第1讲 预 备 知 识 【知识要点】 1. 弧长、面积与体积公式 底边长为a、高为h的三角形的面积 S=12ah=12absinθ(图11) 半径为r的圆周长l=2πr (图12) 半径为r、圆心角为θ的圆弧长l=θ2π·2πr=rθ(图12) 半径为r的圆的面积S=πr2(图12) 图11三角形 图12圆形 半径为r、圆心角为θ的扇形的面积 S=θ2π·πr2=12r2θ(图12) 半径为r的球的体积 V=43πr3 半径为r的球的表面积 S=4πr2 底圆半径为r、高为h的圆锥体的体积 V=13πr2h 2. 一元二次方程求根公式与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0求根公式 x1，2=-b±b2-4ac2a. 韦达定理x1+x2=-ba，x1x2=ca. 3. 三角公式 正割secθ=1cosθ，θ≠kπ+π2，k=0，±1，±2，…， 余割cscθ=1sinθ，θ≠kπ，k=0，±1，±2，…. 正切tanθ=sinθcosθ，θ≠kπ+π2，k=0，±1，±2，…， 余切cotθ=cosθsinθ，θ≠kπ，k=0，±1，±2，…； sin2θ+cos2θ=1. 1+tan2θ=1cos2θ=sec2θ. 1+cot2θ=1sin2θ=csc2θ. sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ， cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ. tan(α±β)=tanα±tanβ1tanα·tanβ. sin2θ=2sinθcosθ， cos2θ=1-2sin2θ=2cos2θ-1， sinθ=2sinθ2cosθ2， cosθ=1-2sin2θ2=2cos2θ2-1. tan2θ=2tanθ1-tan2θ. 1-cosθ=2sin2θ2，1+cosθ=2cos2θ2； sin2θ2=1-cosθ2，cos2θ2=1+cosθ2. 积化和差公式： sinα·cosβ=12［sin(α+β)+sin(α-β)］， cosα·cosβ=12［cos(α+β)+cos(α-β)］， sinα·sinβ=-12［cos(α+β)-cos(α-β)］. 和差化积公式： sinα+sinβ=2sinα+β2·cosα-β2， sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β2. cosα+cosβ=2cosα+β2·cosα-β2， cosα-cosβ=-2sinα+β2·sinα-β2. 正弦定理： BCsin∠A=ACsin∠B=ABsin∠C=2r，其 中r为ΔABC外接圆的半径. 余弦定理： 在ΔABC中，BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠A. 4. 因式分解公式 x2-y2=(x+y)(x-y)， x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)， x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)， xn-1=xn-xn-1+xn-1-xn-2+…-x+x-1 =(x-1)xn-1+(x-1)xn-2+…+(x-1) =(x-1)(xn-1+xn-2+…+x+1)， 1-x-y+xy=(1-x)(1-y). 5. 二项式定理 (x+y)2=x2+2xy+y2， (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3， (x+y)n=xn+nxn-1y+n(n-1)2xn-2y2+…+yn =C0nxn+C1nxn-1y+C2nxn-2y2+…+Cnnyn=∑nk=0Cknxn-kyk=∑nk=0Cknxkyn-k， 其中，Ckn=n!k!(n-k)!，0!=1. 6. 基本不等式及其衍生不等式 (x-y)2=x2+y2-2xy≥0x2+y2≥2xy (x+y)2≥4xy； x+y≥2xy，x≥0，y≥0； x2+y2≥(x+y)22 21x+1y≤xy≤x+y2，x>0，y>0. 一般地，n1x1+1x2+…+1xn≤nx1x2…xn≤x1+x2+…+xnn，x1，x2，…，xn>0. (左边的式子称为调和平均值，中间的式子称为几何平均值，右边的式子称为算术平均值) 7. 常用平面曲线 1) 圆 圆的方程见表11. 表11圆的方程 直角坐标方程 x2+y2=a2 (x-a)2+y2=a2 x2+(y-a)2=a2 参数方程 x=acosθ y=asinθ x=a(1+cosθ) y=asinθ x=acosθ y=a(1+sinθ) 极坐标方程 r=a r=2acosθ r=2asinθ 图13椭圆 2) 椭圆（图13） 椭圆的直角坐标方程为x2a2+y2b2=1. 参数方程为x=acost y=bsint，(0≤t≤2π). 3) 抛物线（图14） 图14抛物线 4) 双曲线（图15） 图15双曲线 5) 摆线(旋轮线)（图16） x=a(θ-sinθ)， y=a(1-cosθ). 6) 心形(脏)线（图17） r=a(1+cosθ)(0≤θ≤2π). 图16摆线 图17心形线 7) 星形线（图18） 直角坐标方程x23+y23=a23，参数方程x=acos3θ y=asin3θ. 8) 圆的渐开(伸)线（图19） x=a(cosθ+θsinθ) y=a(sinθ-θcosθ). 图18星形线 图19圆的渐开线 9) 阿基米德螺线（图110） r=aθ. 10) 对数螺线(等角螺线)(图111) r=eaθ. 图110阿基米德螺线 图111对数螺线 图112双纽线 11) 双纽线(图112) 直角坐标方程(x2+y2)2=a2(x2-y2). 极坐标方程为r2=a2cos2θ 12) 玫瑰线 三叶玫瑰线(图113)： r=acos3θ，0≤θ≤2π. 四叶玫瑰线(图114)： r=a|cos2θ|，0≤θ≤2π. 图113三叶玫瑰线 图114四叶玫瑰线 8. 平面曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程 利用极坐标变换公式x=rcosθ，y=rsinθ可将平面曲线的直角坐标方程f(x，y)=0化为极坐标方程r=φ(θ).如双纽线的直角坐标方程为(x2+y2)2=a2(x2-y2)，将x=rcosθ，y=rsinθ代入，得r2=a2cos2θ.显然，必有cos2θ≥0，从而-π4≤θ≤π4或3π4≤θ≤5π4. 9. 函数 1) 函数与反函数的概念及其图像，基本初等函数与初等函数 具有反函数的幂函数，其反函数仍然是幂函数. 指数函数与对数函数互为反函数. 正弦函数y=sinx 在-π2，π2上的反函数为x=arcsiny，-1≤y≤1. 余弦函数y=cosx在0，π上的反函数为x=arccosy，-1≤y≤1. 正切函数y=tanx在-π2，π2上的反函数为x=arctany，-∞0，都存在f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2). 证： 因为f(x)x在(0，+∞)内单调减少，所以有 f(x1+x2)x1+x20，证明： f(x)+1f(x)≥2. 3. 证明： (1) sinarccos1x=x2-1x； (2) sin(2arctanx)=2x1+x2. 4. 写出下列直角坐标方程所表示的圆的极坐标方程： (1) x2+y2=4； (2) (x-1)2+y2=1； (3) x2+(y-2)2=4； (4) (x-1)2+(y-1)2=2. 5. 写出下列抛物线的极坐标方程： (1) y=x2； (2) x=y2； (3) xy=1. 6. 设下面所涉及的函数都定义在对称区间(-a，a)上，则下列函数中哪些必为奇函数，哪些必为偶函数？ (1) 两个偶函数的和； (2) 两个奇函数的和； (3) 一个偶函数与一个奇函数的和； (4) 两个偶函数的乘积； (5) 两个奇函数的乘积； (6) 一个偶函数与一个奇函数的乘积； (7) g(x)=f(x)+f(-x)； (8) g(x)=f(x)-f(-x). 7. 设f(x)=1，|x|<1 0，|x|=1 -1，|x|>1，g(x)=ex，求f［g(x)］，g［f(x)］. 8. 设f(x)满足af(x)+bf(1-x)=cx，其中a，b，c均为常数，且a≠b，则f(x)=. 9. 证明： maxf(x)，g(x)=12f(x)+g(x)+f(x)-g(x)； minf(x)，g(x)=12f(x)+g(x)-f(x)-g(x). 第2讲 空间解析几何 【知识要点】 1. 向量 向量的概念与表示法，向量的模，向量的方向角与方向余弦，单位向量. 设a→=(ax，ay，az)， b→=(bx，by，bz)，则 两向量的数量积 a→·b→=|a→||b→|cosθ=axbx+ayby+azbz. a→∥b→axbx=ayby=azbz. a→⊥b→a→·b→=0axbx+ayby+azbz=0. 两向量的向量积a→×b→= i→ j→ k→ axayaz bxbybz=(aybz-azby，azbx-axbz，axby-aybx). a→×b→=a→b→sinθ=以a→，b→为邻边的平行四边形的面积. 2. 旋转曲面 由yOz面上的曲线f(y，z)=0绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程为f±x2+y2，z=0 . 由yOz面上的曲线f(y，z)=0绕y轴旋转而成的旋转曲面的方程为fy，±x2+z2=0. 仿此，可以写出任意坐标面上的曲线绕坐标轴旋转的旋转曲面的方程. 3. 柱面 方程F(x，y)=0在平面直角坐标系xOy中表示平面曲线，而在空间直角坐标系中表示以xOy中的曲线F(x，y)=0为准线、母线平行于z轴的柱面. 类似地，在空间直角坐标系中F(y，z)=0(缺少x)是母线平行于x轴的柱面，F(x，z)=0(缺少y)是母线平行于y轴的柱面. 4. 二次曲面 椭球面，抛物面(椭圆抛物面，旋转抛物面)，双曲抛物面(马鞍面)，单叶双曲面(椭圆单叶双曲面，旋转单叶双曲面)，双叶双曲面(椭圆双叶双曲面，旋转双叶双曲面). 5. 空间曲线及其方程 空间曲线可看作空间两曲面的交线，其一般方程为F(x，y，z)=0 G(x，y，z)=0. 空间曲线的参数方程为x=x(t)，y=y(t)，z=z(t). 从F(x，y，z)=0 G(x，y，z)=0中消去变量z后，可得空间曲线关于xOy面的 投影柱面的方程H(x，y)=0.空间曲线在xOy面的投影曲线的方程为H(x，y)=0 z=0. 6. 平面 过空间中的点M0(x0，y0，z0)且与已知非零向量n→=(A，B，C)垂直的平面方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0（点法式方程）, n→=(A，B，C)是平面的一个法向量. 平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0. 两平面平行它们的法向量平行； 两平面垂直它们的法向量垂直. 平面Ax+By+Cz+D=0外一点P0(x0，y0，z0)到平面的距离为 d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2 7. 空间直线 空间直线的一般方程为 A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0. 一直线过点M0(x0，y0，z0)且平行于向量 s→=(m，n，p)(方向向量)，则 对称式方程为x-x0m=y-y0n=z-z0p，参数方程为x=x0+mt y=y0+nt z=z0+pt. 8. 平面束 通过直线L： A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0的平面束方程为 λA1x+B1y+C1z+D1+μA2x+B2y+C2z+D2=0 【例题】 例21求与a→=(3，-2，4)和b→=(1，1，-2)同时垂直的单位向量. 解： c→=a→×b→与a→，b→同时垂直.c→=a→×b→=i→j→k→ 3-24 11-2=(0，10，5). |c→|=102+52=55，故与a→，b→同时垂直的单位向量为c→°=± c→c→=±0，25，15.