第3章常用电路定理 本章学习目标  了解电路理论中常用的电路定理；  掌握常用电路定理的定义及应用；  熟练运用电路定理解决电路问题。 本章进一步讨论电路理论中常用的重要电路定理，这些定理是电路理论的重要组成部分。对于进一步学习后续课程起着非常重要的作用。本章重点介绍叠加原理、置换定理、戴维南定理以及最大功率传输定理等，最后对本章内容进行了总结。 3.1叠加定理与齐次定理 由线性元件和独立电源组成的电路称为线性电路。不管是选用电路中的电压变量还是电流变量列写电路方程，最终得到的是一组线性方程，由代数知识很容易知道，方程的解具有可加性和齐次性，这个性质在电路分析中即为响应(电路中的电流或电压)和激励(独立电源)之间满足可加性和齐次性，称可加性为叠加性质，称齐次性为比例性质。 3.1.1叠加定理 叠加定理是线性电路的一个重要定理，当电路中有多种(或多个)激励时，它为研究响应与激励的原理提供了理论依据和方法，并经常作为建立其他电路定理的基本依据。 图31电路示例 先看一个例子，电路示例如图31所示。若求电流i2，由两类约束可以求得i2与uS、iS的关系为 对节点1，有 i1－i3=0(31) 对节点2，有 -i1+i2=iS(32) 对左网孔，有 R1i1+u2－uS=0(33) 对右网孔，有 R2i2－u2=0(34) 把式(33)和式(34)相加消去u2，再以R1与式(32)式相乘，消去i1后，整理可以得到 i2=uSR1+R2+R1R1+R2iS(35) 这就是电流i2与电源uS、iS的关系式。第一项只与uS有关，第二项只与iS有关。如果令 i′2=uSR1+R2 i″2=R1R1+R2iS 则可将电流i2写为i2=i′2+i″2。式中i′2可以看作仅由uS作用而iS不作用，即iS=0时R2上流过的电流，即uS单独作用时的电路如图32(a)所示。i″2可以看作仅由iS作用而uS不作用，即uS=0时R2上流过的电流，即iS单独作用时的电路如图32(b)所示。 图32uS、iS单独作用时的电路 通过这个例子可知,R2上的电流i2可以看作独立电压源uS与独立电流源iS分别单独作用时，在R2上产生电流的代数和。响应与激励之间关系的这种规律，对任何具有唯一解的线性电路都具有这种特性，具有普遍意义。线性电路的这种特性总结为叠加定理。 叠加定理可以表述为： 在任何由线性元件、线性受控源及独立源组成的线性电路中，每一支路的响应(电压或电流)都可以看成是各个独立电源单独作用时，在该支路中产生响应的代数和。 应用叠加定理时要注意以下几点。 (1) 叠加定理仅适用于线性电路求解电压和电流响应，而不能用来计算功率。这是因为线性电路中的电压和电流都与激励(独立源)成一次函数关系，而功率与激励不再是一次函数关系。 (2) 应用叠加定理求电压、电流是代数量的叠加，要特别注意各个代数量的符号。若某个独立源单独作用时，在某一支路产生响应的参考方向与所求这一支路响应的参考方向一致则取正号； 反之则取负号。 (3) 当一独立源作用时，其他独立源都应等于零。即独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替。 图33例31电路 (4) 若电路中含有受控源，应用叠加定理时要注意，受控源不是独立源，不能单独作用。在独立源每次单独作用时，受控源要保留在电路中，其数值随每一独立源单独作用时控制量数值的变化而变化。 例31电路如图33所示，用叠加定理求电流ix。 解绘出每个独立源单独作用时的电路，如图34所示。 图34每一独立源单独作用时的电路 由图34(a)，列写KVL方程可得 (2+4+4)i′x－20=0 求得i′x=2A。 由图34(b)，可知4V电源不作用于电路，因此电流i″x=0A。 由图34(c)，运用分流公式后，可以求得ix=42+4+4×10A=4A。 由图34(d)，运用分流公式后，可以求得i″″x=－4+42+4+4×5A=-4A。 由叠加原理，可得 ix=i′x+i″x+ix+i″″x=(2+0+4-4)A=2A 图35例32电路 例32电路如图35所示，其中r=2Ω，用叠加定理求ix。 注意： 对含受控源电路运用叠加定理时必须注意： 受控电压源或受控电流源不是独立电源，不是电路的输入，不能单独作用。在运用叠加定理时，受控源应与电阻一样保留在电路内。 解分别画出每个独立源单独作用时的电路。10V电压源单独作用，电路如图36(a)所示。原电路中电流ix用i′x代替，此时受控源的电压数值为2i′x。由此可以列写KVL方程为 －10+3i′x+2i′x=0 解得 i′x=2A 3A电流源单独作用，电路如图36(b)所示。原电路中电流ix用i″x代替，此时受控源的电压数值为2i″x。由两类约束关系可得 i″－i″x=3 2i″x+i″x+2i″x=0 i″x=－0.6A 电源同时作用，有 ix=i′x+i″x=(2－0.6)A=1.4A 图36各独立电源分别作用 3.1.2齐次定理 线性电路的另一个重要特性就是齐次性(又称为比例性)，把该性质总结为线性电路中另一重要的定理——齐次定理。 齐次定理可以表述为： 当一个激励源(独立电压源或独立电流源)作用于线性电路时，其任意支路的响应(电压或电流)与该激励源成正比。 图37齐次性电路示例 齐次性电路示例如图37所示,为一单激励(输入)的线性电路，若以R2的电流i2为响应(输出)，则可以得到 i2=R3R1R2+R2R3+R1R3uS 由于R1、R2、R3为常数，这是一个线性关系，可表示为 i2=KuS 显然，若uS增大m倍，i2也随之增大m倍，这样的性质称为“齐次性”或“比例性”，它是“线性”的一个表现。该电路中的其他任何一个电压或电流对激励uS也都存在类似的线性关系。 对单一激励的线性时不变电路，指定响应对激励之比定义为网络函数，记为H，即 H=响应激励(36) 激励可以是电压源电压或电流源电流，响应可以是任一支路的电压或电流。对于电阻电路，网络函数H为一实数。 若响应与激励在同一端口，则属策动点函数； 若响应与激励不在同一端口，则属转移函数。由于响应和激励都可以是电压或电流，因而策动点函数和转移函数又可具体地分为表31所示的6种情况，必要时可使用表中所示专用符号。 表31线性电阻电路网络函数H的分类 类型响应激励名称 策动点函数 电流 电压 策动点电导Gi 电压 电流 策动点电阻Ri 转移函数 电流 电压 转移电导GT 电压 电流 转移电阻RT 电流 电流 转移电流比Hi 电压 电压 转移电压比HU 由表31可知，图37所示电路输出电流i2时的转移电导，在输入uS作用下其他的网络函数如下。 输出为电流i3时的转移电导为 i3uS=R2R1R2+R2R3+R1R3 输出为电流i1时的策动点电导为 i1uS=R2+R3R1R2+R2R3+R1R3 输出为电压u2时的转移电压比为 u2uS=R2R3R1R2+R2R3+R1R3 输出为电压u1时的转移电压比为 u1uS=(R2+R3)R1R1R2+R2R3+R1R3 事实上，对任何线性电阻电路，网络函数都是实数，响应与激励的关系可用图38所示的框图表示。 图38表征响应与激励关系的方框图(线性电阻电路) 例33电路如图39所示，求电压uL的数值。 图39例33电路 用齐次定理，先求出uL/uS，即网络函数H，再代入数值求解。 方法： 设IL=1A，标出节点A、B、C，电路如图310所示。 图310例33题解电路 解设 iL=1A uL=1×20=20VuBC=30V uAC=［(1+1)×10+30］V=50V uS=10×5025+1+1+50V=90V H=uLuS=29(转移电压比) 所以，当uS=10时，uL=2.22V。 通过本节的例子可以看出，叠加定理用来分析线性电路的基本思想是“化整为零”，它将多个独立源作用的复杂电路分解为每一个独立源单独作用的简单电路，在分解图中分别计算某支路的电流或电压，然后代数和相加求出它们共同作用时的响应。叠加定理与齐次定理分别表征线性电路两个相互独立的性质。不能用叠加定理代替齐次定理，也不能片面地认为齐次定理是叠加定理的特例。既满足叠加性，又满足齐次性的电路才是线性电路。 3.2置换定理 置换定理是集总电路理论中一个重要的定理。从理论上讲，线性、非线性电路，时变、时不变电路，置换定理都是成立的。在线性时不变电路问题分析中，置换定理应用更加普遍。 置换定理(又称替代定理)可以表述为： 具有唯一解的电路中，若已知第k条支路的电压Uk和电流Ik，且该支路与电路中其他支路无耦合，则无论该支路是由什么元件组成的，总可以用下列任何一个元件置换。 (1) 电压等于Uk的理想电压源。 (2) 电流等于Ik的理想电流源。 (3) 电阻值为Uk/Ik的理想电阻元件Rk。 置换后该电路中其余部分的电压和电流均保持不变。图311所示为置换定理示意图。 为了更好地理解置换定理，下面通过一个具体的示例验证置换定理的正确性。 电路如图312所示，先计算出各支路电流及支路电压。由KCL及欧姆定律可得，i2+i3=i1； uab1+uab+42=8； 得出uab=4V； 支路电流i1=8A，i2=4A，i3=4A。这些结果的正确性勿庸置疑。 (1) 将ab支路用4V理想电压源置换，如图313(a)所示，并设各支路电流i1、i2、i3。由图可见，uab=4V，i2=uab1=4A，i3=i1－i2=(8－4)A=4A。 图311置换定理示意图 图312验证置换定理电路 图313置换后的电路 (2) 将ab支路用4A理想电流源置换，如图313(b)所示，并设各支路电流i1、i2、i3。由图可见，i1=8A，i3=4A，i2=i1－i3=4A，uab=1Ω×i2=4V。 (3) 将ab支路用电阻Rab=uabi3=1Ω置换，如图313(c)所示，并设各支路电流i1、i2、i3。由图可见，i1=8A，i2=i3=4A，uab=1Ω×i2=4V。 在3种情况置换后的电路里，计算出的支路电流i1、i2、i3及uab，与置换以前的原电路计算出来的结果完全相同，这就验证了置换定理的正确性。 在分析电路时，常用置换定理化简电路，与其他方法共用求解问题。 图314例34电路 例34电路如图314所示，若使Ix=18I，试求Rx。 解根据题目中的已知条件分析电路。若流过10V电源的支路电流为I，则流过电阻Rx的电流Ix就等于18I，此时可以用置换定理将电路简化，利用等值的电流源置换原支路，电路如图315所示。再由叠加定理可求出电压U′、U″，最后由欧姆定律求得Rx。 U′=12.5I×1－1.52.5I×0.5=0.1I U″=－1.52.5×18I×1=－0.075I U=U′+U″=0.1I+(－0.075I)=0.025I Rx=UIx=0.025I0.125I=0.2Ω 图315例34题解电路 例35电路如图316(a)所示，求电流i1。 解图316(a)所示电路看上去比较复杂，仔细分析后发现，若将ab短接线压缩合并成一点，3Ω与6Ω电阻并联等效为2Ω电阻，电路可以看成图316(b)。由置换定理可知，可以用4A的电流源置换虚线框内的电路，置换后电路如图316(c)所示。再运用电源的互换得到图316(d)所示电路。此时，求得电流i1就非常容易了，即可解得 i1=7+86A=2.5A 这样的问题应用置换定理等效比直接用网孔法、节点法列方程求解要简单得多。 图316例35电路 3.3戴维南定理与诺顿定理 在电路问题的分析过程中，有时只研究某一支路的电压、电流或功率。对所研究的支路，电路的其他部分可以看成一个含源的单口网络(电路)。戴维南定理和诺顿定理提供了求含源线性单口网络等效电路及VCR的另一种方法。如果将含源线性单口网络等效成电压源形式，应用的则是戴维南定理； 如果将含源线性单口网络等效成电流源形式，应用的则是诺顿定理。 3.3.1戴维南定理 戴维南定理可以表述为： 含电源和线性电阻、受控源的单口网络(今后简称为含源线性单口网络)，不论其结构如何复杂，就其端口来说，可等效为一个电压源串联电阻支路的形式，如图317(a)所示。电压源的电压等于该网络N的开路电压uOC,如图317(b)所示。串联电阻R0等于该网络中所有独立源为零值时所得网络N0的等效电阻Rab，如图317(c)所示。 图317戴维南定理示意图 N—含源线性单口网络； N0—N中所有独立源为零值时所得的网络； M—任意的外接电路 这一电压源串联电阻支路称为戴维南等效电路，其中串联电阻称为戴维南等效电阻，在电子电路中有时也称为“输出电阻”，记为R0。 开路电压uOC的求取方法如下。 先将负载支路断开，标出uOC的参考方向，如图317(b)所示。端口电压uOC有多种计算方法，如串联并联等效、分流分压关系、电源互换、叠加定理、网孔法及节点法等。 等效电阻R0的求取方法如下。 (1) 等效变换法。若单口网络N内不含受控源，单口网络N完全由独立电源与纯电阻电路构成，则令N内所有的独立源为零值(独立电压源短路、独立电流源开路)。从端口看进去，可以用电阻串联、并联等效求得等效电阻R0； 若纯电阻电路为Δ、Y形连接结构，可经过Δ、Y形互换等效后再应用电阻串联、并联等效求得等效电阻R0。 (2) 外加电源法。令N内所有的独立源为零值(独立电压源短路、独立电流源开路)，若含有受控源，则受控源要保留，这时的二端电路用N0表示，在N0端口上加电源。若加电压源u，就求端口上电流i，如图318(a)所示。若加电流源i，就求端口间电压u，如图318(b)所示。N0的等效电阻R0=u/i。 (3) 开路、短路法。在求得单口网路N的开路电压uOC后，将端口进行短路连接，并设短路电流iSC的参考方向，应用所学的任何方法求取短路电流iSC，如图319所示，则等效电阻R0=uOC/iSC。 注意，求uOC、iSC时N内所有的独立源、受控源均保留。 图318外加电源法求等效电阻 图319开路、短路法求等效电阻 例36求图320所示电阻电路中12kΩ电阻的电流i。 图320例36电路 解根据戴维南定理，电路中除12kΩ电阻以外，其他部分(虚线框)所构成的含源单口网络可以化简为一个电压源uOC与电阻R0相串联的等效支路。为求得uOC，应使该单口网络处于断开状态，如图321(a)所示，uOC即为该电路中ab两点间的电压。 设该电路中的电流为i′，由KVL可得 (8+10)i′－20+10=0 即 i′=(20－10)V(8+10)kΩ=0.556mA 得 uOC=10i′+10=15.56V 或 uOC=－8i′+20=15.56V 为求得R0，应把图321(a)所示含源单口网络中的两个独立电压源用短路代替，得电路如图321(b)所示。显然，电路ab两端的等效电阻为 Rab=10×810+8kΩ=4.45kΩ 故得 R0=4.45kΩ 图321例36题解电路 这样就求得用来代替图320中虚线框所示单口网络的等效电路，得单回路电路如 图321(c)所示。根据该电路，可以很方便地求得电流i，由KVL得 (12+4.45)i－15.56=0 所以 i=15.56V(12+4.45)kΩ=0.946mA 本例中仅含有一个电阻，端口电流即流过12kΩ电阻的电流，此电阻称为含源单口的负载。如果12kΩ电阻改换为其他电阻，只要用新电阻值代替上式中的12kΩ,就可以很方便地求得新的电流值。 求解本题时，如用网孔分析，需列两个联立方程，再解出i。用节点分析法，要先求uab，再计算出i。不论采用哪种方法，当12kΩ电阻改换为其他电阻时，都需重新列出方程，重新求解。因此，在只需求出电路中某一支路电流时，利用此方法求解较容易，该支路电阻如有变动，仍能很方便地计算出新的电流值。 例37电路如图322所示，负载电阻RL可以改变，求RL=1Ω上的电流i； 若RL改变为6Ω，再求电流i。 图322例37电路 解(1) 求开路电压uOC。自a、b处断开待求支路(待求量所在的支路)，设uOC参考方向如图323(a)所示。由分压关系，求得 uOC=66+3×24－44+4×24V=4V (2) 求等效内阻R0。将图323(a)中电压源短路，电路变为图323(b)。应用电阻串并联等效，可求得ab端电阻，即 R0=6∥3+4∥4=4Ω (3) 由求得的uOC，R0画出等效电压源(戴维南电源)，接上待求支路，如图323(c)所示。注意画等效电压源时不要将uOC的极性画错。若a端为所设开路电压uOC参考方向的“+”极性端，则在画等效电压源时使正极向着a端。求得 i=(4+1)V(4+1)Ω=1A 由于RL在二端电路外，故当RL改变为6Ω时，二端电路的uOC、R0均不变化，所以只需将图323(c)中RL由1Ω变为6Ω，就可以非常方便地求得此时电流为 i=(4+1)V(4+6)Ω=0.5A 图323例37题解电路 例38电路如图324所示，求负载电阻RL上消耗的功率。 图324例38电路 解(1) 求uOC。将图324中的受控电流源与50Ω电阻并联的形式，转换为受控电压源与50Ω电阻串联的形式，并在a、b点断开待求支路。设uOC参考方向如图325(a)所示，由KVL可得 100i′1+200i′1+100i′1=40 求得 i′1=0.1A uOC=100i′1=100Ω×0.1A=10V (2) 求R0。用开路短路法求电阻R0。将图325(a)中ab两端子短路，并设短路电流iSC的参考方向如图325(b)所示，可得 i″1=0A 因此，受控电压源为 200i″1=0V 显然有 iSC=40V100Ω=0.4A 所以得 R0=uOCiSC=10V0.4A=25Ω (3) 画出戴维南等效电路，接上待求支路，如图325(c)所示，可以求得 iL=uOC+50R0+RL=(10+50)V(25+5)Ω=2A 负载电阻RL上消耗的功率为 pL=RLi2L=5Ω×(2A)2=20W 图325求开路电压和短路电流 3.3.2诺顿定理 诺顿定理可以表述为： 一个含独立电源、线性受控源和线性电阻的二端电路N，对两个端子来说都可等效为一个理想电流源并联内阻的模型。其理想电流源的数值为有源二端电路N的两个端子短路时其上的电流iSC，并联的内阻等于N内部所有独立源为零值时电路两端子间的等效电阻，记为R0。诺顿定理示意如图326所示。 图326诺顿定理示意图 电流源iSC并联电阻R0的模型称为二端电路N的诺顿等效源。iSC与R0的求法与戴维南定理中讲述的方法相同。 图327例39电路 应用戴维南定理分析电路的关键是求二端电路N的开路电压uOC与等效电阻R0； 应用诺顿定理分析电路的关键是求二端电路N的短路电流iSC与等效电阻R0。 例39用诺顿定理求图327所示电路中流过4Ω电阻的电流i。 解把原电路除4Ω电阻以外的部分化简为诺顿等效电路。为此先应把已化简的单口网络短路，如图328(a)所示，求短路电流iSC。根据叠加原理，可以得到 iSC=24V10Ω+12V10∥2Ω=(2.4+7.2)A=9.6A 再把化简的单口网络中的电压源用短路代替，如图328(b)所示，可得 图328例39题解电路 G0=Gab=610S或R0=10∥2Ω=1.67Ω 求得诺顿等效电路后，再把4Ω电阻接上，如图328(c)所示，可得 i=9.6×1.674+1.67A=2.78A 3.4最大功率传输定理 实际工作中，许多电子设备所用的电源，无论是直流稳压电源还是各种波形的信号发生器，其内部电路结构都是相当复杂的，但它们向外供电时都引 出两个端子接到负载，当两端子间接的负载不同时，从单口网络传递给负载的功率也不同。如图329所示，含源线性单口网络可以用戴维南或诺顿 图329求传递给负载的功率 等效电路代替，设负载电阻为RL，则当R2很大时，流过RL的电流很小，因而RL得到的功率i2RL很小。如果RL很小，功率同样也是很小的。在什么条件下，负载能得到的功率最大呢?负载能得到的最大功率又是多少呢？ 由图329可知 i=uOCR0+RL 则电源传输给负载RL的功率为 pL=RLi2=RLuOCR0+RL2 要使PL为最大，令dPL/dRL=0，由此可解得PL为最大时的RL值。 dpLdRL=u2OC(RL+R0)2－2RL(RL+R0)(RL+R0)4=0 =u2OC(R0－RL)(RL+R0)3=0 由此可得 RL=R0 这就是PL为最大时的条件。经判别知道这一极点为极大值点。因此，由含源线性单口网络传递给可变负载RL的功率为最大的条件是： 负载RL应与戴维南(或诺顿)等效电阻相等,此即最大功率传输定理。满足RL=R0时，称为最大功率匹配，此时负载得到的最大功率为 图330有源二端电路等 效为诺顿电源 pLmax=u2OC4R0 若有源二端电路等效为诺顿电源，则如图330所示，同样可以得到RL=R0时二端电路传输给负载的功率最大，且此时的最大功率为 pLmax=14R0i2SC 注意不要把最大功率传输定理理解为： 要使负载功率最大，应使戴维南(或诺顿)等效电阻R0=RL。如果R0可变而RL固定，则应使R0尽量减小，才能使RL获得的功率增大。当R0=0时，RL获得最大功率。 另一常易产生的错误概念是： 由线性单口网络获得最大功率时，其功率传递效率应为50%，因为R0与RL消耗的功率相等。如果负载功率来自一个具有内阻为R0的电压源，那么，负载得到最大功率时的效率确实为50%。但是，单口网络及其等效电路，就其内部功率而言是不等效的，由等效电阻R0计算的功率一般并不等于网络内部消耗的功率，因此，实际上当负载得到最大功率时，其功率传递效率未必是50%。 例310电路如图331(a)所示。试求： (1)RL为何值时获得最大功率？(2)RL获得的最大功率是多少？ 图331例310电路 解(1) 分解电路，求N1的戴维南等效电路参数为 uOC=22+2×10V=5V，R0=2×22+2Ω=1Ω 因此，当RL=R0=1Ω时，RL获得最大功率。 (2) RL获得的最大功率为 pmax=u2OC4R0=(5V)24×1Ω=6.25W 例311电路如图332(a)所示，负载电阻RL可任意改变，RL为多少时其上获最大功率，并求出该最大功率PLmax。 图332例311电路 (1) 求iSC。自a、b断开RL，将其短路并设iSC如图332(b)所示。由图332(b)所示显然可知i′1=0，则30i′1=0即受控电压源等于零，视为短路，电路如图332(c)所示。应用叠加定理，得 iSC=3010－1A=2A (2) 求R0。令图332(b)中独立源为零、受控源保留，a、b端子打开并加电压源u，设i″1、i″2及i如图332(d)所示。由图332(d)，应用欧姆定律、KVL、KCL，可求得 i″1=160u i″2=u－30i″110=u－30×160u10=120u i=i″1+i″2=160u+120u=460u 所以可得 R0=ui=15Ω (3) 由最大功率传输定理可知，当RL=R0=15Ω时，可获得最大功率。此时，最大功率为 PLmax=14R0i2SC=14×15Ω×(2A)2=15W 3.5*互易定理 互易定理可以表述为： 一个仅含线性电阻的二端口网络,其中，一个端口加激励源，另一个端口作响应端口(所求响应在该端口上)。在只有一个激励源的情况下，当激励端口与响应端口互换位置时，互换前后响应与激励的比值不变，这就是互易定理。 下面分3种情况来表述该定理的内容。 (1) 在图333(a)中，电压源激励uS1加在网络NR的1—1′端，以网络NR的2—2′端的短路电流i2作响应。在图333(b)(互易后电路)中，电压源激励uS2加在网络NR的2—2′端，以网络NR的1—1′的短路电流i1作响应，则有 i2uS1=i1uS2 若特殊情况，令uS1=uS2，则i1=i2。 图333互易定理形式Ⅰ 这说明，在具有互易性网络中，若将激励端口与响应端口互换位置，同一激励所产生的响应相同。 (2) 在图334(a)(互易前网络)中，电流源激励iS1加在NR的1—1′端，以NR的2—2′端开路电压u2作响应； 在图334(b)(互易后网络)中，电流激励源iS2加在NR的2—2′端，以NR的1—1′端开路电压u1作响应，则有 u2iS1=u1iS2 令iS1=iS2，则u1=u2。 这里再次证明了，在具有互易性的网络中，若将激励端口与响应端口互换位置，同一激励所产生的响应相同。 图334互易定理形式Ⅱ (3) 在互易前网络图335(a)中，激励源iS1加在NR的1—1′端，以NR的2—2′端短路电流i2作响应； 在互易后网络图335(b)中，激励源uS2加在NR的2—2′端，以NR的1—1′端开路电压u1作响应，则有 i2iS1=u1uS2 对于互易网络，互易前网络响应i2与激励iS1的比值等于互易后网络响应u1与激励uS2的比值。 令uS2=iS1(同一单位制下，在数值上相等)，则有u1=i2(在数值上相等)。 图335互易定理形Ⅲ 例312电路如图336(a)所示，试求电流I。 解原电路为一不平衡桥式电路，但为仅有一个独立源单独作用的线性电阻电路，可使用互易定理进行分析。互易后的电路如图336(b)所示。此时，应注意互易前后对应支路上的电压和电流的参考方向必须同时关联或非关联。 图336例312电路 在图336(b)中可求得 I1=8V2+2×12+1+4×24+2Ω=2A 根据分流公式： I2=1414+12·I1=13I1=23A I3=1111+12·I1=23I1=43A 由KCL得 I=I3－I2=23A 故原电路中所求电流I=23A。 3.6本章小结 (1) 叠加定理是电路理论中的一个重要定理，是线性电路叠加特性的概括表征，它为线性电路的定性分析和一些具体计算方法提供了理论基础。叠加定理“化整为零”的基本思想是求解电路的分析方法。由多个独立源共同作用的复杂线性电路，可以分别画出每一个独立源单独作用，其他独立源为零值(电压源短路、电流源开路)的电路图。在各图中分别计算结果，最后各结果代数和相加求出最终结果。受控源不是独立源，不能单独作用于电路，在运用叠加原理时，受控源应与电阻一样保留在电路中。齐次定理是表征电路齐次性的一个重要定理，常辅助叠加定理、戴维南定理、诺顿定理分析求解电路问题。 (2) 置换定理是集总电路中一个重要定理，实际上它是一种常用的电路等效方法，辅助其他电路分析法解决电路问题。 (3) 任何一个含源的单口网络都可以用戴维南定理等效为一个电压源串联一个电阻的形式，或者用诺顿定理等效为一个电流源并联一个电阻的形式。运用戴维南定理(或诺顿定理)解题步骤： 先将所求响应的支路从电路中分离出来，再将剩余电路即一个含源单口网络，用戴维南定理(或诺顿定理)进行等效变化，最后画出等效电路图，接上待求响应的支路，在这个最简等效电路中进行求解。此方法的关键在于如何求开路电压或者短路电流，以及求等效电阻。 (4) 最大功率的求解使用戴维南定理(或诺顿定理)，并结合使用最大传输定理最为简便。 (5) 本章末介绍了互易定理。 习题3 31求解图337所示电路中的电流i。试利用线性电路的比例性,求当电流源电流改为6.12A,方向相反时的电流i。 32电路如图338所示,已知g=2，试求转移电阻uO/iS。 图337习题31图 图338习题32图 33电路如图339所示,(1)若u0=10V，求i1及uS； (2)若uS=10V，求u0。 34电路如图340所示,欲使uab=0,uS应为多少? 图339习题33图 图340习题34图 35电路如图341所示,用叠加原理求i，已知μ=5。 36电路如图342所示，其中r=2Ω，用叠加原理求ix。 图341习题35图 图342习题36图 37在图343所示电路中，N的内部结构不知,但只含线性电阻。在激励uS和iS作用下,其实验数据为: 当uS=1V,iS=1A时,u=0； 当uS=10V,iS=0时，u=1V。若iS=10A,uS=0时，则u为多少? 38试用叠加原理求图344所示电路中的电流i。 图343习题37图 图344习题38图 39用戴维南定理求图345所示电路中流过20kΩ电阻的电流及a点电压。 310求图346所示电路的最简电路。 图345习题39图 图346习题310图 311图347(a)所示电路的输入电压为20V，u2=12.5V。若将网络N短路，如图347(b)所示，短路电流i为10mA。试求网络N在ab端戴维南等效电路。 图347习题311图 312试求图348所示单口网络的诺顿等效电路。 313求图349所示电路的诺顿等效电路。已知： R1=15Ω、R2=5Ω、R3=10Ω、uS=10V及i=1A。 图348习题312图 图349习题313图 314求图350所示电路的戴维南等效电路。 315用诺顿定理求图351所示电路中流过4Ω电阻的电流i。 图350习题314图 图351习题315图 316电路如图352所示，已知当uS=4V，iS=0A时，u=3V； 当uS=0，iS=2A时，u=2V，求uS=1V，电流源用电阻R=2Ω代替时，电压u为多少？ 317在图353所示电路中，如使i增大一倍，是否使8Ω改为4Ω即可？否则改为多大？ 图352习题316图 图353习题317图