第3天
导数中的切线

综述
导数中的切线，一直是导数板块命题的热点，以含参的切线问题为主，考查考生对切线概念的理解，多为选择题、填空题或者解答题第一问，属于基础题。但有一些特殊的题型也会用到切线问题的方法，而这类题目难度较大，今天我们会分题型给方法带你突破导数中的切线问题。
【题型一】含参切线
例1(2014新课标Ⅰ)设函数f(x)=aexlnx+bex－1x，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线为y=e(x－1)+2，求a,b。
【解析】
f′(x)=aexlnx+1x+bex－1(x－1)x2=ex－1aelnx+1x+b(x－1)x2。
因为曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线为y=e(x－1)+2，所以

f(1)=2，


f′(1)=e，代入有a=1，

b=2。 

注： 切点满足三个条件： 在直、在曲、代横得k。
例2(2016新课标Ⅱ)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=。
【解析】设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln(x+1)的切点分别为
(x1,lnx1+2)和(x2,ln(x2+1))（切线未知，先要设切点哦！），则切线分别为

y－lnx1－2=1x1(x－x1)，y－ln(x2+1)=1x2+1(x－x2)，

化简得y=1x1·x+lnx1+1，y=1x2+1x+ln(x2+1)－x2x2+1，

依题意有k=1x1=1x2+1，

b=lnx1+1=ln(x2+1)－x2x2+1，解得x1=12，
从而b=lnx1+1=1－ln2。
【方法小结】
这类题目优先从题干条件中找切点，具体原则： 有“在”有切点，没“在”设切点。
如： 在点(1，2)处的切线，则点(1，2)就是切点； 
过点(1，2)的切线，则点(1，2)不一定是切点，通常设切点为(x0,y0)。
最后要充分利用切点满足的三个条件： 在直，在曲，代横得k。
【题型练习】
1．1(2018新课标Ⅰ)设函数f(x)=x3+(a－1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()。
A． y=－2xB． y=－xC． y=2xD． y=x
1．2(2016北京)设函数f(x)=xea-x+bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，求a,b的值。
1．3(2015新课标Ⅰ)已知函数f(x)=x3+ax+14，
当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线。

1．4(2013新课标Ⅰ)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2,求a,b,c,d的值。
1．5(2015新课标Ⅱ)
已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则a=。
1．6(2012北京)
已知f(x)=ax2+1(a>0)，g(x)=x3+bx,若曲线y=f(x)与y=g(x)在它们的交点（1,c）处具有公切线，求a,b。
【题型二】双函数与距离最值
例1
(2012新课标)设点P在曲线y=12ex上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|最小值为。
【解析】
设点(x0,y0)在曲线y=12ex上，则y0=12ex0,两边取对数化简得到ln(2y0)=x0,即点(y0,x0)在曲线y=ln(2x)上，则函数y=12ex与函数y=ln(2x)互为反函数，且关于直线y=x对称。要使|PQ|最小，则点P与点Q关于直线y=x对称，设Q（x,y），点Q到直线y=x的距离为d,则|PQ|=2d=2·|x-y|2=2·|x-ln2x|。令g(x)=x-ln2x(x>0),g′(x)=1-1x=x-1x,当x>1时，g′(x)>0； 当0<x<1时，g′(x)<0,所以g(x)min=g(1)=1-ln2,所以|PQ|min=2(1-ln2)。

注： 两个函数互为反函数时，图像关于直线y=x对称。
例2
（名校模拟题）若实数m,n,x,y满足（y+x2-3lnx）2+(m-n+2)2=0,则(x-m)2+(y-n)2的最小值为。
【解析】
依题意得y=-x2+3lnx,m-n+2=0，
（x-m）2+(y-n)2的最小值表示曲线
y=-x2+3lnx的点与直线m-n+2=0上的点的距离的平方的最小值。

注： 这里需要构造直线函数、曲线函数，转化为距离问题。
由函数得y=-x2+3lnx(x>0),则
y′=-2x+3x。
而与直线m-n+2=0平行的直线的斜率为1,
则-2x+3x=1，
解得x=1。把x=1代入y=-x2+3lnx,得
y=-1,
则切点坐标为P(1,-1),
则点P（1,-1）与直线m-n+2=0的距离
d=|1+1+2|2=22,
即(x-m)2+(y-n)2的最小值为d2=(22)2=8。
【方法小结】
双函数与距离最值问题是指直线上一动点到曲线距离的最小值问题，这类问题往往以两点间距离公式或其平方形式出现，根据题目条件需要构造直线函数、曲线函数，把问题转化为求直线上动点与曲线上动点距离的最小值，通常把直线平移到与曲线相切的时候，两条平行线之间的距离即是最小值。
【题型练习】
2．1（名校模拟题）已知实数a,b,c满足： a-2eab=1-cd-1=1,那么(a-c)2+(b-d)2的最小值为。
2．2(名校模拟题)
已知实数a,b,c,d满足lnab=c+3d=1,则(a-c）2+（b-d）2的最小值为。
2.3(名校模拟题)设实数a,b满足2a2-5lna-b=0,则(a-c)2+(b+c)2的最小值为。
2．4(名校模拟题)
已知函数f(x)=lnx的反函数为y=g(x)，若存在一条过原点的直线与曲线y=f(x)相切于点P,与曲线y=g(ax)相切于点Q，则点Q的坐标为。
【题型三】旋转的动直线
例1
（2014山东）已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）。
A. 0,12B. 
12,1
C. (1,2)D. (2,+∞)


图31


【解析】由题意得函数f(x)的图像与函数g(x)的图像有两个不同的交点，分别画出函数图像如图31所示。直线g(x)=kx过原点这个定点，寻找临界点，当直线过点（2，1）时，直线与函数f(x)=|x-1|+1只有一个交点，此时k=1-02-0=12,然后直线绕着原点逆时针旋转，当与f(x)在x>2时的图像平行时，就只有一个交点，所以12<k<1。故选B。


注： 这类题目难度较大，不仅要会画图，还要转动直线进行分析哦！
例2（2013新课标Ⅰ）已知函数f(x)=-x2+2x,x≤0，


ln(x+1),x>0。若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是（）。

A. (-∞,0］B. (-∞,1］
C. ［-2,1］D. ［-2,0］


图32


【解析】因为|f(x)|=x2-2x,x≤0,

ln(x+1),x>0,若a>0,则当x趋于正无穷时，ax>ln(1+x),与题意矛盾，所以a≤0,故只需满足动直线g(x)=ax在(-∞,0)落在f(x)=x2-2x之下即可。其临界情形是g(x)=ax与f(x)=x2-2x相切，即x2-2x=ax只有一个实数解，可得a=-2。如图32所示，动直线g(x)=ax逆时针旋转满足题意，因此a∈［-2,0］。故选D。


注： 这类题目难度较大，不仅要会画图，还要转动直线进行分析哦！
【方法小结】
这类题目一般都是直线含参，直线的斜率在变化，这样的直线往往都恒过某一个定点，对于这类题目首先找出这个定点非常关键，然后确定相应的临界情形，最后考虑旋转的方向，大多数题目的临界条件是直线与曲线相切，这个大家可以参考。
【题型练习】
3．1(名校模拟题)已知方程x(4-x)-ax-4=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围。
3．2（2012天津）已知函数y=|x2-1|x-1的图像与函数y=kx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是。
3．3（2014重庆）已知函数f(x)=1x+1-3,x∈(-1,0］,

x,x∈(0,1］,且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1］内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）。
A. -94,-2∪0,12B. -114,-2∪0,12
C. -94,-2∪0,23D. -114,-2∪0,23









第4天
具体函数单调性求参数范围

综述
具体函数单调性求参数范围，是高考导数的常见题型，主要考查学生对导数不等式的处理，会涉及分类讨论和转化与化归的思想，具有一定的综合性。今天我们会分题型给方法带你突破这类求参数的范围问题。
【题型一】求导二次型
例1(2016新课标Ⅰ)若函数f(x)=x－13sin2x+asinx在(－∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是()。
A． ［－1,1］B． －1,13
C． －13,13D． －1,－13
【解析】函数f(x)=x－13sin2x+asinx在(－∞,+∞)上单调递增，等价于
f′(x)=1-23cos2x+acosx=-43cos2x+acosx+53≥0在(－∞,+∞)上恒成立。
设cosx=t，则g(t)=－43t2+at+53≥0在［－1,1］恒成立，所以

g(1)=－43+a+53≥0，

g(－1)=－43－a+53≥0，

解得a∈-13,13。故选C。

注： 通过换元法引入新变量的时候，一定要先给出新变量的范围。
例2(2010新课标Ⅰ)已知函数f(x)=3ax4－2(3a+1)x2+4x。
(1) 当a=16时，求f(x)的极值； 
(2) 若f(x)在(－1,1)上是增函数，求a的取值范围。
【解析】(1) f′(x)=4(x－1)(3ax2+3ax－1)。
当a=16时，f′(x)=2(x+2)(x－1)2，f(x)在(－∞,－2)上单调递减，在(－2，+∞)上单调递增，在x=－2时，f(x)有极小值。
因此,f(－2)=－12是f(x)的极小值，f(x)无极大值。
（2） 若f(x)在(-1，1)上为增函数，则f′(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1)，即3ax2+3ax-1≤0在(-1，1)上恒成立。
① 当a=0时，3ax2+3ax-1=-1≤0恒成立。
② 当a>0时，g(x)=3ax2+3ax-1为开口向上的抛物线，其对称轴为x=-12,g(x)在(-1，1)上的最大值为g(1)，令g(1)=3a+3a-1≤0，得a≤16。
③ 当a<0时，g(x)=3ax2+3ax-1为开口向下的抛物线，其在(-1，1)上的最大值为g-12,令g-12=34a-32a-1≤0,得a≥-43。
综上，a的取值范围是-43，16。

注： 别忘了定义域哦，定义域可以很大程度简化这个题目！
【方法小结】
首先回顾原函数与导函数的关系： 
f(x)在(a,b)上单调递增等价于f′(x)≥0恒成立； 
f(x)在(a,b)上单调递减等价于f′(x)≤0恒成立。
这里“求导二次型”主要指影响导函数正负的因式是一个二次函数。根据已知函数的单调性，先将其转化为导函数的不等式，然后讨论二次函数值的符号，再来解不等式求参数的范围，要注意的是二次项系数含参要先讨论二次项系数。
特例： 
(1) 如图41所示，若要f(x)=ax2+bx+c≥0(a<0)在(m,n)上成立，只需满足f(m)≥0,

f(n)≥0。
(2) 如图42所示，若要f(x)=ax2+bx+c≤0(a>0)在(m,n)上成立，只需满足f(m)≤0，

f(n)≤0。


图41




图42


【题型练习】
1．1(名校模拟题)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R,设函数f(x)在区间－23,－13上是减函数，求a的取值范围。
1．2(名校模拟题)
已知f(x)=x3+ax2+bx+c,若f(x)在(-1，0）上单调递减，则a2+b2的取值范围为。
1．3(名校模拟题)
已知函数f(x)=x3-3(a-1)x2-6ax。当a>0时，若函数f(x)在区间［-1，2］上是单调函数，求a的取值范围。
1．4(名校模拟题)
已知函数f(x)=(-x2+ax)ex(a∈R)在［-1，1］上单调递增，求a的取值范围。
1．5(2015重庆)设函数f(x)=3x2+axex(a∈R)。
(1) 若f(x)在x=0处取得极值，试确定a的值，并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； 
(2) 若f(x)在［3,+∞)上为减函数，求a的取值范围。
1．6(2012江西)
已知函数f(x)=［ax2-(a+1)x+1］ex,a∈R。
(1) 若a=1,求函数f(x)的极值； 
（2） 若函数f(x)在区间［0，1］上单调递减，求a的取值范围。
【题型二】参变分离型
例1(2014江西)已知函数f(x)=(x2+bx+b)1－2x(b∈R)。若f(x)在区间0,13上单调递增，求b的取值范围。
【解析】
由f(x)=(x2+bx+b)1-2x可得

f′(x)=(2x+b)1-2x+(x2+bx+b)·12(1-2x)-12·(-2)

=-5x2-3bx+2x1-2x。
由f(x)在区间0,13上单调递增，
得f′(x)≥0对任意x∈0,13恒成立，
即-5x2-3bx+2x≥0对任意x∈0,13恒成立，
则b≤2-5x3min。
因为2-5x3>2-5×133=19,
所以b≤19,即b的取值范围为(-∞,19］。

注： 参变分离的时候一定要满足定义域。