第3章平面静定桁架的内力计算
3.1平面静定桁架的基本理论
桁架是由多根杆件在两端用适当方式连接成的一种几何不变结构。杆件彼此连接的地方称为节点，杆件轴线位于同一平面的桁架叫平面桁架，满足有关假设的叫理想桁架，第3章讨论的均为理想桁架。由于桁架结构具有重量轻、节省材料等优点，在许多工程领域中得到了广泛应用。
桁架分为简单桁架和复杂桁架。简单桁架是以三角形杆架为基础，通过增加两根杆和一个节点的方式组成，不按上述方式组成的桁架叫作复杂桁架。图3.1绘出了三种平面桁架，其中图(a)为简单桁架，图(b)、(c)为复杂桁架。


图3.1平面桁架



平面桁架的内力计算可采用节点法或截面法。节点法选取节点为研究对象，根据汇交力系的平衡方程求出未知的杆内力，一般要求每个节点上的未知杆内力不超过两个。截面法选取部分桁架为研究对象(节点数大于3)，根据平面一般力系的平衡方程求出未知的杆内力，但是每个研究对象上的未知杆内力不超过三个。当一个研究对象上未知力个数等于三个时，这三个未知力的作用线不得交于一点。

采用节点法或截面法求桁架内力，一般要先求出支座反力，再求出各根杆的内力。对于平面静定桁架，约束反力个数多为三个。假设桁架节点个数为n个，杆数为m根，节点数与杆数的关系由下式表示： 


2n=m+3
(31)


式(31)反映了平面桁架可列方程个数与未知数之间的关系，满足该式的是静定桁架，不满足的是静不定桁架。在刚体力学中，只能解满足式(31)的静定桁架。图3.1所示的三个桁架满足式(31)，是静定桁架。对于杆数和节点数较少的简单桁架，可综合使用节点法和截面法求解，并利用坐标轴和矩心的合理选取简化计算过程。节点法一般用于要求出全部杆内力的桁架，截面法适于求少数杆件内力的桁架。

对于杆数和节点数较多的大型桁架，由于计算量较大，无论采用截面法或节点法，计算内力都较为困难。对于一些常规结构，杆件内力可通过查表求得。



对于复杂桁架，一般采用截面法求杆件内力，通过截取适当的研究对象可求出未知的杆件内力。由于桁架结构各不相同，截取方法因题而异，无一定规律可循，具有一定的技巧性。对于图3.1(b)，若求1、2、3杆内力，可选取DCF三角架为研究对象，由平面一般力系的三个平衡方程求出待求的三杆内力。本题若取ABE三角架为研究对象，应先求出AB处的支座反力。对于图3.1(c)，采用截面法求解，图中只能取DEF为研究对象，因为几何关系较为复杂，力矩方程较难列出，本题已不宜用截面法求解。
例3.1
用节点法和截面法求图3.1(a)1、2、3杆的内力。

设P1=2.2kN，P2=4kN，P3=0.4kN，l=2m，h=2m。
解(1) 求支座反力。取桁架整体
为研究对象，受力分析及坐标选取如图3.2所示。


图3.2

由平衡方程


∑x=0，XA=0

∑y=0，YA+NB-2P1-3P2-3P3=0

∑mA=0，4NB-4P1-6P2-6P3=0


得XA=0，YA=NB=8.8kN。

(2) 节点法。依次取节点A、E、D为研究对象，受力图见图3.3。


图3.3


由平衡方程∑x=0，∑y=0，求得
S1=-9.84kN，S2=-9.84kN，S3=19.2kN(过程略)。
(3) 截面法。取AED为研究对象，
受力图见图3.4。


图3.4


由∑MD=0，∑MF=0，∑y=0，求得1、2、3杆内力，结果同节点法。
3.2循环节点法

在工程实践中常会遇到杆数和节点数较多的桁架结构，即使是简单桁架，手算也很困难，虽然有一些标准桁架内力计算图表，实际计算仍有一定难度，且容易出错。由于节点法和截面法在解法上各不相同，格式不统一，较难编制统一的计算程序。此外，对于复杂桁架，按节点法求杆内力，节点未知力不得多于两个的条件较难满足； 按截面法求内力，选择研究对象的技巧性也很难通过编程实施。为了将求桁架内力的过程计算机化，需要一种适于电算的算法，这就是循环节点法。

循环节点法的基本思想就是将桁架的全部节点看作一个节点系。节点系是一种特殊的物系。在节点系中，构成物系的物体不是杆件而是不计尺寸的节点。依照用式(31)表示的节点个数与杆数的关系式，按平面物系平衡问题的解法，依某一规律循环列出全部物体即节点的平衡方程，其中每个节点都是一个汇交力系。只要原桁架是静定结构，满足式(31)就可以得到包括约束反力和杆内力的唯一解答。


图3.5
以下导出节点系平衡方程。


自某一桁架取一节点i，设其上作用有主动外力Pi(i=1,2,…，n),约束反力Xi,Yi,杆内力Sj(j=1,2,…，m),见图3.5。根据节点平衡方程∑x=0,∑y=0得


∑Sjcosβj+Xi+∑Picosαi=0(32)

∑Sjsinβj+Yi+∑Pisinαi=0(33)



按上述方法将全部节点的平衡方程列出，写成矩阵形式得到节点系的平衡方程： 


AX=P
(34)



其中A是2n×2n的系数矩阵，X是2n×1的未知杆内力及未知约束反力列阵，
P是2n×1的已知载荷列阵，简称载荷列阵。解式(34)，就能得到全部未知力。因为在导出式(34)时未涉及桁架的构成方式，所以式(34)可用于解简单桁架和复杂桁架。式(34)虽然是就平面桁架导出的，将其改造为适于求解空间桁架杆件内力的平衡方程并无原则上的困难。
3.3电算方案
由前述，循环节点法格式统一，适于编程电算，本节基于循环节点法讨论电算方案中的几个问题。
3.3.1系数矩阵的特点与方程组的解法
桁架内力及约束反力计算最终归结为求解一个2n阶线性代数方程组。就数值计算而言，线性代数方程组有多种解法，在应用中应根据问题的特点选用适当的方法。
不失一般性，设一桁架结构及载荷如图3.6所示。将该结构节点桁杆编号，分别取1，2，3节点为研究对象，受力图见图3.7。


图3.6




图3.7


由式(34)并按节点(行)、杆、约束反力(列)顺序排列，可得矩阵方程如下： 


未知力J

1 2mm+1m+2m+3

节点↓I




1

2

3


cos60°0cos0°100

sin60°0sin0°010

-cos60°cos60°0000

-sin60°-sin60°0000

0-cos60°-cos60°000

0sin60°-sin0°001


S1
S2
S3
X1
Y1
Y3
=

0
0
0
-P
0
0


2n×2n2n×12n×1


由上面方程可知系数矩阵有如下特点： 
(1) 系数矩阵是一非对称的稀疏矩阵，矩阵元素(非零元素)是角度的函数。
(2) 同一杆件不同节点对应的元素符号相反。
(3) 系数矩阵的主对角线含有零元素。

根据系数矩阵的特点3，在解线性代数方程组时，不能使用高斯法，而应采用列主元法。高斯法及列主元法的算法及程序设计见第2章。此外，在程序设计中还应利用特点（1）（2），降低内存的存储量和减少计算量。
3.3.2节点号码与桁杆的编号原则
在桁架的求解方程中系数矩阵是一稀疏矩阵，其稀疏程度不仅与桁架的结构形式有关，也与节点和桁杆的号码编排有关。一般来说，桁架结构的节点号码及杆号码可任意编排。为了节约内存，减少计算量，在编排节点号码及桁杆号码时，应使系数矩阵的非零元素尽量分布在主对角线附近，这对于大型结构尤为重要。对于节点和杆数较少的桁架，系数矩阵可采用二维存储，节点号码、杆号的编排要有规则，便于查找为好。对于节点和杆数较多的桁架，系数矩阵一般采用变带宽一维压缩存储，这就要求对桁架节点、桁杆进行编号时遵循一定的原则。

由于桁架结构的结构形式较多，本书不能一一列举，这里仅就较为常见的结构，说明号码编排的一般原则。常见的桁架结构有对称结构、内外结构和悬臂结构，如图3.8所示。


图3.8常见的桁架结构


在桁架结构的号码编排中，应先对节点进行编号，再对桁杆进行编号。
节点编号原则： 
(1) 对称结构，由结构中间位置开始编号。
(2)  内外结构，由内到外编号。
(3)  悬臂结构，由自由端开始编号。
(4)  节点编号使受约束节点具有较大号码。
(5)  在对节点编号时应尽量使同一桁杆的两个节点号码差小为好。
(6)  节点编号依逆时针或顺时针转向编排(本书采用逆时针转向)。
桁杆编号原则： 
(1) 桁杆编号，按节点号码顺序由小到大依次编排。
(2)  杆号按各杆两端节点号码之和大小的顺序编排。节点号码之和大小不相同的两根杆，和小的优先编号； 和相同时，由第1条，含有节点号码小的杆优先编号。

图3.9

按上述的编号原则，可使系数矩阵的存储量和消元的计算量较小。

例3.2
已知桁架结构如图3.6所示，按编号原则对其重新编号，并讨论系数矩阵需存储的元素个数。
解本结构属于对称结构，按节点编号原则
1,4，6，可将该结构重新编号如图3.9所示。按桁杆
编号原则，编号结果如图3.9所示。

按原编号系数阵需存储的元素个数如下（图3.6）。
节点1： 2×［(5-1)+1］=10
节点2： 2×［(4-1)+1］=8
节点3： 2×［(6-2)+1］=10

其中小括号中的5、4、6为相应节点需要存储元素的最大列号，被减去的1和2为首列非零元素的列号。需要存储元素最大列号的计算方法为，其数值等于该节点最大杆号数值与约束序号的和，或为该节点主元素的最大列号，首列非零元素的列号等于该节点的最小杆号。1节点的最大杆号数值为3，节点约束为2个，约束反力的个数为2个，最大列号为3+2=5，该节点最小的杆号数值为1，最小列号为1，所以需要存储的元素个数为2×［(5-1)+1］=10；  2节点最大杆号数值为2，2节点主元素的最大值为4，该节点最小的杆号数值为1，最小列号为1，所以需要存储的元素个数为2×［（4-1)+1］=8； 3节点最大杆号数值为3，节点约束
为1个，约束反力的个数为1个，序号等于3，所以3+3=6，该节点最小的杆号数值为2，最小列号为2，所以需要存储的元素个数为2×［(6-2)+1］=10，系数阵总存储元素的个数为28个。
按新编号，系数阵需存储元素个数计算方法如下。
节点1：  2×［(2-1)+1］=4
节点2：  2×［(5-1)+1］=10
节点3：  2×［(6-2)+1］=10

系数阵总存储元素的个数为24个。

由此可见，按图3.9的编号，系数阵需存储元素个数较图3.6编号的要少。
例3.3设桁架结构如图3.8(a)所示，按节点、桁杆编号原则对结构进行编号，讨论系数矩阵需要存储元素的个数。
解该结构为对称结构，
C，D点是结构对称轴上的点，按节点编号规则1，可选C，D点为节点编号的首点。选D为首点的节点编号及桁杆编号见图3.10(a),选C为首点的节点编号及桁杆编号见图3.10(b)，图3.10(a)、(b)的系数矩阵需要存储的元素个数分别为82和64，计算过程如下： 


图3.10



对于图3.10(a)： 
节点1： 2×［(6-1)+1］=12
节点2： 2×［(7-1)+1］=14
节点3： 2×［(8-2)+1］=14
节点4： 2×［(9-3)+1］=14
节点5： 2×［(11-5)+1］=14
节点6： 2×［(12-6)+1］=14

系数阵总存储元素的个数为82个。
对于图3.10(b)： 
节点1： 2×［(3-1)+1］=6
节点2： 2×［(5-1)+1］=10
节点3： 2×［(8-4)+1］=10
节点4： 2×［(9-3)+1］=14
节点5： 2×［(11-5)+1］=14
节点6： 2×［(12-8)+1］=10

系数阵总存储元素的个数为64个。

比较两种编号结果，图3.10(b)的系数阵元素个数低于图3.10(a),原因在于图3.10(b)同一杆端两节点号差值较小，最大值为3，而图3.10(a)节点号最大差值为5。
3.3.3桁架结构线性代数方程组的建立
求解桁架的内力，可先列出结构的总体平衡方程，求出约束反力，再列出节点平衡方程求出未知的杆内力。在做法上相当于把约束反力当作作用在节点上的主动力，并在节点平衡方程组中的系数矩阵中划去对应的行与列。这种做法的优点是可降低代数方程组的阶数，但由于其格式不统一，编制程序困难，一般不宜采用。本书采用列出全部节点平衡方程建立代数方程组的方法，尽管其方程组的阶数稍大，但由于其格式统一，编制程序相对容易。
3.4程序设计
3.4.1程序设计内容和主程序结构设计



图3.11主程序框图

在桁架内力计算中，程序设计内容包括读入输出桁架的几何结构、载荷和约束等信息； 生成系数矩阵； 生成载荷列阵； 解线性代数方程组； 输出计算结果等。按结构化程序设计要求，程序的各个功能应设计成不同的子程序，使每一个小程序执行一个功能。考虑到桁架的几何结构有的按节点坐标给出，而在生成系数矩阵时要用到杆的角度，本书将杆的角度计算也设计为一个子程序，当桁架的几何结构以角度给出时，可跳过该子程序，直接进入生成系数矩阵的子程序。主程序框图见图3.11。

3.4.2读入信息子程序(INPUT)
在读入/输出信息子程序中，需要读入桁架结构、载荷及约束信息。程序中有关变量、数组名见表3.1，表3.1中把计算内力用到的有关数组也列入其中。为便于初学者学习，系数矩阵采用二维满阵存储。INPUT程序清单见3.4.6节。


表3.1数组/变量名表



结 构 信 息载 荷 信 息

名称变量/数组名称变量/数组

杆数

节点数

杆节点号码

节点坐标M

N

MP（2×M）

PXY（2×N）有外载节点个数

受外载节点号码

节点外载信息NG

NGP（NG）

GP（2×NG）

约 束 信 息结构计算用数组

名称变量/数组名称变量/数组

有约束节点

约束节点号

约束信息

NC

NCP（NC）

INC（2×NC）

0－无约束

1－有约束杆角度

系数矩阵

载荷列阵MALF（2×M）

A（2×N，2×N）

SR（2×N）


例3.4
数据填写举例。已知桁架结构如图3.6所示，编写该结构的数据文件。
解按结构、载荷及约束信息可编写数据文件如下(按变量、数组顺序)： 
M，N，NC，NG，3,3,2,1
MP(I)(I＝1,2，…，6)，1,2,2,3,1,3(杆节点号码，小号在先大号在后)
PXY(I)(I＝1,2，…，6)，0,0,0.5,0.866,1,0
NGP(I) (I=1),2
GP(I) (I=1,2),0,1
NCP(I) (I=1,2),1,3
INC(I) (I=1,2, 4),1,1,0,1
3.4.3杆件角度计算子程序(ANGL)
当桁架结构以节点坐标给出时，生成系数矩阵之前要
先算出杆的角度。



图3.12

设某一根杆的杆号为j，两个节点号码为P1、P2，
节点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),如图3.12所示。



α=arctan［(y2-y1)/(x2-x1)］
(35)




利用式(35)可算出任一根杆的角度，考虑到
x2-x1=0、x2-x1＞0、x2-x1＜0几种情况，杆件角度计算框图见图3.13，程序清单见SUBROUTINE ANGL。


图3.13