第5章分形结构标签工程设计实例5.1分形结构天线的基本理论〖*4/5〗5.1.1分形简介分形利用其自身的结构让人们可以更好地表述大自然。分形看起来并不是很有规律的几何体，但是其构成却具有潜在的规则，并在所有尺度上具有精细的结构。究竟何谓分形呢？分形理论是一门新兴的非线性科学，它给自然科学、社会科学、工程技术、文学艺术等极广泛的学科领域提供了新的科学方法和思考方式，具有非常高的应用普遍性。
分形理论在最开始就是分形几何学，事实上，到目前为止，对于分形并没有完整、精确且被公认的定义，然而绝大多数的分形都具有一些共性。首先就是自相似性，当将分形的某个部位呈比例缩小或放大时，你会发现它的局部和整体是相似的。当我们从距离地球几万千米的高空往下看时，具有无数个海湾和岛屿的海岸线看起来是锯齿状的粗糙线，当我们沿着海岸线的轮廓往前走时，会发现此时的海岸线看起来也是锯齿状的粗糙线，甚至从蚂蚁的视角来看，当其沿着颗粒状的沙子往前慢慢行走时，现象亦是如此。这些从不同尺度上进行观察但都相似的结构其实就是分形。作为对比，当我们从太空看海岸线上的一个球时，它会是一个点，当我们沿着海岸线走时会发现它看起来是个球，而在蚂蚁看来它会是一个巨大无比的球。很明显，对于不是分形的欧几里得几何体，从不同的尺度观察会得到本质完全不同的外观。
分形可以分为很多类型。图51给出了几个很典型的分形例子。其中，图51(a)为Mandelbrot几何；图51(b)为分形树图；图51(c)为非常经典的Julia分形集；图51(d)为Sierpinski基垫分形集。
图51四种经典分形集
不难看出，分形的自相似性分为两种，一种是统计性的近似自相似；另一种是非常严格的完全自相似。从图51的前三张图可以看出，将分形的局部放大后得到的图形和整体是非常相似的，但并不完全是整体的复制。而完全自相似如图51（d）所示，图的次阶分形放大后和整体是完全相同的。不论是整体自相似的分形还是完全自相似的分形，它们的构成方式都是递推和迭代，这个构成方式和传统欧几里得几何体形成了鲜明的对比，因为欧几里得集合大都是用公式定义的。分形虽经过了长时间的发展，但却没有非常精确的定义，人们最熟知的定义有两种，第一种是Mandelbrot创立的定义： ①部分与整体以某种形式相似的形态称为分形；②若集合A的豪斯道夫分维数大于其拓扑维数，那么称A为分形集。通常来讲，分形维不是整数。第二种是Falconer创立的定义，Falconer称F是分形集合。他认为F具有以下6个典型的性质： ①F可以是几何图形，也可以是模型，它具有不规则性，使得它的局部和整体很难用传统的几何语言概括；②F具有精细的结构，在任意小的比例尺度内均包含了整体特性；③F一般具有某种自相似性特性；④通常情况下，F的Fractal维数大于Topology维数；⑤通常来讲，F可以通过递推、迭代等比较简单的方式产生；⑥分形结构的相似性具有层次结构方面的区别。对于分形来讲，完全自相似的精确分形非常少，这种理想的分形结构只能在数学上通过精确定义实现。其实，绝大多数分形都是近似的，有时它可能只具备上面的某几项条件，我们仍然可以称其为分形。
虽然在数学上定义分形可以无限缩放，但由分形构成的很多几何体，比如海岸线、树或者自然集合体等都属于无规分形，这类分形的自相似存在范围为无标度区间，超出此区间，自相似性便不复存在。因此，我们也试图用分形定义一些物理现象，尽管它们只有分形的某些特性，或者只具备多层尺度但不是无限的。在统计学分形领域，这些结构被称为有限宽分形，这些结构的创建方式其实和分形是一样的，但是当它们的下一个迭代尺寸小于某些特定值时，迭代操作就停止了，最后的结构就只剩下上边界的分形。对于完全自相似分形来说，类似的概念是预分形，通过分形的创建规则进行若干次迭代以后就停止。有限宽分形和预分形在有限的尺度内显现出了自相似特性，虽然它们并不是严格意义上的分形，但我们依然可以将这些有限宽分形、预分形统称为分形。
5.1.2分形维数1. 维数的引入通过四个分形集我们发现，分形结构对空间的填充能力和欧几里得几何是不同的。比如树状分形，很明显它的空间填充能力比平滑曲线要强得多，但是仍然不能够填充整个平面。Cantor集包含了数不清的点，但是没有包含整个区间，它的空间填充能力似乎不如直线。因此，由于分形无限大的缩放标尺，并不能把分形看作一个无限小区域的N维欧氏集合体。以上情况表明，分形具有的维数或许和欧式几何物体不同，我们必须重新研究分形维数的理念。
如果想测量单元间距［0，1］的长度，可以数一下用来覆盖此间距需要用的间距长度为δ的个数。采用长度的传统理念，我们需要N［0，1］δ=1δ1 （51）用这么多的线段覆盖［0，1］。如果要测量更长或更短的间隔，则用N［0，1］乘以适当的常数(单元间距的长度），即δ-1保持不变。类似的，如果想测量单元区域［0，1］×［0，1］，则可以计算需要多少个δ覆盖，即N［0，1］×［0，1］（δ）=1δ2 （52）通常来讲，如果要测量物体［0，1］n的尺寸，则覆盖物体的个数可由下式算得。N［0，1］nδ=1δn （53）即覆盖物体需要边长为δ的个数为δ-n，这里的指数其实就具有维数的意思。对于直线，n=1，对于平面，n=2，对于立方体，n=3，对于欧氏几何体，n为整数，设想如果这里的n为分数，那么会是什么情况呢？
当测量一个单位线段时，如果标尺的长度δ=1，那么测量需要的次数为N=1，由此得出的长度为l=N×δ。如果选择δ=1/2，那么N=2，如果δ=1/3，那么N=3，类似的，δ越来越小，N就会变得越来越大，而长度l始终为1。
然而在实际生活中，很多自然物体的图形并不是规则的，而是非常粗糙的，它们并不存在上面的测量关系，比如极其蜿蜒的海岸线。在人们的意识中，海岸线肯定存在一个具体的长度，比如某某国家的海岸线有多长等(如图52所示)。
美国数学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot)在美国权威的Science期刊上发表了一篇题为How long is the coast of Britain? 的论文，他对海岸线的本质所做的独特分析震惊了当时的学术界，其实Fractal一词最初就出现在这篇文章中。这看起来似乎是一个很容易的问题，长度的测量由测量单位决定，如果我们采用1m为单位进行海岸线长度的测量，那么小于1m的一些弯曲和折线都不会测量到（如图53所示)，如果以0.1m为单位进行海岸线长度的测量，就能测出一些被忽略的迂回曲折，这样测量得到的长度便会增大，如果把测量单位继续减小到0.01m甚至更小，那么长度会更长。这些不断增加的长度将趋近于一个极限值，最终测量的长度结果就是这个极值。这看起来已经是最后的长度测量结果了，可是曼德布罗特还认为，如果测量单位继续变小，那么测量的长度结果应该是无限大的。也就是说，海岸线在某种程度上是无限长的。正如上面提到的，当我们从高空往下看时，海岸线看起来是锯齿状的粗糙线，当我们沿着海岸线的轮廓往前走时，会发现此时的海岸线看起来也是锯齿状的粗糙线，甚至从蚂蚁的视角来看，现象亦是如此。采用的比例尺度不同，观察到的现象都是类似的。因此，如果更加精确地分析海岸线这样复杂而又具有自相似特性的结构，若只采用长度概括已远远不够，分形维数的引入是非常必要的。
图52某国海岸线的示意图
图53某国海岸线的近似测量
2. 维数的计算
分形维数的引入是分形集合非常重要的特性，它关乎分形这门学科的优势及其存在的价值，它不仅是欧几里得维数的扩充，还具有很多新内涵。如前面所说，分形并没有完整而精确、一致公认的定义，它的度量也很难有精确的定义，并没有一个数学公式可以概括或计算，只能根据特定的分形给出对应的维数计算方法。比较常见的有盒维数、Hausdorff维数、自相似维数、拓扑维数、信息维数、关联维数等。这里简单介绍几种最常用的分形维数的计算方法。 
盒维数(Box Dimension，写作Db)也称为容量维数，定义简单且容易计算，所以盒维数的应用场合也比较多。对于面积为S的两维区域Ω，如果它可由N个边长为λ的单元正方形覆盖，则 N(λ)=Sλ2取对数, lnN(λ)=lnS+2ln1λ（54）取极限，由此可得到Ω的维数为limλ→0lnN(λ)ln(1/λ)=2=dimΩ （55）对于体积为W的三维区域Ψ，如果它可由N个边长为l的单元立方体覆盖，则 
N(λ)=Wλ3同上取对数,lnN(λ)=lnW+3ln1λ
由此可得Ψ的维数为limλ→0lnN(λ)ln(1/λ)=3=dimΨ （56）对于一般点集QRn，如果它可由N个边长为λ的n维体覆盖，则Db=limλ→0lnN(λ)ln(1/λ) （57）称其为点集Q的盒维数或容量维数。不难发现此定义隐含了一个问题，即当我们选择不同的覆盖方式时，采用的盒子的数目是不同的，为了避免产生歧义，一般取最小的计算结果作为其盒维数。
豪斯道夫（Hausdorff)维数。最早将维数从整数扩充到分数的就是Hausdorff 和Besicovitch。Hausdorff首先提出了空间是连续的，他认为在一维和二维之间还存在其他的分数维，对于任何一个有确定维数的几何体，当用与它相同维数的“标尺”测量时，会有一个结果值，称其为N，但是如果将标尺减小（低于被测物体维数)，那么结果可能会变得很大，当用高于其几何维数的“标尺”测量时，结果为0。Besicovitch发现，对于任意一个集合W总有一个实数D，当测量的维数d<D时，结果为无限大，当测量的维数d>D时，结果为0。我们称临界D为 W的豪斯道夫维数，即N(r)=r-DH（58）分别取对数，即DH＝lnN(r)ln1r （59）DH就是几何W的豪斯道夫维数。
自相似维数DS是分形的一个重要特性，因此自相似维数也是我们常用的定义方法。
如果我们把一个线段分成相同的M份，与整体相比每一份的缩放比例为δ=1/M，则Mδ1=1(当 M=3 时，如图54所示)。
如果我们把一个平面体分成相同的M份，与整体相比每一份的缩放比例为δ=1/M，则Mδ2=1(当 M=4 时，如图55所示)。
如果我们把立方体分成相同的M份，与整体相比每一份的缩放比例为δ=1/3M，则Mδ3=1(当M=8时，如图56所示)。
图54M=3，δ=1/3
图55M=4，δ=1/2
图56M=8，δ=1/2
如果几何结构A是由M个非重叠的部分A1,A2,A3,…,AM构成的，若将整体的每个部分Ai放大1/δi后会与A全等(0<δi<1,δ=1,2,3,…,M)，并且δi=δ，则该分形集合的维数为DS=lnM/ln(1/δ)（510）不难发现，自相似维数DS和豪斯道夫维数DH是非常相似的。事实上，拓扑维数DTOP、豪斯道夫维数DH、自相似维数DS存在以下关系，即DTOP≤DH≤DS（511）设信息维数Di涵盖Ui中的概率为Pi的分形集元素，那么该分形几何的信息维数Di为Di=∑Ni=1PilnPi/lnr（512）上面所提到的分形维数是比较常用的，对于不同的研究领域有着不同的定义方法，比如经济学、美术学、天文学、化学、生物学等领域都用到了分形的概念和理论，而这些领域里的分形维数都具有特定的含义。这里主要关注分形与电磁理论的结合，即分形电动力学。
5.1.3常用分形天线
1. Sierpinski 分形天线
分形集合中比较经典的一个结构就是Sierpinski垫片，不论是方形垫片还是三角形垫片，它们都有正常和互补两种结构，图57Sierpinski 垫片的结构下面介绍其中一种常用的结构，如图57所示，最初的结构为填充完全的等边三角形，然后在里面去掉一个尺寸为原来一半的反向三角形，从而形成3个更小的三角形，如此反复操作即可构造出Sierpinski三角形，其互补结构亦是如此。不难看出，Sierpinski垫片是严格的自相似分形，根据维数的计算公式，我们可以求得该分形的维数D=ln3/ln2=1.58。
在构造Sierpinski垫片的过程中，我们用到了仿射变换，将整体形态变换到局部，通过反复的迭代构造出满意的结构，这里用到的其实就是分形最基本的生成方式： 分形迭代函数系统(Iterated Function System，IFS)。IFS理论是经典几何的扩展，它是分形图像处理中最具生命力和应用前景的领域之一。在n维空间中，仿射变换能表示旋转、伸缩、反射和平移的组合，仿射变换的一般形式如下。wx′
y′=Fx
y+x0
y0,F=rcos-ssinψ
rsinscosψ（513）这里的F表示仿射的变换系数，决定了旋转量、偏移量和伸缩量，x0、y0决定了平移量。由于分形图形具备自相似性，因此可以找到N个仿真变换Wi(i=1,2,…,N)使得W(A)=W1(A)∪W2(A)∪W3(A)∪…∪WN(A)=∑Ni=1Wi(A)（514）
其中，A1＝W（A0）
A2＝W（A1）
…
AN＝W（AN-1）以上面提到的分形Sierpinski垫片为例，这里取3阶，其生成过程如以下公式所示。W1(x,y)=1/20
01/2x
y+1/4
0
W2(x,y)=1/20
01/2x
y+-1/4
0
W3(x,y)=1/20
01/2x
y+0
1/2  （515）IFS也被称为多重缩小机器(Multiple Reduction Copy Machines，MRCM)。最开始的单元A为发生器，Hutchinson操作规则为迭代，IFS是分形结构最常用的产生算法。Sierpinski被用来探究分形天线的多频特性有以下几个原因： 首先，它的电特性很容易和我们熟知的蝶形天线相比较；其次，Sierpinski的整体三角形结构非常适合在一端进行馈电。电磁波从天线底部往上传播，当波长和基垫的尺寸相匹配时，能量才能有效地辐射出去。从另一种方式来说，当电磁波从天线的某部分辐射出去时，天线的其他部位其实相当于是失去连接的。因此，对于由Sierpinski基垫构成的天线来说，它的形状在不同的尺度下仍是相似的，不同的尺寸可以辐射对应频率的电磁波，从而使天线具有多频段辐射特性。Sierpinski单极子天线一直是分形电动力学界的研究热点。
图58所示为Sierpinski单极子天线，天线地板为80cm×80cm的铝片底板，用50Ω的同轴电缆馈电。这里选用的是单极子结构，避免了需要使用巴伦的麻烦，因为这里的研究目标是宽带的阻抗特性，如果用偶极子结构就必须采用宽带的巴伦结构。天线的总高度为889cm(用矢量网络分析仪HP8510B测试)。此外，在工作站上通过数值算法FDTD和D0TIG43软件包进行天线计算。天线的阻抗、电抗和输入反射系数结果如图59所示。 
图58Sierpinski单极子天线
图59天线的阻抗、电抗和输入反射系数
从图59中我们可以看到分形天线的多频段特性，测试结果和数值计算结果非常吻合。Sierpinski单极子天线在5个频段都匹配得非常好（VSWR<2,Lr<9.5dB）。表51详细描述了天线的谐振频点、带宽以及两谐振点之间的间隔。表51Sierpinski单极子天线的测试参数
n(band n0)fn(GHz)BW(%)Lr(dB)fn+1/fnhn/λn10.527.15103.500.15321.749.04142.020.25833.5120.5241.980.26146.9522192.000.257513.892520—0.255其中，5个频点(fn）均在输入回波损耗的最低点选取，第3列描述的是各个频段的相对带宽（VSWR<2)，第4列为回波损耗，第5列为两个相邻谐振频率之间的比值，第6列为次垫片的高度hn与对应波长λn的比值。这里很有意思的一个现象就是天线相邻两谐振频点的比例为2，这刚好是Sierpinski垫片的缩放因子。谐振频点的数目和分形的迭代次数是相关的。也就是说，我们可以通过选择合适的迭代次数实现需要的多频特性。通过谐振点的位置和高度与波长的比值，我们可以推导出Sierpinski单极子天线的工作频率的经验公式为fn=0.26chδn （516）其中,c是真空中的光速，h是最大垫片的高度，δ是周期（δ=2)。
不难看出，垫片的周期特性在第1个谐振频段是有偏差的，无论是带宽、回波损耗还是两相邻谐振频点的间隔和后面的特性都不是一致的，这个现象主要是由截断效应导致的。
对于一个多频天线来说，只有阻抗具有多频特性是远远不够的，天线的辐射方向图也是必须要验证的。Sierpinski单极子在谐振频点的方向图如图510所示。 
图510Sierpinski垫片的辐射方向图（Eθ面）
从图510中我们可以看出，Sierpinski垫片的几个频段的方向图的整体特性是相似的，都有两个波瓣，并且天线在x轴方向有增大辐射的趋势，这是由于天线是平面的结构并且在yz面有很大的延伸。天线在θ方向基本为线极化，在最大方向的轴比平均约为20dB。在所有的频段，两主瓣之间的波谷均保持在30°左右，天线在z轴方向上的辐射最少。除了这些相似特性之外，各频段之间的方向图也有一些区别。比如： 随着频率的不断增加，接近顶点的波瓣形成了更多的波纹。我们可以把这一现象和这里的不具备多频特性的有限大地联系到一起，由于天线地板不具备收缩特性，它的尺寸远远大于高频的波长，从而导致了干扰辐射。
为了更好地研究Sierpinski单极子天线的辐射特性，利用时域有限差分方法(Finite Difference Time Domain，FDTD)计算了天线表面的电流分布。图511给出了 Sierpinski单极子天线的表面电流分布图。图511的右侧给出了对应每个频率的电流分布的主要区域的放大图。很有意思的一个现象就是右侧的每个电流分布图都是相似的，这也更好地解释了前面提到的方向图的自相似： 对于每个工作频段，电流主要分布在对应收缩比例的垫片上，这个区域对整个天线的辐射是有贡献的。当频率增加时，这个区域就会变得更小，电流到达不了天线的顶部。此时，天线的大部分区域相当于是没有连接的，这个现象和对数周期阵列天线是类似的。
图511Sierpinski垫片天线表面的电流分布
在Sierpinski单极子天线的多频特性被发现以后，下一步的工作就是探究改变天线的形状会对天线的特性产生什么样的影响。此外，在不影响天线多频特性的前提下，天线张角的形状极限也是很多学者关心的问题。Brown和Woodward探究了蝶形天线阻抗特性和展开角度之间的关系。整体来说，随着馈电张角的变大，输入阻抗和输入电抗都会减小。图512给出了天线张角分别为90°、60°和30°的3种Sierpinski天线，3种天线具有相同的高度。
图5123种张角不同的Sierpinski垫片天线
图513为3种Sierpinski天线的输入参数和类似的蝶形天线特性最低频区域的对比图。图513的横坐标参数是电长度，纵坐标为阻抗参数特性。
图513蝶形天线和Sierpinski垫片天线的比较
从图513中可以看出，Sierpinski天线和蝶形天线在第一个谐振频点展现出了非常相似的特性。在低频区域（<60°），两种天线的相似性非常明显，这是因为低频对应的波长非常大，Sierpinski天线上刻蚀的洞对天线的辐射影响特别小。两种类型的天线在第一谐振频率以后就开始展现出不同的特性。3种Sierpinski天线的输入阻抗和输入电抗在第三、第四谐振点处变化得特别大。
2. Koch分形天线
Koch曲线是由瑞典数学家Helge von Koch于1904年发现并命名的，它的生成方式如图514所示。Koch曲线的构造方法比较简单，首先给定一个初始图形（这里是一条线段），然后把这条线段三等分，将中间三分之一的部分用等边三角形的两条边代替，按照此方法无限进行下去即可构造出Koch曲线。当我们研究Koch天线的特性时，习惯和传统欧几里得