
（2）z=arccosxy;
（3）z=4x-y2ln(1-x2-y2).
4假设投资利率为6%，按照连续计息，则本利和s是本金p与存期t（年）的二元函数.
s=f(p,t)=pe0.06 t,试求f(5 000,2)，并解释你的答案.
5CD生产函数，假定谷物的生产函数为f(K,L)=30K1/4L3/4,试求:
（1）当资金投入10 000元，劳动投入为625小时的产量；
（2）验证当K与L都扩大2倍时，产量也扩大2倍.
6求下列极限.
（1）lim(x,y)→(0,2)sinxyx;
（2）limx→0y→0x+y+1-1x+y;
（3）lim(x,y)→(1,2)x-yx+y;
（4）limx→∞y→01+1xx2x+y.
7判断下列极限是否存在，若存在求出极限.
（1）lim(x,y)→(0,0)x2-y2x2+y2;
（2）lim(x,y)→(∞,∞)x+yx2+y2.
8讨论下列函数的连续性.
（1)f(x,y)=tan(x+y2);
（2）f(x,y)=x+yx-y;
（3）f(x,y)=sinxyxx≠0
0x=0.
9求下列函数的偏导数.
（1）z=(1+xy)2;（2）z=arctan(x-y);
（3）z=sin(yx)+cosxy;（4）z=exy(x+y);
（5）f(x,y)=x2+3xy+y2,求fx(1,2),fy(1,2);
（6）u=ln(x-yz),求ux(2,0,1),uy(2,0,1),uz(2,0,1).
10设z=xy,求证xyzx+1lnxzy=2z.
11设f(x,y)=x+(y-1)arcsinxy，求fx(x,1).
12求下列函数的二阶偏导数.
（1）f(x,y)=2xy4+x3y2，求2fxy，2fx2;
（2）u=erθsinθ，求2yrθ;
（3）z=ln1x2+y2,求2zx2，2zy2.
13设r=x2+y2+z2,求证2rx2+2ry2+2rz2=2r.
14证明函数f(x,y)=x2+y2在(0,0)处连续，但在(0,0)处的偏导数不存在.
15设某电视机厂商生产A型电视机x台，B型电视机y台，总成本（单位：万元）为C(x,y)=50x+100y+x2+xy-3y2+1 000.试求:当x=1 000,y=800时，两种型号电视机的偏边际成本，并解释其经济含义.
16某产品的CD生产函数为f(k,l)=40k2/3l1/3.其中,k表示投入资本;l表示投入劳动.试求:使得资本k的边际产量等于劳动l的边际产量的点（k,l）.
17设某商品的需求量Q与价格p和收入y的关系为Q=400-2p+003y.求:当p=25，y=5 000时需求量Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义.
18求下列函数的全微分.
（1）z=x2+y2+xy;（2）z=eyx;（3）z=arcsin(x+y).
19求函数z=x3+3y2-2x2y+y3在点（1,2）处的全微分.
20求函数z=lnxy在点（2,3）处关于Δx=01,Δy=02的全增量与全微分.
21画出下列各函数的链式关系图并写出每个函数的链式法则.
（1）z=f(x,y),x=g(t),y=h(t),求dzdt.
（2）w=f(x,y,z),x=g(t),y=h(t),z=k(t),求dwdt.
（3）w=f(r,s,t),r=g(x,y),s=h(x,y),t=k(x,y),求wx，wy.
（4）z=g(u,y),u=h(x,y),求zx，zy.
22求下列函数的偏导数.
（1）z=u2ν+uν2,u=xsiny,ν=xcosy,求zx，zy;
（2）z=uln(1+v),u=2xy,ν=x2+y2,求zx，zy;
（3）u=f(x,y,z)=e3x+2y+z,z=x2cosy,求ux，uy.
23求下列函数的全导数.
（1）设z=u2ν3,u=2x+1,ν=x2,求dzdt;
（2）设z=xy-sint，x=et，y=cost,求dzdt.
24设z=f(x2-y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数,求zx，zy，2zxy.
25设函数f(u)可导，且f′(0)=12，求z=f(4x2-y2)在点（1,2）处的全微分
dz(1,2).
26求由下列方程所确定的隐函数的导数.
（1）lnx2+y2=arctanyx，求dydx；
（2）x+y+z=sin(x,y,z)求zx,zy.
27设φ(u,ν)具有连续偏导数，证明方程.φ(cx-az,cy-az)=0所确定的函数z=f(x,y)满足
azx+bzy=c.
28广义CD函数,设θ=AKαLβ,其中α>0,β>0.试证:θ关于资本K的弹性为α，关于劳动L的弹性为β.
29设有一圆柱形容器，内高为20cm，内半径为4cm，容器的壁与底的厚度均为02cm，求容器外壳体积的近似值.
30计算(197)105的近似值.
31若计划通过测量长和宽计算一个长而窄的矩形的面积，应当测量哪一边更细心？对你的回答给出理由.
32求下列函数的极值.
（1）f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2);
（2）f(x,y)=3xy-x3-y3.
33求函数z=xy在适合附加条件x+y=1下的极大值.
34(用料最省问题)某工厂要用铁皮做成一个体积为27cm3的无盖长方形水箱.问：水箱的长、宽、高如何设计才能使用料最省?
35(最大利润问题)某公司销售两种产品，其需求量x与y由产品的价格p1与p2确定，需求函数为
x=40-2p1+p2,
y=25+p1-p2.
假设公司生产两种产品x单位与y单位的成本为
C(x,y)=x2+xy+y2.
（1）写出p1与p2关于x,y的需求函数；
（2）求关于x，y的收益函数R（x，y）；
（3）求关于x，y的利润函数P（x，y）；
（4）求最大生产水平x与y及最大利润.
(B)
1z=e-x+f(x-2y)，且已知y=0时，z=x2，求zx.
2设x+y2=∫y-x0cos2tdt，求dy.
3证明f(x,y)=x4x4+y2当（x,y）→(0,0)时极限不存在.
4假设方程x=νlnu和y=ulnν定义u和ν是自变量x和y的函数，并设νx存在，用u和ν表示νx（提示，将两个方程分别对x求偏导，再用克莱姆法则解出νx）.
5一个标准12cm3的饮料罐为半径r=1cm,高h=5cm的圆柱体.
（1）对于这些尺寸，罐的体积对于半径的微小变化和对于高的微小变化相比较敏感度怎样？
（2）你能否设计一个饮料罐看起来大，但其实还是装12ml，它的尺寸是多少？
6求函数f(x,y,z)=x(y+z)在直圆柱面x2+y2=1和双曲圆柱面xz=1相交曲线上的极值.
7设f(u)具有二阶连续偏导数，且g(x,y)=fyx+yfxy.求x22gx2-y22gy2.
8假设f是γ的二次可微函数，如果γ=x2+y2+z2，并且fxx+fyy+fzz=0.证明：对于某两个常数a和b，f(γ)=aγ+b.
9z=f(x,y)有连续偏导数，x=rcosθ,y=rsinθ.证明：zr2+1r2zθ2=zx2+νy2.
10求两个满足a≤b的数a和b，使∫ba(6-x-x2)dx有最大值.
11设有圆板具有x2+y2≤1的形状，该圆板（包括边界x2+y2=1）被加热，以至在点(x,y)处的温度为T(x,y)=x2+2y2-x.
（1）温度等于常数的曲线称为等温线，在圆板上画出等温线的图形；
（2）求圆板上的最热和最冷点.
12经济学中的Wilson批量公式为：一个商店的货物的最经济订购量θ由公式θ=2mkh给定，其中k是发出订单的成本；m是每周销售的货物数量；h是每周保存每件货物的成本.在点(k0,m0,h0)=(1,20,005)附近，θ对于k，m，h中的哪个变量最敏感？并说明你的分析依据.
13(箱子的最小成本问题)一个封闭的长方体箱子，体积为V cm3.箱子使用的材料的成本是顶面和底面为a（元/cm3），前面和背面为b（元/cm3），其余的面为c（元/cm3）.怎样的尺寸使材料的总成本最小？
14设函数z=z(x,y)是一个具有二阶连续偏导数的函数，试证明在变换u=ax+y
ν=by+x(u≠ν)下，方程42zx2-52zxy+2zy2=0可转化为2zuν=0.
15(最大放养数问题)某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为(3-αx-βy)x和(4-βx-2αy)y(α＜β＜0).求使产鱼总量最大的放养数.
16设某公司甲、乙两厂生产同一产品，月产量分别为x(千件)和y(千件).甲厂的月生产成本是c1=x2-x+5(万元)，乙厂的月生产成本是c2=y2+2y+3(万元).若要求该产品每月总量为8（千件），并使总成本最小，求每个厂的最优产量和相应的最小成本.

17企业经营对策模型.
（1）竞争对策模型.
设某市场中有两家企业生产同一种产品，其策略是各自选择产量，通过市场确定价格，使得自己的利润最大化，即企业在竞争的过程中不能共谋，只能通过自己的产量（策略）影响市场价格，所以企业的最优产量（策略）就是在对方的任一产量（策略）水平上，使自己的利润最大化.试建立企业竞争的对策模型，并给出求解方法.
（2）合作对策模型.为了比较，下面考虑如果该市场两个企业联合起来确定产量（即合作垄断），那么情况如何呢？

图914
18最小二乘法和线性回归.如图914所示，当试图用一直线y=ax+b拟合数据点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)时，通常选择直线使得点到直线在竖直方向的距离的平方之和最小.这意味求a和b使函数S(a,b)=∑ni=1(axi+b-yi)2取最小值.试证明：

a=∑ni=1xi∑ni=1yi-n∑ni=1xiyi∑ni=1xi2-n∑ni=1x2i;

b=1n∑ni=1yi-a∑ni=1xi.


19模型与预测问题.农场用5块试验田来研究某作物的产量x（kg/亩）与使用化肥量y（kg/亩）之间的关系，由实验测得x与y的数据如表91所示.

表91


化肥量x1015202530
产量y360410480530600
（1）试建立逼近上述数据的数学模型;
（2）试用最小二乘法建立x与y之间的经验公式y=ax+b;
（3）预测每亩施加18kg化肥时某作物的产量.
20表92所示数据显示某地区圈养的哺乳动物怀孕期（天）与平均寿命（年），试写出这些数据的最佳拟合的数学模型.

表92


动物灰熊水獭乳牛麋鹿红色狐狸白色有尾鹿马
怀孕期/天2251222842505220330
寿命/年25515157820

实验多元函数偏导数的MATLAB实现
1设F(x)=xy+y2+sinx+cosy，求Fy,2Fyx,3F3x.
2求z=x4-8xy+2y2-3的极值.


牛顿和莱布尼茨发明微积分
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但微分和积分的思想在古代就已经产生了.公元前3世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题时，就隐含着近代积分学的思想.作为微分学基础的极限理论来说，早在古代已有比较清楚的论述.比如我国的庄周所著的《庄子·天下篇》中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，三国时期的刘徽在其割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”.这些都是朴素的也是很典型的极限概念.到了17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素.归纳起来，大约有4种主要类型的问题：第一类是研究运动时求即时速度的问题；第二类是求曲线的切线问题；第三类是求函数的最大值和最小值问题；第四类是求曲线长等几何量问题.
17世纪许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题做了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格，英国的巴罗、瓦里士，德国的开普勒，意大利的卡瓦列利等都提出了许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献.
17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作，但他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题).
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析.这正是现在数学分析这一大分支名称的来源.牛顿研究微积分着重于从运动学考虑，而莱布尼茨却是侧重于几何学考虑.
莱布尼茨是一个博才多学的数学家.1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分论文，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》.这篇具有划时代意义的文章，包含了现代的微分符号和基本微分法则.他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响.现在人们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的.其中“∫”就是将SUM中的S拉长所得.所以莱布尼兹也有“符号大师”的美称.
微积分学的创立极大地推动了数学的发展.过去很多初等数学中束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出了微积分学的非凡威力.
遗憾的是，人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场轩然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立.英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了100年.
其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在基本相近的时间里先后完成的.比较特殊的是，牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早3年.他们的研究各有长处，也都各有短处.那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论从1699年始延续了一百多年.
应该指出，历史上任何一项重大理论的完成都要经历一个时期的完善，牛顿和莱布尼茨的工作在当时也都是很不完善的.他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊.牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说.这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生.
直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成了微积分的坚实基础，才使微积分逐步发展成为一门独立的学科.
任何新兴的、具有无限前景的科学成就都吸引着广大的科学工作者.在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉，法国的拉格朗日、柯西……
欧几里得几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，而微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命.微积分不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩.