第3章地下建筑结构设计计算理论 3.1土压力计算理论 3.1.1土压力及其分类 作用在挡土墙上的土压力是填土(填土和填土表面上的荷载)或挖土坑壁原位土对挡土墙结构产生的侧向土压力，它是挡土墙承受的主要荷载。土压力的计算涉及填料、墙身以及地基三者之间的共同作用。土压力的性质和大小与墙身的位移、墙体高度、墙后填土的性质等有关。根据墙的位移方向和大小，作用在墙背上的土压力可以分为主动土压力、静止土压力和被动土压力三种，见表31。其中，主动土压力的合力Pa最小，被动土压力的合力Pp最大，静止土压力的合力P0则介于上述两者之间，如图31所示。 表31土压力种类 类型出现土压力的情况示意图 静止土 压力当挡土墙静止不动时，墙后土体由于墙的侧限作用而处于静止状态，如图31中的O点。此时墙后土体作用在墙背上的土压力为静止土压力，其合力用P0表示 主动土 压力当挡土墙在墙后土体的推力作用下向前移动时，墙后土体随之向前移动。土体下方阻止移动的黏聚力和摩擦力发挥作用，使作用在墙背上的土压力减小。当墙向前移动达到-Δ值时，土体中产生的黏聚力和摩擦力全部发挥作用，此时墙后土体达到主动极限平衡状态，墙背上作用的土压力减至最小。因土体主动推墙，则此压力称为主动土压力，其合力用Pa表示 续表 类型出现土压力的情况示意图 被动土 压力若挡土墙在巨大的外力F作用下向后移动推向填土，则填土受墙的挤压，使作用在墙背上的土压力增大。当挡土墙向填土方向的位移量达到+Δ时，墙后土体即将被挤出且产生滑裂面AC，在此滑裂面上的抗剪强度全部发挥，墙后土体达到被动极限平衡状态，墙背上作用的土压力增至最大。因是土体被动地被墙推移，则此压力称为被动土压力，其合力用Pp表示 3.1.2静止土压力 当挡土墙具有足够的截面并且建立在坚实的地基上(例如基岩)时，墙在墙后填土的推力作用下不产生任何移动或转动，同时墙后土体没有破坏而处于弹性平衡状态，这时作用于墙背上的土压力称为静止土压力p0，如图32所示。 图31土压力与墙体位移的关系 图32静止土压力计算图 根据弹性半无限体的应力和变形理论，深度z处静止土压力p0为 p0=K0γz(31) 土的自重应力σz为 σz=γz(32) 式中： γ——土的重力密度，简称重度，kN/m3； K0——静止土压力系数，可由泊松比 μ来确定，K0=μ1-μ，针对不同工程土体情况取不同值，见表32。 表32不同工程土体的泊松比和静止土压力系数 类型μK0 砂土0.20～0.250.25～0.33 黏性土0.25～0.400.33～0.67 理想刚体0.000.00 液体0.501.00 在均质土中，静止土压力与计算深度呈三角形分布，对于高度为H的竖直挡墙，取单位墙长，则作用在墙上静止土压力的合力值P0为 P0=12K0γH2(33) 式中： H——垂直挡墙高度,m； P0——墙上静止土压力的合力，方向水平，作用点在距墙底H/3高度处,kN/m。 静止土压力系数K0也可以在室内由三轴仪或在现场用原位自钻式旁压仪等测试得到。缺乏试验资料时，可以按表33估算K0值。 表33K0经验计算公式表 序号土的类别计 算 公 式 1砂性土K0=1-sinφ′ 2黏性土K0=0.95-sinφ′ 3超固结黏土K0=OCR(1-sinφ′) 注： 表中 φ′为土的有效内摩擦角； OCR为土的超固结比。 《公路桥涵设计通用规范》(JTG D60—2015)给出了静止土压力系数的参考值，见表34。 表34《公路桥涵设计通用规范》给出的K0参考值 类别K0 砾石、卵石0.20 砂土0.25 粉质砂土0.35 粉质黏土0.45 黏土0.55 例31设计一堵基岩上的挡土墙，墙高H=6.0m，墙后填土为中砂，重度γ=18.5kN/m3，有效内摩擦角φ′=30°。计算作用在挡土墙上的土压力。 解因挡土墙位于基岩上，因此按静止土压力公式(33)计算： P0=12γH2K0 =12×18.5×62×(1-sin30°)kN/m =166.5kN/m 总静止土压力作用点位于距底部H/3=2m处。 3.1.3朗肯土压力理论 1857年英国学者朗肯(Rankine)研究了土体在自重作用下发生平面应变时达到极限平衡的应力状态，建立了计算土压力的理论。由于其概念明确、方法简便，因此至今仍被广泛应用。 1. 基本假设 朗肯土压力理论是根据半空间的应力状态和土的极限平衡条件得出的土压力计算方法，又称为极限应力法，见图33。 图33半空间的极限平衡状态 (a) 半空间内的单位微体； (b) 半空间的主动朗肯状态； (c) 半空间的被动朗肯状态； (d) 用摩尔圆表示主动和被动朗肯状态 朗肯理论的基本假设： (1) 墙本身是刚性的，不考虑墙身的变形； (2) 墙后填土延伸到无限远处，填土表面水平； (3) 墙背垂直光滑，墙后土体达到极限平衡状态时产生的两组破裂面不受墙身影响。 图33(a)表示一表面为水平面的半空间，即土体向下和沿水平方向都伸展至无穷，在距地表z处取一单位微体M，当整个土体都处于静止状态时，各点都处于弹性平衡状态。设土的重度为γ，显然M单元的垂直法向应力等于该处土的自重应力， σz=γz，而水平法向应力为σx=K0γz。 由于土体内每一竖直面都是对称面，因此垂直面和水平面上的剪应力都等于零，因而相应截面上的法向应力 σx和 σz都是主应力，此时的应力状态用摩尔圆表示为如图33(d)所示的圆Ⅰ，由于该点处于弹性平衡状态，故摩尔圆不与抗剪强度包络线相切。 设想由于某种原因使整个土体在水平方向伸展或压缩，土体由弹性平衡状态转为塑性平衡状态。如果土体在水平方向伸展，则M单元在水平截面上的法向应力σz不变，而垂直截面上的法向应力σx却逐渐减少，直至满足极限平衡条件为止(称为主动朗肯状态)，此时σx达到最低限值σa。因此，σa是小主应力，而σz是大主应力，并且摩尔圆与抗剪强度包络线相切，如图33(d)的圆Ⅱ所示。若土体继续伸展，则只能形成塑性流动，而不改变其应力状态。反之，如果土体在水平方向被压缩，那么σx不断增加而σz却保持不变，直到满足极限平衡条件(称为被动朗肯状态)，此时σx达到最大限值σ p，这时σp是大主应力而σz是小主应力，摩尔圆与抗剪强度包络线相切，如图33(d)的圆Ⅲ所示。 当土体处于主动朗肯状态时，大主应力所作用的面是水平面，故剪切破坏面与垂直面的夹角为45°-φ2，如图33(b)所示。当土体处于被动朗肯状态时，大主应力所作用的面是垂直面，故剪切破坏面与水平面夹角为45°-φ2，如图33(c)所示。因此，整个土体由互相平行的两组剪切面组成。 朗肯将上述原理应用在挡土墙土压力计算中，根据假设推导出无黏性土和黏性土的主动土压力与被动土压力计算公式。 2. 无黏性土的土压力 无黏性土的土压力计算见表35。 表35无黏性土的土压力计算 项目主动土压力被动土压力 计算公式pa=γzKa 式中： pa——主动土压力,kPa； Ka——主动土压力系数， Ka=tan245°-φ2； γ——土的重度，kN/m3； z——计算点距填土表面的深度，m pp=γzKp 式中： pp——被动土压力,kPa； Kp——被动土压力系数， Kp=tan245°+φ2； γ——土的重度，kN/m3； z——计算点距填土表面的深度，m 土压力分布pa与z成正比，当z=0时,pa=0； 当z=H时，pa=γHKa,呈三角形分布，见示意图pp与 z成正比，当 z=0时,pp=0； 当 z=H时，pp=γHKp,呈三角形分布，见示意图 土压力 的合力取挡土墙长度方向上1延米计算，Pa为土压力三角形分布图的面积，即Pa=12γH2Ka 取挡土墙长度方向上1延米计算，Pp为土压力三角形分布图的面积，即Pp=12γH2Kp 土压力的 合力的 作用点位于土压力三角形分布图的重心，距离墙底为 H/3处，见示意图位于土压力三角形分布图的重心，距离墙底为 H/3处，见示意图 示意图 3. 黏性土的土压力 黏性土的土压力计算见表36。 表36黏性土的土压力计算 项目主动土压力被动土压力 计算公式pa=γzKa-2cKa 式中： c——土的黏聚力,kPa pp=γzKp+2cKp 式中： c——土的黏聚力,kPa 土压力 分布 由两部分组成： 第一部分γzKa,与无黏性土相同,是由土的自重γz 产生的，与深度 z成正比，此部分土压力呈三角形分布； 第二部分为-2cKa,由黏性土的黏聚力c 产生，为一个常数。 黏性土的主动土压力分布只有△abc部分，见示意图由两部分组成： 第一部分γzKp,与无黏性土相同,是由土的自重γz 产生的，与深度 z成正比，此部分土压力呈三角形分布； 第二部分为2cKp,由黏性土的黏聚力c 产生，为一个常数。 上述两部分的土压力叠加，呈梯形分布，见示意图 土压力 的合力取挡土墙长度方向上1延米计算，Pa为土压力三角形分布图的面积，即 Pa=12γH2Ka-2cHKa+2c2γ 取挡土墙长度方向上1延米计算，Pp为土压力三角形分布图的面积，即 Pp=12γH2Kp+2cHKp 土压力的 合力的 作用点主动土压力的合力的作用点位于 △abc的重心位置，即H-z03处，临界深度 z0=2cγKa 被动土压力的合力的作用点位于土压力分布梯形的重心G点(计算见图34)。图中取 ∠PQC为α,PQ为中线，则 GP=H3sinαa+2ba+b，GQ=H3sinα2a+ba+b 示意图 图34求解黏性土的被动土 压力梯形重心 例32已知某挡土墙的高度H=8.0m，墙背竖直、光滑，填土表面水平。墙后填土为中砂，重度γ=18.0kN/m3，饱和重度γsat=20kN/m3，内摩擦角φ=30°。计算： (1)作用在挡土墙上的静止土压力的合力P0，主动土压力的合力Pa； (2)当墙后地下水位上升至离墙顶4.0m时，主动土压力的合力Pa与水压力Pw。 解(1) 墙后无地下水情况 ① 静止土压力的合力P0应用式(33)计算。取中砂的静止土压力系数K0=0.4，可得静止土压力的合力为 P0=12γH2K0=12×18.0×82×0.4kN/m=230.4kN/m P0作用点位于距墙底13H=2.67m处，如图35(a)所示。 ② 主动土压力的合力Pa挡土墙墙背竖直、光滑，填土表面水平，适用朗肯土压力理论。由表35可知 Pa=12γH2Ka=12×18.0×82×tan245°-30°2kN/m≈192kN/m Pa作用点位于距墙底13H=2.67m处，如图35(b)所示。 图35例32的土压力、水压力图 (2) 墙后地下水位上升情况 ① 主动土压力的合力Pa因地下水位上、下砂土重度不同，土压力分两部分计算。 水上部分墙高H1=4.0m，重度γ=18.0kN/m3，则 Pa1=12×18×42×tan245°-30°2kN/m≈48kN/m 水下部分墙高H2=4.0m，用浮重度计算，则 γ′=γsat-γw=(20-10)kN/m3=10kN/m3 则 Pa2=γH1KaH2+12γ′H22Ka =18.0×4.0×0.333×4+12×10×42×0.333kN/m ≈122.5kN/m 主动土压力的合力 Pa=Pa1+Pa2=(48+122.5)kN/m=170.5kN/m 主动土压力的合力作用点离墙底2.84m。也可分别计算水上、水下两部分各自的作用点。 水上部分Pa1作用点位于离墙顶23H1=2.67m处，水下部分Pa2作用点为梯形重心，位于离墙底1.87m处。 ② 水压力Pw Pw=12γwH22=12×10×42kN/m=80kN/m 水压力Pw的合力作用点位于距墙底H2/3=1.33m处，如图35(d)所示。 例33已知某混凝土挡土墙，墙高为H=6.0m，墙背竖直，墙后填土表面水平，填土的重度γ=18.5kN/m3，内摩擦角φ=20°，黏聚力c=19kPa。计算作用在此挡土墙上的静止土压力的合力、主动土压力的合力和被动土压力的合力，并给出土压力分布图。 解(1) 静止土压力的合力 取静止土压力系数K0=0.5，则 P0=12γH2K0=12×18.5×62×0.5kN/m=166.5kN/m P0作用点位于距墙底H3=2.0m处，如图36(a)所示。 图36例33土压力分布图 (2) 主动土压力的合力 根据题意，挡土墙墙背竖直，填土表面水平，符合朗肯土压力理论的假设。由表36中公式得 Pa=12γH2Ka-2cHKa+2c2γ =12×18.5×62×tan245°-20°2-2×19×6×tan45°-20°2+2×19218.5kN/m ≈42.65kN/m 临界深度z0为 z0=2cγKa=2×1918.5×0.7m≈2.93m Pa作用点位于距墙底13(H-z0)=13(6-2.93)m≈1.02m处，如图36(b)所示。 (3) 被动土压力的合力 由表36可知 Pp=12γH2Kp+2cHKp =12×18.5×62×tan245°+20°2+2×19×6×tan45°+20°2kN/m ≈1004.81kN/m 墙顶处土压力为 pp1=2cKp=2×19×1.43kPa=54.34kPa 墙底处土压力为 pp2=γHKp+2cKp=(18.5×6×2.04+2×19×1.43)kPa =(226.44+54.34)kPa=280.78kPa 被动土压力的合力作用点位于梯形的重心，距墙底2.32m处，如图36(c)所示。 3.1.4库仑土压力理论 1776年法国的库仑(C.A.Coulomb)根据墙后土楔体处于极限平衡状态时的力系平衡条件，提出了一种土压力分析方法，称为库仑土压力理论。 1. 适用条件 库仑土压力理论是根据墙后土体处于极限平衡状态并形成一滑动楔体时，从楔体的静力平衡条件得出的土压力计算理论。库仑土压力理论的适用条件见表37。 表37库仑土压力理论的适用条件 项次适 用 条 件 1墙背俯斜，倾角为 ε，如图37(a)所示 2墙背粗糙，墙上摩擦角为 δ 3填土为理想散粒体，c=0 4填土表面倾斜，坡角为 β 5滑动破坏面为一平面 2. 无黏性土主动土压力 一般挡土墙的计算均属于平面问题，故在以下的讨论中均沿着墙的长度方向取1m进行分析，主动土压力分布呈三角形，如图37(c)所示。 当墙向前移动或转动而使墙后土体沿着某一破坏面BC破坏时，土体ABC向下滑动而处于主动极限平衡状态。此时，作用在墙上的主动土压力为 Pa=12γH2Ka(34) 其中 Ka=cos2(φ-ε)cos2εcos(δ+ε) 1+sin(δ+φ)sin(φ-β)cos(δ+ε)cos(ε-β)2(35) 图37中： ψ——W与Pa的夹角,ψ=90°-δ-ε； W——滑楔自重,kN； Ka——主动土压力系数； ε——墙背的倾斜角,(°)； β——墙后填土面的倾角,(°)； δ——土对挡土墙背的摩擦角,(°)； φ——土的内摩擦角,(°)； R——滑动面BC上的反力，kN。 图37库仑主动土压力计算图 主动土压力系数 Ka=f(δ,ε,φ,β)可以查表38、表39获得。 表38主动土压力系数Ka与δ、φ的关系(ε=0°,β=0°) φ10°12.5°15°17.5°20°25°30°35°40° δ=0°0.710.640.590.530.490.410.330.270.22 δ=+φ20.670.610.550.480.450.380.320.260.22 δ=+2φ30.660.590.540.470.440.370.310.260.22 δ=φ0.650.580.530.470.440.370.310.260.22 表39主动土压力系数Ka与φ、ε、β的关系(δ=0°) 计 算 用 图φβ ε+30°+12°0°-12°-30° 20° ε=+20° ε=+10° ε=0° ε=-10° ε=-20° 0.81 0.68 0.60 0.50 0.40 0.65 0.55 0.49 0.42 0.35 0.57 0.50 0.44 0.38 0.32