第3天
三角函数性质(下)

综述

昨天我们研究的是以函数的性质来求参数值问题，今天我们来研究由函数性质求参数的最值(范围)问题，在这一节的内容里要注意不等量关系的寻找和转化。
【题型一】单性质求最值(范围)问题
由三角函数的单一性质求参数的最值(范围)问题属于中等偏上难度，需要我们对单一性质有很好的理解和掌握。解题时最好能借助于图像寻找不等量关系，进而列出相应的不等式求解。
例1(2018新课标Ⅱ)若f(x)=cosx-sinx在0,a上是减函数，则a的最大值是()。
A. π4B. π2C. 3π4D. π
【解析】f(x)=cosx-sinx=-sinx-π4=sinx+3π4，令π2+2kπ≤x+3π4≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得-π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ(k∈Z)。令k=0,得f(x)在-π4,3π4上是减函数。因为f(x)=cosx-sinx在0,a是减函数，所以a的最大值是3π4。故选C。

例2(2018北京)设函数f(x)=cosωx-π6ω＞0，若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为。
【解析】因为f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，
所以f(x)的最大值在x=π4处取得，则π4ω-π6=2kπ(k∈Z)，解得ω=23+8k(k∈Z)。又ω＞0，所以ω的最小值为23。


【方法小结】
函数的对称轴与最值的关系：
(1) f(x)≤f(x0)对x∈R恒成立，则x=x0是函数的对称轴，且在该对称轴处取得最大值；
(2) f(x)≥f(x0)对x∈R恒成立，则x=x0是函数的对称轴，且在该对称轴处取得最小值。

【题型练习】
1.1(名校模拟题)若函数f(x)=2sin(4x+φ)(φ＜0)的图像关于直线x=π24对称，则φ的最大值为()。
A. -5π3B. -2π3C. -π6D. -5π6







1.2(名校模拟题)已知函数f(x)=sin2x+π3在区间［0,a］(a＞0)上单调递增，则实数a的取值范围是()。
A. 0＜a≤π2B. 0＜a≤π12
C. a=π12+kπ,k∈ND. 2kπ＜a≤π12+2kπ,k∈N


1.3(2018新课标Ⅱ)若f(x)=cosx-sinx在［-a,a］上是减函数，则a的最大值是()。
A. π4B. π2C. 3π4D. π

1.4(名校模拟题)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间π6,π2上是减函数，则a的取值范围是。

1.5(名校模拟题)已知函数f(x)=sinωx+π4(ω＞0)在π12,π3上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是。

1.6(2012新课标)已知ω＞0，函数f(x)=sinωx+π4在π2,π上单调递减，则ω的取值范围是()。
A. 12,54B. 12,34C. 0,12D. 0,2

1.7(2016天津)已知函数f(x)=sin2ωx2+12sinωx-12ω＞0，x∈R。若f(x)在区间π,2π上没有零点，则ω的取值范围是()。
A. 0,18B. 0,14∪58,1
C. 0,58D. 0,18∪14,58

1.8(名校模拟题)已知函数f(x)=sinωx+π6，其中ω＞0。若f(x)≤fπ12对x∈R恒成立，则ω的最小值为。

1.9(名校模拟题)设函数 f(x)=3sinπxm，若存在f(x)的极值点x0满足x20+fx02＜m2，则m的取值范围是()。
A. (-∞,-6)∪(6,+∞)B. (-∞,-4)∪(4,+∞)
C. (-∞,-2)∪(2,+∞)D. (-∞,-1)∪(1,+∞)

【题型二】多性质求最值(范围)问题
当题目涉及的性质不是单一性质而是多个性质结合时，题目的难度自然增大，可以成为小题的压轴题。所以，不光要对每一条单一性质有较深的理解，而且要能对它们之间的关系进行整合，并列出相应的不等式予以求解。
例1(2016新课标Ⅰ)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω＞0,｜φ｜≤π2，x=-π4为f(x)的零点，x=π4为y=f(x)图像的对称轴，且f(x)在π18,5π36上单调，则ω的最大值为()。
A. 11B. 9C. 7D. 5

【解析】由题意知-π4ω+φ=k1π,
π4ω+φ=k2π+π2,则ω=2k+1，其中k∈Z。因为f(x)在π18,5π36上单调，所以5π36-π18=π12≤T2，ω≤12。
接下来用排除法：
(1) 若ω=11，φ=-π4，此时f(x)=sin11x-π4，所以f(x)在π18,3π44上递增，在3π44,5π36上递减，不满足f(x)在π18,5π36上单调递减的条件。
(2) 若ω=9，φ=π4，此时f(x)=sin9x+π4，满足f(x)在π18,5π36单调递减。故选B。

例2(名校模拟题)已知函数f(x)=2sinωx+π3的图像的一个对称中心为π3,0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)。若对任意的实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1-x2|的最小值是()。
A. 1B. π2C. 2D. π

【解析】由题可得π3ω+π3=kπ(k∈Z)，所以ω=3k-1(k∈Z)。因为ω∈(1,3)，所以ω=2。又对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，
所以|x1-x2|的最小值为函数的半个周期，即T2=πω=π2。故选B。

【方法总结】
多性质求参数最值(范围)的大致步骤：
(1) 先逐个翻译单一性质；
(2) 结合图像整合性质；
(3) 列出不等式并求解。

【题型练习】
2.1(名校模拟题)设函数f(x)=3sinωx+cosωx(ω＞0)，其图像的一条对称轴在区间π6,π3上，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围为()。
A. 12,1B. (0,2)C. (1,2)D. ［1,2)


2.2(名校模拟题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω＞0,0＜φ＜π2，x=-π4为f(x)的零点，直线x=π4为y=f(x)图像的对称轴，且f(x)在π18,2π9上单调，则ω的最大值为()。
A. 11B. 9C. 7D. 5

2.3(名校模拟题)已知函数f(x)=4sinωx·sin2ωx2+π4-2sin2ωx(ω＞0)在-π2,2π3上是增函数，且在区间［0,π］上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是()。
A.(0,1］B. 0,34C. ［1,+∞)D. 12,34






第4天
三角函数的图像变换

综述

三角函数的图像变换是高考的常考点，难度中等。其出题有单纯的图像变换问题，也有跟性质结合在一起的问题，还会涉及相应的三角恒等变换知识。
【题型一】函数图像变换问题
关于图像变换问题主要是周期变换和平移变换，通常的变换都是同名函数间的变换，如遇异名函数间的变换，首先要通过诱导公式转化为同名函数间的变换。
例1(2016新课标Ⅲ)函数y=sinx-3cosx的图像可由函数y=sinx+3cosx的图像至少向右平移个单位长度得到。
【解析】将初始函数y=sinx+3cosx化简成y=2sinx+π3，将终止函数y=sinx-3cosx化简成y=2sinx-π3，由平移法则左加右减知，至少向右移2π3个单位。

例2(2017新课标Ⅰ)已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin2x+2π3，则下面结论正确的是()。
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
【解析】把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图像，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2x+π12=cos2x+π6=sin2x+2π3的图像，即曲线C2。故选D。






【方法小结】
1. 周期变换： 由y=sin(ω1x+φ)的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1ω2倍，得到y=sin(ω2x+φ)的图像。
2. 平移变换： 由y=sin(ωx+φ1)的图像平移φ2-φ1ω(＜0右移，＞0左移)个单位长度，得到y=sin(ωx+φ2)的图像。

【题型练习】
1.1(2016新课标Ⅰ)若将函数y=2sin2x+π6的图像向右平移π4个单位长度，则所得图像对应的函数为()。
A. y=2sin2x+π4B. y=2sin2x+π3
C. y=2sin2x-π4D. y=2sin2x-π3

1.2(2016新课标Ⅱ)若将函数y=2sin2x的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为()。
A. x=kπ2-π6k∈ZB. x=kπ2+π6k∈Z
C. x=kπ2-π12k∈ZD. x=kπ2+π12k∈Z

1.3(2018天津)将函数y=sin2x+π5的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数()。
A. 在区间-π4,π4上单调递增B. 在区间π4,π2上单调递减
C. 在区间π4,π2上单调递增D. 在区间π2,π上单调递减


1.4(2016四川)为了得到函数y=sinx+π3的图像，只需把函数y=sinx的图像上所有的点()。
A. 向左平行移动π3个单位长度B. 向右平行移动π3个单位长度
C. 向上平行移动π3个单位长度D. 向下平行移动π3个单位长度

1.5(2016四川)为了得到函数y=sin2x-π3的图像，只需把函数y=sin2x的图像上所有的点()。
A. 向左平行移动π3个单位长度B. 向右平行移动π3个单位长度
C. 向左平行移动π6个单位长度D. 向右平行移动π6个单位长度

1.6(2016新课标Ⅲ)函数y=sinx-3cosx的图像可由函数y=2sinx的图像至少向右平移个单位长度得到。

1.7(2020天津)已知函数f(x)=sinx+π3。给出下列结论：
① f(x)的最小正周期为2π；
② fπ2是f(x)的最大值；
③ 把函数y=sinx的图像上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图像。
其中所有正确结论的序号是()。
A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③


【题型二】图像变换与性质结合求参数问题
为提升题目的难度，通常会在图像变换后结合部分性质来求解参数的值，这类问题中图像变换是我们的信息传递，关键问题是后续的性质考查。
例1(2013山东)将函数 f(x)=sin(2x+φ)的图像沿 x 轴向左平移 π8 个单位长度后，得到一个偶函数的图像，则 φ 的一个可能取值为()。
A. 3π4B. π4C. 0D. -π4
【解析】f(x)=sin(2x+φ)向左平移π8 个单位长度得g(x)=sin2x+π8+φ=sin2x+π4+φ。由题设g(x) 为偶函数，则 π4+φ=π2+kπ，k∈Z。令k=0，得 φ=π4。

例2(2015湖南)将函数 f(x)=sin2x的图像向右平移φ0＜φ＜π2个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足 f(x1)-g(x2)=2的x1，x2，有｜x1-x2｜min=π3，则 φ=()。




A. 5π12B. π3
C. π4D. π6
【解析】由题意作图如图所示，可知φ+π3=π2，所以 φ=π6。故选D。


【方法小结】
正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性问题：
(1) φ=π2+kπ(k∈Z)时f(x)是偶函数；
(2) φ=kπ(k∈Z)时f(x)是奇函数。

【题型练习】
2.1(2013新课标Ⅱ)函数 y=cos2x+φ-π≤φ＜π 的图像向右平移 π2 个单位后，与函数 y=sin2x+π3 的图像重合，则φ=。

2.2(2014安徽)若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是()。
A. π8B. π4C. 3π8D. 3π4

2.3(名校模拟题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω＞0,|φ|＜π2的最小正周期为6π，且其图像向右平移2π3个单位长度后得到函数g(x)=sinωx的图像，则φ=()。
A. 4π9B. 2π9C. π6D. π3

2.4(名校模拟题)设ω＞0，函数y=sinωx+π3-1的图像向左平移2π3个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值是()。
A. 23B. 43C. 32D. 3