第3章理想气体的热力过程
3.1定熵过程和可逆多变过程
3.1.1定熵过程
1. 可逆绝热过程


热力系统与外界在任一瞬间都没有热量交换的热力过程称为绝热过程，即过程中δq=0或q=0，如果过程可逆，则有
ds=δqT=0或Δs≡0(31)
说明可逆绝热过程中熵保持不变，即为定熵过程。需要注意的是，定熵过程却不一定是可逆绝热过程，定熵过程的外延要比可逆绝热过程大。
在实际工程中，完全绝热的过程是不可能存在的，只是保温好坏而已。但在很多热力设备中，当过程进行得很快时，工质与外界根本来不及换热，或者说换热量与工质所做功或本身焓的变化相比很小，可以忽略换热损失，这时就可以把它们近似作为绝热过程来处理。如果再忽略摩擦等不可逆因素，则可逆绝热过程或者说是定熵过程就是这样一类工程实际过程的近似。
2. 定熵过程的过程方程
由于熵不能直接测量，所以采用式(31)作为定熵过程的过程方程既不直观也不方便，希望用可测参数p,v,T表示过程方程。对理想气体，有
ds=cVdpp+cpdvv=0或dpp+γdvv=0(32)
对其积分，则有
∫dpp+∫γdvv=0
若为定比热容，则γ为常数，则有
lnp+γlnv=C′或lnpvγ=C′
整理得
pvγ=C
可见，在理想气体定比热容条件下，定熵过程的过程方程是一个以常数比热比γ为指数的方程，因此也称γ为定熵指数，或希腊字母κ。则定熵过程的过程方程可写为
pvκ=C1(33)
过程方程式(33)为单元函数，只有一个独立变量，表示一条线。推导过程中C′或C1都是常数，表示对过程线上的任意状态点，其等式左端计算值保持不变，或可写为
p1vκ1=p2vκ2=C1(34)
将理想气体状态方程式与上面的过程方程联立，分别消去压力和比体积，可分别得到用温度压力和温度比体积表示的定熵过程的过程方程，即
Tpκ-1κ=C2或T1pκ-1κ=T2pκ-1κ=C2(35)

Tvκ-1=C3或T1vκ-11=T2vκ-12=C3(36)
式中： C1，C2和C3分别为不同的常数。式(33)~式(36)的适用条件是： 可逆、理想气体和定比热容。式(32)是微分形式的定熵绝热方程，可用于变比热容。也就是说，只有在理想气体的可逆和定比热容条件下，比热比γ才等于定熵指数κ。
热工基础与发动机原理

第3章理想气体的热力过程

3. 定熵过程的pv图和Ts图
显然，在Ts图上，定熵过程曲线为一垂直于s轴的直线，如图31(b)所示。定熵过程曲线在pv图上的走向需借助该曲线在pv图上的斜率。


图31定熵过程的图示


由式(32)整理，可得
pvs=-κpv(37)
式(37)说明该曲线在pv图上是一斜率为负值的曲线，且随p增大、v减小，pvs增大，说明是一凹曲线。如图31(a)所示，1为初始状态，可分别向2和2′两个方向变化，分别代表膨胀和压缩。
4. 定熵过程中的能量转换
将q=0代入热力学第一定律式，可以得到绝热过程中热力系统所做的膨胀功和技术功分别为
w12=-Δu12=u1-u2(38)

wt12=-Δh12=h1-h2(39)
式（39）说明，热力系统在绝热过程中所做膨胀功等于热力学能的减少，所做技术功等于焓的减少。注意该式可适用于任何工质，对过程可逆、不可逆也没有限制。唯一的要求就是： 绝热过程。
对于理想气体，应用定比热容条件式，得
w12=cV(T1-T2)=Rgκ-1(T1-T2)

=RgT1κ-11-T2T1=1κ-1(p1v1-p2v2)(310)

wt12=cp(T1-T2)=κRgκ-1(T1-T2)

=κRgT1κ-11-T2T1=κκ-1(p1v1-p2v2)(311)
再加入可逆条件，将定熵过程的过程方程式(33)代入，得
w12=RgT1κ-11-p2p1κ-1κ(312)

wt12=κRgT1κ-11-p2p1κ-1κ=κw12(313)
式（313）说明： 定熵过程所做的功与初始温度T1和压力比p2p1有关，T1越高，p2p1越小，功越大，且技术功是容积功的κ倍。
由于绝热过程中热力系统与外界无热量交换，由比热容定义式知，绝热过程的比热容为零，即
cs=δqdT=0(314)
说明在绝热过程中，即使没有加热，工质温度也能升高(绝热压缩)或下降(绝热膨胀)，再一次说明比热容是一个过程量。
3.1.2可逆多变过程
如果热力过程的过程方程为
pvn=C(315)
其中n为一定值，该热力过程就称为多变过程。n称为多变指数，当n取不同的定值时，多变过程将会是一系列具有不同性质的过程。因此，多变过程是一系列热力过程的总称。尤其是当n取以下几种数值时，将代表理想气体的四个典型热力过程： 

当n=0时，pv0=p=C，即为定压过程； 
当n=1时，pv=C或T=C，即为定温过程； 
当n=κ时，pvκ=C，即为定熵过程，但注意是在定比热容条件下； 
当n→±∞时，p1nv=p0v=nC，即为定容过程。
实际工程中遇到的过程都没有这么典型，n不可能严格地取上述数值，如压缩过程既不能完全绝热(定熵过程)，也不能充分散热(等温过程)，只能介于两者之间，反映在指数上就是1<n<κ。但只要在整个热力过程中n保持为一个常数，就是多变过程。
仿照式(35)和式(36)，将理想气体状态方程式代入式(315)，可得其他基本状态参数间的关系为
Tpn-1n=C或T1pn-1n1=T2pn-1n2(316)

Tvn-1=C或T1vn-11=T2vn-12(317)
若已知多变过程线上两点(p1，v1)和(p2，v2)，代入式(315)，取对数并整理，可得
n=lnp2p1lnv1v2=lnp2-lnp1lnv1-lnv2(318)


图32多变过程的图示

由式(318)可知，当n为常数时，lnp和lnv呈线性关系。若把过程线上的各点都画在lnplnv图上时，它们会在一条直线上，如图32所示，此直线的斜率即为多变指数n。如果各点没有在一条直线上，说明该过程不是多变过程。这时也可以画一条接近于该过程的直线来近似地把它看作多变过程，过程线上的点偏离该直线的远近就反映了该过程对多变过程的近似程度，该直线的斜率也就是该过程多变指数n的平均值。通过热力学的方法求解多变指数是内燃机在测试压力燃烧曲线确定上止点位置的一种有效方法。

3.2基本热力过程的综合分析
3.2.1多变过程的能量转换

在一般的多变过程中，热量和功量都不确定，将过程方程式和状态方程式代入容积功定义式，积分得容积功为
w12=∫21pdv=∫21Cvndv=∫21p1vn1dvvn=p1vn11n-11vn-11-1vn-12

=p1v1n-11-v1v2n-1=RgT1n-11-p2p1n-1n=Rgn-1T1-T2

=1n-1(p1v1-p2v2)(319)
显然，式(319)与式(310)和式(312)非常相似，只是以多变指数n代替了定熵指数κ。因此也可以类似地将过程方程式和状态方程式代入技术功定义式积分得到技术功。但这里通过另一种方法得到技术功，即一般性地证明： 多变过程的技术功是容积功的n倍。
将过程方程式微分得
vndp+npvn-1dv=0
整理得
-vdp=npdv(320)
或写为
δwt=nδw(321)


图33技术功与容积功的图示



积分式为
wt=nw(322)
或写为
n=δwtδw=wtw=A1A2(323)
可见，多变指数n等于多变过程的技术功和容积功之比，即为pv图上面积A1和A2之比(见图33)。这也可以作为多变指数n的物理意义。当热力过程近似为多变过程时，该式也是在式(318)之外求取多变指数n平均值的又一种方法。这样，结合式(319)可得技术功为
wt12=-∫21vdp=nRgT1n-11-p2p1n-1n

=nRgn-1(T1-T2)=nn-1(p1v1-p2v2)(324)
由热力学第一定律表达式得多变过程的热量为
q=Δu+w=cV(T2-T1)+Rgn-1(T1-T2)=cV-Rgn-1(T2-T1)

=cV-(κ-1)cVn-1(T2-T1)=n-κn-1cV(T2-T1)=cn(T2-T1)(325)
根据比热容定义式知，式(325)中的cn为多变过程的比热容，即
cn=n-κn-1cV(326)
特别地，当n=0时，c=κcV=cp，即为定压过程比热容，称为比定压热容； 当n=1时，c→±∞，即为定温过程比热容，无论加(放)多少热量温度都不变； 当n=κ时，c=0，即为定熵过程比热容，温度的升高或下降不是靠加(放)热，而是靠做功； 当n→∞时，c=cV，即为定容过程比热容，称为比定容热容。
式(326)说明，比热容cn不仅取决于物性参数(cV和κ)，而且取决于热力过程(n)。正如2.5节所述的那样是一个过程量，不同的热力过程具有不同的比热容。从式(325)吸热量的构成来看，吸收的热量中一部分用来使工质热力学能升高(cV(T2-T1))，另一部分对外做功消耗了Rgn-1(T1-T2)，这个做功量是一个过程量，因而比热容也必然是过程量。如果说吸热全部用来使热力系统工质热力学能升高的话，只有定容过程是这样的，即cV是全部用来使工质热力学能升高的吸热量，因而也就是仅仅取决于工质物性的“真正的比热容”。而其他热力过程的比热容cn与cV之比n-κn-1实际上反映了多变过程中总吸热量与工质的热力学能升高所吸热量之比。
式(319)、式(324)和式(325)都不适用于n=1的定温过程。对定温过程，应用热力学第一定律式，并将过程方程pv=C和状态方程式代入容积功表达式积分，可得
qt12=wt12=∫21pdv=RgT∫21dvv=RgTlnv2v1=RgTlnp2p1(327)
3.2.2多变过程的pv和Ts图及其应用
要确定各个多变过程曲线在pv和Ts图上的走向，仍然要知道一阶导数dTds和dpdv。由式(320)得
pvn=-npv(328)
由式(325)得
ds=δqT=cndTTds=δqT=cndTT
整理得
Tsn=Tcn(329)
由式(328)和式(329)可知： 
对定压过程线，n=0，pvp=0，Tsp=Tcp>0，pv图上为一水平线，在Ts图上为一递增曲线，且随T增加，pvp也增加，为一凹曲线。
对定温过程线，n=1，pvT=-pv<0，TsT=0，pv图上为一递减曲线，且随v增加，p增加，pvT减少，为一凹曲线。Ts图上为一水平线。
对定熵过程线，n=κ，pvs=-κpv<pvT，pv图上为一斜率比定温线陡的递减曲线，且随v增加，p下降，pvs下降，为一凹曲线。Tss→∞，Ts图上为一垂线。
对定容过程，n→±∞，pvv→∞，pv图上为一垂线。Tsv=Tcv>TcpTsp>0，Ts图上为一斜率比定压线陡的递增曲线，且随T增加，Tsn增加，为一凹曲线。
四个典型热力过程如图34所示。并且可以证明： 同温度下，在Ts图上各同类曲线之间相互平行。同类曲线是指具有相同多变指数的过程曲线。


图34典型热力过程的图示


如图35所示，对定压曲线p1和p2上1，2两点，因为T1=T2，由式(329)得Tsp1=T1cp=T2cp=Tsp2； 同理Tsp3=Tsp4，所以曲线13和曲线24平行。
但注意在pv图上各同类曲线却不平行。如图36所示，对定温曲线T1和T2上1，2两点，由于p1=p2，但v1<v2，由式(328)得pvT1=-p1v1<-p2v2=pvT2，同理，pvT3<pvT4。



图35定压过程在Ts图上的表示




图36定温过程在pv图上的表示


所以曲线24比曲线13更平坦。因此，在pv图上各同类曲线的变化趋势是： 随v增大，愈发平坦。
此外，在Ts图上(见图35)，因为T1=T2，所以s2-s1=cplnT2T1-Rglnp2p1=-Rglnp2p1，又因为s1<s2，所以p1>p2，即定压线向左上方p增加。同理可证： 定容线向左上方v下降。
在pv图上(见图36)，由于p1=p2，所以s2-s1=cplnv2v1+cVlnp2p1=cplnv2v1，又因为v1<v2，所以s1<s2，即定熵线向右上方s增加。同理可证： 定温线向右上方T增加。

在熟悉了四个典型热力过程在pv图和Ts图上的位置后，就可以确定任意一个多变过程在pv图和Ts图上的位置。由于在图中各过程的值是随n值增大，从定压线(n=0)沿顺时针方向逐渐增大的，因此，不难理解如下规律： 
当-∞<n<0时，多变曲线位于定容线与定压线之间，即Ⅰ，Ⅴ区间(见图34)； 
当0<n<1时，多变曲线位于定压线与定温线之间，即Ⅱ，Ⅳ区间； 
当1<n<κ时，多变曲线位于定温线与定熵线之间，即Ⅲ，Ⅶ区间； 
当κ<n<+∞时，多变曲线位于定熵线与定容线之间，即Ⅳ，Ⅷ区间； 
图34中分别画出了n=1.2和n=1.8的过程线，分别位于Ⅲ，Ⅶ区间和Ⅳ，Ⅷ区间。
此外，四个典型热力过程还分别代表了不同参数的正负分界线。如定压过程是压力功(技术功)的分界线，当多变过程由起点开始向p减小的Ⅱ~Ⅴ区间进行时(见图34)，热力系统对外界做技术功； 反之，由起点开始向p增大的Ⅰ及Ⅵ~Ⅷ区间进行时，外界对热力系统做技术功。同理，定温过程是理想气体热力学能和焓的分界线，定熵过程是热量的分界线，定容过程是容积功的分界线，图34中用箭头分别表示各参数大于零的方向。这样，对任意一个多变过程，根据它在pv图和Ts图上的位置和走向，就可以判断过程中能量转换的方向和状态变化的方向。如对n=1.8的过程，当它向Ⅷ区间方向进行时，工质受到压缩，压力升高，即外界对热力系统做容积功和技术功，同时又从外界吸热，故温度升高，热力学能和焓升高，且升速很快，甚至比绝热过程还快。
理论上，多变指数n可以在-∞~+∞范围内变化，但由过程方程式(315)可知，当-∞<n<0时，随p增加，v也增加，这在工程上很少见。因此，图34中Ⅰ，Ⅴ区间一般空缺。对压缩过程，如前所述。n=1.8的过程工程上也很少见，因为一般不可能在压缩时还加热。常见的情况是随压缩温升向外散热，或随膨胀温降从外界吸热，即1<n<κ。
例3.1温度为1100K，压力为0.785MPa的空气，按n=1.25的多变过程膨胀至外界大气压力为0.1MPa，试将这个过程表示在pv图和Ts图上，并求终态的温度、膨胀功、技术功、过程的热量及过程的熵增。
解物理模型： 选择膨胀的空气为热力系统。由于1<n<κ，故热力过程介于定温和定熵过程之间，如图37所示。


图37例3.1图


数学模型及求解： 对该热力系统列过程方程式(316)，可直接解得
T2=T1p2p1n-1n=1100×0.10.7851.25-11.25=728.5K
直接由式(319)得容积功为
w12=Rgn-11-p2p1n-1n=0.287×11001.25-1×1-0.10.7851.25-11.25=426.5kJ/kg
由式(322)得技术功为
wt12=nw12=1.25×426.5=533.1kJ/kg
由热力学第一定律表达式，得多变过程的热量为
q12=Δu12+w12=cV(T2-T1)+w12

=0.2871.40-1×(728.5-1100)+426.5=159.59kJ/kg
或直接由式(325)得
q12=cn(T2-T1)=n-κn-1cV(T2-T1)

=1.25-1.401.25-1×0.2871.40-1×(728.5-1100)=159.93kJ/kg
过程的熵增为
Δs12=s2-s1=cplnT2T1-Rglnp2p1=Rgκκ-1lnT2T1-lnp2p1

=0.287×1.401.40-1×ln728.51100-ln0.10.785=0.1774kJ/(kg·K)
讨论及结论： 热量为正表示该过程是一个加热过程，同时导致熵增加。但加热反而使气体的温度下降，说明该过程比热容为负值，这是因为该过程中膨胀功(或技术功)大于加热量从而使气体热力学能(或焓)减少。比热容是一个过程量，温度不是热量传递的标志，熵才是热量传递的唯一标志。
3.3变比热容定熵过程
在以下两种情况下，比热容随温度变化的累计误差不能忽略不计： 一是比热容本身随温度变化比较大； 二是温度变化范围比较大。如果考虑比热容随温度变化，3.2节中的表达式就不适用了。关于理想气体变比热容时热力学能、焓和熵的计算，这里要关注的主要是变比热容条件下定熵过程方程式(32)如何描述的问题。
变比热容条件下定熵过程方程为
Δs12=∫T2T1cpdTT-Rglnp2p1=0(330)
整理可得
lnp2p1=lnp2/p0p1/p0=lnpr2pr1=1Rg∫T2T1cpdTT

=1Rg∫T2T0cpdTT-∫T1T0cpdTT=1RgsT2-sT1
即
lnpr2pr1=1Rg(sT2-sT1)(331)
式中： p0，T0是任意选定的参考压力和参考温度； pr称为相对压力； sT称为定熵函数，它们都仅仅是温度的函数。由上面推导可知： 
pr=pp0(332)

p2p1=pr2pr1(333)

sT=∫TT0cpdTT(334)
实际上，sT就被用来对变比热容过程的熵进行计算。sT就是熵的一部分，是由于温度变化引起的熵增，具有熵的量纲。式(330)~式(334)也可以直接由变比热容熵表达式得到。由式(331)还可以得到pTT变化的关系。这样，若已知初始条件(p1，T1)，以及终态的一个参数T2或p2，则由式(331)就可解得终态的另一个参数p2或T2，具体来说，就是直接由附录查得pr2或T2，再由式(333)得到p2。显然，在这里，式(331)或者附录就代替了定比热容时的定熵过程方程式(35)。因此，变比热容时的定熵过程方程就是式(331)。需要注意的是： 选取p0，T0，pr和sT的具体值会有所不同，但不会影响结果。查表时要保持一致性，使用同一个表，知道了p2，T2后，可以直接用状态方程计算得到v2，但也同样可以定义一个相对比体积或相对体积
vr=vv0(335)
同理可证： vr也仅仅是温度的函数。因此在附录中同样列出了vr随温度T的变化，可直接由T或pr查取。
对于变比热容可逆绝热过程中功的计算，由热力学第一定律，仍然可用式(38)和式(39)计算，其中，热力学能、焓的变化按照变比热容方法进行。

3.4热力过程的综合应用
压缩气体在工程实际中具有广泛的用途。压缩空气作为动力，可以驱动各种风动机械、风动工具，如气钻、气锤等。可用于控制仪表及其自动化装置。压缩气体还常用于车辆制动，门窗启闭，大、中型柴油机的启动。此外，在各种热能动力装置如发动机、燃气轮机、航空发动机中也需要高压空气进行强化燃烧和做功。压缩空气还用于制冷和气体分离，气体经压缩、冷却、膨胀而液化，用于人工制冷(冷冻、冷藏及空气调节)，如氨或氟利昂的压缩。另外，液化的气体若为混合气时，可在分离装置中将各组分分离出来，得到纯度合格的各种气体。如空气液化分离后，能得到纯氧、纯氮和纯的其他稀有气体。可以说，压缩气体是工业