第3章三次数学危机





古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮.
——布尔巴基(N.Bourbaki，20世纪法国数学学派)

所谓数学危机，是指涉及数学理论的基础，在一定数学理论体系内部无法解决的重大矛盾.在数学的发展历史上，经历过三次大的危机，而这些危机都是通过悖论的形式反映出来的.三次数学危机引发了数学上空前的思想解放，产生了数学基础研究的三大学派，进而推动了数学科学的进一步发展. 
3.1悖论举例

悖论的英文是Paradox，字面意思是荒谬的理论.通俗地讲，悖论就是这样的推理过程： 它看上去是合理的，却得出了矛盾的结果.悖论不同于通常的诡辩或谬论，诡辩或谬论可以通过已有的理论说明错误的原因，而悖论是在现有的理论体系内无法解释的认识上的矛盾，它包括逻辑矛盾、思想方法上的矛盾及语义矛盾.下面是几个著名悖论的例子.
悖论1先有鸡还是先有蛋
鸡与鸡蛋的先后问题是流传甚广的悖论.鸡生蛋，蛋生鸡，这是人所共知的常识，但涉及最早的鸡与鸡蛋，就要对鸡蛋给予明确定义.
一种定义是： 鸡生的蛋叫鸡蛋.按照这个定义，一定是先有鸡.而最早的鸡当然也应该是从蛋里孵出来的，但是按照定义，它不叫鸡蛋，这样，最早的鸡不是鸡蛋孵出的.
另一种定义是： 能孵出鸡的蛋叫鸡蛋，不管它是谁生的.这样，一定是先有蛋了，最早的鸡蛋孵出了最早的鸡，而最早的鸡蛋不是鸡生的.
无论怎样定义，都会产生逻辑上的矛盾，但又都不会影响生物进化发展的事实，至于如何选择定义，还有待生物学家的讨论.
这一悖论告诉我们： 某些悖论的消除依赖于清晰的定义，通过分析悖论，人们需要明确概念，需要严格的逻辑推理.
悖论2秃头悖论
一个人有10万根头发，自然不能算是秃头，他掉1根头发，仍不是秃头.如此，让他一根一根地减少头发，直到掉光，似乎得出了一条结论： 没有一根头发的光头也不是秃头了！这自然是十分荒谬的.
产生悖论的原因是： 人们在严格的逻辑推理中使用了模糊不清的概念.什么是秃头，这是一个模糊的概念.一根头发没有，当然是秃头，只有一根还是秃头，这样一根一根增加，增加到哪一根就不是秃头了呢？并没有明确的标准.
如果需要制定一个明确的标准，比如1000根头发是秃头，那么1001根头发就不是秃头了，这又与人们的实际感受不一致.可以接受的比较现实的方法是引入模糊的概念，用分值来评价秃的程度.比如，一根头发也没有是1(100%秃)，只有100根头发是0.7(70%秃)，只有1000根头发是0.5(50%秃)，等等.随着头发的增加，秃的分值逐渐减少，秃头悖论就可以消除了.
悖论3说谎者悖论
一个人说： “我现在说的这句话是谎话.”这句话究竟是不是谎话呢？ 
如果说它是谎话，就应当否定它，即这句话不是谎话，是真话； 如果说它是真话，也就肯定了这句话确实是谎话.
这句话既不是真的，也不是假的.人们称之为“永恒的说谎者悖论”.这是一个十分古老的悖论.
“永恒的说谎者悖论”属于“语义学悖论”，它的症结在于将作为论断的话与被论断的话混为一谈，而数学家已经找到了消除这种悖论的有效方法——语言分级.
悖论4伽利略悖论

1638年，意大利物理学家、数学家伽利略在他的科学著作《两种新科学》中提到了一个问题： 对于每一个正整数n，都有一个平方数n2与之对应，且仅有一个平方数与之对应，那么正整数集合{n}和平方数集合{n2}哪个包含元素的数目大呢？
一方面，正整数集合里包含了所有的平方数，因为整体比部分大，所以前者显然比后者大； 另一方面，每个正整数平方之后都唯一地对应了一个平方数，两个集合的大小应该相等，导致矛盾.
19世纪末，德国数学家康托尔建立了集合论，并系统地研究了无穷集合的大小，即集合的势.他指出： 如果两个集合间的元素能建立起一一对应的关系，就称它们等势.在这样的定义下，正整数集合{n}和平方数集合{n2}的元素数目一样多，因为这两个集合的元素可以建立如下的一一对应： 






这样一来，整体和部分就相等了.
悖论5希尔伯特旅馆悖论
希尔伯特旅馆是德国数学家希尔伯特设计的一个著名的思想实验，试图说明理解无限的概念是困难的.
希尔伯特旅馆有无限个房间，并且每个房间都住了客人.一天，来了一个新客人，旅馆老板说： “虽然我们已经客满，但你还是能住进来的.我让1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间，依次类推，n号房间的客人搬到n+1号房间，你就可以住进1号房间了.”又一天，来了无限个客人，老板又说： “不用担心，大家仍然都能住进来.我让1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到4号房间，3号房间的客人搬到6号房间，依次类推，n号房间的客人搬到2n号房间，然后你们排好队，依次住进奇数号的房间吧.” 
对于现实生活中有限个旅馆房间的情形，已经客满的旅馆自然会被认为将无法再接纳新的客人，对于无限多个房间的希尔伯特旅馆则并非如此.前面的思想可以用如下的一一对应表示： 








利用康托尔无穷集合的势的概念就可以解释了.因为它与人们对有限世界的认知常识相悖，所以希尔伯特旅馆被称作一个“悖论”，但它在逻辑上却是完全正确的.
悖论6选举悖论
美国乔治·华盛顿时代的财政部长亚历山大·汉密尔顿(A.Hamilton)于1790年提出了一种议员选举名额分配的方法(称为汉密尔顿方法)，并于1792年获得美国国会通过.以美国国会议员按州分配为例，具体操作如下： 取各州选举人所占比例的整数部分，先让每个州拥有这整数个议员； 再考虑所占比例的小数部分，按从大到小的顺序将余下的名额分配给相应的州，直到名额分配完为止.
以学生会选举为例.假设某高校有甲、乙、丙三个系，共200名学生(甲： 103，乙： 63，丙： 34)，学生会设有20个委员席位，按汉密尔顿方法，产生20位委员(表31). 


表31



系名
甲
乙
丙
总数

学生数
103
63
34
200
学生人数比例
51.5%
31.5%
17%
100%
按比例分配席位
10.3
6.3
3.4
20
最终委员数
10
6
4
20


考虑到20位委员在表决时可能会出现平局的结果，所以学生会决定设21个委员席位，仍按照汉密尔顿方法分配名额，产生21位委员(表32).


表32



系名
甲
乙
丙
总数

学生数
103
63
34
200
学生人数比例
51.5%
31.5%
17%
100%
按比例分配席位
10.815
6.615
3.57
21
最终委员数
11
7
3
21

计算结果表明，总名额增加一个，丙系的名额反而减少了一个，这当然对丙系不公平，因而这是汉密尔顿方法产生的一个选举悖论.
从1880年起，美国国会就针对汉密尔顿方法的公正合理性展开了争论.新方法不久便被提出来，但是新方法又引出新的问题，于是更新的方法又出现了.1952年美国数学家、经济学家阿罗证明了一个令人吃惊的结果——阿罗不可能定理： 一个十全十美、完全公平合理的选举系统原则上是不存在的.阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里程碑，在经济学的研究与实践中意义非凡，阿罗因此获得1972年诺贝尔经济学奖.
数学悖论是发生在数学研究中的悖论，简单说，是指一种命题，若承认它是真的，那么它又是假的； 若承认它是假的，那么它又是真的，即无论肯定它还是否定它都将导致矛盾的结果.悖论出现在数学中是一件严重的事情，尤其当一个数学悖论出现在基础理论中，涉及数学理论的根基，造成人们对数学可靠性的怀疑时，就会导致“数学危机”.
悖论既然出现了，人们自然就要想办法找到问题的症结将其消除.我国数学教育家徐利治(1920—)指出： “产生悖论的根本原因，无非是人的主观认识与客观实际以及认识客观世界的方法与客观规律的矛盾，这种直接和间接的矛盾在一点上的集中表现就是悖论.”由于人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性，在人类认识的各个历史阶段所形成的各个理论体系中，本来就具有产生悖论的可能性.人类认识世界的深化过程没有终结，悖论的产生和消除也没有终结，出现悖论—解决悖论—产生新悖论，这是一个无穷反复的过程.因此，在绝对意义下去寻求产生悖论的终极原因和创造解决悖论的终极方法都是不符合实际的.
对于悖论问题的研究，促进了数学基础理论、逻辑学、语言学和数理哲学的发展.语义学、类型论、多值逻辑及近代公理集合论无一不受到悖论的深刻影响，研究数学基础的三大学派的形成和发展也与悖论问题的研究密不可分.

3.2第一次数学危机

3.2.1无理数与毕达哥拉斯悖论

公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯及其领导的学派对数学做出了非常大的贡献.
他们的贡献不仅包括具体的数学研究，还在于他们那些产生了深远影响的数学思想.
基于对大量自然现象的观察、总结，以及在几何、算术、天文和音乐方面的研究结果，毕达哥拉斯学派确立了在神秘的宇宙中数处于中心地位的观点，提出了“万物皆数”的基本信条.在他们看来，一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比.例如，他们相信音乐和天文学都可以归结为数.毕达哥拉斯通过在琴弦上重复试验发现，拨动琴弦所产生的音调的和谐由整数的比决定.他们也相信行星的运动可以发出“天籁之声”，其中同样蕴含着数与数的比.毕达哥拉斯学派中的一位学者的话清晰地表达了这种观点： “人们所知的一切事物都包含数； 因此，没有数就既不能表达，也不能理解任何事物.” 

在“万物皆数”的观念下，毕达哥拉斯学派对几何量进行了比较.例如，比较两条线段a与b的长度，总可以找到一条小线段c，使a与b均可以分成c的正整数倍，则小线段c就可以作为a与b的共同度量单位，并称线段a与b是可公度的.如此，毕达哥拉斯学派认为： 任意两个量都是可公度的.古希腊人毫不怀疑地接受了这一结论，理所当然地认为作为共同度量的第三条线段是存在的.
然而事情出现了转折.毕达哥拉斯的重要数学成果是提出并证明了勾股定理(毕达哥拉斯定理)，正是这一重要发现，将他推向了两难的尴尬境地.他的学生希帕索斯(Hippasus，约前470年前后)在研究勾股定理时，意外地发现正方形的边与对角线是不可公度的！这个命题可以证明如下： 
采用反证法.不妨设正方形的边长为1，对角线的长为c.根据毕达哥拉斯定理，有c2=2.若c能表成整数比，例如，存在两个正整数p，q，使得c=pq设pq为既约分数，即p，q互素，代入c2=2，得p2=2q2，从而p一定是偶数，进一步可推出q也一定是偶数(因为奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数)，这与p，q互素矛盾.因此c不能表示成两个整数之比.
希帕索斯的发现对于毕达哥拉斯及其学派来说是致命的.据说希帕索斯因为泄露了这一发现而被抛入大海淹死，但他提出的不可公度问题还是逐渐流传开来.一方面，毕达哥拉斯学派认为任意两个量都是可公度的； 另一方面，该学派发现正方形的边与对角线是不可公度的，历史上称这一矛盾为“毕达哥拉斯悖论”.

毕达哥拉斯学派认为两条线段a与b是可公度的，用现在的语言表述就是指任意两条线段长的比是整数或分数，即有理数.希帕索斯不可公度问题是指，正方形的对角线与边长之比不是有理数，而是无理数.当时的古希腊人使用“可比数”与“不可比数”的术语，在转译的过程中，成了现在的“有理数”(rational number)与“无理数”(irrational number).
希帕索斯发现的2(不可公度量)是数学史上的第一个无理数，现在看来，这应该是数学的一大重要发现.然而，在当时的古希腊却被视为悖论并引发了严重的问题，原因如下： 
(1) 无理数的发现动摇了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的基本哲学信条.无理数不能用整数之比表示，这就宣告他们“一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比”的数的和谐论是错误的，从而建立在其上的对宇宙本质的认识也是虚无的.
(2) 无理数的发现摧毁了建立在“任意两条线段都是可公度的”这一观点背后的观念.
这种质朴的观念认为： 线是由原子次第连接而成的，原子可能非常小，但质地一样，大小一样，它们可以作为度量的最后单位.这一认识构成了毕达哥拉斯学派的几何基础.
(3) 无理数的发现使辗转相除法受到质疑.早期的希腊数学家认为任何量都可公度还基于一种比较数量的方法——辗转相除法.假设a与b是两条线段的长，根据“数学原子论”，他们相信按照辗转相除法做下去，总会得到一个正整数，使得a与b都是这一正整数的若干整数倍.
(4) 无理数的发现与人们通过经验与直觉获得的一些常识相悖.根据经验以及各式各样的实验，任何量在任何的精度范围内都可以表示成有理数.这不仅是古希腊普遍接受的信仰，在测量技术高度发展的今天，这个断言也是正确的.
总之，毕达哥拉斯悖论意味着，就度量的实际目的来说完全够用的有理数，对数学来说却是不够的.

不可公度量的发现，不但强烈冲击和摧毁了许多传统的观点与“万物皆数”的信条，而且表现在它对具体数学成果的否定上.事实上，毕达哥拉斯学派的许多几何定理的证明都是建立在任何量都可公度的基础

之上的.举一个例子，他们曾经证明了这样一个定理： 等高的三角形ABC与ADE，它们的底BC和DE在同一直线MN上，则其面积之比等于对应底之比.证明方法如下： 因为一切量都可公度，可设BC=md，DE=nd，其中d为公度单位.把BC等分成m份，并与顶点A连接，于是得到m个小三角形； 把DE等分成n份，
并与顶点A连接，得到n个小三角形.这些小三角形等底等高，故面积相等.又三角形ABC的面积等于m个

这种小三角形的面积之和，三角形ADE的面积等于n个这种小三角形的面积之和.因此，可以推出，三角形ABC的面积∶三角形ADE的面积=m∶n=BC∶DE，如图31所示.


图31


面对不可公度量，古希腊人陷于困惑与混乱之中，且毫无办法.这在当时引发了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上的一场大风波，史称“第一次数学危机”.
3.2.2第一次数学危机的解决
不可公度量发现100多年后，大约在公元前370年，古希腊著名的数学家、天文学家、毕达哥拉斯学派的欧多克索斯(Eudoxus of Cnidos，前408—前355)通过建立既适用于可公度线段，也适用于不可公度线段的完整的比例论，部分地解决了第一次数学危机. 
欧多克索斯的比例论的关键是他给出了比例相等的定义，用现代的代数符号表示，即： a∶b=c∶d是指，如果对于任给的正整数m，n，只要ma>nb，总有mc>nd； 只要ma=nb，总有mc=nd； 只要ma<nb，总有mc<nd.或更简洁地叙述为： a∶b=c∶d是指，对任一分数nm，商ab和cd同时大于、等于或小于这个分数.
这一定义被誉为数学史上的一个里程碑.其贡献在于： 在只知道有理数而不知道无理数的情况下，它指出可以用全部大于某数和全部小于某数的有理数来定义该数，从而使可公度量和不可公度量都能参与运算.欧几里得正是从这一定义出发，推出“a∶b=c∶d，则a∶c=b∶d”等25个有关比例的命题.在论证了比例的这些性质后，希腊人就能够对几何量之比进行运算了——与我们对实数进行运算的方式几乎完全相同，结果也相同.利用比例论，欧几里得对毕达哥拉斯学派的研究成果进行再整理，重新证明了由于不可公度量的发现而失效的命题.现以前一小节提到的定理为例，看看在比例论下，是如何逻辑严密地解决旧问题的.
在CB延长线上从点B依次截取m－1个与CB相等的线段，分别将分点B2，B3，…，Bm与顶点A连接.于是，BmC的长度为BC长的m倍，同时三角形ABmC的面积也是三角形ABC面积的m倍.
同样在DE的延长线上依次截取n－1个与DE相等的线段，分别将分点E2，E3，…，En与顶点A连接.于是，DEn的长度为DE长的n倍，同时三角形ADEn的面积也是三角形ADE面积的n倍.
三角形ABmC与三角形ADEn等高，因此当BmC大于、等于或小于DEn时，三角形ABmC的面积也相应大于、等于或小于三角形ADEn的面积.即BC长的m倍大于、等于或小于DE长的n倍，从而，三角形ABC面积的m倍大于、等于或小于三角形ADE面积的n倍.根据欧多克索斯的比例定义，就证明了定理的结论，如图32所示.


图32


尽管欧多克索斯的定义和证明对一般人而言不易接受，但数学史家认为，比例论为处理无理数提供了逻辑依据，用几何方法消除了毕达哥拉斯悖论引发的数学危机，从而拯救了整个希腊数学.但是，需要指出的是，欧多克索斯的理论将量和数割裂开来，所谈论的量为几何量所代表的连续对象，如线段、面积、体积、角、时间等，而数只能代表离散对象，即整数或整数之比.或者说，欧多克索斯的解决方式，是借助于几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的.在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是被允许的、合法的，在代数中就是不合逻辑的、非法的了.例如，因为有了严格的欧多克索斯的比例论，讨论正方形的边长和对角线之比是可行的，但是如果设正方形的边长为1，根据毕达哥拉斯定理，求得对角线的长度为2，从而引入2这样的数，在古希腊就是非法的.因此，第一次数学危机并不能认为是真正解决了.
欧多克索斯回避了无理数的存在性，用几何的方法去处理不可公度量，这样做的结果是，几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出.欧几里得的《几何原本》中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何几乎变成了全部严密数学的基础.
直到18世纪，仍有许多数学家一方面随意使用无理数进行各种运算，另一方面却怀疑它们的意义和存在性.19世纪下半叶，实数理论建立后，人们才认识到这样的事实： 全体整数之比构成有理数系，有理数系需要扩充，需要添加无理数.第一次数学危机的实质是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，可以看成是无穷多个有理数组成的数列的极限.无理数在数学中的合法地位被确立后，第一次数学危机才得以真正地解决.
第一次数学危机还反映出： 直觉和经验未必可靠，推理证明才是可靠的.在此之前的数学基本都是提供算法，例如预测日食、计算金字塔高度等.第一次数学危机出现后，古希腊人开始重视几何的演绎推理，建立了几何的公理化体系，这是数学思想的一次巨大革命.

3.3第二次数学危机

3.3.1无穷小与贝克莱悖论

17世纪上半叶笛卡儿创建解析几何之后，变量便进入了数学.随之，牛顿和莱布尼茨集众多数学家之大成，分别从物理和几何的角度出发，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑.

微积分诞生之初，就在解决实际问题中显示出巨大的威力.例如，在天文学中，利用微积分能够精确地计算行星、彗星的运行轨道和位置.英国天文学家哈雷(E.Halley，1656—1742)就通过这种计算断定1531年、1607年、1682年出现过的彗星是同一颗彗星，并推测它将于1758年底或1759年初再次出现，这个预见后来果然被证实(虽然哈雷已在此前逝世，但为了纪念他，这颗彗星被称为“哈雷彗星”).海王星——太阳系最远的行星之一，也是在数学计算的基础上发现的.1846年，法国天文学家勒威耶(U. Le Verrier，1811—1877)分析了天王星运动的不规律性，通过计算，推断出这是由其他行星的引力而产生的，并指出它应处的位置，后来德国天文学家伽勒(J.G.Galle，1812—1910)在柏林天文台果然发现了该行星.
虽然微积分的应用愈来愈丰富，但当时的微分和积分并没有确切的数学定义.特别是一些定理的证明和公式的推导，在逻辑上前后矛盾，推出的结论却往往是正确无误的.这样，微积分就具有了一些“混乱”和一种“神秘性”，这些“混乱”和“神秘性”主要集中在“无穷小”上.这从牛顿的流数法(即求导数的方法)中可以窥见一斑.微积分的一个来源，是求作变速直线运动的物体在某一时刻的瞬时速度.我们来看一个例子.

设自由落体在时间t下落的距离为s(t)，有公式s(t)=12gt2，其中g是重力加速度.现在要求物体在t0时刻的瞬时速度，先求平均速度ΔsΔt，因为


Δs=s(t)－s(t0)=12gt2－12gt20

=12g［(t0+Δt)2－t20］=12g［2t0Δt+(Δt)2］，



所以


ΔsΔt=gt0+12gΔt.(*)




当Δt变为无穷小(记为ο，称为瞬)时，右端的12gΔt也变为无穷小，因而上式右端可以认为是gt0，这就是物体在t0时刻的瞬时速度，它是两个无穷小“ο”的最终的比.当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比——例如式(*)中的gt0，它不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”.他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思.德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义.
牛顿的流数法非常实用，解决了大量过去无法解决的科技问题，成为当时数学的重要内容，被广泛运用.但是流数法在逻辑上有问题，牛顿引入的无穷小“Δt”若是0，式(*)左端当Δt变成无穷小后分母为0，就没有意义了.Δt若不是0，式(*)右端的12gΔt就不能随意去掉.在推出式(*)时，前提是假定Δt≠0才能做除法，那么，怎么又可以认为Δt=0而求得瞬时速度呢？因此，牛顿的这套运算方法，就如同从5×0=3×0出发，两端同除以0，得出5=3一样的荒谬.这个推导中关于“无穷小”到底是什么充满了逻辑上的混乱.
牛顿本人对无穷小曾做过三种解释： 1669年说它是一种常量； 1671年说它是一个趋于零的变量； 1676年说它是两个正在消逝的量的最终比.莱布尼茨也曾试图用和无穷小成比例的有限量的差分来代替无穷小，但他没有找到从有限量过渡到无穷小的桥梁.
著名的主观唯心主义哲学家、爱尔兰主教贝克莱(G.Berkeley，1685—1753)从维护宗教神学的利益出发，竭力反对蕴含运动变化这一新兴思想的微积分.1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”为笔名出版了一本书，书名为《分析学家； 或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘，信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》，标题中“不信神的数学家”指的是资助牛顿出版《自然哲学的数学原理》的哈雷.该书猛烈攻击牛顿的理论，他指出： 牛顿在应用流数法计算函数的导数时引入的无穷小“ο”是一个非零的增量，但又承认被“ο”所乘的那些项可以看作是零.先认为“ο”不是数0，求出函数的改变量后又认为“ο”是数0，违背了逻辑学中的排中律.无穷小既是0，又不是0，这个形式逻辑的矛盾就是“贝克莱悖论”.贝克莱质问： “无穷小”作为一个量，究竟是不是0？还讽刺挖苦说无穷小是“量的鬼魂”.贝克莱悖论引发了基于无穷小的理解与处理的微积分基础的危机，史称第二次数学危机.
3.3.2第二次数学危机的解决
18世纪，数学家在没有严格的概念、严密的逻辑支持的前提下，更多地依赖于直观而把微积分广泛应用于天文学、力学、光学、热学等各领域.新方法、新结论、新分支纷纷涌现，取得了丰硕的成果，而微分方程、无穷级数等理论的出现更进一步丰富和拓展了数学自身的研究范围.
19世纪，微积分一方面取得了巨大的成就，另一方面其中大量的数学理论没有正确、牢固的逻辑基础，例如无穷小的概念不清楚，从而导数、微分、积分等概念就不清楚.只强调形式上的计算不能保证数学结论是正确无误的.例如，在研究无穷级数的时候，数学家们做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论.在计算无穷级数1－1+1－1+…+(－1)n+1+…的和时，可以产生不同的结果： 


1－1+1－1+…+(－1)n+1+…=(1－1)+(1－1)+…+(1－1)+…=0，

1－1+1－1+…+(－1)n+1+…=1－(1－1)－(1－1)－…－(1－1)－…=1，



将上述两种结果相加后除以2，得


1－1+1－1+…+(－1)n+1+…=12(0+1)=12.



事实上，因为级数1－1+1－1+…+(－1)n+1+…不收敛，所以没有和，上述的计算结果都是错误的.但是由于没有严格的极限理论作为基础，数学家们在有限与无限之间任意通行而不考虑无穷级数收敛的问题，类似的悖论层出不穷.
19世纪初，傅里叶级数理论(见第9章)的出现更是将微积分的逻辑基础薄弱的问题暴露无遗，数学家们认识到必须为微积分奠定严格的基础了.
探寻微积分基础的努力经历了将近200年.在分析严格化方面真正有影响的，做出决定性工作的是法国数学家柯西.19世纪20年代，柯西重新定义了无穷小——当同一变量逐次所取的绝对值无限减小，以至比任何给定的数还要小，这个变量就是无穷小，这类变量以零为其极限.柯西的无穷小不再是一个无限小的固定数，而是作为“极限为0的变量”，被归入到函数的范畴，从而摒弃了牛顿、莱布尼茨的模糊不清的“无穷小”的概念，较好地反驳了贝克莱悖论.但是柯西的极限定义不是严格的逻辑叙述，而是过多依靠了运动的观点和几何的直觉.德国数学家魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1815—1897)进一步改进了柯西的工作，于