第3章平面与平面系统 光学系统除利用球面光学元件(如透镜和球面镜等)实现对物体的成像以实现光学设计要求外，还常用到各种平面光学元件，如平面反射镜、平行平板、反射棱镜、折射棱镜和光楔等。这些平面光学元件主要用于改变光路方向、使倒像转换为正像或产生色散用于光谱分析。下面分别讨论这些平面光学元件的成像特性。 3.1平面镜 3.1.1平面镜成像 平面镜是平面反射镜的简称，它是唯一能成完善像的最简单的光学元件，即物体上任意一点发出的同心光束经过平面镜后仍为同心光束。如图31所示，物体上任一点A发出的同心光束被平面镜反射，光线AP沿PA方向原光路返回，光线AQ以入射角I入射，经反射后沿QR方向出射，延长AP和RQ交于A′。由反射定律及图中几何关系容易证明△APQ≌△A′PQ，从而可得AP=A′P，AQ=A′Q。同样可证明由A点发出的另一条光线AO经反射后，其反射光线的延长线必交于A′点。这表明，由A点发出的同心光束经平面镜反射后，变换为以A′为中心的同心光束。因此，A′为物点A的完善像点； 同样可以证明B′点为物点B的完善像点。由于物体上每点都成完善像，所以整个物体也成完善像。显然，实物成虚像，虚物成实像。 令r=∞，由球面镜的物像位置公式和放大率公式可得 l′=-l，β=1 这说明正立的像与物等距离地分布在镜面的两边，大小相等，虚实相反。因此，像与物完全对称于平面镜。 这种对称性使一个右手坐标系的物体变换成左手坐标系的像。就像照镜子一样，你的右手只能与镜中的“你”的左手重合，这种像称为镜像。如图32所示，一个右手坐标系Oxyz 图31平面镜成像 图32平面镜的镜像 经平面镜M后，其像为一个左手坐标系O′x′y′z′。当正对着物体即沿zO方向观察物时，y轴在左边； 而当正对着像即沿z′O′方向观察像时，y′在右边。显然，一次反射像O′x′y′z′若再经过一次反射成像，将恢复成与物相同的右手坐标系。推而广之，奇数次反射成镜像，偶数次反射成与物一致的像。 当物体旋转时，其像反方向旋转相同的角度。比如，正对着zO方向观察时，y顺时针方向转90°至x，而y′则是逆时针方向转90°至x′(沿z′O′方向观察)。同样，沿xO方向观察，z转向y是顺时针方向，而z′转向y′则是逆时针方向(沿x′O′方向观察)。沿yO方向观察的情形完全一样。 3.1.2平面镜旋转 平面镜转动时具有重要特性，当入射光线方向不变而转动平面镜时，反射光线的方向将发生改变。如图33所示，设平面镜转动α角时，反射光线转动θ角，根据反射定律有 θ=-I″1+α-(-I″)=I1+α-I=(I+α)+α-I=2α(31) 因此反射光线的方向改变2α角。利用平面镜转动的这一性质，可以测量微小角度或位移。如图34所示，刻有标尺的分划板位于准直物镜L的物方焦平面上，标尺零位点(设与物方焦点F重合)发出的光束经物镜L后平行于光轴。若平面镜M与光轴垂直，则平行光经平面镜M反射后原光路返回，重新会聚于F点，这一过程叫做自准直。若平面镜M转动θ角，则平行光束经平面镜后与光轴成2θ角，经物镜L后成像于B点，设BF=y，物镜焦距为f′，则 y=f′tan2θ≈2f′θ(32) 图33平面镜的旋转 图34平面镜用于小角度或微小位移的测量 若平面镜的转动是由一测杆移动引起的，设测杆到支点距离为a，测杆移动量为x，则tanθ≈θ=x/a，代入式（32）得 y=(2f′/a)x=Kx(33) 利用式(32)可以测量微小角度，利用式(33)可以测量微小位移。这就是光学比较仪中的光学杠杆原理，式(33)中的K=2f′/a为光学杠杆的放大倍数。 3.1.3双平面镜成像 设两个平面镜的夹角为α，光线AO1入射到双面镜上，经两个平面镜PQ和PR依次反射，沿O2M方向出射，出射光线与入射光线的延长线相交于M点，夹角为β。如图35所示，由△O1O2M，有 (-I1+I″1)=(I2-I″2)+β 根据反射定律有 β=2(I″1-I2) 所以有 β=2α(34) 由此可见，出射光线和入射光线的夹角与入射角无关，只取决于双面镜的夹角α。如果双面镜的夹角不变，当入射光线方向一定时，双面镜绕其棱边旋转时，出射光线方向始终不变。根据这一性质，用双面镜折转光路非常有利，其优点在于，只需加工并调整好双面镜的夹角(如两个反射面做在玻璃上形成棱镜)，而对双面镜的安置精度要求不高，不像单个反射镜折转光路时存在调整困难的问题。 如图36所示，一右手坐标系的物体xyz，经双面镜QPR的两个反射镜PQ、PR依次成像为 x′y′z′和x″y″z″，PQ第一次反射的像x′y′z′为左手坐标系，经PR第二次反射后成的像(称为连续一次像)x″y″z″还原为右手坐标系。图中用圆圈中加点表示垂直纸面向外的坐标，用圆圈中加叉表示垂直纸面向里的坐标。由于 ∠y″Py=∠y″Py′-∠yPy′=2∠RPy′-2∠QPy′=2α 图35双平面镜对光线的变换 图36双平面镜的连续一次成像 因此，连续一次像可认为是由物体绕棱边旋转2α角而形成的，旋转方向由第一反射镜转向第二反射镜。同样，先经PR反射 、再经PQ反射的连续一次像是由物逆时针方向旋转2α而形成的。当α=90°时，这两个连续一次像重合在棱上。显然，只要双面镜夹角α不变，双面镜转动时，连续一次像不动。 3.2平行平板 所谓平行平板，是由两个相互平行的折射平面构成的光学元件，如分划板、微调平板等。 3.3节将证明，反射棱镜展开后，其作用等效于一个平行平板。下面介绍平行平板的特性。 3.2.1平行平板的成像特性 如图37所示，轴上点A1发出一孔径角为U1的光线A1D，经平行平板两面折射后，其出射光线的延长线与光轴相交于A′2，出射光线的孔径角为U′2。设平行平板位于空气中，平板玻璃的折射率为n，光线在两折射面上的入射角和折射角分别为I1、I′1和I2、I′2，因为两折射面平行，则有I2=I′1，由折射定律得 sinI1=nsinI′1=nsinI2=sinI′2 所以 I′2=I1 图37平行平板的成像特性 即出射光线平行于入射光线，光线经平行平板后方向不变。这时， γ=tanU′2tanU1=1，β=1γ=1，α=β2=1 这表明，平行平板是一个无光焦度的光学元件，不会使物体放大或缩小。 由图37可知，出射光线与入射光线不重合，产生侧向位移ΔT=DG和轴向位移 ΔL′=A1A′2。在△DEG和△DEF中，DE为公共边，所以 ΔT=DG=DEsin(I1-I′1)=dcosI′1sin(I1-I′1) 将sin(I1-I′1)用三角公式展开，并注意sinI1=nsinI′1，得侧向位移 ΔT=dsinI1 1-cosI1ncosI′1(35) 轴向位移由图37中的关系及折射定律可得 ΔL′=d1-tanI′1tanI1(36) 式(36)表明，轴向位移ΔL′随入射角I1（即孔径角U1）的不同而不同，即轴上点发出不同孔径的光线经平行平板后与光轴的交点不同，所以同心光束经平行平板后变成非同心光束。因此，平行平板不能成完善像。 计算出光线经过平行平板的轴向位移后，像点A′2相对于第二面的距离L′2可按图中的几何关系由式(37)直接给出： L′2=L1+ΔL′-d(37) 3.2.2平行平板的等效光学系统 平行平板在近轴区内以细光束成像时，由于I1和I′1都很小，其余弦值可用1代替，于是由式(36)得近轴区内轴向位移为 Δl′=d1-1n(38) 式(38)表明，在近轴区内，平行平板的轴向位移只与其厚度d和折射率n有关，与入射角无关。因此，平行平板在近轴区以细光束成像是完善的。这时，不管物体位置如何，其像可认为是由物体移动一个轴向位移而得到的。利用这一特点，在光路计算时，可以将平行玻璃平板简化为一个等效空气平板。如图38所示，入射光线PQ经玻璃平板ABCD后，出射光线HI′平行于入射光线。过H点作光轴的平行线，交PI于G，过G作光轴的垂线EF。将玻璃平板的出射平面及出射光路HI′一起沿光轴平移 Δl′，则CD与EF重合，出射光线在G点与入射光线重合，I′与I重合。这表明，光线经过玻璃平板的光路与无折射通过空气层ABEF的光路完全一样。这个空气层就称为平行玻璃平板的等效空气平板，其厚度为 d-＝d-Δl′＝d／n(39) 图38平行平板的等效作用 引入等效空气平板的作用在于，如果光学系统的会聚或发散光路中有平行玻璃平板 (包括由反射棱镜展开的平行玻璃平板)，可将其等效为空气平板，这样可以在计算光学系 统的外形尺寸时简化对平行玻璃平板的处理，只需计算出无平行玻璃平板时(即等效空气 平板)的像方位置，然后再沿光轴移动一个轴向位移Δl′，就得到有平行玻璃平板时的实际 像面位置，即 l′2=l1-d+Δl′（310） 而无须对平行玻璃平板逐面进行计算。因此，在进行光学系统外形尺寸计算时，将平行玻璃 平板用等效空气平板取代后，光线无折射地通过等效空气平板，只需考虑平行玻璃平板的出射面或入射面的位置，而不必考虑平行玻璃平板的存在。 3.3反射棱镜 3.3.1反射棱镜的类型 将一个或多个反射面磨制在同一块玻璃上形成的光学元件称为反射棱镜。反射棱镜在光学系统中主要实现折转光路、转像和扫描等功能。如将图35中双面镜的两个反射面做在同一块玻璃上，就形成一个二次反射的棱镜，如图39所示。 光在反射面上，若所有入射光线不能全部发生全反射，则必须 在该面上镀以金属反射膜，如银、铝或金等，以减少反射面的光能损失。 图39反射棱镜的主截面 光学系统的光轴在棱镜中的部分称为棱镜的光轴，一般为折线，如图39中的AO1、O1O2和O2B。每经过一次反射，光轴就折转一次。反射棱镜的工作面为两个折射面和若干个反射面。光线从一个折射面入射，从另一个折射面出射。因此，两个折射面分别称为入射面和出射面。大部分反射棱镜的入射面和出射面都与光轴垂直。工作面之间的交线称为棱镜的棱，垂直于棱的平面为主截面。在光路中，所取主截面与光学系统的光轴重合，因此又称为光轴截面。 反射棱镜的种类繁多，形状各异，大体上可分为简单棱镜、屋脊棱镜、立方角锥棱镜和复合棱镜四类。下面分别予以介绍。 1. 简单棱镜 简单棱镜只有一个主截面，它所有的工作面都与主截面垂直。根据反射面数的不同，又 分为一次反射棱镜、二次反射棱镜和三次反射棱镜。 (1) 一次反射棱镜具有一个反射面，与单个平面镜对应，使物体成镜像，即垂直于主截面的坐标方向不变，位于主截面内的坐标改变方向。 最常用的一次反射棱镜为等腰直角棱镜，如图310(a)所示，光线从一直角面入射，从另一直角面出射，使光轴折转90 °。图310（b）所示的等腰棱镜可以使光轴折转任意角度。 只需使反射面的法线方向处于入射光轴与出射光轴夹角的平分线上即可确定反射面角度。这两 种棱镜的入射面与出射面都与光轴垂直，在反射面上的入射角大于临界角，能够发生全反射，反射面上无须镀反射膜。 图310一次反射棱镜 图310（c）所示为道威(Dove)棱镜，它是由直角棱镜去掉多余的直角部分而成的，其入射面和出射面与光轴均不垂直，但出射光轴与入射光轴方向不变。道威棱镜的重要特性之一是： 当其绕光轴旋转α角时，反射像同方向旋转 2α角，正如平面镜旋转样。图310（c）中上图为右手坐标系xyz经道威棱镜后，x坐标由向上变为向下，y坐标方向不变，从而形成左手坐标系x′y′z′。当道威棱镜旋转90°后，x坐标方向不变，y坐标由垂直纸面向外变为垂直纸面向里，如图 310（c）下图所示。这时的像相对于旋转前的像转过180°。由于道威棱镜的入射面和出射面与光轴不垂直，所以道威棱镜只能用于平行光路中。图311所示的周视瞄准仪就应用了直角棱镜和道威棱镜的旋转特性。当直角棱镜在水平面内以角速度ω旋转时，道威棱镜绕其光轴以2ω的角速度同向转动，可使在目镜中观察到的像的坐标方向不变。这样直角棱镜旋转扫描时，观察者可以不必改变位置，就能周视全景。 图311周视瞄准仪光学系统及其旋转特性 (2) 二次反射棱镜有两个反射面，作用相当于一个双面镜，其出射光线与入射光线的夹角取决于两个反射面的夹角。由于是偶次反射，像与物一致，不存在镜像。 常用的二次反射棱镜如图312所示，图312(a)~(e)分别为半五角棱镜、30°直角棱镜、五角棱镜、二次反射直角棱镜和斜方棱镜，棱镜两反射面的夹角分别为22.5°、30°、45°、90°和180°，对应出射光线与入射光线的夹角分别为45°、60°、90°、180°和360°。半五角棱镜和30°直角棱镜多用于显微镜观察系统，使垂直向上的光轴折转为便于观察的方向。五角棱镜取代一次反射的直角棱镜或平面镜，使光轴折转90°，而不产生镜像，且装调方便。用五角棱镜将铅垂激光束折转成水平方向，当五角棱镜绕竖轴旋转时，形成水平扫描的激光平面，确定一水平基准。以这一原理为基础的激光扫平仪广泛运用于建筑工程施工、装饰装潢及土地平整。二次反射直角棱镜多用于转像系统中，或构成复合棱镜。斜方棱镜可以使光轴平移，多用于双目观察的仪器(如双筒望远镜)中，以调节两目镜的中心距离，满足不同眼基距(双眼中心距离)人眼的观察需要。 图312常用二次反射棱镜 （3） 如图313（a）所示的三次反射棱镜称为斯密特棱镜，出射光线与入射光线的夹角为45°，奇次反射成镜像。其最大的特点是因为光线在棱镜中的光路很长，可以折叠光路，使仪器结构紧凑，如图313（b）所示。 图313斯密特棱镜及其应用 2. 屋脊棱镜 由上面的讨论可知，奇数次反射使物体成镜像。如果需要得到与物体一致的像，而又不宜增加反射棱镜时，可用交线位于棱镜光轴面内的两个相互垂直的反射面取代其中一个反射面,使垂直于主截面的坐标被这两个相互垂直的反射面依次反射而改变方向，从而得到与物体一致的像，如图314所示。这两个相互垂直的反射面叫作屋脊面，带有屋脊面的棱镜称为屋脊棱镜。 图314直角屋脊棱镜 常用的屋脊棱镜有直角屋脊棱镜、半五角屋脊棱镜、五角屋脊棱镜、斯密特屋脊棱镜等。图311周视瞄准仪中目镜前的直角棱镜即为直角屋脊棱镜。将图313中的斯密特棱镜 底面换成屋脊面，就形成斯密特屋脊棱镜。 3. 立方角锥棱镜 这种棱镜是由立方体切下一角而形成的，如图315所示。其三个反射工作面相互垂直,底面是一个等边三角形，为棱镜的入射面和出射面。立方角锥棱镜的重要特性在于，光经过三个直角面依次反射后，出射光线始终平行于入射光线。当立方角锥棱镜绕其顶点旋转时，出射光线方向不变，仅产生一个平行位移。 图315立方角锥棱镜 立方角锥棱镜可以和激光测距仪配合使用。激光测距仪发出一束准直激光束，经位于测站上的立方角锥棱镜反射，沿原光路返回，由激光测距仪的光电接收器接收，从而解算出测距仪到测站的距离。将立方角锥棱镜及其阵列安放到卫星上，作为星载合作目标，与地面站激光测距仪配合使用，实现对卫星目标的精确测量，完成卫星的定轨任务。立方角锥棱镜还可用于激光谐振腔中，构成免调谐激光器。 4. 棱镜的组合——复合棱镜 由两个以上棱镜组合起来形成复合棱镜，可以实现一些单个棱镜难以实现的特殊 功能。下面介绍几种常用的复合棱镜。 1) 分光棱镜 分光棱镜如图316所示，一块镀有半透半反膜的直角棱镜与另一块尺寸相同的 直角棱镜胶合在一起，可以将一束光分成光强相等或光强呈一定比例的两束光，且这两束光在棱镜中的光程相等。这种分光棱镜具有广泛的应用。 2） 分色棱镜 分色棱镜如图317所示，白光经过分色棱镜后被分解为红、绿、蓝三束单色光，其中，a面镀反蓝透红绿介质膜，b面镀反红透绿介质膜。分色棱镜主要用于彩色电视摄像机的光学系统中。 图316分光棱镜 图317分色棱镜 3) 转像棱镜 转像棱镜如图318所示，其主要特点是出射光轴与入射光轴平行，实现完全倒像，并能在棱镜中折转很长的光路，可用于望远镜光学系统中实现倒像。 图318转像棱镜 (a) 普罗Ⅰ型转像棱镜； （b） 普罗Ⅱ型转像棱镜； （c） 别汉棱镜 4) 双像棱镜 双像棱镜如图319所示，它由四块棱镜胶合而成，其中棱镜Ⅱ和棱镜Ⅲ的反射面镀半透半反的析光膜。当物点A不在光轴上时，双像棱镜输出两个像点A′1和A′2； 而当物点A移向光轴O时，双像棱镜输出的两个像A′1和A′2重合在光轴O′上。双像棱镜与目镜联用，构成双像目镜，用于对圆孔的瞄准很方便。 随着光学零件加工工艺的不断进步以及工程实际的需要，现在也有将球面加工在棱镜上 的，即将反射棱镜的一个或几个工作面(折射面或反射面)做成球面甚至非球面，形成所谓“球面棱镜”，在满足折转光路和转像的同时，实现一定的光焦度，使整个光学系统结构尽可能简化或紧凑。