第3章
CHAPTER 3


连续时间信号与


系统的频域分析


3.1引言
第2章介绍了线性时不变系统的时域分析方法，主要包括时域经典分析方法和卷积法，后者利用系统的线性性与时不变性，引入卷积运算实现系统零状态响应的求解。本章将介绍连续信号与系统的频域分析方法，主要使用傅里叶级数和傅里叶变换实现。
信号与系统频域分析的应用十分广泛，例如语音信号分析与处理、图像的频谱分析、通信、滤波器的设计等。图31给出某语音信号及预加重信号的时域波形和频谱； 图32是某示例图像及其对数幅度谱和相位谱； 图33是双音频电话机的原理图，键盘上每个按键由两个不同的频率确定，图33(b)、图33(c)分别是每个按键对应的时域波形图与频谱图； 图34是ECG信号去噪的示例图。


图31语音信号及预加重信号的时域波形和频谱图




图32某图像及其对数幅度谱和相位谱




图33双音频电话机原理图





图33（续）




图34ECG信号滤波示例



若某信号通过系统后的响应只是在该信号基础上乘以一个常数，则将该信号称为系统的特征函数，加权的常数称为系统的特征值。对LTI系统，复指数信号是其特征函数，即： 

est→H(s)est(31)






证明： 若h(t)是LTI系统的冲激响应，则有系统零状态响应是： 
y(t)=esth(t)=∫+∞－∞es(t－τ)h(τ)dτ=est∫+∞－∞h(τ)e－sτdτ=estH(s)(32)

H(s)=∫+∞－∞h(τ)e－sτdτ(33)
其中，常数H(s)是与特征函数相关的特征值，其实质是冲激响应的拉普拉斯变换。
因此，根据系统的线性性和时不变性，以及信号的可分解性，对于LTI系统的分析，可先将一般信号分解为复指数信号的加权和，令各复指数信号分别通过LTI系统，再求其响应的加权和。因此，本章首先介绍信号的分解方法，再进一步介绍系统的频域分析方法。


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3.2傅里叶级数
3.2.1连续周期信号的傅里叶级数

根据傅里叶级数(Fourier Series，FS)理论，任何满足狄里克雷(Dirichlet)条件
对周期信号而言的狄里克雷条件是： 函数连续，或在一个周期内仅有有限个第一类间断点； 在一个周期内有有限个极值； 在一个周期内，函数绝对可积。的周期连续信号f(t)都可表示为无限多个、频率为基频倍数的复指数信号的加权和，也就是说，若f(t)=f(t+kT)，其中，k为任意整数，T为周期，f0=1T是基波频率，ω0=2πf0=2πT为基波角频率，则有： 
f(t)=∑+∞n=－∞Fnejnω0t(34)

Fn=1T∫Tf(t)e－jnω0tdt(35)
Fn为周期信号f(t)的复指数形式的傅里叶级数的系数，可以选择任意完整的一个周期作为积分区间。
式(34)是用FS分析对周期信号f(t)进行的谐波分解，即用谐波加权和来合成信号f(t)，因此FS分析又称为谐波分析。
证明： 把式(34)的两端乘以e－jnω0t后对t在一个周期内积分，有： 
∫t0+Tt0f(t)e－jnω0tdt=∫t0+Tt0∑+∞m=－∞Fmejmω0te－jnω0tdt=∑+∞m=－∞Fm∫t0+Tt0ej(m－n)ω0tdt
(36)
∫t0+Tt0ej(m－n)ω0tdt=Tm=n

0m≠n(37)
将式（37）代入式(36)即可得到式(35)。
式(35)是指ejnω0t是连续周期信号的正交基函数，因此FS分析是一个正交级数展开分析。
根据复指数信号与正弦类信号的关系，上述复指数形式的FS展开式还可以写成三角函数形式，具体的对应关系如表31所示。


表31连续周期信号的傅里叶级数表示



级数
形式展开形式系数计算方法相互转换关系

复指

数型f(t)=∑+∞n=－∞Fnejnω0t
Fn=1T∫Tf(t)e－jnω0tdt
F0=c0=d0=a0

Fn=12(an－jbn)

三角函数型

余弦
f(t)=c0+∑+∞n=1cncos(nω0t+θn)
cn=a2n+b2n

θn=arctan－bnan

|Fn|+|F-n|=cn,n≥1

θn=∠Fn

正、
余
弦
f(t)=a0+∑+∞n=1
［ancos(nω0t)+bnsin(nω0t)］
an=2T∫Tf(t)cos(nω0t)dt

bn=2T∫Tf(t)sin(nω0t)dt

a0=1T∫Tf(t)dt

an－jbn=cnejθn=2Fn

an+jbn=cne-jθn=2F－n

连续周期信号的FS展开式表明，该类信号是由频率为基频整数倍的各谐波分量组合而成的，展开式中各分量的系数Fn=|Fn|ejφn是关于nω0的函数，因此可分别画出
|Fn|~nω0、φn~nω0的对应曲线，即连续周期信号的幅度谱和相位谱，分别表示连续周期信号中的各谐波分量的幅度与相位。连续周期信号的频谱是离散谱，只位于直流分量和各谐波分量处。同理，使用三角函数形式的FS展开式，也可分别画出其幅度谱与相位谱，例如余弦形式展开式的频谱为cn=|cn|ejθn，由于此处n取正整数或零，因此对应的幅度谱和相位谱为单边谱，以区别上述的双边谱，二者的对应关系参考表31。
例31已知信号f(t)=2+cos(ω0t)+0．5cos2ω0t+π4，求该连续周期信号复指数形式的FS展开式的系数。
解根据欧拉公式，信号可写为： 
f(t)=2+12(ejω0t+e-jω0t)+14ej(2ω0t+π4)+e-j2ω0t+π4

=2+12(ejω0t+e-jω0t)+14ejπ4ej2ω0t+14e-jπ4e-j2ω0t
因此，该连续周期信号复指数形式的展开式中对应的各谐波分量的系数为： 
F0=2,F±1=12,F2=14ejπ4,F－2=14e-jπ4
例32已知连续周期信号δT(t)=∑+∞n=－∞δ(t－nT)，求解该信号复指数形式的FS展开式。
解该信号是周期冲激信号，其基波频率为ω0=2πT，则根据FS的求解公式可以得到系数Fn=1T∫t0+Tt0∑+∞m=－∞δ(t－mT)e－jnω0tdt=1T，因此有： 
δT(t)=∑+∞n=－∞δ(t－nT)=1T∑+∞n=－∞ejnω0t(38)
由式(38)可见，周期冲激信号的频谱是均匀分布的，直流分量以及各谐波分量的幅度一致。
例33求周期矩形脉冲信号f(t)=∑+∞n=－∞EGτ(t－nT),τ<T复指数形式的FS展开式。
解该信号是以矩形脉冲信号EGτ(t)为基本周期、占空比τT<1的周期矩形脉冲信号，其中，基频ω0=2πT，应用式(35)有： 
Fn=1T∫T2－T2EGτ(t)e－jnω0tdt=1T∫τ2－τ2Ee－jnω0tdt=ETe－jnω0τ2－ejnω0τ2－jnω0=EτTSanω0τ2(39)

f(t)=EτT∑+∞n=－∞Sanω0τ2ejnω0t=EτT∑+∞n=－∞SanπτTejnω0t=EτT1+2∑+∞n=1SanπτTcos(nω0t)(310)
从上述展开式可得，周期矩形脉冲信号的频谱是离散谱，包络是抽样信号，呈递减的趋势，同时，展开式中仅包括直流分量和余弦分量，不包含正弦分量，这与该信号的对称性有关。
需要注意，由多个正弦类信号的线性组合构成的连续时间信号未必是周期信号，只有当其任意两个频率之比互素或者是整数的时候，才是周期的。此时，其基波频率是所有信号频率的最大公约数。例如，信号f(t)=6+4cos13t+2cos56t+π4+cos76t+π5是周期信号，其中三个余弦信号的频率之比为2∶5∶7，因此其基波频率为ω0=16； 而信号f(t)=2cosπ3t+cos(3t)不是周期信号。


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3.2.2傅里叶级数的对称性
当实信号f(t)满足某对称性时，其FS展开式中的有些项就不会出现，使得展开式相对简单。信号对称性分为对整周期而言的偶函数和奇函数，以及对半周期而言的奇谐函数和偶谐函数。
当周期信号f(t)为实偶函数时，其频谱为实偶函数，有Fn=Fn，使得bn=0，因此其FS展开式中无正弦项，即实偶信号中不可能含有具有奇对称性的正弦分量。
证明： 由于f(t)=f(t)且f(t)=f(－t)，有： 
Fn=1T∫Tf(t)e－jnω0tdt=1T∫T2－T2f(t)e－jnω0tdt=1T∫T2－T2f(t)［cos(nω0t)－jsin(nω0t)］dt

=1T∫T2－T2f(t)cos(nω0t)dt=2T∫T20f(t)cos(nω0t)dt=12an
即实偶信号的FS中bn=0，不包含正弦项，Fn是关于nω0的实偶函数。
例32、例33中的两个周期信号均为实偶信号，由FS展开式可得，其频谱也是实偶信号。此外，周期对称三角脉冲信号、周期半波余弦脉冲信号、周期全波余弦脉冲信号等都是实偶信号的例子，其傅里叶级数展开式中仅包含余弦项。
同理，当周期信号f(t)为实奇函数时，其频谱为虚奇函数，有Fn=－Fn，使得an=0，因此其FS展开式中无直流项，也无余弦项，即实奇信号中不可能含有具有偶对称性的直流和余弦分量。
证明： 由于f(t)=f(t)且f(t)=－f(－t)，有： 
Fn=1T∫Tf(t)e－jnω0tdt=1T∫T2－T2f(t)e－jnω0tdt=1T∫T2－T2f(t)［cos(nω0t)－jsin(nω0t)］dt

=－j1T∫T2－T2f(t)sin(nω0t)dt=－j2T∫T20f(t)sin(nω0t)dt=－12jbn
即实偶信号的FS中an=0，不包含余弦项和直流分量，仅包含正弦项，且是关于nω0的虚奇函数。
例34试求如图35所示的周期锯齿脉冲信号的FS展开式。


图35锯齿波函数


解图35示出了以锯齿波窗函数EtTGT(t)为基周期的周期锯齿脉冲信号，由于该信号是实奇函数，因此其傅里叶级数展开式中仅包括正弦项，
因此有： 
bn=2T∫Tf(t)sin(nω0t)dt=2T∫T2－T2EtTGT(t)sin(nω0t)dt

=4ET2∫T20tsin(nω0t)dt=Enπ(－1)n+1

f(t)=Eπ∑+∞n=1(－1)n+1nsin(nω0t)=Eπsin(ω0t)－12sin(2ω0t)+13sin(3ω0t)－…
(311)
这表明，锯齿脉冲信号只有正弦分量，且谐波幅度呈倒数衰减规律，与周期矩形脉冲信号频谱的衰减规律相同。
若周期信号f(t)是实信号，且满足f(t)=－ft±T2，则称该类信号为奇谐信号，这意味着，周期信号f(t)无直流分量和偶次谐波分量，仅含有奇次谐波分量。
证明： 当信号是实信号，且平移半周期之后与原信号关于时间轴镜像对称，则有： 
Fn=1T∫Tf(t)e－jnω0tdt=1T∫T20f(t)e－jnω0tdt+1T∫TT2f(t)e－jnω0tdt

=1T∫T20f(t)e－jnω0tdt－1T∫TT2ft－T2e－jnω0tdt

=1T∫T20f(t)e－jnω0tdt－1T∫T20f(u)e－jnω0u+T2du

=1T∫T20f(t)e－jnω0tdt－e－jnω0T21T∫T20f(u)e－jnω0udu

=1T∫T20f(t)e－jnω0tdt－e－jnπ1T∫T20f(t)e－jnω0tdt

=0n=2m


2T∫T20f(t)e－jnω0tdtn=2m－1
例35试求如图36所示的周期三角脉冲信号的FS展开式。
解图36示出了以三角窗函数EBT(t)为基本周期的周期三角脉冲信号，由波形可知，该信号是实偶信号，根据对称性,其展开式中仅包含余弦项，同时计算得到其直流分量为a0=1T∫Tf(t)dt=E2。令f1(t)=f(t)－a0，即定义f1(t)是原信号去除直流分量后的周期三角脉冲信号，可知该信号是奇谐信号，因此可判断其展开式中仅包括奇次谐波的余弦项。计算可得： 
f(t)=E2+4Eπ2∑+∞n=11(2m－1)2cos((2m－1)ω0t)(312)
这表明，三角脉冲信号只有直流分量和奇次余弦分量，且谐波幅度呈平方倒数衰减规律，即比周期矩形脉冲的衰减要快。


图36周期三角脉冲信号


同理，若周期信号f(t)满足f(t)=ft±T2，则f(t)无奇次谐波分量，仅含有偶次谐波分量，该类信号称为偶谐信号。需要指出的是，具有偶谐特性的信号周期已经减半，从而使基频加倍，因此不包含奇次谐波分量。证明过程请读者参照奇谐信号的证明。
例36判断如图37所示的全波余弦脉冲信号的FS展开式中包含哪些分量。
解图37示出了以全波余弦窗函数E|cos(ω0t)|GT(t)为基本周期的周期全波余弦脉冲信号。显然，该信号是实偶信号，同时也是偶谐信号，因此其傅里叶级数的展开式中应该包含直流分量和偶次余弦分量。从该信号波形可以看出，其基本周期减半，实质的基波频率加倍，因此不可能含有奇次谐波分量。


图37全波余弦脉冲


3.2.3傅里叶级数的收敛性
根据傅里叶级数理论，一般的连续周期信号是无穷多项复指数信号的加权和。但实际应用中，常用有限项级数取代无穷项级数来近似f(t)，即： 
fN(t)=∑+Nn=－NFnejnω0t(313)
其近似误差为： 
eN(t)=f(t)－fN(t)=f(t)－∑+Nn=－NFnejnω0t(314)
并以一个周期内的误差能量作为度量标准： EN(t)=∫T|eN(t)|2dt

可以证明，当Fn=1T∫Tf(t)e－jnω0tdt时，误差能量最小。若某信号的傅里叶级数展开式存在，则随着所选项数的增多，该有限项级数将逼近原信号，上述误差的极限趋于零。
多数连续周期信号的傅里叶级数展开式是收敛的。一般的，若信号在一个周期内能量有限，则可以保证其傅里叶级数的收敛性。关于狄里赫利条件的详细叙述请参考其他文献。
此外，周期信号的不连续点附近和有限项级数的起伏部分，其峰值并不会随着项数的增加而下降，存在9%左右的超量。即，随着项数的增加，有限项和的起伏向不连续点处压缩，但是对于任意有限项数，起伏的峰值保持不变，这一现象称为吉伯斯现象。图38给出了周期脉冲信号的前1、3、5、7、9、39次谐波分类叠加的结果图，可以看出该信号不连续点处的超量并没有随着项数的增加而减少。


图38吉伯斯现象(依次是前1、3、5、7、9、39次谐波的叠加结果图)




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3．2.4傅里叶级数的性质
1． 线性性

若f1(t)和f2(t)均是以T为周期的连续时间信号，且其傅里叶级数系数分别为an和bn，则由这两个信号线性组合形成的信号f(t)=Af1(t)+Bf2(t)，其傅里叶级数的系数为Fn=Aan+Bbn。该性质可通过FS的定义式直接证明，且可进一步推广到任意多个具有相同周期的信号的线性组合中。
例37已知连续周期信号f(t)=∑+∞n=－∞［δ(t－2n)－δ(t－1－2n)］，试求其傅里叶级数展开式。
解将已知信号写成两个同周期连续信号f1(t)=∑+∞n=－∞δ(t－2n)与f2(t)=∑+∞n=－∞δ(t－1－2n)的线性组合： f(t)=f1(t)－f2(t)，且f2(t)=f1(t－1)，周期T=2，因此基波频率ω0=π，根据式(38)以及后续的FS时移性质可知： 
f1(t)=∑+∞n=－∞δ(t－2n)=∑+∞n=－∞12ejnπt

f2(t)=∑+∞n=－∞δ(t－1－2n)=∑+∞n=－∞12e－jnπejnπt=∑+∞n=－∞12ejnπ(t－1)
因此有： 
f(t)=∑+∞n=－∞12ejnπt－∑+∞n=－∞12ejnπ(t－1)=∑+∞n=－∞12ejnπt(1－e－jnπ)=0n=2m

∑+∞n=－∞ejnπtn=2m－1
由此可见，该信号是奇谐信号，仅包含奇次谐波分量，没有直流分量，且是实偶信号，因此仅包含余弦项。
2． 时移性质
连续周期信号f(t)以T为周期，其傅里叶级数系数为Fn，在时域中平移t0可得到y(t)=f(t－t0)，该信号周期不变仍为T，傅里叶级数的系数为an=e－jnω0t0·Fn。该结论表明，周期信号时移不改变傅里叶级数系数的幅值，仅改变其相位。
证明： 
an=1T∫Ty(t)e－jnω0tdt=1T∫Tf(t－t0)e－jnω0tdt=1T∫Tf(u)e－jnω0(u+t0)du

=e－jnω0t01T∫Tf(u)e－jnω0udu=e－jnω0t0·Fn
因此有，|an|=|Fn|，an=Fn－nω0t0，即时移仅改变FS的相位。
例38已知连续周期信号f(t)=∑+∞n=－∞［u(t－2n)－u(t－1－2n)］，试求其傅里叶级数展开式。
解根据例33，中心对称的周期脉冲信号的FS展开式由式(310)计算，令f1(t)=ft+12=∑+∞n=－∞ut+12－2n－ut－12－2n，则f1(t)的FS展开式为： 
f1(t)=12∑+∞n=－∞Sanω02ejnω0t=12∑+∞n=－∞Sanπ2ejnπt
再应用FS的时移性质得到： 
f(t)=12∑+∞n=－∞Sanπ2e－jnπ2ejnπt=12∑+∞n=－∞Sanπ2ejnπt－12
3． 频移性质
连续周期信号f(t)以T为周期，其傅里叶级数系数为Fn，则信号f(t)ejmω0t的傅里叶级数系数an=∫Tf(t)ejmω0te－jnω0tdt=∫Tf(t)e－j(n－m)ω0tdt=Fn－m。
例39试求如图39所示的周期半波余弦脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。
解该信号是以半波余弦窗函数Ecos(ω0t)GT2(t)为基本周期、周期为T的半波余弦脉冲信号，显然，f(t)=cos(ω0t)g(t)，其中g(t)是占空比为0．5的周期矩形脉冲信号。因此，由欧拉公式有： f(t)=12(ejω0t+e-jω0t)g(t)，将式(310)代入有： 
f(t)=E4∑+∞n=－∞Sa(n－1)π2+Sa(n+1)π2ejnω0t(315)


图39周期半波余弦脉冲信号


4． 尺度性质
连续周期信号f(t)以T为周期，其傅里叶级数系数为Fn，基波频率为ω0，则时域压扩信号f(at),a>0的傅里叶级数为： 
bn=aT∫Taf(at)e－jnaω0tdt=aT∫T1af(u)e－jnω0udu=1T∫Tf(u)e－jnω0udu=Fn
即时域尺度变化后傅里叶级数不变，但需注意的是，信号时域尺度变化后基波频率也发生了变化，由ω0变为aω0。
5． 时域翻转性质
连续周期信号f(t)以T为周期，其傅里叶级数系数为Fn，基波频率为ω0，则其时域翻转信号f(－t)的傅里叶级数为： 
an=1T∫Tf(－t)e－jnω0tdt=1T∫Tf(u)ejnω0udu=F－n
由该性质可得，若信号是偶信号，则F－n=Fn，其FS系数也是偶信号； 若信号是奇信号，则F－n=－Fn，其FS系数也是奇信号。
6． 共轭对称性
若连续周期信号f(t)的FS系数为Fn，则其共轭信号f(t)的FS系数为： 
an=1T∫Tf(t)e－jnω0tdt

an=1T∫Tf(t)e－jnω0tdt=1T∫Tf(t)ejnω0tdt=F－n

an=F－n(316)
特别的，当信号是实信号时，有： 
F－n=Fn(317)
可进一步得到结论： 
|Fn|=|F－n|,Fn=－F－n(318)
即实周期信号的FS系数的幅度是偶函数，相位是奇函数。

7． 帕斯瓦尔定理
1T∫T|x(t)|2dt=∑∞n=－∞|Fn|2(319)
该式表明，周期信号在一个周期上的平均功率等于所有谐波分量的平均功率之和。
例310已知对称周期矩形脉冲信号的各参数分别为E=1,T=0．25s,τ=0．05s，求频带［0,2π/τ］内各谐波分量的功率之和占信号总平均功率的比例。
解根据平均功率计算公式有： 
P=1T∫T0|f(t)|2dt=E2τT=0．050．25=0．2
根据式(310)可知，该周期信号的傅里叶级数展开式的系数为： 
F0=EτT,Fn=EτTSanω0τ2,ω0=2πT
代入已知条件，得到： 
ω0=2πT=2π0．25=8π，2πτ=2π0．05=40π,

EτT=0．050．25=15,ω0τ2=8π×0．052=π5
该信号的基波频率为2π/T=8π，频带［0,2π/τ］=［0,40π］内共有5条谱线，因而各谐波功率之和为： 
P′=|F0|2+2|F1|2+|F2|2+|F3|2+|F4|2

=152+252Saπ52+Sa2π52+Sa3π52+Sa4π52

=0．1806
因此得到P′P=0．18060．2≈90%，结果说明信号的能量集中在主频带内。
除上述性质，连续周期信号傅里叶级数还包括微分、积分等性质，详见表32。


表32连续时间傅里叶级数的性质



性质信号傅里叶级数的系数

x(t),y(t)周期均为T，基波频率为ω0=2πT
二者的傅里叶级数系数分别为an和bn
线性
Ax(t)+By(t)
Aan+Bbn
时移
x(t－t0)
ane－jnω0t0
频移
x(t)ejmω0t
an－m

共轭及对称性

x(t)
a－n

x(t)=x(t)
an=a－n

Re{an}=Re{a－n}

Im{an}=－Im{a－n}

|an|=|a－n|，an=－a－n

尺度x(at),a>0an
时域反转
x(－t)
a－n
续表




性质信号傅里叶级数的系数

时域微分
x′（t)
jnω0an
时域积分
x(－1)(t)(a0=0)
anjnω0

时域卷积
∫Tx(τ)y(t－τ)dτ
Tanbn
时域相乘
x(t)y(t)
∑∞m=－∞ambn－m
帕斯瓦尔定理
1T∫T|x(t)|2dt
∑∞n=－∞|an|2




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3.3傅里叶变换
3.3.1非周期信号的傅里叶变换

根据傅里叶级数理论，周期信号的频谱是离散谱，分布于直流和各谐波分量处。一般的，非周期信号可视为周期为无穷大的周期信号。例如周期矩形脉冲信号，当其周期趋近于无穷大时，周期信号退化为非周期单脉冲信号，而离散谱将趋近于连续谱。本节重点讲解信号的傅里叶变换及其主要性质，同时介绍傅里叶级数与傅里叶变换的关系。
根据傅里叶变换(Fourier Transformation，FT)理论，任何满足狄里克雷条件的非周期连续信号都可表示为无限多个幅度无穷小、频率连续变化的复正弦信号的叠加，即
f(t)=12π∫+∞－∞F(jω)ejωtdω(320)

F(jω)=∫+∞－∞f(t)e－jωtdt(321)
式(321)称为傅里叶正变换，式(320)称为傅里叶逆变换。f(t),－∞<t<+∞，和F(jω),－∞<ω<+∞，称为傅里叶变换对，记作f(t)F(jω)。f(t)是信号的时域表示； F(jω)是信号的频域表示，它描绘了信号的频谱密度，两者互为映像。
下面证明傅里叶变换的正当性。把式(320)的两端乘以e－jωt后对t积分，有： 
∫+∞－∞f(t)e－jωtdt=∫+∞－∞12π∫+∞－∞F(ju)ejutdue－jωtdt

=∫+∞－∞F(ju)12π∫+∞－∞ej(u－ω)tdtdu

=∫+∞－∞F(ju)δ(u－ω)du

=F(jω)
这就得到了等式(321)。
在此证明过程中，利用了等式（322）
12π∫+∞－∞ejωtdt=limT→+∞12π∫+T－Tejωtdt=limT→+∞TπSa(Tω)=δ(ω)(322)
等式12π∫+∞－∞ej(u－ω)tdt=δ(u－ω)表明，FT使用的基函数e－jωt是正交基函数，因此FT是个正交积分变换。
由FT的定义式(321)可知，其存在的充分条件是f(t)为绝对可积函数，即： 
∫+∞－∞|f(t)|dt<+∞(323)
借助冲激函数、阶跃函数等奇异函数的概念，可使许多非绝对可积的信号存在FT，如周期信号、因果斜坡函数等。
特别的，实信号f(t)的频谱密度函数为： 
F(jω)=|F(jω)|ejφ(ω)(324)
F（jω）一般为复数，3.3.2节将会证明，其幅度谱|F(jω)|为偶函数、相位谱φ(ω)为奇函数。因此，式(320)可表示为： 
f(t)=12π∫+∞－∞F(jω)ejωtdω=12π∫+∞－∞|F(jω)|ej(ωt+φ(ω))dω

=1π∫+∞0|F(jω)|cos(ωt+φ(ω))dω(325)
因此可以得到傅里叶变换的物理意义： 非周期连续信号f(t)可表示为无限多个幅度|F(jω)|dωπ无穷小、频率ω连续变化、相位函数为φ(ω)的余弦信号的叠加。正因为每个频率分量的幅度无限小，因此称F(jω)为信号f(t)的频谱密度函数，简称为信号f(t)的谱。
3.3.2典型非周期信号的傅里叶变换
1． 单位冲激信号

把f(t)=δ(t)代入式(321)，利用冲激信号的抽样性质，易知冲激信号的FT是与频率无关的常数1(平坦频谱)，即： 
δ(t)1(326)
单位冲激信号及其频谱如图310所示。
2． 单位直流信号
同样地，把频域冲激信号F(jω)=2πδ(ω)代入傅里叶逆变换式，利用冲激信号的抽样性质，易知其逆FT为单位直流信号1，即： 
12πδ(ω)(327)
单位直流信号及其频谱如图311所示。



图310单位冲激信号及其频谱图





图311单位直流信号及其频谱



3． 因果指数衰减信号
将因果指数衰减信号f(t)=e－σtu(t)代入式(321)，有： 
F(jω)=∫+∞0e－σte－jωtdt=∫+∞0e－(σ+jω)tdt=1σ+jω

|F(jω)|=1σ2+ω2,φ(ω)=－arctanωσ(328)
因果指数衰减信号及其幅度谱和相位谱如图312所示。


图312因果指数衰减信号及其幅度谱和相位谱


4． 矩形窗信号
将脉宽为τ、幅度为E的矩形窗信号EGτ(t)=Eut+τ2－ut－τ2代入式(321)，有： 
F(jω)=∫+τ2－τ2Ee－jωtdt=EτSaωτ2(329)
即，EGτ(t)EτSaωτ2,该信号及其频谱如图313所示。


图313矩形窗信号及其频谱


注意到该信号在时域为实偶信号，其傅里叶变换的谱函数也是实偶信号，其幅度谱为τESaωτ2，而相位谱需要满足后续性质中的奇对称性。


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3.3.3傅里叶变换的性质
傅里叶变换有许多重要性质，这些性质不仅可用于计算复杂信号的傅里叶变换，而且在理论和工程实践中有十分重要的作用。
1． 线性性
FT是线性运算，它满足叠加定理。即，若fi(t)Fi(jω),(i=1,2,…,n)，则有： 
∑ni=1aifi(t)∑ni=1aiFi(jω)(330)
从FT的定义直接可证FT的线性性成立。它表明傅里叶变换是个可与加权和运算交换的线性运算。
例311求信号f(t)=G2(t)+2G4(t)的傅里叶变换。
解根据FT的线性性和式(329)有： F(jω)=2Sa(ω)+8Sa(2ω)。
2． 共轭对称性
已知任意信号及其傅里叶变换对： f(t)F(jω)，则其共轭信号的傅里叶变换对为： 
f(t)F(－jω)(331)
证明： 根据傅里叶变换的逆变换式有： 
f(t)=12π∫+∞－∞F(jω)ejωtdω=12π∫+∞－∞F(jω)e-jωtdω=12π∫+∞－∞F(-jω)ejωtdω
因此得证。同理，该性质也可以用傅里叶正变换式证明。
特别的，对任何实信号f(t)，其频谱有式（332）的性质： 
F(－jω)=F*(jω)(332)
证明： 考虑到当信号f(t)为实函数时，把式(321)的两端取复共轭可以得到： 
F*(jω)=∫+∞－∞f*(t)ejωtdt=∫+∞－∞f(t)e－(－jω)tdt=F(－jω)


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3． 奇/偶对称性
奇/偶对称性是共轭对称性的推论。
（1） 对任何实信号f(t)而言，其频谱的实部偶对称，虚部奇对称，幅度谱偶对称，相位谱奇对称。
即，若令F(jω)=R(ω)+jX(ω)，则有： 
R(－ω)=R(ω)，X(－ω)=－X(ω)，

|F(－jω)|=|F(jω)|，φ(－ω)=－φ(ω)(333)
（2） 实偶信号的频谱一定是实偶函数，实奇信号的频谱一定是虚奇函数，具体如下。
若实信号f(t)偶对称，即f(－t)=f(t)，则频谱是实函数，即F(jω)=R(ω)； 并且频谱是偶函数，即F(－jω)=F(jω)。
若实信号f(t)奇对称，即f(－t)=－f(t)，则频谱是虚函数，即F(jω)=jX(ω)； 并且频谱是奇函数，即F(－jω)=－F(jω)。
证明： 实际上，我们只需证明实偶信号的频谱一定是实函数，而实奇信号的频谱一定是虚函数。只要此结论成立，后面的结论直接来自实信号的频谱具有的奇偶对称性，即式(333)的结论。因此，根据式(321)，对实偶信号f(t)，有： 
F(jω)=∫+∞－∞f(t)e－jωtdt=∫+∞－∞f(t)cos(ωt)dt+j∫+∞－∞f(t)sin(ωt)dt

=2∫+∞0f(t)cos(ωt)dt=R(ω)(334)
其中，第二积分项等于零是因为实偶信号f(t)和实奇信号sin(ωt)相乘后得到实奇信号，它在对称区间上的积分必等于零。
同理可证，对实奇信号f(t)，有： 
F(jω)=j2∫+∞0f(t)sin(ωt)dt=jX(ω)(335)
（3） 实信号f(t)偶分量fe(t)的FT是f(t)的FT的实部，而f(t)奇分量fo(t)的FT是虚数j乘以f(t)的FT的虚部。即： 
fe(t)R(ω)fo(t)jX(ω)(336)
由于因果信号的偶分量和奇分量都不可能等于零，因此因果信号的FT一定既有实部，也有虚部。即，它不可能是纯实的，也不可能是纯虚的。
上述对称性可有效地用于分析非周期信号的频谱，下面举几例说明。
例312求双边指数衰减信号f(t)=e－σ|t|的频谱。
解由于双边指数衰减信号12e－σ|t|是因果指数衰减信号e－σtu(t)的偶分量，所以使用式(336)，有： 
e－σ|t|2Re1σ+jω=2σσ2+ω2(337)
其中，Re{·}表示取实部运算。双边指数衰减信号及其频谱如图314所示，可以看出，该信号的频谱是实偶信号。


图314双边指数衰减信号及其频谱


例313求符号函数f(t)=sgn(t)=u(t)－u(－t)的频谱。
解由于符号函数sgn(t)=limσ→0(e－σtu(t)－e－σ(－t)u(－t))是因果指数衰减信号2e－σtu(t)的奇分量在σ→0时的极限，所以使用式(336)，有： 
sgn(t)2limσ→0jIm1σ+jω= limσ→0－2jωσ2+ω2=2jω(338)
其中，Im{·}表示取虚部运算。符号函数及其幅度谱和相位谱如图315所示，可以看出，该信号的频谱是纯虚的。


图315符号函数及其幅度谱和相位谱


例314求阶跃信号f(t)=u(t)的频谱。
解由于u(t)=12(1+sgn(t))，即，阶跃信号的偶分量是直流信号12，奇分量是符号函数的一半，由式(327)和式(338)，有： 
u(t)πδ(ω)+1jω(339)
阶跃信号及其幅度谱如图316所示。


图316阶跃信号及其频谱


例315若某实因果信号f(t)F(jω)=R(ω)+jX(ω)，且已知12π∫+∞－∞R(ω)ejωtdω=1－|t|5,|t|≤5，求f(t)。
解根据傅里叶变换的奇偶性质，实信号f(t)偶分量fe(t)的FT是f(t)的FT的实部R(ω)。此处已知信号的偶分量，可知其原信号是其偶分量取因果化的两倍，即，f(t)=21－t5,0≤t≤5。
4． 时移定理(频域复指数加权)
信号的时域延迟t0对应于频域指数加权e－jωt0，即，频域附加线性相位滞后： 
f(t－t0)e－jωt0F(jω)(340)
证明： 由FT定义有： 
∫+∞－∞f(t－t0)e－jωtdt=e－jωt0∫+∞－∞f(t－t0)e－jω(t－t0)dt=e－jωt0F(jω)
时移定理是指，信号的延迟不改变信号的幅度谱，仅在相位谱中引入线性相位滞后项－ωt0。
例316求信号12δ(t+t0)+δ(t－t0)的傅里叶变换。
解利用时移定理，有δ(t－t0)e－jωt0，所以： 
12δ(t+t0)+δ(t－t0)12ejωt0+e－jωt0=cos(ωt0)(341)
同理： 
12jδ(t+t0)－δ(t－t0)sin(ωt0)(342)
上述结论是梳状滤波器的实现原理，它们具有周期等于2πt0的周期频谱，并且在其基周期内交替地有带阻特性和带通特性。例如，电视机色差信号的分离中需要用到梳状滤波器。
5． 频移定理(又称时域复指数加权，复调制定理)
信号的频谱搬移ω0对应于时域用复正弦ejω0t对信号加权，即： 
ejω0tf(t)F(j(ω－ω0))(343)
证明： 由FT定义，有∫+∞－∞ejω0tf(t)e－jωtdt=∫+∞－∞f(t)e－j(ω－ω0)tdt=F(j(ω－ω0))。
频移定理是指，复正弦ejω0t调制后的信号频谱是将原信号频谱向右搬移ω0。
复调制定理的物理实现是双路正交调制，可用于单边带通信。
例317求正弦信号的频谱。
解利用频移定理和式(327)，有： 
ejω0t2πδ(ω－ω0)(344)
这使得： 
cos(ω0t)πδ(ω－ω0)+δ(ω+ω0)(345)

sin(ω0t)πjδ(ω－ω0)－δ(ω+ω0)(346)
这表明正余弦周期信号在正负频率上各有一根谱线，如图317所示。


图317余弦和正弦信号及其频谱


6． 调制定理



图318余弦调制定理



用余弦cos(ω0t)调制后的信号频谱,是将原频谱幅度减半后，分别向左和向右搬移ω0单位，如图318所示。即： 
cos(ω0t)f(t)12F(j(ω－ω0))+F(j(ω+ω0))(347)
类似地： 
sin(ω0t)f(t)12jF(j(ω－ω0))－F(j(ω+ω0))(348)
调制定理是前述复调制定理的直接推论。

图318给出了余弦调制时的频谱搬移。其中，G(jω)是被调低频信号的频谱，F(jω)是相应的已调高频信号的频谱。调制定理是双边带通信的基础。
例318求因果正弦信号的频谱。
解利用调制定理和式(339)，有： 
cos(ω0t)u(t)π2δ(ω－ω0)+δ(ω+ω0)+12j1ω－ω0+1ω+ω0(349)

sin(ω0t)u(t)π2jδ(ω－ω0)－δ(ω+ω0)－121ω－ω0－1ω+ω0(350)
图319分别示出了因果正弦和余弦信号及其幅度谱。与图318比较，可以看出因果化对频谱的影响，与图316所示的阶跃信号频谱相比，可看出正余弦调制对频谱的影响。


图319因果正弦和余弦信号及其频谱



例319求矩形调幅信号(数字通信中的幅度键控，amplitude shift keying，简写为ASK信号)的傅里叶变换。
解利用调制定理和矩形窗函数的频谱易知，ASK信号及其频谱为： 
Ecos(ω0t)Gτ(t)Eτ2Sa(ω－ω0)τ
2+Sa(ω+ω0)τ2(351)
图320示出了ASK信号及其频谱，可以看出，调制后将原脉冲信号的频谱进行了搬移。


图320ASK信号及其频谱



信号的调制与解调是通信中重要的概念，是幅度调制和频分复用的理论基础。
例320求因果指数衰减正弦信号的傅里叶变换。
解利用调制定理和式(328)，有： 
e－αtcos(ω0t)u(t)121α+j(ω－ω0)+1α+j(ω+ω0)=α+jω(α+jω)2+ω20(352)

e－αtsin(ω0t)u(t)ω0(α+jω)2+ω20(353)
图321示出了因果指数衰减正弦信号及其频谱。


图321因果指数正弦信号及其频谱


例321求升余弦脉冲信号f(t)=E21+cosπtτG2τ(t)的傅里叶变换。
解图322是τ=10,E=2时升余弦脉冲信号的时域波形，可以看出，该信号可视作余弦信号被脉冲信号加窗的结果。


图322升余弦脉冲信号时域波形图(τ=10,E=2)


根据FT的调制定理和线性性，升余弦脉冲的FT为： 
F(jω)
=EτSa(ωτ)+Eτ2Saω－πττ+Eτ2Saω+πττ

=Esin(ωτ)ω1－ωτπ2=EτSa(ωτ)1－ωτπ2(354)
7． 尺度(Scaling)定理
信号时域压缩/扩展a倍相应于频域扩展/压缩a倍，即： 
f(at)1|a|Fjωa(355)
测不准原理是指，每个信号的时宽－带宽积为常数(此常数与所论信号有关)，因此当它的时宽压缩a倍时，频宽就一定要扩展a倍，尺度定理就是测不准原理的具体体现。
特殊地，当a=－1时，有： 
f(－t)F(－jω)(356)
证明： 由FT的定义，有： 
∫+∞－∞f(at)e－jωtdt=∫+∞－∞f(x)e－jωaxdxaa>0

∫－∞+∞f(x)e－jωaxdxaa<0

=1|a|Fjωa
图323给出了尺度定理的一个示例，可以发现，若时域中脉冲信号压缩，则其频谱扩展，反之亦然。若定义脉冲信号频谱的第一对过零点之间的频带为其带宽，则无论信号在时域中压缩还是扩展，与脉冲信号的时间宽度的乘积恒为常数。


图323傅里叶变换尺度定理的示例


傅里叶变换性质的尺度定理表现了信号在时域与频域的互换，实际中有很多例子。例如，当播放一盒音乐磁带，若播放速度和录制速度不一致时，人耳听到的效果不同； 若播放速度大于录制速度(相当于时间压缩)，则整个音调将会提高(频域扩展，高频分量增加)，特别是快放时，音调提高会非常明显； 相反的，若播放速度小于录制速度(相当于时间扩展)，则整个音调将会降低(频域压缩，低频分量增加)，此时听到的音乐将会使人感到非常沉闷。再如，当火车高速开过来时，我们也会明显感觉到汽笛声调的变高。此外，在数据通信网的发展过程中，为了得到高速传输速率，必须提高传输媒质的带宽，这也是时域与频域成反比的例子。
例322已知f(t)F(jω)，求f(at－t0)和f(t0－at)的FT。
解由时移定理，有gt－t0aG(jω)e－jωt0a，其中g(t)=f(at)，并且由尺度定理，有G(jω)=1aFjωa，因此： 
f(at－t0)=gt－t0a1|a|Fjωae－jωt0a(357)
再根据式(356)，有： 
f(t0-at)1|a|F-jωae-jωt0a
(358)
8． 时域微分性质
信号在时域微分对应于频域乘以jω，即： 
f′（t)jωF(jω)(359)
证明： 把式(320)对时间变量t求导后，有： 
f′（t)=12π∫+∞－∞jωF(jω)ejωtdωjωF(jω)
推论： 
f(n)(t)(jω)nF(jω)(360)
例323求δ(n)(t)的FT。
由式(360)，有： 
δ(n)(t)(jω)n(361)
即： 
(－j)nδ(n)(t)ωn(362)
注意到，冲激信号的n阶微分信号是n阶微分器的单位冲激响应。
9． 时域积分性质
信号的时域积分对应于频域除以jω并加上与f(t)的直流分量相应的频谱πF(0)δ(ω)，即： 
f(－1)(t)F(jω)jω+πF(0)δ(ω)(363)
当信号f(t)无直流分量，即F(0)=0时，有： 
f(－1)(t)F(jω)jω(364)
需注意，若∫t－∞f′（τ)dτ≠f(t)，则无法直接使用积分性质，原因是信号若包含直流信号，则微分后无法还原信号，因此不能直接应用FT的积分性质。举例： 
［1+u(t)］′=δ(t)1,1+u(t)3πδ(ω)+1jω≠πδ(ω)+1jω
证明： 该性质的证明可以应用后续的时域卷积性质，即，由于f(t)=f(t)δ(t)和u(t)=δ(－1)(t)，信号的积分可视作信号通过积分器，有f(－1)(t)=f(t)u(t)，于是由FT的卷积定理，有： 
f(－1)(t)F(jω)πδ(ω)+1jω=F(jω)jω+πF(0)δ(ω)(365)
该性质的证明也可直接利用傅里叶变换的定义，请读者自行证明。
例324求梯形窗信号f(t)=r(t+2)－r(t+1)－r(t－1)+r(t－2)的FT。
解由于f′（t)=u(t+2)－u(t+1)－u(t－1)+u(t－2)=G－2,－1(t)－G1,2(t)，其中，一般的矩形窗信号定义为Ga,b(t)Δu(t－a)－u(t－b)。由时移性质和式(329)可知，f′(t)的FT为ej3ω2－e－j3ω2Saω2=2jsin3ω2Saω2，且它在ω=0时取零值，因此使用积分定理后，有f(t)2ωsin3ω2Saω2=3Sa3ω2Saω2此例题的求解方法不唯一，还可以用时域卷积性质求解。
傅里叶变换的时域积分性质，多用于待求解信号的微分信号的傅里叶变换容易求解的情况，使用过程中需注意应用条件。
10． 频域微分性质
信号的频域微分对应于时域乘以－jt，即： 
－jtf(t)ddωF(jω)(366)

tf(t)jddωF(jω)(367)
证明： 对傅里叶正变换式求导，有： 
ddωF(jω)=12π∫+∞－∞(－jtf(t))e－jωtdt－jtf(t)

推论： 
tnf(t)jddωnF(jω)(368)
其中，jddωn表示把算子jddω运行n次，每次先对ω求导，然后乘以j。
例325求因果幂信号tnu(t)的FT。
解由式(368)和阶跃信号的傅里叶变换，有： 
tnu(t)jddωnπδ(ω)+1jω=jnπδ(n)(ω)－(－j)n－1n!ωn+1(369)
特殊地，对因果斜坡信号，有： 
r(t)jπδ′（ω）－1ω2(370)
例326求因果tn加权的指数衰减信号tne－σtu(t)的FT。
解由式(368)和因果指数衰减信号的傅里叶变换，有：
tne－αtu(t)jddωn1σ+jω=n!(α+jω)n+1(371)
特殊地，有： 
te－αtu(t)1(α+jω)2

t2e－σtu(t)2(α+jω)3(372)
11． 频域积分性质
与时域积分性质相对应，傅里叶变换具备频域的积分性质，即若f(t)F(jω)，则有： 
-f(t)jt+πf(0)δ(t)F－1(jω)(373)
该性质可以通过后续的对偶性进行证明。
12． 时域卷积定理
两信号的时域卷积信号的傅里叶变换是二者频谱的相乘，即： 
f1(t)f2(t)F1(jω)F2(jω)(374)
证明： 应用傅里叶变换定义计算f1(t)f2(t)的FT，有：
∫+∞－∞∫+∞－∞f1(t－τ)f2(τ)dτe－jωtdt=∫+∞－∞∫+∞－∞f2(τ)e－jωτdτf1(t－τ)e－jω(t－τ)d(t－τ)

=F1(jω)F2(jω)
推论： 对于冲激响应为h(t)的LTI系统而言，激励f(t)产生的零状态响应为y(t)=h(t)f(t)，在频域中有： 
Y(jω)=H(jω)F(jω)(375)
其中，系统频率响应函数H(jω)是系统冲激响应h(t)的FT。该推论是系统频域分析以及滤波器理论的基础，也是用FT计算卷积的依据。

例327求底边长为2τ，高为τ的三角窗信号τB2τt=［rt+τ－2rt+rt－τ］的FT。
解由于τB2τt=GτtGτt，因此从卷积定理和脉冲信号的傅里叶变换有
τB2τtτSaωτ22(376)
图324示出了三角窗信号及其频谱。与矩形窗的频谱具有负的旁瓣不同，三角窗的频谱只有正的旁瓣，且衰减的更快。



图324三角窗信号及其频谱


根据上述结论，一般的，可以得到下列常用傅里叶变换对： 
AGτ(t)BGτ(t)=ABτ1－1τ|t|ABτ2Sa2ωτ2(377)

AGτ1(t)BGτ2(t)ABτ1τ2Saωτ12Saωτ22(τ1<τ2)(378)
上述结论也可通过傅里叶变换的积分性质进行证明。
13． 频域卷积定理
信号频谱的卷积对应于时域相乘，即： 
f1(t)f2(t)12πF1(jω)F2(jω)(379)
证明： 
12π∫+∞－∞12πF1(jω)F2(jω)ejωtdω

=12π∫+∞－∞∫+∞－∞12πF1(ju)F2(j(ω－u))duejωtdω

=12π∫+∞－∞F1(ju)ejut12π∫+∞－∞F2(j(ω－u))ej(ω－u)tdωdu

=f2(t)×12π∫+∞－∞F1(ju)ejutdu=f1(t)×f2(t)
调制定理是频域卷积定理的特例，此时由于正弦类信号的频谱是冲激信号，因此进行频域卷积的实质是对信号的频谱进行搬移。
例328求被矩形窗截断后的信号f(t)Gτ(t)的FT。
解根据脉冲信号的傅里叶变换和频域卷积定理，有： 
f(t)Gτ(t)12πF(jω)τSaωτ2=τ2π∫+∞－∞F(j(ω－u))Sauτ2du(380)
可见，信号在时域中被截断后，相当于在时域中乘以矩形窗信号； 而在频域中两信号的频谱进行卷积运算，即原信号频谱卷积矩形窗信号的频谱，因此原频谱被模糊化。例如，余弦信号的原频谱是冲激谱，通信中的ASK信号可视为被截断的余弦信号，图320示出了被矩形窗信号的频谱模糊化的结果。
14． 对偶性
通过上述性质的叙述可知,傅里叶变换在时域和频域中有对应的性质。可以证明，若f(t)F(jω)，则有：
F(jt)2πf(－ω)(381)
例如，时域的卷积对应于频域的相乘，反之，频域的卷积对应于时域的相乘； 时移性质与频移性质等都是对偶性的表现。
证明： 用-t置换傅里叶逆变换式中的t，有f(－t)=12π∫+∞－∞F(jω)ejω(－t)dω，再把其中的ω和t互相置换，则有f(－ω)=12π∫+∞－∞F(jt)e－jωtdt，表明2πf(－ω)是F(jt)的FT，即式(381)成立。
例329求抽样信号Sa(ωct)，ωc>0的FT。
解根据Gτ(t)τSaωτ2，用2ωc替换τ，由对偶性有：
Sa(ωct)=12ωc2ωcSa(ωct)2π2ωcG2ωc(jω)
即： 
ωcπSa(ωct)G2ωc(jω)(382)
其中，ωc是理想低通信号ωcπSa(ωct)的截止频率。
抽样信号及其频谱如图325所示，表明抽样信号是理想低通滤波器的冲激响应，由于它是非因果无限持续时间信号，因此是物理不可实现的，即,理想低通滤波器是物理不可实现的。


图325抽样信号及其频谱



15． 帕斯瓦尔定理
与傅里叶级数的性质类似，对非周期连续信号的傅里叶变换，也存在帕斯瓦尔定理，体现了信号能量的守恒。
若f(t)F(jω)，则有： 
∫∞－∞|f(t)|2dt=12π∫∞－∞|F(jω)|2dω(383)
这表明信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于|F(jω)|2表示信号能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
例330计算信号f(t)=2cos(997t)sin5tπt的能量。
解由于sin5tπtG10(jω)，因此信号f(t)的傅里叶变换为： 
2cos(997t)sin5tπtG10(j(ω－997))+G10(j(ω+997))

E=∫∞－∞|f(t)|2dt=12π∫∞－∞|F(jω)|2dω=12π(10+10)=10π
表33给出了重要信号的FT，表34综述了FT的性质，这些公式应熟记并能灵活应用。其中，采样信号的FT及FT的时域采样特性和频域采样特性将在3.3.4节中给出。


表33重要傅里叶变换对



信号时域f(t)
频域F(jω)
信号
时域f(t)
频域F(jω)

冲激
δ(t)
1
直流
1
2πδ(ω)
矩形窗
Gτ(t)
τSaωτ2
理想低通
ωcπSa(ωct)
G2ωc(ω)
阶跃
u(t)
πδ(ω)+1jω
因果指数
e－σtu(t)
1σ+jω
符号
sgn(t)
2jω
双边指数
e－σ|t|
2σσ2+ω2
三角窗
Bτ(t)
τSaωτ22
采样
∑+∞n=－∞δ(t－nT)
ω0∑+∞n=－∞δ(ω－nω0)

表34傅里叶变换的性质



性质时域f(t)频域F(jω)

线性性
∑ni=1aifi(t)
∑ni=1aiFi(jω)

共轭对称性f(t)F(-jω)
对称性实信号f(t)实部偶对称，虚部奇对称;

幅度偶对称，相位奇对称
时移f(t－t0)
e－jωt0F(jω)
频移
ejω0tf(t)
F(j(ω－ω0))

调制
cos(ω0t)f(t)
12F(j(ω－ω0))+F(j(ω+ω0))

sin(ω0t)f(t)
12jF(j(ω－ω0))－F(j(ω+ω0))

尺度性
f(at)
1|a|Fjωa

f(－t)
F(－jω)
时域微分

f′（t)
jωF(jω)

f(n)(t)
(jω)nF(jω)

时域积分f(－1)(t)
F(jω)jω+πF(0)δ(ω)

频域微分
tf(t)
jddωF(jω)

tnf(t)
jddωnF(jω)

频移积分－f(t)jt+πf(0)δ(t)F－1(jω)
F(－1)(jω)
时域卷积f1(t)f2(t)F1(jω)F2(jω)
时域相乘f1(t)f2(t)12πF1(jω)F2(jω)
对偶性F(jt)2πf(－ω)
帕斯瓦尔定理
∫∞－∞f(t)2dt=12π∫∞－∞F(jω)2dω

3.3.4傅里叶变换与傅里叶级数的关系
通过上述两节学习可以发现，傅里叶变换与傅里叶级数有密切联系。同时，由于引入了奇异信号，周期信号这类不满足绝对可积的信号，其傅里叶变换也存在。
为引出一般连续周期信号的傅里叶变换，首先研究周期冲激信号的傅里叶变换。
1． 周期冲激信号δT(t)=∑+∞n=－∞δ(t－nT)的FS和FT
信号δT(t)=∑+∞n=－∞δ(t－nT)是周期为T的连续周期信号，有式(38)的FS展开式，将其进行FT则有： 
δT(t)=∑+∞n=－∞δ(t－nT)=1T∑+∞n=－∞ejnω0tω0∑+∞n=－∞δ(ω－nω0)=ω0δω0(ω)(384)
这表明，周期冲激信号的傅里叶变换仍是周期冲激信号，其频域间隔ω0=2πT。图326是冲激信号、周期冲激信号的FS频谱以及FT频谱，可以看出信号在时域中的周期化，对应的频谱是对原频谱的采样。


图326冲激信号、周期冲激信号的FS频谱以及FT频谱


2． 一般连续周期信号的FT
显然，周期信号f(t)是由其单周期截取得到的非周期信号f0(t)周期延拓构成的，其中： 
f0(t)=f(t)t∈t0,t0+T


0tt0,t0+T(385)

f(t)=∑+∞n=－∞f0(t－nT)=f0(t)∑+∞n=－∞δ(t－nT)=f0(t)δT(t)(386)
利用FT的卷积定理有：
f(t)F0(jω)ω0∑+∞n=－∞δ(ω－nω0)=∑+∞n=－∞ω0F0(jnω0)δ(ω－nω0)(387)
另一方面，对该信号先进行FS展开，再进行FT有： 
f(t)=∑+∞n=－∞Fnejnω0t∑+∞n=－∞2πFnδ(ω－nω0)(388)
对比式(387)与式(388)，可以得到： 
Fn=1TF0(jnω0)(389)
上述分析表明，周期信号f(t)的频谱是离散的，位于基波频率以及其整数倍频率处，且在nω0的谱线强度为2πFn=ω0F0(jnω0)。式(389)也给出了利用信号f0(t)傅里叶变换计算由其延拓形成的周期信号f(t)傅里叶级数系数的方法，即该系数是对非周期信号连续频谱的等间隔采样。
下面给出使用式(389)进行典型周期信号傅里叶级数与傅里叶变换分析的例题，以说明二者之间的联系。
例331分析以脉冲信号EGτ(t)为基周期、占空比τT<1的周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换。
解由于f0(t)=EGτ(t)F0(jω)=EτSaωτ2，周期延拓后构成的周期脉冲信号的基频为ω0=2πT。因此，由式(389)得到FS系数为： 
Fn=1TF0(jnω0)=EτTSanω0τ2=EτTSanπτT
因此，该周期信号的FS展开式为： 
f(t)=EτT∑+∞n=－∞SanπτTejnω0t=EτT1+2∑+∞n=1SanπτTcos(nω0t)(390)
式（390）中应用了该信号是实偶信号的条件，因此求和式中仅包含余弦项。进一步对该信号进行FT有： 
f(t)=EτT∑+∞n=－∞SanπτTejnω0tF(jω)=2πEτT∑+∞n=－∞SanπτTδ(ω－nω0)(391)

特殊地，当占空比τT=12时有：
f(t)=E2∑+∞n=－∞Sanπ2ejnω0t=EτT1+2∑+∞n=1Sanπ2cos(nω0t)(392)
即此时信号仅包含直流和奇次谐波分量，其FT为： 
f(t)=E2∑+∞n=－∞Sanπ2ejnω0tF(jω)=πE∑+∞n=－∞Sanπ2δ(ω－nω0)(393)
图327是周期矩形脉冲信号的FS系数和FT，可看出该信号只有直流分量和奇次余弦分量，且谐波幅度呈倒数衰减规律。


图327周期矩形脉冲信号的FS系数和FT



例332求以三角窗函数EBT(t)为基本周期的周期三角脉冲信号f(t)=∑+∞n=－∞EBT(t－nT)的傅里叶变换。
解由于EBT(t)=2ETGT2(t)2ETGT2(t)，根据傅里叶变换的时域卷积性质，该三角窗信号的傅里叶变换为EBT(t)F0(jω)=ET2SaωT42，因此以该信号为基本周期延拓形成的周期三角脉冲信号的傅里叶级数为： 
Fn=1TF0(jnω0)=1TET2Sanω0T42

=E2Sanπ22=2E(2m－1)2π2n=2m－1

0n=2m(394)
因此其FS展开式为： 
f(t)=E2∑+∞n=－∞Sanπ22ejnω0t(395)
这表明，三角脉冲信号只有直流分量和奇次余弦分量，并且谐波幅度呈平方倒数衰减规律，即比方波的衰减速度要快。
对式(395)进行FT得： 
f(t)=E2∑+∞n=－∞Sanπ22ejnω0tF(jω)=πE∑+∞n=－∞Sanπ22δ(ω－nω0)(396)


图328锯齿波函数



例333求以f0(t)=EtTGT(t)为基本周期的周期锯齿脉冲信号f(t)=∑+∞n=－∞E(t－nT)TGT(t－nT)的傅里叶变换。
解图328示出了周期锯齿脉冲信号，利用FS与FT的关系，可首先求解f0(t)的傅里叶变换。
f′0(t)=ETGT(t)－E2δt+T2+δt－T2ESaωT2－EcosωT2
应用FT的时域积分定理，可以得到： 
F0(jω)=EjωSaωT2－cosωT2(397)
因此有： 
Fn=1TF0(jnω0)=ET1jnω0Sa(nπ)－cos(nπ)=0n=0

(－1)n－1Ej2nπn≠0
(398)
故其FS展开式为：
f(t)=E2π∑+∞n=-∞
n≠0(－1)n－1jnejnω0t=Eπ∑+∞n=1(－1)n－1nsin(nω0t)(399)
这表明，锯齿脉冲信号只有正弦分量，并且谐波幅度呈倒数衰减规律，与方波的衰减规律相同。
对式(399)进行FT得： 
f(t)=E2π∑+∞n=-∞
n≠0(－1)n－1jnejnω0tF(jω)=E∑+∞n=-∞
n≠0(－1)n－1jnδ(ω－nω0)(3100)
例334重新考虑例37，求周期信号f(t)=∑+∞n=－∞δ(t－2n)－δ(t－1－2n)的傅里叶级数展开式及傅里叶变换。
解使用式(389)求解周期信号的傅里叶级数。令f0(t)=δ(t)－δ(t－1)，则其傅里叶变换为F0(jω)=1－e－jω，因此f(t)的傅里叶级数系数为： 
Fn=1TF0(jω)ω=nω0=12(1－e－jnω0)=12(1－e－jnπ)=0n=2m

1n=2m－1
(3101)

f(t)=∑+∞n=－∞12ejnπt(1－e－jnπ)=0n=2m

∑+∞n=－∞ejnπtn=2m－1(3102)

F(jω)=2π∑+∞n=－∞δ(ω－nπ),n=2m－1
3.4采样定理
采样定理是联系连续时间信号与离散时间信号的重要桥梁。通过对连续时间信号的时域采样、量化和编码等步骤，可将连续时间信号转换为数字信号，利用数字信号处理器进行处理，之后再转换为连续信号。按照采样实现的不同角度，本节将分别介绍信号的时域采样和频域采样。


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3.4.1信号的时域采样
1． 时域采样信号的傅里叶变换

连续信号f(t)经理想均匀采样后得到的采样信号可表示为： 
fs(t)=f(t)δTs(t)=∑+∞n=－∞f(nTs)δ(t－nTs)(3103)
其中，采样频率fs=1Ts，Ts为采样周期(即采样间隔)。
由FT的频域卷积定理和式(384)可知，采样信号的FT为： 
Fs(jω)=12πF(jω)ωsδωs(ω)=fsF(jω)∑+∞n=－∞δ(ω－nωs)

=fs∑+∞n=－∞F(jω)δ(ω－nωs)=fs∑+∞n=－∞F(j(ω－nωs))(3104)
即连续信号的时域采样，对应其频谱的周期化： 
∑+∞n=－∞f(nTs)δ(t－nTs)fs∑+∞n=－∞F(j(ω－nωs))(3105)
因此，采样信号的频谱是周期谱。
2． 带限信号的时域采样定理——奈奎斯特(Nyquist)采样定理
当连续信号f(t)是有限带宽信号(如图329(a)所示，其频谱满足带限条件： 当|ω|>ωm时，F(jω)=0，其中，ωm为信号的最高频率)时，只要使采样频率不小于信号的奈奎斯特采样频率ωNeq=2ωm对应的采样间隔称为奈奎斯特采样间隔TNeq=2πωNeq，即ωs≥2ωm，则由图329(b)可知，信号频谱只发生周期延拓而成为周期频谱，不发生频域混叠(Alising)，此时，该周期频谱的基周期是原信号的频谱； 并且由图329(b)可知，只要把采样信号通过截止频率为ωs2的理想低通滤波器： 
hLPF(t)=Saωst2HLPF(jω)=TsGωs(jω)(3106)
就可无失真复原原始的连续信号。因为当ωs≥2ωm时，有：
HLPF(jω)Fs(jω)=HLPF(jω)fs∑+∞n=－∞F(j(ω－nωs))=F(jω)(3107)
因此有： 
f(t)=Saωst2∑+∞n=－∞f(nTs)δ(t－nTs)=∑+∞n=－∞f(nTs)Saωs(t－nTs)2
(3108)
式（3108）表示，带限信号可以由它的等间隔(此采样间隔要不大于奈奎斯特采样间隔)采样值唯一地无失真复原。相反，如果采样间隔不大于奈奎斯特采样间隔这一条件未被满足，则一定会出现如图329(c)所示的频域混叠，即频谱周期重复后，在叠加时发生重叠频段的频谱混叠，使得不可能由信号的样本值无失真地复原原始信号。图329(d)所示是采样频率正好是奈奎斯特频率时的情况，此情况对应于时域信号的临界采样。上述是奈奎斯特采样定理的内容。以周期冲激信号实现的采样称为理想采样。


图329时域采样定理的图示


式(3108)表明，当采样定理被满足时，带限信号f(t)可展开成抽样函数(Sa函数)的无穷级数，在用幅值等于f(nTs)的Sa函数内插后，由信号的离散样本集合{f(nTs)}可无失真地复原出原始的被时域采样的信号，如图330所示。而该信号复原的过程，其实质是将连续时间信号展开成Sa函数的无穷级数，级数的系数等于在各个采样时刻的抽样值。


图330从采样信号无失真复原连续信号


图330的上半部分和下半部分分别示出了在频域和时域里如何通过理想低通滤波由采样信号复原连续信号。
实际应用中，信号带限的条件难以满足，因此需要将信号先通过抗混叠滤波器(antialiasing filter)，变换为带限信号，再对其进行时域采样。同时，值得注意的是，当带限信号的频谱满足|F(jωm)|≠0时，为避免频谱混叠，采样频率应该严格大于奈奎斯特采样频率。
经过运算后，信号的最高频率可能发生变化，从而导致奈奎斯特采样频率发生变化。例如，两信号相加后，最高频率要取原先的两个最高频率的最大值； 相反，两信号卷积后，最高频率要取原先的两个最高频率的最小值； 两信号相乘后，会产生频域卷积，使得最高频率要取原先的两个最高频率的和； 信号n次方后，最高频率要取原先的最高频率的n倍； 尺度运算f(at)的最高频率要取f(t)的最高频率的|a|倍； 信号经过调制后，其最高频率是载波频率与信号最高频率之和。
例335已知带限信号f(t)的最高频率为100Hz，若对下列信号进行时域采样，求最低采样频率fs。
(1) f(3t)
(2) f2(t)
(3) f(t)f(2t)
(4) f(t)+f2(t)
解(1) 由于f(3t)是将信号在时域压缩3倍，因此频谱扩展3倍，使f(3t)的最高频率为300Hz，这样，由时域采样定理知，fs1=600Hz。
(2) 由时域相乘定理，使得f2(t)的频带为f(t)频带的两倍，所以，由时域采样定理知，fs2=400Hz。
(3) 由与(1)相同的论述知，f(2t)的频带也为f(t)频带的两倍； 使得信号f(t)f(2t)F(jω)×12Fjω2的频带与f(t)的频带相同，所以fs3=200Hz。
(4) f2(t)的频带为f(t)的两倍，使得f(t)+f2(t)的频带也为f(t)频带的两倍，所以fs4=400Hz。
例336求信号f(t)=sin10ttcos1000t的奈奎斯特采样频率ωs。
解已知10sin10t10t=10Sa(10t)πG20(ω)
利用余弦调制性质有： 
f(t)=sin10ttcos1000tπ2G20(ω+1000)+π2G20(ω－1000)
因此该信号的上限频率为1010rad/s，奈奎斯特采样频率为2020rad/s。
3． 矩形脉冲采样
理想采样实际上很难实现，实际中一般使用周期脉冲对连续信号进行采样，其中，最常用的是矩形脉冲采样，也称为自然采样。此时，式(3103)改写为： 
fs(t)=f(t)p(t)(3109)
其中，幅度为E、宽度为τ、周期为Ts的周期矩形信号有傅里叶级数展开式： 
p(t)=EτTs∑+∞n=－∞SanπτTsejnωst
使得其频谱为P(jω)=∑+∞n=－∞2πEτTsSanπτTsδ(ω－nωs)。于是，由频域卷积定理有：
Fs(jω)=12πF(jω)P(jω)=fsEτ∑+∞n=－∞SanπτTsF(j(ω－nωs))(3110)
此时，当Fs(jω)周期重复时，幅度以SanπτTs衰减，如图331所示。


图331矩形脉冲采样过程


容易理解当采样频率满足采样定理要求时，复原过程仍可用理想低通滤波进行，只要滤波器的幅度为TsEτ。
3.4.2信号的频域采样
1． 频域采样信号的傅里叶逆变换

连续频谱F(jω)经理想均匀采样后得到的采样频谱可表示为： 
Fs(jω)=F(jω)δωs(ω)=∑+∞n=－∞F(jnωs)δ(ω－nωs)(3111)
其中，ωs为频率采样间隔，对应的时域周期为Ts=2πωs。
由FT的时域卷积定理和周期冲激信号的傅里叶变换可知，采样频谱逆FT为： 
fTs(t)=f(t)1ωsδTs(t)=1ωs∑+∞n=－∞f(t－nTs)(3112)
其中，已利用了冲激函数的卷积性质，式（3112）表述了FT频域的采样性质： 
1ωs∑+∞n=－∞f(t－nTs)∑+∞n=－∞F(jnωs)δ(ω－nωs)(3113)
即，频域采样引起了时域周期重复与叠加。
2． 时限信号的频域采样定理
当非周期连续信号f(t)为有限时宽信号(如图332(a)所示，当|t|>tm时，f(t)=0，其中，2tm为信号的持续时间)时，只要使频率采样间隔fs不大于信号持续时间的倒数，即fs≤12tm或Ts≥2tm，则由图332(b)可知，非周期信号只发生周期延拓而成为周期连续信号，不发生时域混叠，此时，该周期信号的基周期是原信号； 并且只要截取该周期信号的基周期，即把它乘以时宽为Ts的矩形窗ωsGTs(t)，就可无失真复原原始信号的连续频谱。因为当Ts≥2tm时，有： 
ωsGTs(t)fTs(t)=∑+∞n=－∞GTs(t)f(t－nTs)=f(t)(3114)

SaωTs2∑+∞n=－∞F(jnωs)δ(ω－nωs)=∑+∞n=－∞F(jnωs)SaTs(ω－nωs)2=F(jω)

(3115)
式（3115）表示，时限信号的频谱可以由它的等间隔(频率采样间隔要足够小)采样值唯一地无失真复原。相反，如果频率采样间隔足够小这一条件未被满足，则一定会出现时域混叠，使得不可能由信号频谱的样本值无失真地复原原始信号频谱。这些就是频域采样定理的内容。
根据傅里叶变换的对偶性质，显然频域采样定理与时域采样定理也是对偶的。
需指出的是，周期连续信号的离散谱和傅里叶级数展开实质上就是时限信号用等于基频的频率采样间隔进行等间隔频域采样的结果。


图332频域采样


3.5连续线性时不变系统的频域分析
连续LTI系统的分析除可在时域中实现，还可在频域中实现，其理论基础是傅里叶变换的时域卷积性质。


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3.5．1LTI系统的频域分析
1． 系统传递函数(频率响应)

频谱为F(jω)的信号f(t)通过冲激响应为h(t)的LTI系统时，零状态响应为： 
yZS(t)=f(t)h(t)YZS(jω)=F(jω)H(jω)(3116)
其中，系统传递函数(又称频率响应或频率特性)H(jω)是冲激响应h(t)的FT。若系统的冲激响应为实信号，则幅度谱是偶函数、相位谱是奇函数。利用上述结论，可根据系统微分方程求解系统的频率响应、冲激响应及零状态响应。
例337若描述系统的微分方程为i″(t)+7i′（t)+10i(t)=e″(t)+6e′（t)+4e(t)，求其频率响应和冲激响应。
解设激励为e(t)=δ(t)1，取系统微分方程的FT，利用FT的时域微分定理，有： 
(jω)2I(jω)+7jωI(jω)+10I(jω)=(jω)2+6jω+4
使得
H(jω)=I(jω)=(jω)2+6jω+4(jω)2+7jω+10=1+131jω+5－4jω+2

h(t)=δ(t)+13(e－5t－4e－2t)u(t)
例338若描述系统的微分方程为y″(t)+3y′（t)+2y(t)=2f′（t)+5f(t)，求系统在输入为f(t)=e－3tu(t)下的零状态响应。
解由于F(jω)=1jω+3，取系统微分方程的FT，并利用FT的时域微分定理有： 
(jω)2Y(jω)+3jωY(jω)+2Y(jω)=2jω+5jω+3
这使得系统的零状态响应的频谱为： 
YZS(jω)=2jω+5(jω+3)(jω)2+3jω+2=3/2jω+1－1jω+2－1/2jω+3
因此系统的零状态响应为： 
yZS(t)=32e－t－e－2t－12e－3tu(t)
2． 周期信号通过LTI系统
当激励信号f(t)为连续周期信号时，可先将其进行傅里叶级数展开： 
f(t)=∑+∞n=－∞Fnejnω0t
再应用特征函数的概念和系统的线性性，得到系统响应： 

y(t)=∑+∞n=－∞H(jnω0)Fnejnω0t=∑+∞n=－∞|H(jnω0)|ejφ(nω0)Fnejnω0t

=∑+∞n=－∞|H(jnω0)|Fnejnω0t+φ(nω0)(3117)
同理，周期信号也可以展开成三角函数形式的傅里叶级数： 
f(t)=c0+∑+∞n=1cncos(nω0t+n)
因此通过LTI系统的输出为： 
y(t)=c0H(0)+∑+∞n=1cnH(nω0)cos(nω0t+n+φ(nω0))(3118)


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3． 正弦类信号通过LTI系统
正弦类信号是特殊的周期信号，其频谱是一对冲激谱。因此，当输入f(t)=cos(ω0t)π(δ(ω+ω0)+δ(ω－ω0))时，输出频谱为： 
Y(jω)=πH(jω)(δ(ω+ω0)+δ(ω－ω0))

=π(H(－jω0)δ(ω+ω0)+H(jω0)δ(ω－ω0))

=π|H(jω0)|{cos(φ(ω0))δ(ω+ω0)+δ(ω－ω0)+

jsin(φ(ω0))［－δ(ω+ω0)+δ(ω－ω0)］}
使得输出信号为： 
y(t)=|H(jω0)|cos(ω0t+φ(ω0))(3119)
这表明，角频率为ω0的余弦信号通过LTI系统后，输出信号仍为同一角频率的余弦信号，变化仅在于： 信号幅度乘以幅度传递函数(又称幅频特性)|H(jω)|在ω0处的值|H(jω0)|，信号相位增加相位传递函数(又称相频特性)φ(ω)在ω0处的值φ(ω0)。这意味着，正弦信号可形状不变地通过LTI系统，因此它是LTI系统的特征信号。同理，可以证明当激励为sin(ω0t)时，也有上述结论，即： 
y(t)=|H(jω0)|sin(ω0t+φ(ω0))(3120)
4． 因果正弦信号通过LTI系统
实际中，激励信号往往是因果的，即在零时刻接入。因此，分析因果正弦类信号及因果周期信号通过LTI系统是有意义的。
定理： 当因果复正弦信号f(t)=ejω0tu(t)激励H(jω)的LTI系统时，系统稳态响应为yst(t)=H(jω0)ejω0tu(t)。
证明： 显然，当H(jω0)=0时结论成立。若设H(jω0)≠0，此时由复调制定理可知，F(jω)=U(j(ω－ω0))，其中，U(jω)=πδ(ω)+1jω是阶跃信号u(t)的FT； 并由时域卷积定理可知，输出频谱为： 
Y(jω)=H(jω)F(jω)=H(jω)U(j(ω－ω0))

=H(jω0)πδ(ω－ω0)+H(jω)j(ω－ω0)


=H(jω0)U(j(ω－ω0))+H(jω)－H(jω0)j(ω－ω0)
使得系统的稳态响应为： 
Yst(jω)=H(jω0)U(j(ω－ω0))yst(t)=H(jω0)ejω0tu(t)(3121)
输出暂态响应的频谱为： 
Ytemp(jω)=H(jω)－H(jω0)j(ω－ω0)(3122)
显然，暂态响应是系统特征分量的加权和。
推论1： 当因果正弦信号f(t)=Asin(ω0t+θ)u(t)激励H(jω)的LTI系统时，系统稳态响应为
yst(t)=A|H(ω0)|sin(ω0t+θ+φ(ω0))u(t)(3123)
5． 因果周期信号通过LTI系统
根据上述定理，可以进一步推导出推论2。
推论2： 当因果周期信号f(t)=∑+∞n=－∞Fnejnω0tu(t)激励H(jω)的LTI系统时，系统稳态响应为
yst(t)=∑+∞n=－∞FnH(nω0)ejnω0tu(t)(3124)
用傅里叶级数展开周期信号fT(t)=∑+∞n=－∞Fnejnω0t，它经因果化后得到的因果周期信号为f(t)=fT(t)u(t)=∑+∞n=－∞Fnejnω0tu(t)，由定理可知推论2成立。
由上述分析可知，用频域分析求解LTI系统的稳态响应十分方便。
恰当选择系统传递函数的滤波特性，就能在抑制输入信号中的某些不想要的频率分量(即杂波和干扰)的同时，增强输入信号中的那些需要输出的信号分量。这就是得到广泛应用的滤波器的原理。
例339已知一低通滤波器的幅度传递函数如图333(a)所示，它具有零相移的相频特性，如果输入信号f(t)为图333(b)所示并且为T=1的锯齿波，求输出信号y(t)。


图333锯齿波通过低通滤波器


解因为ω0=2πT=2π，由它和图333可知，输出信号仅有直流分量和基波分量，且根据该频率响应，基波分量通过系统后与原信号无变化，直流分量放大为原来的2倍。根据图示的波形，该锯齿波的直流分量为E2。
基波分量的求解方法一： 首先根据激励信号的对称性，可知其含有直流分量，且去除直流分量后具有奇对称性，因此其傅里叶级数展开式中仅包含正弦项，可直接利用bn=2T0∫T0f(t)sin(nω0t)dt求解，有b1=2T0∫T0f(t)sin(ω0t)dt=Eπ，因此基波分量为Eπsin(2πt)。
方法二： 用傅里叶变换与傅里叶级数的系数关系式。
令f0(t)=ETtut+T2－ut－T2，则f(t)=E2+∑+∞n=－∞f0(t－nT)，首先求解f0(t)的傅里叶变换，有F0(jω)=EjωSaωT2－cosωT2，因此有：
Fn=1TF0(jnω0)=Ejnω0Sanω0T2－cosnω0T2

=Ejn2πSa(nπ)－cos(nπ)(n≠0)

F1=Ej2πSa(π)－cos(π)=Ej2π

F－1=E－j2πSa(－π)－cos(－π)=－Ej2π
因此基波分量为
Ej2πej2πt－Ej2πe－j2πt=Eπsin(2πt)
根据上述分析，可得系统输出为y(t)=E1+1πsin(2πt)。
例340已知f(t)=∑+∞n=－∞(－1)nδ(t－n)，若该信号通过频率响应为H(jω)=2π－|ω|·u(ω+2π)－u(ω－2π)的线性时不变系统，求其响应。
解此信号周期为2、基波频率为ω0=π。首先将激励进行傅里叶级数展开，可直接利用例334结论，有： 
f(t)=∑+∞n=－∞12ejnπt(1－e－jnπ)=
0n=2m

∑+∞n=－∞ejnπtn=2m－1
该信号是偶对称、奇谐函数，其频谱不包含直流分量，同时傅里叶级数展开式中仅包含奇次谐波的余弦部分。
而根据给定的系统频率响应，该系统为低通滤波器，截止频率为2π，因此该信号通过系统后仅保留基波分量，其他的分量均被去除。根据系统频率响应可知，H(π)=π。
因此该信号通过系统后的输出应该为y(t)=a1cos(ω0t+θ0)×H(π)，其中a1、ω0、θ0分别为激励中基波分量的傅里叶级数分解后的系数、基波频率以及其对应的相位。根据其傅里叶级数展开式，有a1=2,θ1=0，因此输出信号为y(t)=2πcos(πt)。
3.5.2LTI系统频域分析举例
基于傅里叶变换的系统分析方法(即频域分析方法)有很多实际应用，主要包括滤波、信号的调制与解调等。


图334四类理想滤波器的频率响应


理想滤波器根据其选频特性可分为四类： 低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器，即其频率特性在一个或几个频段内为常数，其他频段内频率响应为零。其中，允许信号完全通过的频带称为滤波器的通带，将信号完全抑制的频带称为滤波器的阻带，上述四类理想滤波器的频率响应如图334所示。
滤波器的应用广泛。例如，从采样信号恢复原连续信号时，需使用低通滤波器选择原信号的频谱； 在经济数据序列分析中，可以设计不同的滤波器用以分析数据的长期或短期变化趋势； 在包含噪声的ECG(electrocardiogram，心电图)或EEG(Electroencephalogram，脑电图)信号中，可应用滤波器去除噪声； 收音机的选频网络是带通滤波器，可实现电台信号的筛选功能； 汽车减震系统可视作一个低通滤波器，用以减弱路面不平引起的波动。
此外，通信系统中信号的调制与解调，其理论基础是傅里叶变换的频移性质，是LTI系统频域分析的一个重要应用。下面给出几个例子依次说明。

例341倒频器。
为使通信保密，可使用倒频器(scrambler)对信号进行倒频后发送，再在接收端进行逆倒频。图335(b)示出了一个倒频系统，如果输入带限信号f(t)的频谱F(jω)如图335(a)所示，其最高频率为ωm，且已知调制频率ω0>ωm； 图335（b）中的HPF为截止角频率等于ω0的理想高通滤波器H1(jω)=K1|ω|≥ω0


0其他,LPF为截止角频率等于ωm的理想低通滤波器H2(jω)=K2|ω|≤ωm


0其他。试画出x(t)和y(t)的频谱图。


图335倒频器


解由FT的调制定理知，f1(t)的频谱为： 
F1(jω)=12F(j(ω+ω0))+12F(j(ω－ω0))
由于F(jω)带限于ωm，并且ω0>ωm，所以如图335(c)所示，F1(jω)带限于［ω0－ωm,ω0+ωm］。
截止角频率为ω0的HPF的高通特性使得其输出x(t)的频谱X(jω)带限于［ω0,ω0+ωm］，如图335(d)所示。
再次由FT的调制定理知，如图335(e)所示，f2(t)的频谱为： 
F2(jω)=12X(jω+(ω0+ωm))+12X(jω－(ω0+ωm))
它带限于［0,ωm］(在此区间内，信号频谱F(jω)的形状已被倒转)和［2ω0+ωm,2(ω0+ωm)］。

经截止角频率等于ωm的LPF滤除位于高频段的频谱分量后，就得到如图335(f)所示的y(t)的频谱Y(jω)，它是输入信号频谱F(jω)的倒转。
例342单边带调制器。
图336(a)示出了一个单边带调制器，如果输入带限信号f(t)的频谱F(jω)如图336(b)所示，其最高频率为ωm，且已知调制频率ω0>ωm； 图336(a)中的希尔伯特滤波器H(jω)=－jsgn(ω)为90°度相移器。试分析其工作原理，并画出y(t)的频谱图。


图336单边带调制器


解希尔伯特滤波器的输出f^(t)的频谱为： 
F^(jω)=H(jω)F(jω)=－jsgn(ω)F(jω)
因为y(t)=f(t)cos(ω0t)－f^(t)sin(ω0t)，由调制定理知： 
Y(jω)=12F(j(ω+ω0))+F(j(ω－ω0))+12jF^(j(ω+ω0))－F^(j(ω－ω0))

=12F(j(ω+ω0))+F(j(ω－ω0))－

12sgn(ω+ω0)F(j(ω+ω0))－sgn(ω－ω0)F(j(ω－ω0))

=u(－ω－ω0)F(j(ω+ω0))+u(ω－ω0)F(j(ω－ω0))
其中利用了事实： 12(1±sgn(x))=u(±x)。由于ω0>ωm，且F(jω)带限于ωm，所以有如图336(e)所示的输出信号y(t)的频谱图Y(jω)，它带限于［ω0,ω0+ωm］，是输入信号频谱F(jω)的单(上)边带调制谱。
实际上，复信号f～(t)=f(t)+jf^(t)有如图336(c)所示的单边谱： 
F～(jω)=(1+sgn(ω))F(jω)=2u(ω)F(jω)
使得复调制信号f～(t)ejω0t有如图336(d)所示的单边谱： 
F～(j(ω－ω0))=F(jω)=2u(ω－ω0)F(j(ω－ω0))
这样，输出信号y(t)=f(t)cos(ω0t)－f^(t)sin(ω0t)=Ref～(t)ejω0t有如图336(e)所示的单(上)边带调制谱： 
Y(jω)=u(－ω－ω0)F(j(ω+ω0))+u(ω－ω0)F(j(ω－ω0))
例343水温测量补偿系统。



图337水温测量系统的激励与阶跃响应


已知水温测量系统的单位阶跃响应为g(t)=(1－e－t/2)u(t)，如图337所示，试设计一个补偿系统，使得当测量系统的输出作为其输入时，补偿系统的输出等于水温的瞬时温度。

解根据设计的要求，水温测量系统级联补偿系统后，其响应ri(t)与激励e(t)相等，即整个系统是一个恒等系统，因此有h(t)hi(t)=δ(t)，其频率响应需满足以下
条件： 
H(jω)Hi(jω)=1

Hi(jω)=1H(jω)
由g(t)=(1－e－t/2)u(t)可知： 
h(t)=g′（t)=12e－t/2u(t)

H(jω)=1/2jω+1/2=12jω+1
因此得到：
Hi(jω)=1H(jω)=1+2jω

hi(t)=δ(t)+2δ′（t)



图338水温测量补偿系统


水温测量补偿系统如图338所示。补偿系统的单位冲激响应中包括冲激信号及其一阶微分，因此这种逆系统在实际中难以真正实现，仅能在一定条件下设计相近的系统。利用补偿系统可以加快水温测量系统的反应时间，但逆系统的加入会增加测量误差。

3.5.3电路系统的频域特性分析
应用FT可以直接在频域分析线性电路的特性，而无须建立其微分方程，这便于实际电路的分析计算，而且物理意义清晰。
1． 典型元件的阻抗
元件的阻抗Z(jω)定义为其端电压u(t)的频谱V(jω)与流过的电流i(t)的频谱I(jω)的比值，即： 
Z(jω)=V(jω)I(jω)(3125)
可以认为，阻抗就是以流过元件的电流为激励、以元件端电压为响应的系统的传递函数。根据此定义，易证： 电容C的阻抗为1jωC，电感L的阻抗为jωL，电阻R的阻抗为R,如图339所示。


图339典型元件的阻抗


2． 线性电路的传递函数、幅频特性和相频特性
首先，使用电路中各元器件的频域表示建立频域电路图； 然后，使用频域KCL、KVL等电路定律建立联立的代数方程组； 最后，从中得出所需的系统传递函数，并分析其幅频特性、相频特性等。
下面将用典型例题来说明此分析过程。
例344计算如图340(a)所示的微分电路、图341(a)所示的积分电路、图342(a)所示的串并联选频电路和图343(a)所示的纯相移网络的传递函数、幅频特性和相频特性。
解由频域电路图，易有如下分析。
(1) 微分电路的传递函数为H(jω)=V2(jω)V1(jω)=RR+1jωC=jω/ω01+jω/ω0，其中特征频率ω0Δ1RC； 相应的幅频特性为|H(jω)|=j(ω/ω0)1+(j(ω/ω0))2，相频特性为(ω)=π2－arctanωω0。特殊地，|H(0)|=0、(0)=π2，|H(jω0)|=12、(ω0)=π4和|H(+∞)|=1、φ(+∞)=0。


图340微分电路及其频率特性


图340(b)和图340(c)分别给出了其幅频特性和相频特性。从其幅频特性图可见，微分电路是个高通滤波器，并且ω0为它的截止频率； 从其相频特性图可见，相移量始终不小于零，因此它是个相位超前网络，其相位超前量不大于90°。
(2) 积分电路的传递函数为H(jω)=1jωCR+1jωC=11+jω/ω0，其中特征频率ω0Δ1RC； 相应的幅频特性为|H(jω)|=11+(j(ω/ω0))2，相频特性为φ(ω)=－arctanωω0。特殊地，|H(0)|=1、φ(0)=0，|H(jω0)|=12、(ω0)=－π4和H(+∞)=0、(+∞)=－π2。


图341积分电路及其频率特性


图341(b)和图341(c)分别给出了其幅频特性和相频特性。从其幅频特性图可见，积分电路是个低通滤波器，并且ω0为它的截止频率； 从其相频特性图可见，相移量始终不大于零，因此它是个相位滞后网络，其相位滞后量不大于90°。
(3) 图342(a)所示的串并联选频电路的传递函数为H(jω)=R1+jωRCR+1jωC+R1+jωRC=jx1－x2+j3x，其中，x=ωω0，特征频率ω0Δ1RC； 相应的幅频特性为|H(jω)|=15+(x+x－1)2，相频特性为(ω)=π2－arctan3x1－x2。特殊地，|H(0)|=0、(0)=π2，|H(jω0)|=13、(ω0)=0和|H(+∞)|=0、(+∞)=－π2。


图342选频电路及其频率特性


图342(b)和图342(c)分别给出了其幅频特性和相频特性。从其幅频特性图可见，该电路是个选频滤波器，并且ω0为它的中心谐振频率； 从其相频特性图可见，在中心谐振频率处相移为零，并且是个递减函数。
(4) 纯相移网络的参数满足阻抗匹配约束R=ρ=LC=Z1Z2，其中，Z1=jωL和Z2=1jωC，即负载阻抗等于LC的特性阻抗。此时，从负载往网络看的等效电源的开路电压源为Uo(jω)=V1(jω)Z2－Z1Z1+Z2，内阻为Zo=2Z1Z2Z1+Z2，所以，系统频率特性为H(jω)=Uo(jω)RV1(jω)(Zo+R)=(Z2－Z1)R(Z1+Z2)R+2Z1Z2=R－Z1R+Z1=ω0－jωω0+jω，相应的幅频特性为|H(jω)|=1，相频特性为φ(ω)=－2arctanωω0，其中，ω0=RL=1RC。特殊地，(+∞)=－π、(ω0)=－π2和φ(0)=0。


图343纯相移电路及其频率特性


图343(b)和图343(c)分别给出了其幅频特性和相频特性，表明它是个具有纯相移特性的全通滤波器。
3． 线性电路的响应
用频域分析方法计算线性电路，不仅可确定系统的频域特性，还可建立描述系统的微分方程，进而计算系统的单位冲激响应和零状态响应。下面用例题来说明求解过程。
例345计算如图22所示电路的以输入电压e(t)为激励、以输入电流i(t)为响应的系统传递函数，写出相应的系统微分方程，并计算由激励e(t)=4u(t)+2u(－t)产生的零状态响应。



图344电路的频域等效电路图





解该电路的频域零状态等效电路如图344所示，对它使用KCL和KVL后有： 
E(jω)=I(jω)R1+1jωC(R2+jωL)1jωC+(R2+jωL)

=I(jω)1+1jω32+jω41jω+32+jω4
于是，系统传递函数为： 
H(jω)=I(jω)E(jω)=(jω)2+6jω+4(jω)2+7jω+10
它实际上是该电路的输入导纳，因此有： 
(jω)2I(jω)+7jωI(jω)+10I(jω)=(jω)2E(jω)+6jωE(jω)+4E(jω)(3126)
对该式进行傅里叶逆变换，并利用FT的时域微分定理，得到系统微分方程： 
i″(t)+7i′（t)+10i(t)=e″(t)+6e′（t)+4e(t)
依据此微分方程，可使用FT计算系统零状态响应。
考虑到激励在零时刻接入，即e+(t)=4u(t)4πδ(ω)+1jω，代入式(3126)得到： 
(jω)2I(jω)+7jωI(jω)+10I(jω)=(jω)2+6jω+4×4πδ(ω)+1jω
这使得系统的输出频谱为： 
I(jω)=4(jω)2+6jω+4jω((jω)2+7jω+10)+410πδ(ω)=8/3jω+2－4/15jω+5+85πδ(ω)+1jω
取其逆FT后，有系统零状态响应： 
izs(t)=83e－2t－415e－5t+85u(t)
众所周知，频域分析对系统稳态响应的分析最有效，这是因为在－∞时刻加入的f－(t)造成的系统响应在观察时刻之后早已稳定。
实际上频域分析也可用来分析系统的暂态响应，下面将举例说明。
因果复正弦信号f(t)=ejω0tu(t)激励H(jω)的线性电路时，系统稳态响应和暂态响应分别由式(3121)和式(3122)给出。因为因果正弦信号和因果周期信号可分解为复正弦信号的加权和，所以可据此计算电路对因果正弦信号和因果周期信号的响应。下面用例题来说明求解线性电路对因果正弦信号的零状态响应过程。
例346求如图345(a)所示LR串联电路以因果正弦电压e(t)=sin(ω0t)u(t)为输入信号、以回路电流为输出信号的零状态响应。


图345因果正弦激励LR串联电路的响应


解易知，该电路的传递函数为： 
H(jω)=I(jω)E(jω)=1jωL+R
使得|H(jω0)|=1RQ2+1和φ(ω0)=－arctan(Q)，其中，Q=ω0LR为电感的品质因数； 由式(3121)知，电路的稳态响应为： 
ist(t)=1R1+Q2sin(ω0t－arctan(Q))u(t)
由式(3122)知，电路对ejω0tu(t)的暂态响应为： 
H(jω)－H(jω0)j(ω－ω0)=－1(jω0L+R)jω+RL－1+jQR(1+Q2)e－RLtu(t)
取虚部后，有电路的暂态响应： 
itemp(t)=QR(1+Q2)e－RLtu(t)
故输出电流为： 
i(t)=1(1+Q2)R1+Q2sin(ω0t－arctan(Q0))+Qe－ω0tQ0u(t)
图345(d)、图345(c)和图345(b)分别给出了该电流及其暂态分量和稳态分量，可以看出，暂态分量指数衰减地逐渐消失。


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3.6无失真传输及滤波器分析
3.6.1无失真传输

在实际应用中，语音信号与图像信号的幅频特性和相频特性对其影响程度不同。一般的，人耳对语音信号的幅度失真敏感，对相位失真相对迟钝； 但人眼对图像的相位失真敏感，对幅度失真相对迟钝。在数字通信中，相位失真很重要，因为信道的非线性相位特性会引起脉冲弥散(扩展)，进而导致前后相邻脉冲间的干扰。本节重点介绍系统无失真传输的基本条件。
所谓无失真传输，是指任何信号f(t)通过传输系统后，得到的输出y(t)只有幅度上的增衰和时间上的延迟，即y(t)=Kf(t－t0)，其中，增益K和延迟时间t0为常数。这意味着，无失真传输系统的冲激响应和频率响应为： 
h(t)=Kδ(t－t0)H(jω)=Ke－jωt0
|H(jω)|=K


(ω)=－t0ω(3127)
故对无失真传输系统，其冲激响应是强度等于K、延迟了t0时刻的冲激信号，等价地，无失真传输系统具有平坦幅频特性曲线，且其相频特性曲线是斜率等于-t0的过坐标原点的直线，如图346所示。


图346理想无失真传输系统


而具有无限带宽、有平坦幅频特性的理想延迟器是物理上难以实现的，实际上也不必如此苛刻要求。考虑到通过系统的物理信号总是带限于ωc的，因此，为便于实现，可放松要求为： 
H(jω)=Ke－jωt0(u(ω+ωc)－u(ω－ωc))|H(jω)|=K

(ω)=－t0ω|ω|≤ωc(3128)
图347(a)和图347(b)分别给出了其幅频特性和相频特性，它实际上是截止频率为ωc、具有线性相位的理想低通滤波器。


图347带限理想无失真传输系统


此外，群时延是通信系统的重要概念，定义为： 
τ(ω)=－d{(ω)}dω(3129)
若系统是无失真传输系统，则群时延是常数，即信号的延迟时间。


例347已知某LTI系统的频率响应为H(jω)=11+jω，当系统的激励分别为sint、sin(2t)、sin(3t)时，试求其响应，并判断该系统是否为无失真传输系统。
解根据已知条件，得到系统的幅频与相频特性分别是： |H(jω)|=11+ω2与(ω)=－arctanω。当系统激励分别是不同频率的正弦信号时，其响应分别为： 
sint→|H(j)|sin(t+(1))=12sin(t－45°)

sin2t→|H(2j)|sin(t+(2))=15sin(2t－63°)

sin3t→|H(3j)|sin(t+(3))=110sin(3t－72°)
显然，该系统的幅频特性与相频特性不符合无失真传输的条件，因此信号通过系统传输后发生失真，即不同频率的信号幅度变化不一致、相位也不满足线性相移的条件。
3.6.2理想低通滤波器和带通滤波器
理想低通滤波器的系统频率响应带限于ωc，若该频率小于输入信号的带宽ωm，则信号经过低通滤波器后输出信号带宽变窄，即抑制了信号的高频分量。对理想低通滤波器的传递函数进行逆FT，得到其冲激响应为： 
h(t)=ωcπSa(ωc(t－t0))(3130)
积分后，可得理想低通滤波器的阶跃响应： 
s(t)=ωcπ∫t－∞sin［ωc(u－t0)］ωc(u－t0)du=1π∫ωc(t－t0)－∞sinxxdx=12+1πSi(ωc(t－t0))
(3131)
其中，利用了结论1π∫0－∞sinxxdx=12，并定义了正弦积分函数： 
Si(y)=∫y0sinxxdx(3132)
图348示出了理想低通滤波器的冲激响应和阶跃响应，图中明显可见跳变信号通过理想低通滤波器时产生的吉布斯现象： 若原信号存在不连续点，则通过低通滤波器得到的信号中会出现过冲，该过冲的幅度约为信号跳变值的9%。


图348理想低通滤波器的冲激响应和阶跃响应


由系统的线性性和时不变性，矩形窗函数u(t)－u(t－t0)通过延迟时间为τ的理想低通滤波器的输出为： 
s(t)－s(t－t0)=1πSi(ωc(t－τ))－Si(ωc(t－τ－t0))(3133)



图349矩形脉冲通过理想低通滤波器


其输入输出波形示于图349。可以观察到，矩形脉冲通过理想低通滤波器后产生的失真较严重，也观察到前后沿的吉布斯现象。这是由于具有无限带宽的矩形脉冲在通过理想低通滤波器时，只有低频分量被保留了，而其丰富的高频分量被抑制了。数字通信中，传输系统的有限带宽造成了所传输数字脉冲的失真，因此，需在数字中继站对它进行整形和再生。


图350调制




低通滤波器在通信和电子系统中有着极其广泛的应用。例如，在用A/D变换器对模拟信号进行采样之前，需使用具有低通特性的抗混叠滤波器，把输入模拟信号的带宽限制在采样频率的一半之内，来完全避免信号频谱的混叠。又如，根据采样定理，为从采样信号无失真复原原始的模拟信号，必须使用带宽为原模拟信号带宽的理想低通滤波器。下面再以通信系统中的信号调制解调原理为例说明。
如图350(a)所示，调制过程是用高频载波cos(ω0t)(其频谱如图350(c)所示)乘以低频信号f(t)（频谱F(jω)如图350(b)所示），使得发送的抑制载波双边带调幅信号y(t)=f(t)cos(ω0t)的频谱为Y(jω)=12［F(j(ω+ω0))+F(j(ω－ω0))］，如图350(d)所示，它有以载频ω0为中心的窄带谱。
图351(a)示出了同步解调器。如图351(b)所示，同步解调的过程是用高频载波cos(ω0t)乘以接收信号y(t)，使得解调器的输出信号x(t)=y(t)cos(ω0t)的频谱为： 
X(jω)=12［Y(j(ω+ω0))+Y(j(ω－ω0))］

=14［F(j(ω+2ω0))+F(j(ω－2ω0))］+12F(jω)
它除了有原低频信号的频谱外，还有以两倍载频2ω0为中心的高频干扰谱。必须使用带宽不小于原低频信号频宽的低通滤波器，才能从解调信号中滤出低频信号。



图351解调



理想带通滤波器是在某个频带内让信号完全通过的一类滤波器。因此，带通滤波器的单位冲激响应是用cosω0t对理想低通滤波器的冲激响应调制得到的，即： 
hBPF(t)=ωcπ×sinωc(t－t0)ωc(t－t0)cosω0t(3134)
但理想滤波器在实际中无法实现。图352是可实现的某个带通滤波器电路，根据电路可知，其频率响应、幅频特性与相频特性分别由式(3135)、式(3136)、式(3137)表示，频率特性曲线如图353所示。
H(jω)=RjωL+1jωC+R(3135)

H(jω)=|ωRC|(1－ω2LC)2+(ωRC)2(3136)

(ω)=arctan1－ω2LCωRC(3137)



图352可实现的带通滤波器电路




图353可实现的带通滤波器的频率特性




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3.7系统因果性与希尔伯特性的对应关系
1． 系统因果性的必要条件—佩利维纳准则
LTI系统因果性指的是系统冲激响应为因果信号，因果性是系统物理可实现的充要条件。佩利(Paley)和维纳(Wiener)证明了系统物理可实现的必要条件，如下所述。
对于平方可积的系统幅度函数∫+∞－∞|H(jω)|
2dω<∞而言，系统物理可实现的必要条件是： 
∫+∞－∞|ln|H(jω)||1+ω2dω<∞(3138)
式（3138）称为佩利维纳准则。如果系统幅度函数不满足此必要条件，则系统一定是物理不可实现的。显然，如果系统幅度函数在某个频带内恒为零，即|H(jω)|=0,ω－<ω<ω+，则由于ln|H(jω)|=∞,ω－<ω<ω+,使得∫+∞－∞|ln|H(jω)||1+ω2dω≥∫ω+ω－|ln|H(jω)||1+ω2dω=∞，违反了佩利维纳准则，这样的系统一定是物理不可实现的。这表明所有理想低通、理想高通、理想带通和理想带阻等理想滤波器都是物理不可实现的。
作为一个典型例子，我们研究高斯滤波器的非因果性。高斯滤波器的幅度函数为|H(jω)|=e－ω2σ2ω，用佩利维纳准则检验，则有： 
∫+∞－∞lnH(jω)1+ω2dω=∫ω+ω－lnexp－ω2σ2ω1+ω2dω=1σ2ω∫+∞－∞ω21+ω2dω=∞
这证明高斯滤波器一定是非因果的，事实上其冲激响应也是一个高斯函数，所以系统是非因果的。
众所周知，有理函数仅有可数个孤立零点，因此它一定满足佩利维纳准则。由于满足佩利维纳准则的幅度函数可对应于无限多个相位函数，由此组成的系统函数不一定是因果的，其中只有满足了下面所述的希尔伯特关系的系统函数才是因果的。这表明，佩利维纳准则是系统函数因果的必要条件，而不是充分条件。
2． 时域因果性与频域希尔伯特性的对应关系
因果系统的冲激响应满足h(t)=h(t)u(t)，使得： 
H(jω)=R(jω)+jX(jω)=12π［R(jω)+jX(jω)］πδ(ω)+1jω
从而有： 
R(jω)=1πX(jω)1ω=1π∫+∞－∞X(jλ)ω－λdλ

X(jω)=－1πR(jω)1ω=－1π∫+∞－∞R(jλ)ω－λdλ(3139)
故称因果系统的系统函数具有希尔伯特性，即它的实部和虚部构成一个希尔伯特变换对。
总之，幅度函数满足佩利维纳准则的系统，当其实部和虚部构成一个希尔伯特变换对时，系统是物理可实现的。
3． 解析信号的时域希尔伯特关系*
具有单边谱的复信号称为解析信号，它不可能是实函数。
根据傅里叶变换的对偶性，由时域因果性和频域希尔伯特性的对应关系易知，单边谱信号(即有因果频谱F～(jω)=F(jω)u(ω)的信号)的实部和虚部构成一个希尔伯特变换对，即如果有： 
f～(t)=f(t)+jf^(t)F～(jω)=F(jω)u(ω)(3140)
则有： 
f(t)=f^(t)1πt=1π∫+∞－∞f^(τ)t－τdτ

f^(t)=－f(t)1πt=－1π∫+∞－∞f(τ)t－τdτ(3141) 
复信号f～(t)称为与实信号f(t)对应的解析信号。用式(3141)可计算实信号f(t)所对应的f^(t)，并用式(3140)构成解析信号f～(t)。
4． 希尔伯特滤波器*
冲激响应为h(t)=1πt的滤波器称为希尔伯特滤波器，其系统传递函数为H(jω)=－jsgn(ω)，它是理想的90°度相移器，使输入信号的所有频率分量都滞后90°。式(3141)表明，希尔伯特滤波器可以用来从一个具有双边谱的实信号得到其相应的具有单边谱的解析信号的虚部，从而实现实信号到解析信号的转换。由于解析信号占有的频带仅为普通实信号占有频带的一半，在通信中具有重要的应用： 单边带通信。例342给出了使用希尔伯特滤波器结合复正弦调制实现单边带调制的原理框图。
需要说明的是，理想希尔伯特滤波器是无限带宽的，实际上，我们应当仅要求它在其输入信号的带宽内实现所需的90°相位滞后即可。另外，与理想低通滤波器相同，理想希尔伯特滤波器也是物理不可实现的。在实践中，我们只能使用滤波器最优逼近理论设计一个物理可实现滤波器，来充分近似所需要的滤波器。
本章小结
本章介绍了连续时间信号通过线性时不变系统的频域分析方法，主要工具为傅里叶级数和傅里叶变换。核心内容包括： 
1． 连续时间周期信号的频谱分析，即傅里叶级数分析，将连续周期信号分解为无穷多个谐波分量之和，其频谱为离散谱； 
2． 应用傅里叶级数的性质，可简化周期信号的傅里叶级数分析。同时，注意到周期信号若为偶函数、奇函数、奇谐函数或偶谐函数，其傅里叶级数系数具有对应特点。此外，连续周期信号的傅里叶系数与从周期信号单周期截取的非周期信号的傅里叶变换在各谐波频率上的采样值成正比，这是进行傅里叶级数分析的有效途径； 
3． 连续非周期信号的傅里叶变换，是把信号分解为无穷多个频率连续变化的复指数信号和，其结果是连续谱。频谱是信号的频域描述，具有明确的物理意义； 
4． 傅里叶变换与傅里叶级数具有类似性质，可应用于求解信号的傅里叶变换或逆变换，同时，注意到傅里叶变换性质的时域与频域具有对偶性； 
5． 连续线性时不变系统的频域分析，是利用傅里叶变换在频域中分析信号的频谱，以及系统的频率响应，借此分析系统响应。系统频率响应的分析是本章重点，一般分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通滤波器五类； 
6． 采样定理是数字信号处理和数字通信的理论基础，本章重点介绍了带限信号采样定理，奈奎斯特采样频率和奈奎斯特采样周期的概念、采样前后信号的频谱，以及如何无失真地复原信号是需要掌握的重要内容。
7． 平坦幅频特性和线性相位特性是无失真传输的条件，选频滤波器，尤其是低通滤波器在通信和电子系统中有十分重要的作用。
习题
31已知某连续时间周期信号f(t)=10+5cos2π3t+4sin5π3t，试求基波频率和复指数形式的傅里叶级数展开式，并画出单边和双边的频谱图。
32已知f(t)是基波周期为T的实信号，其复指数形式的傅里叶级数系数为ak，试证明下列结论。
(1) ak=a*－k，且a0一定是实数； 
(2) 若f(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数必为实偶函数； 
(3) 若f(t)为奇函数，则其傅里叶级数系数必为虚奇函数，且a0=0； 
(4) f(t)偶部的傅里叶级数系数是Re{ak}； 
(5) f(t)奇部的傅里叶级数系数是jIm{ak}。
33当周期信号符合某对称性时，其傅里叶级数系数也有相应特点，试证明下列结论。
(1) 已知f(t)是基波周期为T的奇谐信号，即f(t)=－ft±T2，其复指数形式的傅里叶级数系数为ak，则有ak=0(k=2n,k≠0,n∈N)； 
(2) 已知f(t)是基波周期为T的偶谐信号，即f(t)=ft±T2，其复指数形式的傅里叶级数系数为ak，则有ak=0(k=2n+1,n∈N)。
34已知下列连续时间周期信号，试求其基波频率。根据对称性判断傅里叶级数中包含哪些频率分量，并求出傅里叶级数展开式进行验证。
（1） f(t)=∑+∞n=－∞［δ(t－2n)－δ(t－1－2n)］
（2） f(t)=∑+∞n=－∞［u(t－4n)－u(t－2－4n)］
（3） f(t)=∑+∞n=－∞［u(t+1－4n)－2u(t－4n)+u(t－1－4n)］
（4） f(t)=(1－|t|)u(1－|t|)∑+∞n=－∞δ(t－4n)
35试求如题35图所示各周期信号的傅里叶级数。


题35图


36已知某周期连续时间信号f(t)满足以下信息，试确定两个满足这些条件的不同信号。
（1） f(t)是实信号且为奇函数； 
（2） f(t)的周期为2； 
(3) 二次谐波及以上的各谐波分量为零； 
（4） 12∫20f(t)2dt=1。
37已知某连续周期信号f(t)，其傅里叶级数的系数为Fn，基波周期为T0，试求信号g(t)=f(t－2)+f(2－t)的傅里叶级数的系数。


题38图


38已知某连续周期信号一个周期内前四分之一的波形如题38图所示，就下列情况画出一个周期内完整的波形。
(1) f(t)是t的偶函数； 
(2) f(t)是t的奇函数； 
(3) f(t)是t的偶函数，且其傅里叶级数只有奇次谐波； 
(4) f(t)是t的偶函数，且其傅里叶级数只有偶次谐波； 
(5) f(t)是t的奇函数，且其傅里叶级数只有奇次谐波； 
(6) f(t)是t的奇函数，且其傅里叶级数只有偶次谐波。

39计算下列连续非周期信号的傅里叶变换。
(1) f(t)=2e－|t|
(2) f(t)=2e－tcos(10t)
(3) f(t)=te－5tu(t)
(4) f(t)=sgn(t2－9)
(5) f(t)=e－jtδ(t－1)
(6) f(t)=1+2cos(t)+3cos2t－π3
(7) f(t)=e－2tu(t+1)
(8) f(t)=ut2－1
(9) f(t)=(2t)u(1－|t|)
(10) f(t)=(1－|t|)u(1－|t|)cos(10πt)
(11) f(t)=u(1－|t|)［cos(πt)+1］
(12) f(t)=sinπtπt
sin2π(t－1)π(t－1)
(13) f(t)=Sa［π(t－5)］
310试求如题310图所示各信号的频谱。


题310图


311已知f(t)F(jω)，使用傅里叶变换的性质计算下列各信号的傅里叶变换。
(1) tf(2t)(2) (t－2)f(t)(3) (t－2)f(－2t)(4) tf′（t) 
(5) f(1－t)(6) (1－t)f(1－t)(7) f(2t－5)
312已知f(t)F(jω)，假设信号频谱F(jω)如题312图所示，试画出f(t)cos(ω0t)、f(t)ejω0t、f(t)cos(ω1t)的频谱，并注明频谱的边界频率。


题312图



313计算下列频谱的傅里叶逆变换。
（1） F(jω)=u(ω0－|ω|)
（2） F(jω)=δ(ω+ω0)－δ(ω－ω0)
（3） F(jω)=2cos(3ω)
（4） F(jω)=［u(ω)－u(ω－2)］e－jω
（5） F(jω)=∑2n=02sinωωe－j(2n+1)ω
（6） F(jω)=21+ω2
（7） F(jω)=－jsgn(ω)
（8） F(jω)=sin2(ω+1)(ω+1)+sin2(ω－1)(ω－1)
（9） F(jω)=2jω+1(jω)2+5jω+4
（10） F(jω)=jω+1(jω+2)(jω+3)(jω+4)
314试求如题314图所示各频谱函数的傅里叶逆变换。


题314图



315已知信号f(t)的波形如题315图所示，其傅里叶变换为F(jω)，试求解下列问题。


题315图


(1) 相位谱函数
（2） F(j0)
（3） ∫+∞－∞F(jω)dω
（4） ∫+∞－∞|F(jω)|2dω
316当平方器的输入f(t)为下列信号时，试求输出信号y(t)=f2(t)的频谱函数。
(1) f(t)=sintt(2) f(t)=12+cost+cos(2t)
317试判断下列说法是否正确，并给出理由。
(1) 一个奇的且为纯虚数的信号总是有一个奇的且为纯虚数的傅里叶变换； 
(2) 一个奇的傅里叶变换与一个偶的傅里叶变换的卷积总是奇的。
318设f(t)的傅里叶变换为F(jω)=δ(ω)+δ(ω－π)+δ(ω－5)，并令h(t)=u(t)－u(t－2)。试判断下列说法是否正确。
(1) f(t)是周期的； 
(2) f(t)h(t)是周期的； 
(3) 两个非周期信号的卷积有可能是周期的。
319假设给出信号f(t)的如下信息，试证明f(t)=Acos(Bt+C)，并求常数A、B和C。
(1) f(t)是实信号； 
(2) f(t)是周期的，周期为6，傅里叶系数为ak； 
(3) 对于k=0和k=2，有ak=0； 
(4) f(t)=－f(t－3)； 
(5) 16∫+3－3|f(t)|2dt=12； 
(6) a1是正实数。
320某LTI连续时间系统的频率响应为H(jω)=sin2(3ω)cosωω2，求该系统的单位冲激响应，并使用MATLAB画出该信号的波形图。
321已知某因果LTI系统，其频率响应为H(jω)=1jω+3，对激励f(t)的响应为y(t)=e－3tu(t)－e－4tu(t)，试求f(t)，并说明该系统是什么类型滤波器，使用MATLAB画出其频率响应。
322已知某因果稳定的LTI系统，其频率响应为H(jω)=jω+4(jω)2+5jω+6。
(1) 写出描述该系统的微分方程； 
(2) 求该系统的单位冲激响应； 
(3) 使用MATLAB画出该系统的频率响应曲线； 
(4) 若激励为f(t)=e－4tu(t)，求其零状态响应。
323某因果LTI系统的输入、输出关系由下列方程给出： 
dy(t)dt+10y(t)=∫+∞－∞x(τ)z(t－τ)dτ－x(t)，式中z(t)=e－tu(t)+3δ(t)
(1) 试求该系统的频率响应，使用MATLAB画出其幅频特性和相频特性曲线； 
(2) 试求该系统的单位冲激响应，使用MATLAB画出其波形图。
324已知并联谐振电路的频率响应为H(jω)=11+j100ωω0－ω0ω，试求电路输入为f(t)=10+12cos(ω0t)+5cos(3ω0t)时的输出信号，并使用MATLAB画出该系统的频率响应，说明该系统是什么类型的滤波器。
325试求输入信号f(t)=cos(2t)通过滤波器H(jω)=2－jω2+jω时的输出信号，并说明该系统是何类滤波器，其频率特性有什么特点。
326滤波器的频率响应如题326图（a）所示，该系统具有零相频特性。


题326图


(1) 试求输入信号为f(t)=sin(4πt)πt时的输出信号； 
(2) 试求输入信号为题326图(b)所示的周期锯齿波时的输出信号。
327试求输入信号f(t)=∑+∞n=－∞3e－jn
t－π2通过滤波器H(jω)=r1－|ω|3时的输出信号，其中r(·)为斜坡函数。



题328图

328在如题328图所示的系统中，已知输入信号为f(t)=∑+∞n=－∞3e－jnt，调制信号为s(t)=cost，低通滤波器的频率响应为H(jω)=e－jπ3ωu(1．5－|ω|)，试求系统的输出信号。
329在如题329图(a)所示的RC串联回路中，以如题329图(b)所示的周期方波作为系统激励，电容器的电压为响应，试求该系统响应，并使用MATLAB求解，R=1Ω,C=1F。


题329图


330已知系统如题330图（a）所示，其中，两滤波器的频率响应分别为H1(jω)和H2(jω)，当输入频谱F(jω)如题330图（b）所示时，试求输出频谱。


题330图


331已知系统如题331图（a）、(b)所示，其中，两滤波器的频率响应分别为H1(jω)和H2(jω)，当输入频谱F(jω)如题331图(c)所示时，试求x(t)和y(t)的频谱。


题331图



332已知系统如题332图(a)所示，低通滤波器的传输函数如题332图(b)所示，x(t)=Sa(2πt)，s(t)=∑∞n=－∞δt－n3，试求以下问题。


题332图


(1) 信号x(t)的傅里叶变换X(jω)，并画出其幅频特性图； 
(2) 输出信号y(t)，并粗略画出其波形。



题333图


333某系统如题333图所示，且H1(jω)=3|ω|≤2

3|ω|>2,H2(jω)=e－j2ω|ω|≥2


0|ω|<2。试求出在激励信号f(t)=Sa(t)作用下，输出信号的频谱。

334确定下列连续时间信号的奈奎斯特采样频率和奈奎斯特采样间隔。
(1) Sa(100t)(2) Sa2(100t)
(3) Sa(100t)+Sa(50t)(4) (1－|t|)u(1－|t|)
(5) Sa(100t)Sa(50t)(6) Sa(100t)cos(1000t)
(7) Sa(100t)+Sa(100(t－1))
335用周期冲激函数δTs(t)对信号f(t)=5+2cos(2000πt)+cos(4000πt)进行采样,试求以下问题。
(1) 若采样频率fs=8000Hz，画出f(t)及其采样信号fs(t)在频率区间(－8kHz,8kHz)的频谱图； 
(2) 若采样频率fs=2000Hz，画出f(t)及其采样信号fs(t)在频率区间(－8kHz,8kHz)的频谱图，与(1)的结果进行对比； 
(3) 若把(1)中采样信号fs(t)输入到理想低通滤波器H(jω)=18000u(3000π－|ω|)中，画出滤波器输出频谱，并求输出信号y(t)； 说明如何选择理想低通滤波器的截止频率，可以无失真复原信号。
336对信号y(t)=f1(t)f2(t)进行理想采样，已知F1(jω)=0,|ω|>100π，F2(jω)=0,|ω|>200π，以ωs=800π对其进行采样，试求将采样信号无失真复原的理想低通滤波器的截止频率，并画出采样整个过程信号的频谱。
337在实际采样中，可应用零阶保持进行连续信号的采样，其基本原理是将连续信号通过零阶保持电路，即将采样时刻的信号值保持到下一采样时刻，这与自然采样过程中相邻采样时刻点之间信号与被采样信号幅度保持一致是不同的。零阶保持采样的过程如题337图所示，即将其等效为理想采样与脉冲形成系统的级联。试分析采样信号的频域与原信号频谱的关系，同时分析复原信号时与理想采样的区别。


题337图零阶保持采样过程





题338图


338题338图给出了通过理想低通滤波器获得高通滤波器的方法，反之亦然。
(1) 若H(jω)是截止频率为ωLp的理想低通滤波器，试证明题338图所示的系统整体相当于一个理想高通滤波器，求其频率响应和单位冲激响应； 
(2) 若H(jω)是截止频率为ωHp的理想高通滤波器，试证明题338图所示的系统整体相当于一个理想低通滤波器，求其频率响应和单位冲激响应。

339由于周期性复指数函数是连续LTI系统的特征函数，因此在研究连续时间LTI系统时，傅里叶分析方法是很有价值的。请证明： 尽管某些LTI系统可能有另外的特征函数，但复指数函数是唯一能够成为一切LTI系统特征函数的信号。此外，请思考以下问题。
(1) 单位冲激响应为h(t)=δ(t)的LTI系统的特征函数与相应的特征值是什么？
(2) 考虑单位冲激响应为h(t)=δ(t－T)的LTI系统，试找到一个信号，它不具有est的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为1。与此类似，试找出两个特征函数，它们的特征值分别是1/2和2，但都不是复指数函数。
(3) 考虑一个稳定的LTI系统，其单位冲激响应h(t)是实偶函数，试证明cosωt和sinωt都是该系统的特征函数。
(4) 考虑单位冲激响应为h(t)=u(t)的LTI系统，假如(t)是该系统的特征函数，其特征值为λ,试找出(t)必须满足的微分方程，并求解该微分方程。将此结果，连同(1)~(3)的结果一起就能证明本题一开始所作论述的正确性。
340产生直流电流的一种方法是将交流信号进行全波整流。这就是说，将交流信号f(t)通过一个y(t)=|f(t)|的系统。
(1) 若f(t)=cosωt，试画出输入、输出波形，以及输入和输出信号的基波周期； 
(2) 若f(t)=cosωt，试求输出y(t)傅里叶级数系数； 
(3) 试求输入信号中的直流分量，以及直流分量的大小。
341考虑一个连续时间因果稳定的LTI系统，其关联输入f(t)和输出y(t)的微分方程是dy(t)dt+5y(t)=2f(t)。试求该滤波器阶跃响应s(t)的终值s(∞)，以及满足s(t0)=s(∞)1－1e2的t0值。
342在许多滤波应用中，往往不希望滤波器的阶跃响应超过它的终值。例如，在图像处理中，一个线性滤波器阶跃响应中的超量可以在陡峭的边界上产生闪烁，也就是在强度上增加。然而，如果要求滤波器单位冲激响应对全部时间都是正值，就可能消除超量。
试证明： 如果一个连续时间LTI滤波器的单位冲激响应h(t)总大于或等于零，那么该滤波器的阶跃响应就是一个单调非减的函数，因此一定没有超量。
343采样定理是指： 一个信号必须要以大于它的带宽两倍的采样率来采样。这就意味着，如果有一个信号x(t)其频谱如题343图所示，那么就必须要用大于上限频率两倍的采样率对其进行采样。然而，因为这个信号的大部分能量集中在一个窄带范围内，因此似乎可以期望用一个小于最高频率两倍的低采样率采样。能量集中于某一频带范围内的信号往往称为带通信号，有各种方法对这样的信号进行采样，一般统称为带通采样技术。
为了研究是否有可能用小于总带宽的采样率对一个带通信号进行采样，考虑题343图中的系统。假定ω1>ω2－ω1，试求能有xr(t)=x(t)的最大T值，以及常数A、ωa、ωb的值。

344微机电系统加速度计传感器中，若以M代表检测块的质量，K代表弹簧的弹性系数，D代表阻碍检测块运动的阻尼系数，f(t)表示由于运动产生的外部加速度，y(t)表示检测块的位移，则描述该系统的微分方程是d2y(t)d2t+DMdy(t)dt+KMy(t)=f(t)。令ωn=KM为加速度计的固有频率，Q=KMD为加速度计的品质因数，假设ωn=10000，试分别画出当Q=2、Q=1和Q=200三类情况下，系统的频率响应。
345给定信号f(t)，其希尔伯特变换表示为f^(t)，试证明： ∫+∞－∞f(t)f^(t)dt=0和∫+∞－∞f2(t)dt=∫+∞－∞f^2(t)dt。
346取样示波器是信号欠采样的一个应用实例。其原理是对频带有限的信号，适当选择取样周期，经过滤波从混叠的取样信号频谱中选出原信号的压缩频谱，从而得到与原信号波形相同但是时域展宽的信号，以便于观测频率较高的信号展宽后的波形。请查阅相关资料，了解取样示波器实现的原理。


题343图