第3章静定结构位移计算 工程结构设计除了必须满足强度要求外，还必须满足刚度要求，即不能产生过大的变形。此外，工程中大量的结构是超静定的，在材料力学中已经给出了解决超静定问题的基本思路，即综合考虑“力的平衡、变形的协调和材料的物理性质”3个方面才能求得问题的解答。因此，要求解超静定结构不仅要会分析结构的内力，还要能分析结构的变形。而结构的变形是由各部分位移表征的，所以学习并掌握结构的位移计算，对本课程具有十分重要的意义。 本章首先介绍若干基本概念，然后在变形体虚功原理的基础上，推导出用于位移计算的单位荷载法，建立杆系结构位移计算公式，举例说明各种外因引起的结构位移计算，最后推导出线性弹性结构的互等定理。 3.1基 本 概 念 3.1.1材料力学变形公式回顾 在材料力学基本受力(拉压、剪切、弯曲)变形形式下，内力与变形关系已有如下结论： 拉压变形应变 ε=FNEA 伸长 Δl=FNlEA 剪切变形剪应变 γ=kFQGA 弯曲变形曲率 k=1ρ=MEI 式中，FN、FQ、M分别为轴力、剪力和弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪和抗弯刚度； k为截面剪应力不均匀分布系数； l为杆件长度。 3.1.2广义位移和广义力 由于外界因素的作用，结构将产生变形，导致截面(或形心)发生位移。今后要求的位移可以是线位移。角位移、相对线位移和相对角位移等，它们统称为广义位移，通常记为Δ在结构力学中广泛使用广义位移(包括线位移、角位移等)，为了体现其广义性，考虑到本书叙述的统一和表达的简洁、完整，本书仍沿用Δ。。从做功的角度讲，与广义位移相对应的力有集中力、集中力偶、力系、力偶系及分布荷载(力和力偶)等，它们统称为广义力，通常记为P与注①同理，广义力(包括力和力偶矩、力矩等)本书仍沿用P。。图31所示为广义位移与广义力的对应关系。利用广义位移和广义力的概念，功的表达式可写为 功=广义力×广义位移(31) 图31广义位移与广义力的关系 （a） k截面的竖向位移及其对应的广义力； （b） A截面的转角位移及其对应的广义力； （c） A、B两个截面的相对转角位移及其对应的广义力； (d) EF截面的相对竖向位移及其对应的广义力 3.1.3变形体虚功原理 1. 表述 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所做的总虚功δWe，恒等于变形体所接受的总虚变形功δWi，也即恒有如下虚功方程成立： δWe=δWi(32) 2. 原理说明 (1) 虚功原理中涉及两种状态： 一种是变形体处于平衡的力状态； 另一种是不管产生位移原因的满足协调条件的微小位移状态(虚位移状态)原理的证明和详细说明可参考的资料： 王焕定，章梓茂，景瑞.结构力学Ⅱ［M］.2版.北京： 高等教育出版社，2004.。 (2) 本原理对任意力变形关系的变形体都适用。 (3) 虚功原理的前提条件是受力作用的变形体平衡，所发生的虚位移协调。在这一前提下有虚功方程δWe＝δWi恒成立的结论。因此，它是一个必要性命题。 图32任意直杆微段的两种状态 （a） 平衡状态中微段的受力情形示意图； （b）~（d） 虚位移状态中微段的相对变形分解示意图 (4) 刚体虚位移原理是变形等于零时的特例(也是原理证明的基础)。 3. 杆系结构的虚功方程 设杆系结构所受的外荷载有广义集中力和广义分布力，其值和分布集度分别记为Pi(i=1，2，…)及qj(j=1，2，…)，与这些外荷载对应的虚位移记作δΔPi和δΔqj，则虚功方程中的外力总虚功δWe为 δWe=∑iPiδΔPi+∑iqjδΔqjds(33) 式中，第一项为广义集中力的总虚功； 第二项为广义分布力的总虚功。 为了便于说明变形体所接受的总虚变形功的计算，图32给出了任意直杆微段的两种状态。图32（a）为平衡状态中微段的受力情形示意图，图32（b）~（d）为虚位移状态中微段的相对变形分解示意图。由于变形位移是相对伸长，示意图中左端没有位移。 3.2静定结构在荷载作用下的位移计算 3.2.1单位荷载法推导位移计算公式 1. 位移计算的一般公式 为了用虚功原理推导出荷载作用下位移计算的一般公式，首先需要确定虚功原理中的两种状态。 图33虚位移状态 （a） 需求位移结构； （b） 平衡的广义力状态； （c） 单位广义力状态 1) 虚位移状态 为计算荷载作用下的结构位移，可将待求位移的结构状态视为虚功原理中的“虚位移状态”，如图33（a）所示。 2) 力状态 为了能够从虚功方程中直接求得位移，需建立一个与待求广义位移对应、平衡的力状态。若这个平衡的力状态是对应待求广义位移的单位广义力状态(今后将单位广义力记作X=1或FP=1)，则单位广义外力在虚位移时所做的总虚功恰好等于待求的广义位移值，即可以通过变形功的计算直接求得待求的位移值。 图33为上述思路的示意图。 基于上述思路，若将待求广义位移记作Δ，由虚功方程(33)可得 1·Δ=∑e∫l0(Nδε+ Nδγ+δk)ds(34) 式中，FN、FQ、M分别为单位广义力状态中的轴力、剪力和弯矩； ∑表示对所有杆求和； 积分上限l为杆长； δε、δγ、δk分别为荷载作用下待求位移结构的虚轴向变形、虚剪切角和虚曲率。 这种通过建立平衡的单位广义力状态 关于单位广义力问题的说明 如果对图33（a）和（b）利用虚功原理，根据虚功方程(33)则有 FP1·Δ=∑e∫l0(Nδε+Qδγ+δk)ds 等式两边同除以FP1可得 1·Δ=∑e∫l0NFP1δε+QFP1δγ+FP1δkds 由此可见，单位广义力实际上是广义力除以自身。单位广义力所引起的内力N、Q等于广义力FP1作用引起的内力与广义力FP1的比值。 因此，N、Q是量纲一的量，为长度量纲。若广义力是集中力偶，则N、Q是量纲为1／长度的量，是量纲一的量。，利用虚功方程求位移的方法，称为单位荷载法。 根据公式的推导过程，可以得出式(34)的适用范围： (1) 推导过程中没有涉及材料的本构关系，因此式(34)适用于任何材料。 (2) 推导过程中没有涉及引起虚位移的具体因素，但外力虚功中没有支座反力在对应的支座位移上所做的虚功，也就意味着支座位移等于零，因此，式(34)适用于除支座位移外的其他所有外因引起的位移计算。 下面设材料处于线弹性状态，并将荷载作用下待求位移结构的内力分量分别记为FNP、FQP、MP，则由3.1.1节回顾的材料力学公式可知，虚位移中的虚变形为 δε=FNPEAds，δγ=kFQPGAds，δk=MPEIds 将上式代入位移计算一般公式(式（34）)中，可得荷载的位移计算公式为 Δ=∑e∫l0NFNPEA+kQFQPGA+MPEIds(35) 因为虚变形计算公式是在线弹性假设下导出的，所以式（35）仅适用于线弹性杆系结构的位移计算。 2. 各类结构的位移计算公式 实际应用时，对于不同的结构其受力、变形特点不同，位移计算公式（式(35)）的形式有所区别。 1) 桁架 桁架在结点荷载作用下，各杆只产生轴力，于是式(35)简化为 Δ=∑eNFNPlEA(36) 2) 梁和刚架 在梁和刚架中，杆件的剪切变形和轴向变形对位移的贡献很小，于是式(35)简化为 Δ=∑eMPEIds(37) 3) 小曲率拱 在小曲率拱中，轴力比较大，一般需要考虑轴向变形和弯曲变形对位移的影响，于是式(35)简化为 Δ=∫MPEI+ NFNPEAds(38) 4) 组合结构 在组合结构中，有两类不同性质的受力杆件，其中桁架杆只有轴向变形，而细长梁式杆只需考虑弯曲变形对位移的贡献，于是式(35)简化为 Δ=∑e1 NFNPlEA+∑e2∫l0PEIds(39) 在进行各类结构的位移计算时，需要注意的问题如下： (1) 搞清式（35）中各项物理量的含义，如带上划线“-”的量是由单位广义力引起的等。 (2) 符号规定。位移计算公式中每一项都是功，若广义力和广义位移方向相同做正功，此项为正； 若做负功，此项为负。这是确定某一计算项符号的根本原则。 3.2.2荷载作用下的位移计算举例 1. 梁的位移计算 例31试求图34（a）所示悬臂梁在A端的竖向位移Δ，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形。 图34例31图 解： 首先求实际荷载(图34（a）)作用下的内力，再求虚设单位荷载(图34（b)）作用下的内力，取点A为坐标原点，任意截面x的内力如下： 实际荷载为 MP=-12qx2 FNP=0 FQP=-qx 虚设单位荷载为 =-x N=0 Q=-1 弯曲变形引起的位移为 ΔM=∫MPEIds=∫l0(-x)-12qx2EIdx≈ql48EI 剪切变形引起的位移为(对于矩形截面，k=1.2) ΔQ=k∫QFQPGAds=1.2∫l0(-1)(-qx)GAdx≈0.6ql2GA 由于梁的轴力为零，总位移为 Δ=ΔM+ΔQ≈ql48EI+0.6ql2GA 接着再比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响，则二者的比值为 ΔQΔM=0.6ql2GAql48EI=4.8EIGAl2 设横向变形系数μ=13，EG=2(1+μ)=83，对于矩形截面，IA=h212(h为截面高度)，代入上式，得 ΔQΔM=1.07hl2 当梁的高跨比h/l是1/10时，则ΔQ/ΔM=1.07%，剪力影响约为弯矩影响的1/100，故对于一般的梁可以忽略剪切变形对位移的影响。但是，当梁的高跨比h/l增大为1/2时，ΔQ/ΔM=1/4，故对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。 2. 桁架的位移计算 例32图35（a）所示为一屋架，屋架的上弦杆和其他压杆采用钢筋混凝土杆，下弦杆和其他拉杆采用钢杆。图35（b）所示为屋架的计算简图。设屋架承受均布荷载q作用，试求顶点C的竖向位移。 图35例32图 （a） 屋架； （b） 计算简图 解： 1) 求FNP 首先将均布荷载q简化为结点荷载，则有 FP=ql/4 然后求结点荷载作用下的FNP。为了简便计算，结点荷载取为单位值(图36)，图中给出的内力数值乘以FP后，即为轴力FNP。 2) 求F 在点C虚设单位竖向荷载，相应的轴力N如图37所示。 图36FNP图 图37N图 本例题中，为了简便计算，结点荷载取为单位值，没有取真值，故图中未注明其单位，只是在最后结果中给出单位。 3) 求ΔC 根据桁架位移公式（式(36)），得 ΔC=∑NFNPlEA 具体计算过程如表31所示。由于对称性，计算总和时，表31中只计算了半个桁架(杆EG的长度只取其1/2)。 表31求位移Δc的计算过程 材料杆件FNPlANNFNPlAE 钢筋混凝土 AD-4.74FP0.263lAh-1.581.97FPl/AhEh DC-4.42FP0.263lAh-1.581.84FPl/AhEh DE-0.95FP0.088l0.75Ah00 —∑=3.81FPlAhEh 钢筋 CE1.50FP0.278lAg00 AE4.50FP0.278l3Ag1.500.63FPl/AgEg EG3.00FP0.222l2Ag1.500.5FPl/AgEg —∑=1.13FPlAgEg 表31中的Ah是钢筋混凝土上弦杆的截面面积 Ah=18cm×24cm=432cm2 表31中的Ag是22钢筋的截面面积： Ag=3.8cm2 根据表31中结果，即得 ΔC=2FPl3.81AhEh+1.13AgEg(310) 设原始数据给定如下： 跨度l=12m； 荷载q=13000N/m，FP=ql/4=39000N； 混凝土Eh=3.0×104MPa； 钢筋Eg=2.0×105MPa，则将数据代入式(310)得 ΔC=1.66cm（↓） 例33图38（a）所示简支梁受集中荷载FP作用。试求梁两端截面A、B的相对转角Δ。 解： 由图38（a）可知，相对转角Δ=θA+θB。因此，虚设力系时，在截面A、B处施加一对反向的单位力偶，图如图38（b）所示，实际荷载作用下的弯矩图如图38（c）所示。 图38例33图 (a) 简支梁； （b） 图； （c） MP图 解： 求得内力表达式如下： MP=FPblx，0