波 动 光 学 第9章波动光学 光学是物理学的一个重要组成部分。人类对光的研究至少已有2000多年的历史，世界上最早的关于光学知识的文学记载，见于我国的《墨经》(公元前400多年)。最早研究的内容是几何光学，它以光的直线传播性质和折射、反射定律为基础，研究光在透明介质中的传播规律。在几何光学中，我们以光线为基础，揭示了光的传播和成像原理。但在那里引入的光线、光束、物点、像点和光学系统等概念还仅是一些关于光的表观抽象，采用的研究方法也仅是几何方法，并没有涉及光的内在属性。19世纪初，人们发现光有干涉、衍射、偏振等现象，由此产生了以光是波动为基础的光学理论，这就是波动光学。19世纪60年代，麦克斯韦建立了光的电磁理论，光的干涉、衍射和偏振现象得到了全面说明。光的干涉、衍射和偏振现象，在现代科学技术中的应用十分广泛，例如，长度的精密测量、光谱学的测量与分析、光测弹性研究、晶体结构分析等。随着激光技术的发展，全息照相技术、集成光学、光通信等新技术也先后建立起来，开拓了光学研究和应用的新领域。其中，对波动光学也有了再认识和新内容，如傅里叶光学、相干光学和信息处理以及在强激光下的非线性光学效应等。本章将从认识光是电磁波开始，通过光的干涉、衍射、偏振现象讨论光的波动性及其应用。 9.1光的干涉 9.1.1光波、光的相干性 理论和实践均已证明，光是一种电磁波。能够引起视觉作用的电磁波称为可见光，它的波长范围在400~760nm之间。波长在760nm以上到400μm左右的电磁波称为“红外线”，波长在400nm以下到5nm左右的电磁波称为“紫外线”。红外线和紫外线统称为不可见光，本章所讨论的光学现象都是在可见光范围内的。 在光波中，产生感光作用和生理作用的是电场强度E，通常把E称为光矢量，E的振动称为光振动。 具有单一频率或波长的光称为单色光。实际上频率范围较窄的光，就可以近似地认为是单色光。光的频率范围越窄，其单色性越好。通常单个原子发的光可以认为是频率为一定值的单色光。普通发光体则包含着大量分子或原子。以白炽灯为例，大量的分子和原子在热能的激励下辐射出电磁波，各个分子或原子的辐射是彼此独立的，各自的情况不尽相同，所以白炽灯发出的光具有各种频率。把具有各种频率的光称为复色光。 发光的物体称为光源。实验室里常用的钠光灯是一种单色性较好的光源，其波长分别为589nm和589.6nm。 在学习机械波时我们已经知道，只有由相干波源发出的波，即频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差保持恒定的两列波相遇时，才能产生干涉现象。由于机械波的波源可以连续振动，辐射出不中断的波，只要两个波源的频率相同，相干波源的其他两个条件，即振动方向相同和相位差恒定的条件就较容易满足。因此，观察机械波的干涉现象比较容易。但是对于光波，即使形状、大小、频率均相同的两个普通独立光源，它们发出的光波在相遇区域也不会产生干涉现象，其原因与光源的发光机理有关。 对于普通发光体，光是由光源中原子或分子的运动状态发生变化时辐射出来的电磁波。一方面大量分子或原子各自独立地发出一个个波列，它们的发射是无规律的，彼此间没有联系，因此在同一时刻，各原子或分子所发出的光，即使频率相同，但相位和振动方向却是各不相同的。另一方面，原子或分子的发光是断续的，当它们发出一个波列之后，大约经过10－8s的间歇，再发出第二个波列。所以同一原子所发出的前后两个波列的频率即使相同，但其振动方向和相位却不一定相同。由此可知，对于两个独立光源所发出的光波，不可能满足产生相干的三个条件。不但如此，即使是同一个光源上不同部分发出的光，由于它们是由不同的原子或分子所发出的，也不会产生干涉现象。 普通光源获得相干光的方法，其原理是将光源上同一原子同一次发的光分成两部分，再将它们叠加。如图91所示将点光源的波阵面分割为两部分，使之分别通过两个光具组，经反射、折射或衍射后交叠起来，在一定区域形成干涉。由于波阵面上任一部分都可看作新光源，而且同一波阵面的各个部分有相同的位相，所以这些被分离出来的部分波阵面可作为初相位相同的光源。不论点光源的位相改变得如何快，这些光源的初相位差都是恒定的，满足相干条件。这种方法称为分波阵面法。杨氏双缝、菲涅耳双面镜和洛埃镜等都是这类分波阵面干涉装置。如图92所示当一束光投射到两种透明媒质的分界面上，光能一部分反射，另一部分折射。这方法称为分振幅法。最简单的分振幅干涉装置是薄膜，它利用透明薄膜的上下表面对入射光依次反射，这些反射光波在空间相遇而形成干涉现象。由于薄膜的上下表面的反射光来自同一入射光的两部分，只是经历不同的路径而有恒定的相位差，因此它们是相干光。另一种重要的分振幅干涉装置是迈克耳孙干涉仪。 图91分波阵面法 图92分振幅法 科学家简介： 托马斯·杨 9.1.2双缝干涉 1802年，英国科学家托马斯·杨(Thomas Young,1773—1829年)用实验方法使一束太阳光通过相邻两小孔分成两束，发现了光的干涉图样。这是历史上证实光具有波动性的最早实验。 双缝实验装置如图93所示，由光源L发出的波长为λ的单色平行光照射在狭缝S上，S相当于一个新的光源。在S的前方又放有两条平行狭缝S1和S2，均与S平行且等距，这样S1和S2恰好处在由光源S发出的光的同一波阵面上。这时S1和S2构成一对相干光源，从S1和S2散发出的光，在空间叠加，产生干涉现象。S1和S2发出的两束相干光是从同一波阵面上分出来的，这种获得相干光的方法称为波阵面分割法。若在双缝前面放一屏幕E，则屏幕上将出现稳定的明暗相间的干涉条纹。这些条纹与狭缝平行，条纹之间的距离相等。 下面分析屏幕上出现明、暗条纹应满足的条件。如图94所示，设相干光源S1和S2的中心相距d，其中点为M，双缝到屏幕的距离为D。在屏幕上任取一点P，它到S1和S2的距离分别为r1和r2，则由S1和S2发出的光到达P点的波程差为Δr=r2－r1。在波动理论中我们已明确，波程差为一个波长λ时，相应的相差为2π，所以到达P点的两列相干波振动的相差Δφ与波程差Δr之间的关系为 Δφ=2πΔrλ(91) 根据相干波的干涉条件，若Δφ=±2kπ，即 Δr=±kλ，k=0,1,2,…(92) 则P点干涉加强，出现亮条纹； 若Δφ=±2k+1π，即 Δr=±2k+1λ2，k=0,1,2,…(93) 则P点干涉减弱，出现暗条纹。下面计算波程差Δr。 图93杨氏双缝干涉实验 图94双缝干涉条纹的计算 设M、S1和S2在屏幕上的投影分别为O、O1和O2，OP=x(图94)，由直角三角形S1O1P和S2O2P，得 r21=D2+x－d22 r22=D2+x+d22 将两式相减，得 r22－r21=r2+r1r2－r1 =r2+r1·Δr=2xd 实际的干涉装置中D~1m,d~1×10－3m，即满足Dd，同时Dx，所以r2+r1≈2D，则由上式得 Δr=xdD(94) 将式(94)代入式(92)中，得屏幕上出现明条纹中心的位置为 xk=±kDλd，k=0,1,2,…(95) 式中xk取正负号表示干涉条纹对称地分布在O点的两侧，k称为干涉级。对于O点，x=0,Δr=0,k=0，称为中央明条纹； 其余与k=1,2,…对应的明条纹分别称为第一级、第二级、…明条纹。相邻两明条纹中心间的距离称为条纹间距，用Δx表示，由式(95)可得 Δx=xk+1－xk=Ddλ(96) 此结果与k无关，表明条纹是均匀分布的。 将式(94)代入式(93)中，得屏幕上出现暗条纹中心的位置为 xk=±(2k+1)Dλ2d，k=0,1,2,…(97) 此式说明暗条纹也是对称分布在中央明条纹的两侧，相邻两暗条纹中心间的距离可得出与式(96)相同的结果。 总结上述讨论，对杨氏双缝干涉实验可得下列结论： (1) 由式(96)可知，干涉明暗条纹是等距离分布的。要使Δx能够用人眼分辨，必须使D足够大，d足够小，否则干涉条纹密集，以致无法分辨。 (2) 当单色光入射时，若已知d和D值，可通过实验测出条纹间距Δx，再根据式(96)得λ=Δx·dD，可计算出单色光的波长λ。 (3) d、D值给定，则Δx正比于λ，波长越长，条纹间距越大，因此红光的条纹间距比紫光的大。所以，当白光入射时，则只有中央明条纹是白色的，其他各级明条纹因各色光错开而形成由紫到红的彩色条纹。 例91在双缝干涉实验中，入射光的波长λ=546nm，两狭缝的间距d=1mm，屏与狭缝的距离D=40cm。求： (1) 第10级明条纹的位置x10； (2) 相邻两明条纹的距离Δx； (3) 中央明条纹上方第10级明条纹与下方第3条暗条纹的距离。 解将已知条件的单位统一 λ=5.460×10－4mm,d=1mm,D=400mm (1) 第10级明条纹在屏上的位置 由式(95)，得xk=±kDdλ， x10=±10×4001×5.460×10－4mm=±2.184mm 式中的正、负号表示第10级明条纹分别在中央明条纹的两侧。 (2) 相邻两明条纹的距离 由式(916),得 Δx=Ddλ=400×5.460×10－41mm=0.218mm (3) 中央明条纹上方第10级明条纹与下方第3条暗条纹的距离 由式(95)、式(97)可得 x明(+10)－x暗(－2)=k10Ddλ－－(2k2+1)D2dλ =Ddλ10+52=0.2184×12.5mm =2.730mm 9.1.3光程和光程差 在上面所讨论的双缝实验中，两束相干光都在同一介质(空气)中传播，光的波长不发生变化。所以只要计算两相干光到达某一点的几何路程差Δr，再根据相差与波程差之间的关系式(91)，就可确定两相干光在该点是相互加强还是相互减弱。但是当光通过不同介质时，光的波长要随介质的不同而变化，这时就不能只根据几何路程差来计算相差了。为此，需要引入光程这一概念。 设一频率为ν的单色光在真空中的波长为λ，传播速度为c。当它在折射率为n的介质中传播时频率不变，而传播速度变为u=c/n，所以其波长为λn=u/ν=c/nν=λ/n。这说明，一定频率的光在折射率为n的介质中传播时，其波长为真空中波长的1/n。 由于波传播一个波长的距离，相位变化2π，若光在介质中传播的几何路程为r，则相应的相位变化为 Δφ=2πrλn=2πnrλ 上式说明，光在介质中传播时，其相位的变化不但与几何路程及光在真空中的波长有关，而且与介质的折射率有关。如果光在任意介质中都采用真空中的波长λ来计算相位的变化，那么就必须把几何路程r乘以折射率n。我们把nr定义为光程。 图95光程和光程差 光程的意义就在于把单色光在不同介质中的传播都折算为该单色光在真空中的传播。 设从初相相同的相干光源S1和S2发出频率为ν的光波，分别经过光程n1r1和n2r2到达P点(图95)则相位差为 Δφ=2πνt－2πn2r2λ－2πνt－2πn1r1λ=2πn1r1－n2r2λ 用δ表示光程差n1r1－n2r2，故上式可得相位差与光程差的普遍关系式 Δφ=2πδλ(98) 两束相干光干涉加强、减弱的条件为 Δφ=2πδλ=±2kπ， ±(2k+1)π，k=0,1,2,…明条纹 k=0,1,2,…暗条纹 若直接用光程差表示，则为 δ=±kλ,k=0,1,2,…明条纹(99) δ=±(2k+1)λ2,k=0,1,2,…暗条纹(910) 光程差决定明、暗条纹的位置和形状，因此在一个具体的干涉装置中，分析计算两束相干光在相遇点的光程差，是我们讨论光波干涉问题的基本出发点。 例92在双缝装置实验中，入射光的波长为λ，用玻璃纸遮住双缝中的一条缝，如图96所示。若玻璃纸中光程比相同厚度的空气的光程大2.5λ。则屏上原来的明条纹处将有何种变化？() A. 仍为明条纹B. 变为暗条纹 C. 既非明条纹也非暗条纹D. 无法确定是明条纹还是暗条纹 图96例92图 解如图96所示，考察O处的明条纹怎样变化。 （1） 玻璃纸未遮住时， 光程差δ=r1－r2=0，O处为零级明条纹。 （2） 玻璃纸遮住后，光程差 δ′=52λ 根据干涉条件知 δ′=52λ=(2×2+1)λ2 O处变为暗条纹，故正确答案是B。 我们在观察干涉、衍射等现象时，常借助于透镜。平行光通过透镜后，将会聚在焦点F上，形成亮点(图97(a))。平行光同一波面上各点A、B、C的相相同，到达F点后相互加强成亮点，说明各光线到达点F后的相仍相同。可见从A、B、C各点到F点的光程相等。这一事实可理解为： 光线AaF和CcF在空气中经过的几何路程长，但是光线BbF在透镜中经过的路程比光线AaF和CcF在透镜中经过的路程长，由于透镜的折射率大于空气的折射率，因此折算成光程，各光线的光程相等。对于斜入射的平行光(图97(b))，将会聚于点F′。由类似的讨论可知AaF′、CcF′、BbF′的光程均相等。可见使用透镜可改变光线的传播方向，但不会引起附加的光程差。 图97平行光入射通过透镜 9.1.4薄膜干涉 当白光照射到油膜或肥皂膜上时，如图98所示薄膜表面常出现美丽的彩色条纹，这是由光的干涉引起的，这类干涉称为薄膜干涉。 实验表明，当光波从折射率小的光疏介质入射到折射率大的光密介质时，在两种介质的分界上，被反射的光的相位要发生π弧度的跃变。由式(98)可知，反射光的相位跃变π，就相当于在光程上多走(或少走)了半个波长，这种现象称为半波损失。 1. 等倾干涉 对于厚度均匀的薄膜干涉(等倾干涉)： 有一定宽度的光源，称为扩展光源。扩展光源照射到肥皂膜、油膜上，薄膜表面呈现美丽的色彩。这就是扩展光源(如阳光)所产生的干涉现象。 图99为厚度均匀，折射率为n2的薄膜，置于折射率为n1的介质中，一单色光经薄膜上下表面反射后得到1和2两条光线，两束相干光1和2是从同一振幅上分割出来的，这种获得相干光的方法称为振幅分割法。此时可得到两光束的光程差为 δ=n2(AB+BC)－n1AD+λ2 图98竖直肥皂膜上的干涉条纹 图99薄膜干涉示意图 由图99可得 AB=BC=ecosr AD=ACsini=2etanrsini 根据折射定律n1sini=n2sinr，光程差可写成 δ=2n2ecosγ+λ2 δ=2en22－n21sin2i+λ2(911) 当光垂直入射时，i=0,γ=0,有 δ=2n2e+λ2=2kλ2，k=1,2,3，…干涉相长(明条纹) (2k+1)λ2，k=0,1,2,3，…干涉相消(暗条纹)(912) 式中的λ/2为半波损失，因为不论n1n2，1与2两条光线之一总有半波损失出现，这样在计算光程差时必须计及这个半波损失。 透射光也有干涉现象，当光垂直入射时，与式(912)相对应的透射光的光程差为 δ=2n2e=2kλ2，k=1,2,3，…干涉相长(明条纹) (2k+1)λ2，k=0,1,2,3，…干涉相消(暗条纹) 可得到，当反射光的干涉相互加强时，透射光的干涉相互减弱。结论符合能量守恒的结果。 例93用λ＝500nm的绿光照射肥皂泡膜，若沿着与肥皂泡膜平面法线成30°的方向观察，看到膜最亮。假设此时干涉级次最低，并已知肥皂水的折射率为1.33，当垂直观察时，用多大波长的光照射才能看到膜最亮？ 解在观察膜最亮时，应满足干涉加强的条件： Δ=2en2－n20sin2θ1+λ2=kλ,k＝1，2，3，… 按题意，k＝1，θ1=30°，所以肥皂膜厚度为 h=k－12λ2n2－n20sin2θ1≈1.24×10－7m 若垂直观察时看到膜最亮，设k＝1，应有2ne=λ2，所以 λ=4ne≈660nm 2. 增透膜和增反膜 在现代光学仪器中，如照相机、显微镜等都由多个透镜组成。入射光经每个透镜的两个表面反射后，透过仪器的光能很少。为了解决这一问题，可在透镜表面镀一层厚度均匀的低折射率的透明薄膜。当膜的厚度适当时，可使所使用的入射单色光在膜的两个表面上反射