第3章汇交力系的平衡 3.1汇交力系 若某力系中各力作用线汇交于一点，则该力系称为汇交力系。根据力的可传性，各力作用线的汇交点可以看作各力的公共作用点，所以汇交力系也称为共点力系。显然，如果考察的是质点，则作用于其上的力系必是汇交力系。 如果一汇交力系的各力的作用线都位于同一平面内，则该汇交力系称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。 图31吊钩受力图 在实际工程中，有不少汇交力系的实例。起重机起吊重物时如图31(a)所示，作用于吊钩C的力有： 钢绳拉力F3及绳AC和BC的拉力F1及F2，如图31(b)所示，它们都在同一铅直平面内并汇交于C点，组成一平面汇交力系。图32(b)为图32(a)所示屋架的一部分，其中各杆所受的力F1、F2、F3、F4在同一平面内并汇交于一点，也组成一平面汇交力系。图33所示铅直立柱受球铰O及钢绳AB、AC约束，柱顶受荷载F作用。作用于立柱的荷载F，自重W，约束力FO、F1、F2组成一空间汇交力系，力系作用线的汇交点为A。 图32节点O受力图 图33立柱受力图 3.2汇交力系的简化 1. 汇交力系合成的几何法 如图34(a)所示，设有汇交力系F1、F2、F3、F4作用于刚体上的A点，试求其合成结果。前面介绍过，共点的两个力可以利用平行四边形法则或三角形法则合成为一个合力，合力等于两个分力的矢量和，并作用于两分力的公共作用点。所以，对此汇交力系只需连续应用三角形法则将各力依次合成。如图34(a)所示(图中虚线箭头为合成的结果)： 先将力F1、F2合成为力FR1，然后将力FR1与F3合成为力FR2，最后把力FR2与F4合成为力FR。力FR就是F1、F2、F3、F4 四个力的合力，合力FR的作用线通过A点。实际上，作图时力FR1和FR2可不必画，同样能够得到合力FR，所得多边形Aabcd称为力多边形，如图34(b)所示。用力多边形求合力的方法称为力多边形法则。 图34汇交力系合成的几何法 上述方法可以推广到汇交力系有n个力的情况，则可得结论： 汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系各力的矢量和，合力作用线通过力系汇交点。以FR表示汇交力系的合力，则 FR=F1+F2+…+Fn=∑Fi(31) 对平面汇交力系，有时用几何法求合力较为方便，而对空间汇交力系则不然，此时常用解析法求其合力。 2. 汇交力系合成的解析计算 任取一直角坐标系Oxyz（常把坐标原点O放在汇交点），把各力用解析式表示： Fi=Fixi+Fiyj+Fizk，i=1,2,…,n 代入式（31）可得 FR=∑Fixi+∑Fiyj+∑Fizk(32) 单位矢量i、j、k前面的系数是合力FR在三个坐标轴上的投影，即 FRx=∑Fix FRy=∑Fiy FRz=∑Fiz(33) 这表明，合力FR在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。这一关系对任何矢量都能成立，称为矢量投影定理。即合矢量在任一轴上的投影，等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。由合力的投影可求其大小和方向余弦： FR=F2Rx+F2Ry+F2Rz cos(FR,x)=FRxFR,cos(FR,y)=FRyFR,cos(FR,z)=FRzFR(34) 如果所研究的力系是平面汇交力系，取力系所在平面为xy平面，则该力系的合力的大小和方向只需将FRz=∑Fiz≡0代入式（33）和式（34）中便可求得。 图35例31附图 例31用解析法求图35所示平面汇交力系的合力。已知F1＝500N，F2＝1000N，F3＝600N，F4＝2000N。 解合力FR 在x、y轴上的投影分别为 FRx=∑Fix=(0－1000cos45°－600+2000cos30°)N =424.94N FRy=∑Fiy=(－500－1000sin45°+0+2000sin30°)N =－207.11N 再求合力FR的大小及方向余弦（图35中合力用虚箭头表示）： FR=F2Rx+F2Ry==424.942+(－207.11)2N=472.72N cos(FR,x)=cosα=424.94472.72=0.9 cos(FR,y)=cosβ=－207.11472.72=－0.438 故有α＝26°，β＝116°。 3.3汇交力系的平衡条件 如果一汇交力系(不论平面汇交力系或空间汇交力系)的合力等于零，则该力系成为平衡力系。反之，如果一个汇交力系平衡，其合力必为零。所以，汇交力系平衡的必要与充分条件是： 力系的合力等于零，即FR＝0。亦即 FR=F1+F2+…+Fn=∑Fi=0(35) 合力FR等于零，必须且只需FRx＝0， FRy＝0，FRz＝0，所以根据式（32），FR＝0等价于三个代数方程： ∑Fix=0，∑Fiy=0，∑Fiz=0(36) 即力系中各力在x、y、z三轴中的每一轴上的投影之代数和均等于零。式(36)称为汇交力系的平衡方程。如果所研究的力系是平面汇交力系，取力系所在的平面为xy面，则各力在z轴上的投影Fiz均等于零，于是平衡方程退化为 ∑Fix=0，∑Fiy=0(37) 可见，对于空间汇交力系，有三个独立平衡方程，对某给定的力系可求解三个未知数； 而平面汇交力系只有两个独立平衡方程，可以求解两个未知数。 需说明方程（36）虽然是由直角坐标系导出的，但在实际应用中，并不一定取直角坐标，只需取互不平行且不都在同一平面内的三轴为投影轴即可。根据具体情况，适当选取投影轴，往往可以简化计算。(为什么可以按上述规定任取投影轴，请读者思考之，并请证明： 无论怎样选取投影轴，独立平衡方程的数目不会超过三个。对于平面汇交力系，利用方程（37）时，投影轴有何限制?请读者考虑。) 解答平衡问题时，未知力的指向可以任意假设，如求解结果为正值，表示假设的指向就是实际的指向； 如结果为负值，表示实际的指向与假设的指向相反。 方程（31）表明，对于平衡的汇交力系，如用作图法将F1，F2，…，Fn相加，得到的将是闭合的力多边形(各力矢首尾相接)，即汇交力系平衡的几何条件是力多边形闭合。有些简单的平面汇交力系平衡问题利用此条件，很容易得到所需要的结果，而无须写平衡方程。 对于不平行的三个力处于平衡，有如下结论： 若不平行的三个力处于平衡，则三力作用线必汇交于一点，且三力矢量组成闭合的三角形。这就是所谓的三力平衡定理，请读者试证明之。 例32梁AB支承和受力情况如图36(a)所示。求支座A、B的反力。 图36例32附图 解考虑梁的平衡，作示力图如图36(b)所示。根据铰支座的性质，FA的方向本属未定，但因梁只受三个力，而F与FB交于C，故FA必沿AC作用，并由几何关系知FA与水平线成30°。假设FA与FB的指向如图所示。取x、y轴如图36(b)所示，建立平衡方程： ∑Fix=0: FAcos30°-FBcos60°-Fcos60°=0 ∑Fiy=0: FAsin30°+FBsin60°-Fsin60°=0 联立解得FA=3F/2，FB=F/2。结果为正值，表明假设的FA与FB的指向与实际情况一致。(请考虑，怎样选取投影轴，可以避免解联立方程。) 如用平衡的几何条件来分析，以F、FA、FB为边作闭合多边形如图36(c)所示，即可决定FA、FB的指向应如图所示，而它们的大小可由三角形之边的几何关系来确定，即F∶FA∶FB=2∶3∶1，同样可以得到上述结果。 例33用三根不计重量的连杆AD、BD和CD支承一滑轮D，构成简易起重架如图37所示，将缆绳绕过滑轮D以起吊重W的物体。AD、BD两杆长度相等，滑轮大小及轮轴处摩擦不计。当缓缓吊起重物时，求各连杆所受的力。 图37例33附图 解以滑轮为考察对象。设三连杆作用于滑轮的力分别为F1、F2及F3(相反方向的力即连杆所受的力)。缓慢起吊时，F1、F2、F3、重力W(通过缆绳作用于滑轮)和缆绳拉力F4为一平衡力系。注意F4＝W(绕过滑轮的柔索，当不计轮轴处的摩擦时，两边柔索的拉力相等。请读者思考之)，而且，不计滑轮大小，作用于滑轮的力为一汇交力系(实际上，不论滑轮大小如何，只要三连杆汇交于滑轮中心，就可化成汇交力系。理由请读者考虑)。 取坐标系如图37所示。除W外，其余各力与坐标轴之间的夹角都未给定，我们可以直接根据有关的长度来计算力的投影，而无须计算角度。为此，先根据几何关系计算出几个必需的长度： OD=5m,AD=BD=29m,CD=41m,DE=45m。 建立平衡方程： ∑Fix=0: F1×229－F2×229=0 ∑Fiy=0: F1×529×35+F2×529×35－F3×541－F4×845=0 ∑Fiz=0: F1 ×529×45+F2×529×45－F3×441－F4×445－W=0 将F4=W代入，解得F1=F2=1.23W,F3=0.611W。 习题 31如图所示，一钢结构节点，在沿OC、OB、OA的方向受到三个力的作用，已知F1＝1kN，F2＝1.414kN，F3＝2kN。试求此力系的合力。 32计算图中F1、F2、F3三个力的合力。已知F1＝2kN，F2＝1kN，F3＝3kN。 习题31附图 习题32附图 33已知 F1=26N,F2=23N,F3=1N,F4=42N，F5＝7N。求五个力合成的结果(提示： 不必开根号，可使计算简化)。 34三铰拱受铅直力F作用。如拱的重量不计，求A、B处支座反力。 习题33附图 习题34附图 35弧形闸门自重W＝150kN。试求提起闸门所需的拉力F和铰支座A处的反力。 36已知F＝10kN，杆AC、BC及滑轮重均不计。试用几何法求杆AC、BC对轮的约束力。 习题35附图 习题36附图 37直径相等的两均质混凝土圆柱放在斜面AB与BC之间，柱重W1＝W2＝40kN。设圆柱与斜面接触处光滑，试求圆柱对斜面D、E、G处的压力。 38图示一履带式起重机，起吊重量W＝100kN，在图示位置平衡。如不计吊臂AB自重及滑轮半径和摩擦，求吊臂AB及缆绳AC所受的力。 习题37附图 习题38附图 39压路机碾子重W＝20kN，半径R＝0.4m，若用水平力F拉碾子越过高h＝80mm的石坎，问F应多大?若要使F为最小，力F与水平线的夹角α应为多大?此时F等于多少? 310长2l的杆AB，重W，搁置在宽为a的槽内，A、D接触处都是光滑的。试求平衡时杆AB与水平线所成的角α(设l>a)。 习题39附图 习题310附图 311图示结构上作用一水平力F。试求A、C、E三处的支座反力。 312AB、AC、AD三连杆支承一重物如图所示。已知W＝10kN，AB＝4m，AC＝3m，且ABEC在同一水平面内。试求三连杆所受的力。 习题311附图 习题312附图 313铅直立柱AB用三根绳索固定，已知一根绳索在铅直平面ABE内，其张力F＝100kN，立柱自重W＝20kN。求另外两根绳索AC、AD的张力及立柱在B处受到的约束力。 314连杆AB、AC、AD铰连如图所示。杆AB水平。绳AEG上悬挂重物W＝10kN。 图示位置，系统保持平衡，求G处绳的张力F及AB、AC、AD三杆的约束力。xy平面为水平面。 习题313附图 习题314附图 第4章力偶系的平衡 4.1力偶系 作用在物体上的一群力偶称为力偶系。若力偶系中的各力偶都位于同一平面内，则为平面力偶系，否则为空间力偶系。图41和图42分别给出了一平面力偶系和一空间力偶系的示例。见图41，悬臂梁AC在图示平面内受力偶荷载M1、M2作用，在固定端产生了约束力偶MA，此三力偶组成一平面力偶系，图示平面为力偶系的作用面； 图42为一三棱柱，如在两侧面和顶面分别受力偶M1、M2、M3作用（图中虚箭头为矢量表示），则在柱底部将产生约束力偶，用其分量Mx、My、Mz表示，此时柱所受的六个力偶组成一空间力偶系。 图41平面力偶系 图42空间力偶系 4.2力偶系的简化 先讨论空间两个力偶M1和M2的合成。 图43两力偶的合成 设在平面Ⅰ内有一力偶M1，其矩的大小为M1； 在平面Ⅱ内有一力偶M2，其矩的大小为M2，如图43(a)所示。两个力偶在各自平面内的转向如图中带箭头的虚线段所示。在两平面的交线上取一线段AB，以AB作为两力偶的力偶臂，假设两力偶的力分别为F1、F′1及F2、F′2，并使其中两个力F1、F2作用于A点，另两个力F′1、F′2作用于B点(图中虚线箭头表示)。设B点相对于A点的位置矢为rBA，则两力偶的矩应为M1=rBA×F′1及M2=rBA×F′2。将作用于A点的两个力合成为F，作用于B点的两个力合成为F′，则 F=F1+F2，F′=F′1+F′2 因F′1=-F1,F′2=-F2，故F′=-F。这就表明F和F′组成一新力偶(F,F′)，该力偶的矩为 M=rBA×F′=rBA×(F′1+F′2)=M1+M2 可见，原来的两个力偶可合成为一合力偶，其矩等于原来两个力偶矩之矢量和，如图43(b)所示。若有更多的力偶，显然可以同样处理，最后得 M=M1+M2+…+Mn=∑Mi(41) 即空间力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩等于所有分力偶矩的矢量和。计算空间力偶系合力偶矩的大小和方向时，可取一直角坐标系Oxyz，先计算分力偶矩的投影，然后可得合力偶矩的解析计算式： M=Mxi+Myj+Mzk=∑Mixi+∑Miyj+∑Mizk(42) 其中Mx、My、Mz及Mix、Miy、Miz分别是M及Mi 在x、y、z轴上的投影。于是 Mx=∑Mix,My=∑Miy,Mz=∑Miz(43) 而合力偶的大小及方向余弦为 M=M2x+M2y+M2z cosα=MxM,cosβ=MyM,cosγ=MzM(44) 对于平面力偶系，由于各力偶矩矢量M1、M2、…、Mn成为共线矢量，求它们的矢量和就简化成为求代数和。这表明，对于平面力偶系问题，可将力偶矩作为代数量。这时，矢量方程（41）成为代数方程 M=M1+M2+…+Mn=∑Mi(45) 方程（45）表明： 平面力偶系合成的结果是在同平面内的一个合力偶，合力偶矩等于原来各力偶矩的代数和。力偶的转向常用正负来表现： 一般规定若力偶在平面内的转向是逆时针的，取正号，反之则取负号。 例41有三个力偶，其作用面及转向如图44(a)所示，设M1＝100kN·m，M2＝300kN·m，M3＝200kN·m。试求其合力偶矩。