第3章随机过程的谱分析
【导读】本章从普通时间函数的谱分析入手，引入了随机过程功率谱密度与互功率谱密度，讨论了随机过程谱密度、互谱密度及其性质； 分析了功率谱与相关函数之间的关系及复随机过程的功率谱，并给出了基于BlackmanTukey(BT法)和周期图法的功率谱实现方法。

平稳随机过程{X(t),t∈T}的相关函数RX(τ)是在时间域上描述过程的统计特性； 为描述平稳随机过程在频域上的统计特性，需要进行谱分析。本章主要讨论平稳随机过程的谱密度及相关函数RX(τ)的谱分析。
3.1平稳随机过程的功率谱密度
3.1.1普通时间函数的谱分析
1. 总能量与能谱密度

若普通时间函数x(t)绝对可积，即∫∞-∞|x(t)|dt<∞，则其傅里叶变换存在，或者说x(t)具有频谱
X(ω)=∫∞-∞x(t)e-jωtdt(3.1.1)
一般地，X(ω)是复值函数，有
X(-ω)=∫∞-∞x(t)ejωtdt=X*(ω)
对X(ω)作傅里叶逆变换，得
x(t)=12π∫∞-∞X(ω)ejωtdω(3.1.2)
利用式(3.1.1)和式(3.1.2)，得信号的总能量为
∫∞-∞x2(t)dt=∫∞-∞x(t)12π∫∞-∞X(ω)ejωtdωdt=12π∫∞-∞X(ω)∫∞-∞x(t)ejωtdtdω

=12π∫∞-∞X(ω)X*(ω)dω=12π∫∞-∞|X(ω)|2dω(3.1.3)
式(3.1.3)称为帕斯瓦尔（Parseval）定理，|X(ω)|2称为能量谱密度。若把x(t)看作通过1Ω电阻上的电流或电压，则左边的积分表示消耗在1Ω电阻上的总能量。
2. 平均功率及功率谱密度
实际问题中，大多数时间函数的总能量都是无限的，因此不能满足傅里叶变换条件。为此，需考虑平均功率及功率谱密度。
作一截尾函数
xT(t)=x(t)，|t|≤T


0，|t|>T(3.1.4)
因xT(t)有限，故满足绝对可积条件，其傅里叶变换存在，于是
XT(ω)=∫∞-∞xT(t)e-jωtdt=∫T-Tx(t)e-jωtdt(3.1.5)
对XT(ω)作傅里叶逆变换，得
xT(t)=12π∫∞-∞XT(ω)ejωtdω(3.1.6)
在区间［-T,T］上的平均功率为
PT=∫∞-∞x2T(t)dt=12T∫T-Tx2(t)dt=12π∫∞-∞12T|XT(ω)|2dω(3.1.7)
故T→∞时，总平均功率为
P=limT→∞PT=limT→∞12π∫T-Tx2(t)dt

=limT→∞14πT∫∞-∞|XT(ω)|2dω

=12π∫∞-∞GX(ω)dω(3.1.8)
式中，
GX(ω)=limT→∞12T|XT(ω)|2(3.1.9)
为x(t)的功率谱密度，简称谱函数； GX(ω)dω为谱分布函数。




3.1.2随机过程的功率谱密度
设随机过程{X(t),-∞<t<∞}是均方连续的，作截尾后，得
XT(t)=X(t)，|t|≤T


0，|t|>T(3.1.10)
因为XT(t)均方可积，故存在傅里叶变换
XT(ω)=∫∞-∞XT(t)e-jωtdt=∫T-TX(t)e-jωtdt(3.1.11)
利用Parseval定理及傅里叶变换，得
∫∞-∞|X(t)|2dt=∫T-T|X(t)|2dt=12π∫∞-∞|XT(ω)|2dω(3.1.12)
因为X(t)是随机过程，故式(3.1.12)两边都是随机变量，对时间区间［-T,T］取时间平均后，概率意义下的统计平均为
P=limT→∞E12T∫T-T|X(t)|2dt=limT→∞12π∫∞-∞E12T∫T-T|FXT(ω)|2dω

=12π∫∞-∞limT→∞12TE［|FXT(ω)|2dω(3.1.13)
式（3.1.13）就是随机过程X(t)的平均功率和功率密度关系的表达式。
【定义3.1】设{X(t),-∞<t<∞}为均方连续随机过程，称
P=limT→∞E12T∫T-T|X(t)|2dt(3.1.14)
为X(t)的总平均功率，称
GX(ω)=limT→∞12TE［|XT(ω)|2］(3.1.15)
为X(t)的功率谱密度，简称谱密度。
当X(t)是均方连续平稳过程时，由于E［|X(t)|2］是与t无关的常数，因此，
P=limT→∞E12T∫T-T|X(t)|2dt

=limT→∞12T∫T-TE［|X(t)|2］dt

=E［|X(t)|2］=RX(0)(3.1.16)
由式(3.1.16)和式(3.1.13)知，平稳随机过程的平均功率等于该过程的均方值，或等于它的谱密度在频率上的积分，即
RX(0)=12π∫∞-∞GX(ω)dω(3.1.17)
式(3.1.17)是平稳过程X(t)的平均功率的频谱展开式，GX(ω)描述了各种频率成分所具有的能量大小。
【例3.1】设随机过程X(t)=acos(ω0t+Θ)，a，ω0为常数，在下列情况下，求X(t)的平均功率。
(1) Θ是在(0,2π)上服从均匀分布的随机变量； 
(2) Θ是在0,π2上服从均匀分布的随机变量。
解：  (1) 随机过程X(t)是平稳过程，其相关函数RX(τ)=a22cos(ω0τ)。于是由式(3.1.16)得X(t)的平均功率为
P=RX(0)=a22
(2) 因为
E［X2(t)］=E［a2cos2(ω0t+Θ)］=Ea22+a22cos2(2ω0t+2Θ)

=a22+a22∫π/20cos(2ω0t+2θ)2πdθ=a22-a2πsin(2ω0t)
故此时X(t)为非平稳过程，由式(3.1.14)得X(t)的总平均功率为
P=limT→∞12T∫T-TE［X(t)2］dt=limT→∞12T∫T-Ta22-a2πsin(2ω0t2)dt=a22
对于平稳随机序列的谱分析，有类似结果。
【定义3.2】设{Xk,k=0,±1,±2,…}是平稳随机序列，E［Xk］=0； 若相关函数RX(m)满足∑∞m=-∞|RX(m)|<∞，则称
GX(ω)=∑∞m=-∞RX(m)e-jmω，-π≤ω≤π(3.1.18)
为{Xk,k=0,±1,±2,…}的谱密度。平稳随机序列的相关函数与谱密度之间的关系为
RX(m)=12π∫π-πGX(ω)ejmωdω,m=0,±1,±2，…(3.1.19)
很显然，功率谱密度GX(ω)是周期为2π的周期函数。
当m=0时，则
RX(0)=E{Xk}=12π∫π-πGX(ω)dω(3.1.20)
平稳随机序列的功率谱通常也用z变换表示，即
GX(z)=∑+∞m=-∞RX(m)z-m(3.1.21)
由于自相关函数为偶函数，所以
GX(z)=GX(z-1)(3.1.22)
自相关函数z变换的收敛域是一个包含单位圆的环形区域，即收敛域为
a<|z|<1a,0<a<1(3.1.23)
很显然，
GX(ω)=GX(z)|z=e-jω(3.1.24)
自相关函数也可用功率谱的z逆变换表示为
RX(m)=12πj ∮CGX(z)zm-1dz(3.1.25)
式中，C为收敛域内包含z平面原点逆时针的闭合围线。

3.1.3功率谱密度与自相关函数之间的关系
1. 维纳辛钦定理

众所周知，确定信号x(t)与它的频谱X(ω)在时域和频域之间构成一对傅里叶变换对。可以证明，实平稳随机信号的自相关函数与其功率谱密度之间也构成一对傅里叶变换对。下面就来推导这一关系式。
由功率谱密度的推导知
GX(ω)=limT→∞12TE［XT(ω)2］=limT→∞12TE［X*T(ω)XT(ω)］(3.1.26)
将式(3.1.11)截断函数的频谱代入式(3.1.26)，则实过程X(t)的功率谱密度为
GX(ω)=limT→∞12TE∫T-TX(t1)ejωt1dt1·∫T-TX(t2)e-jωt2dt2

=limT→∞12T∫T-T∫T-TE［X(t1)X(t2)］e-jω(t2-t1)dt1dt2

=limT→∞12T∫T-T∫T-TRX(t1,t2)e-jω(t2-t1)dt1dt2(3.1.27)
式中，RX(t1,t2)只在-T≤t1,t2≤T时存在。令t=t1,τ=t2-t1=t2-t，代入式(3.1.27)进行变量置换，得
GX(ω)=limT→∞12T∫0-2T∫T-T-τRX(t,t+τ)dte-jωτdτ+

∫2T0∫T-τ-TRX(t,t+τ)dte-jωτdτ

=∫0-∞limT→∞12T∫T-T-τRX(t,t+τ)dte-jωτdτ+

∫+∞0limT→∞12T∫T-τ-TRX(t,t+τ)dte-jωτdτ

=∫0-∞〈RX(t,t+τ)〉te-jωτdτ+∫∞0〈RX(t,t+τ)〉te-jωτdτ

=∫∞-∞〈RX(t,t+τ)〉te-jωτdτ(3.1.28)
由傅里叶变换的定义，式(3.1.28)成立的条件是〈RX(t,t+τ)〉t绝对可积，其中〈·〉表示对时间的均值。根据傅里叶变换的唯一性，有
〈RX(t,t+τ)〉t=12π∫∞-∞GX(ω)ejωτdω(3.1.29)
所以，任意随机过程X(t)自相关函数的时间平均与其功率谱密度互为傅里叶变换，即
〈RX(t,t+τ)〉tFF-1GX(ω)(3.1.30)
若随机过程X(t)是平稳过程，其自相关函数RX(t1,t2)=RX(t,t+τ)=RX(τ)与t无关。则
〈RX(t,t+τ)〉t=〈RX(τ)〉t=RX(τ)(3.1.31)
只要RX(τ)绝对可积，即满足
∫∞-∞|RX(τ)|dτ<∞(3.1.32)
则
GX(ω)=∫∞-∞RX(τ)e-jωτdτ(3.1.33)
同理，
RX(τ)=12π∫∞-∞GX(ω)ejωτdω(3.1.34)
所以，实平稳过程的自相关函数与其功率谱密度之间是一对傅里叶变换关系，即
RX(τ)FF-1GX(ω)(3.1.35)
这一关系就是著名的维纳—辛钦定理，或称为维纳—辛钦公式。它给出了实平稳过程的时域特性和频域特性之间的联系。
由于平稳过程的自相关函数和功率谱密度皆为偶函数，维纳—辛钦定理可表示为

GX(ω)=2∫∞0RX(τ)cos(ωτ)dτ


RX(τ)=1π∫∞0GX(ω)cos(ωτ)dω(3.1.36)

2. 维纳—辛钦定理的推广
应该指出，以上讨论的维纳—辛钦定理是在随机过程的RX(τ)满足绝对可积的条件下推出的。它要求随机过程的均值为0，且RX(τ)中不能含有周期分量。然而，实际中含有直流分量和周期分量的随机过程很多，而任何直流分量和周期分量在频域上都表现为某些频率点上出现强度无限的离散谱线，绝对可积的条件限制了定理的应用。
借助冲激函数δ(t)，就可以不受此条件的限制。即将直流分量与周期分量在各个频率点上的无限值用一个δ函数来表示，借助δ函数的傅里叶变换，就可以将维纳—辛钦定理推广到含有直流或周期成分的平稳过程中。
δ函数的时域和频域傅里叶变换为
δ(τ)1


12πδ(ω)(3.1.37)
周期函数的傅里叶变换对为
cos(ω0τ)πδ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)


sin(ω0τ)jπδ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)(3.1.38)
δ函数与连续函数x(t)的乘积公式为
x(t)δ(t-τ)=x(τ)δ(t-τ)


x(t)δ(t)=x(0)δ(t)(3.1.39)
【例3.2】已知某随机过程X(t)的样本函数可用傅里叶级数表示为
X(t)=a02+∑∞n=1［ancosnω0(t+t0)+bnsinnω0(t+t0)］
式中，t0为在一个周期内均匀分布的随机变量； an,bn为常数。试写出X(t)的功率谱密度表达式。
解：  既然随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换，故先求其自相关函数。由于题意中并没说明该过程是否平稳，因此，在求自相关函数时，要保留变量t。
RX(t,t+τ)=E［X(t)X(t+τ)］

=Ea02+∑∞n=1［ancosnω0(t+t0)+bnsinnω0(t+t0)］·

a02+∑∞n=1［ancosnω0(t+t0+τ)+bnsinnω0(t+t0+τ)］

=a204+a02∑∞n=1［ancosnω0(t+t0)+bnsinnω0(t+t0)］+

a02∑∞n=1［ancosnω0(t+t0+τ)+bnsinnω0(t+t0+τ)］+

∑∞m=1∑∞n=1［anamcosnω0(t+t0)cosmω0(t+t0+τ)+

anbmcosnω0(t+t0)sinmω0(t+t0+τ)+

ambnsinnω0(t+t0)cosmω0(t+t0+τ)+

bnbmsinnω0(t+t0)sinmω0(t+t0+τ)］
共9项。
第一项为常数，第二至第五项求统计平均(在一个周期内积分)，结果为0。再观察二次求和项的第一项： 
limT→∞12T∫T-Tanamcosnω0(t+t0)cosmω0(t+t0+τ)dt=0,m≠n
aman2cosnω0τ,m=n

类似地，第二项为
0，m≠n

aman2sinnω0τ，m=n
第三项为
0，m≠n

-aman2sinnω0τ，m=n
第四项为
0，m≠n

b2n2sinnω0τ，m=n

RX(τ)=a204+∑∞n=1an+bn2cosnω0τ
可见，该随机过程虽然表达式较复杂，但仍是平稳随机过程。
GX(ω)=a202πδ(ω)+∑∞n=1π(an+bn)2［δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)］
3.1.4谱密度的性质
1. 谱密度性质

设{X(t),-∞<t<∞}是均方连续平稳过程，RX(τ)为它的相关函数，GX(ω)为它的功率谱密度，则GX(ω)具有下列性质： 
【性质1】若∫∞-∞|RX(τ)|dτ<∞，则GX(ω)是RX(τ)的傅里叶变换，即
GX(ω)=∫∞-∞RX(τ)e-jωτdτ(3.1.40)
证明： 将式(3.1.11)代入式(3.1.15)，得
GX(ω)=limT→∞12TE∫T-TX(t)e-jωtdt2

=limT→∞12TE∫T-TX(t1)e-jωt1dt1∫T-TX(t2)e-jωt2dt2*

=limT→∞12TE∫T-T∫T-TX(t1)X*(t2)e-jω(t1-t2)dt1dt2

=limT→∞12T∫T-T∫T-TE［X(t1)X*(t2)］e-jω(t1-t2)dt1dt2

=limT→∞12T∫T-T∫T-TRX(t1-t2)e-jω(t1-t2)dt1dt2
对于平稳随机过程，RX(t1-t2)=RX(τ),τ=t1-t2，将积分变量t1,t2变换到τ,t，则
GX(ω)=limT→∞12TE∫T-TX(t)e-jωtdt2=limT→∞∫2T-2T1-τ2TRX(τ)e-iωτdτ
令
RXT(τ)=1-|τ|2TRX(τ)，|τ|≤2T

0，|τ|>2T
显然，limT→∞RXT(τ)=RX(τ)，故
GX(ω)=limT→∞∫2T-2T1-|τ|2TRX(τ)e-jωτdτ

=limT→∞∫∞-∞RXT(τ)e-jωτdτ=∫∞-∞limT→∞RXT(τ)e-jωτdt

=∫∞-∞RX(τ)e-jωτdτ
证毕。
对式(3.1.16)作傅里叶逆变换，得
RX(τ)=12π∫∞-∞GX(ω)ejωτdω(3.1.41)
式(3.1.40)与式(3.1.41)说明，平稳过程的相关函数与谱密度之间构成一对傅里叶变换，在式(3.1.41)中，令τ=0，得平均功率
RX(0)=12π∫∞-∞GX(ω)dω(3.1.42)
当X(t)为实平稳过程时，则
GX(ω)=2∫∞0RX(τ)cos(ωτ)dτ

RX(τ)=1π∫∞0GX(ω)cos(ωτ)dω(3.1.43)
【性质2】GX(ω)非负，满足
GX(ω)≥0(3.1.44)
根据式(3.1.15)功率谱密度的定义，其中的|XT(ω)|2非负，故其数学期望值非负。
【性质3】GX(ω)是ω的实函数，满足
G*X(ω)=GX(ω)(3.1.45)
考虑到|XT(ω)|2是实函数，故其数学期望必为实函数。
【性质4】GX(ω)是ω的偶函数，满足
GX(ω)=GX(-ω)(3.1.46)
证明： 对于实随机过程X(t)截断函数的频谱，有
XT(ω)=X*T(-ω)X*T(ω)=XT(-ω)(3.1.47)
代入式(3.1.15)，得
GX(ω)=limT→∞12TE［XT(ω)2］=limT→∞12TE［X*T(ω)XT(ω)］

=limT→∞12TE［XT(-ω)X*T(-ω)］=GX(-ω)(3.1.48)
【性质5】平稳随机过程的GX(ω)可积，即满足
∫∞-∞GX(ω)dω<∞(3.1.49)
证明： 由式(3.1.16)知，平稳过程的平均功率为
P=E［X2(t)］=12π∫+∞-∞GX(ω)dω(3.1.50)
平稳过程的均方值有限，满足E［X2(t)］<∞，得证。
2. 物理功率谱
有理谱密度是常用的一类功率谱。在工程中，由于只在正的频率范围内进行测量，根据平稳过程的谱密度GX(ω)是偶函数的性质，可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内，得到所谓“单边功率谱”或物理功率谱。单边功率谱GSX(ω)定义为
GSX(ω)=2limT→∞12TE∫T-TX(t)e-jωtdt2,ω≥0

0,ω<0(3.1.51)
它与GX(ω)有如下关系： 
GSX(ω)=2GX(ω),ω≥0

0,ω<0(3.1.52)
相应地，GX(ω)可称为“双边谱”。它们图形关系如图3.1所示。


图3.1双边谱与单边谱



【例3.3】已知平稳过程的相关函数为RX(τ)=e-a|τ|cos(ω0τ)，其中a>0，ω0为常数，求谱密度GX(ω)。
解：  GX(ω)=∫∞0e-aτcos(ω0τ)cos(ωτ)dτ

=∫∞0e-aτ［cos(ω0+ω)τ+cos(ω0-ω)τ］dτ

=aa2+(ω0+ω)2+aa2+(ω-ω0)2
【例3.4】已知平稳过程的谱密度GX(ω)=2Aa3π2(ω2+a2)2，求相关函数RX(τ)及平均功率P。
解： 
RX(τ)=Aa3π3∫∞-∞ejωt(ω2+a2)2dω

=Aa3π32πjej|τ|Z(Z2+a2)2在Z=±ja处的留数

=A(1+a|τ|)2πe-a|τ|

P=RX(0)=A2π
3.2联合平稳随机过程的互功率谱
现将单个实随机过程功率谱的概念以及相应的分析方法推广到两个随机过程中。
3.2.1互功率谱密度及其性质
对两个平稳随机过程X(t)和Y(t)，它们的样本函数xi(t)和yi(t)的两个截断函数xTi(t)和yTi(t)分别定义为
xTi(t)=xi(t)，|t|<T


0，|t|≥T，yTi(t)=yi(t)，|t|<T


0，|t|≥T(3.2.1)
因为截断函数xTi(t)和yTi(t)都满足绝对可积的条件，它们的傅里叶变换存在且分别记为XTi(ω)和YTi(ω)，两个随机过程样本函数xi(t)和yi(t)的互平均功率为
Pi=limT→∞12T∫T-TxTi(t)yTi(t)dt=12π∫∞-∞limT→∞12TXTi(ω)YTi(ω)dω(3.2.2)
相对于所有实验结果的互平均功率是一个随机变量，因此，统计平均后的互平均功率是确定值PXY，即
PXY=limT→∞12T∫T-TE［X(t)Y(t)］dt

=12π∫∞-∞limT→∞12TE［X*T(ω)YT(ω)］dω(3.2.3)
仿照功率谱密度的定义，两个随机过程X(t)和Y(t)的互功率谱密度定义为
GXY(ω)=limT→∞12TE［X*T(ω)YT(ω)］(3.2.4)
则互平均功率为
PXY=12π∫∞-∞GXY(ω)dω(3.2.5)
同理，X(t)与Y(t)的另一个互功率谱密度为
GYX(ω)=limT→∞12TE［Y*T(ω)XT(ω)］(3.2.6)
X(t)与Y(t)的另一个互平均功率为
PYX=12π∫∞-∞GYX(ω)dω(3.2.7)
比较可得两个互功率谱密度之间的关系为
GXY(ω)=G*YX(ω)(3.2.8)
注意，GXY(ω)和GYX(ω)的定义是不完全相同的，不要混淆。互功率谱密度也可以简称为互功率谱或互谱密度。其性质如下： 
【性质1】GXY(ω)非偶函数，满足
GXY(ω)=G*YX(ω)=GYX(-ω)(3.2.9)
【性质2】GXY(ω)的实部为ω的偶函数，即
Re［GXY(ω)］=Re［GXY(-ω)］


Re［GYX(ω)］=Re［GYX(-ω)］(3.2.10)
式中，Re［·］表示实部。
【性质3】GXY(ω)的虚部为ω的奇函数，即
Im［GXY(ω)］=-Im［GXY(-ω)］


Im［GYX(ω)］=-Im［GYX(-ω)］(3.2.11)
【性质4】若X(t)与Y(t)正交，则有
GXY(ω)=GYX(ω)=0(3.2.12)
【性质5】若X(t)与Y(t)不相关，且分别具有常数均值mX和mY，则
RXY(t,t+τ)=mXmY


GXY(ω)=GYX(ω)=2πmXmYδ(3.2.13)
【性质6】GXY(ω)与GX(ω)和GY(ω)满足下列关系式： 
|GXY(ω)|2≤|GX(ω)||GY(ω)|(3.2.14)
3.2.2互功率谱密度与互相关函数的关系
如同单个实平稳随机过程自相关函数与其功率谱密度之间的关系一样，两个实平稳随机过程互相关函数与互功率谱密度之间也存在着类似的关系。对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，如果它们是联合平稳的，则其互功率谱密度GXY(ω)与其互相关函数RXY(τ)之间的关系为
GXY(ω)=∫∞-∞RXY(τ)e-jωτdτ

RXY(τ)=12π∫∞-∞GXY(ω)ejωτdω(3.2.15)

两个随机过程的互功率谱密度与单个随机过程的功率谱密度不同，它不再是频率ω的非负、实值偶函数。
【例3.5】设两个随机过程X(t)、Y(t)联合平稳，其互相关函数为
RXY(τ)=9e-3τ,τ≥0


0,τ<0

求互谱密度GXY(ω)和GYX(ω)。
解：  由联合平稳过程互相关函数和互谱密度的傅里叶变换对关系，得
GXY(ω)=∫∞-∞RXY(τ)e-jωτdτ=∫∞09e-3τe-jωτdτ=9∫∞0e-(3+jω)τdτ=93+jω
可见，GXY(ω)是ω的复函数。根据互谱密度的性质1，得
GYX(ω)=G*XY(ω)=93-jω
【例3.6】已知平稳随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度为
GXY(ω)=(a+jbω)/ω0，|ω|<ω0


0，|ω|≥ω0

其中a、b、ω0为实数。求互相关函数RXY(τ)。
解： 由式(3.2.15)，得
RXY(τ)=12π∫∞-∞GXY(ω)ejωτdω=12π∫ω0-ω0a+jbωω0ejωτdω

=1πω0τ2［(aω0τ-b)sin(ω0τ)+bω0τcos(ω0τ)］
3.2.3平稳复随机过程的功率谱
若复随机过程Z(t)是平稳的，则按照实随机过程的功率谱密度的定义，将复随机过程的功率谱密度定义为
GZ(ω)=∫∞-∞RZ(τ)e-jωτdτ(3.2.16)
由傅里叶逆变换，得
RZ(τ)=∫∞-∞GZ(ω)ejωτdω(3.2.17)
若复随机过程Zi(t)和Zk(t)联合平稳，则它们的互功率谱密度为
GZiZk(ω)=12π∫∞－∞RZiZk(τ)e-jωτdτ(3.2.18)
由傅里叶逆变换，得
RZiZk(τ)=12π∫∞-∞GZiZk(ω)ejωτdω(3.2.19)
常见的平稳过程的相关函数RX(τ)及相应的谱密度GX(ω)，如表3.1所示。


表3.1平稳过程的相关函数及相应的谱密度



RX(τ)GX(ω)


RX(τ)=σ2e-a|τ|
sX(ω)=2σ2aa2+ω2

RX(τ)=σ21-|τ|T，|τ|≤T
0，|τ|>T
sX(ω)=4σ2sin2(ωT/2)Tω2

RX(τ)=e-a|τ|cos(ω0τ)

GX(ω)=aa2+(ω+ω0)2+aa2+(ω-ω0)2

RX(τ)=Nsinω0τπτ


GX(ω)=N，|ω|≤ω0

0，|ω|>ω0

RX(τ)=1

GX(ω)=2πδ(ω)


RX(τ)=acos(ω0τ)
GX(ω)=aπ［δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)］
续表


RX(τ)GX(ω)

RX(τ)=σ2e-στ2

GX(ω)=σ212ae-ω24a


3.3实例与仿真
信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，对于确定性信号，可以用傅里叶变换来考查信号的频谱特性，而对于广义平稳随机信号，需要对其进行功率谱分析。
功率谱密度函数反映了随机信号各频率成分的功率分布情况，是随机信号处理中应用很广的技术。实际应用的平稳信号通常是有限长的。因此，只能从有限长的信号中去估计信号的真实功率谱，这就是功率谱估计的问题。本节仅介绍谱估计的经典方法及MATLAB仿真实例。
3.3.1基于BlackmanTukey(BT法)的功率谱实现
此方法的理论基础是维纳辛钦定理。1958年，莱克曼(Blackman)和图基(Tukey)给出了用维纳相关法从抽样数据序列得到功率谱的实现方法。即先由xN(n)估计出自相关函数R^X(m)，然后对R^X(m)作傅里叶变换得到xN(n)的功率谱G^x(ω)，并以此作为对GX(ω)的估计，即
G^X(ω)=∑Mm=-MR^X(m)e-jωm，M≤N-1(3.3.1)
因为由这种方法求出的功率谱是通过自相关函数间接得到的，所以称为间接法，又称自相关法或BT法。当M较小时，式(3.3.1)的计算量不是很大，因此，该方法是在傅里叶快速变换（FFT）问世之前(即周期图被广泛应用之前)是常用的谱估计方法。
【例3.7】设x(n)=exp(jπn-jπ)+exp(jω0n-j0.7π)+w(n)为一复正弦加白噪声随机过程，其中w(n)为零均值白噪声。信噪比S/N=10dB。要求： ①产生仿真数据； ②估计自相关函数； ③估计经典功率谱。
MATLAB程序如下： 

产生仿真数据N=1000点，x(1),x(2),…，x(N),ω=1.4π

clear

var=sqrt(1/exp(1.0))； 

v=var*randn(1,1000)； 

n=1： 1000； 

w0=1.4*pi； 

x(n)=exp(j*pi*n-j*pi)+exp(j*w0*n-j*0.7*pi)+v(n)； 

plot(n,x)； 

xlabel('时间序列')； 

ylabel('x(n)')； 

title('x(n)=exp(j*pi*n-j*pi)+exp(jwn-j*0.7*pi)+v(n)')； 

figure,

%corr

m=-500： 500； 

［r,lag］=xcorr(x,500,'biased')； 

hndl=stem(m,r)； 

set(hndl,'Marker','o')； 

set(hndl,'MarkerSize',2)； 

xlabel('时延')； 

ylabel('自相关 r')； 

%blackman.pbt

k=0： 1000； 

w=(pi/500)*k； 

M=k/500； 

X=r*(exp(-j*pi/500)).^(m'*k)； 

magX=abs(X)； 

figure,

plot(M,10*log10(magX))； 

xlabel('角频率')； 

ylabel('功率谱幅度')； 

title('BT 谱估计')


仿真结果如图3.2所示。


图3.2例3.7的仿真结果






图3.2(续)


3.3.2基于周期图法的功率谱实现
周期图法又称直接法，它是将随机信号x(n)的N点观察数据xN(n)视为一个能量有限信号，直接作xN(n)的傅里叶变换得XN(ω)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为对x(n)真实的功率谱GX(ω)的估计。以G^X(ω)表示用周期图法估计出的功率谱，则
G^X(ω)=1N|XN(ω)|2(3.3.2)
周期图这一概念是由舒斯特于1899年首先提出的。因为它是直接由傅里叶变换得到的，所以人们习惯上称为直接法。在傅里叶变换问世之前，由于该方法的计算量过大而无法运用。自1965年傅里叶变换出现后，此方法就成为谱估计中的一个常用的方法。将ω在单位圆上等间隔取值，得
G^X(k)=1N|XN(k)|2(3.3.3)
由于XN(k)可以用FFT快速计算，所以G^X(k)也可方便地求出。由前面的讨论可知，上述谱估计的方法包含了下述假设及步骤： 
(1) 把平稳随机信号X(n)视为各态遍历的，用其一个样本x(n)来代替X(n)，并且仅利用x(n)的N个观察值xN(n)来估计x(n)的功率谱GX(ω)。
(2) 从记录到的一个连续信号x(t)到估计出GX(k)，还包括了对x(t)的离散化(A/D)、必要的预处理(如除去均值、除去信号的趋势项、滤波)等。
BT法和周期图法所得到的各种功率谱估计都应用了经典的傅里叶分析法，故称为经典谱估计法。这两种谱估计法也称为线性谱估计法，这是因为它们对所得到的数据序列只进行线性运算。BT法与周期图法本质上是一样的。它们都是将有限长的数据段作为无限长的抽样序列给予开窗截断的结果，BT法可以看作是对周期图法的一种改进。经典谱估计有一个主要弱点，就是会在频域发生“泄漏”，即功率谱主瓣内的能量泄漏到旁瓣内。这样，弱信号的主瓣很容易被强信号的旁瓣淹没或畸变，造成谱的模糊或失真。此外，函数的选择及观测数据的长度，对谱估计的质量也有很大的影响。
【例3.8】分别用周期图法和BT法估计两个频率点的余弦信号加白噪声序列的功率谱。

clear

%周期图法

%301个数据点

t=0： 0.001： 0.3； 

x=cos(2*pi*t*300)+cos(2*pi*t*320)+randn(size(t))； 

subplot(2,2,1)

plot(0： 300,x)

xlabel('时间序列')

ylabel('x(t)')

title('余弦信号加高斯白噪声')

grid

%没有加窗的周期图谱估计

subplot(2,2,2)

periodogram(x,［］,512,1000)； 

xlabel('频率(kHz)')

ylabel('功率谱(dB)')

title('周期图谱估计')

%加窗的周期图谱估计

subplot(2,2,3)

window=hann(301)； 

periodogram(x,window,512,1000)； 

xlabel('频率(kHz)')

ylabel('功率谱(dB)')

title('汉宁周期图谱估计')

%相关函数法

R=xcorr(x)/15000； 

Pw=fft(R)； 

subplot(2,2,4)； 

f=(0： length(Pw)-1)*1000/length(Pw)； 

plot(f,10*log10(abs(Pw)))； 

title('BT功率谱估计')

xlabel('频率(Hz)')

ylabel('功率谱(dB)')

axis(［0 500 -50 0］)； 

grid

仿真结果如图3.3所示。



图3.3例3.8的功率谱估计对比


【例3.9】求受白噪声干扰的正弦信号和白噪声信号的自相关并比较。
MATLAB程序如下： 

clear

N=1000； 

n=0： N-1； 

Fs=500； 

t=n/Fs； 

Lag=100； 

x=sin(2*pi*10*t)+0.6*randn(1,length(t))； 

［c,lags］=xcorr(x,Lag,'unbiased')； 

%受白噪声干扰的正弦信号

subplot(221)； 

plot(t,x)

xlabel('时间')

ylabel('x(t)')

title('原信号 x')

grid

%受白噪声干扰的正弦信号的自相关

subplot(222)； 

plot(lags/Fs,c)； 

xlabel('时延')； 

ylabel('自相关函数')

title('自相关')； 

grid

x1=randn(1,length(x))； 

［c,lags］=xcorr(x1,Lag,'unbiased')； 

%白噪声信号

subplot(223)； 

plot(t,x1)；

xlabel('t')； 

ylabel('x1(t)')

title('白噪声')； 

grid

%白噪声信号的自相关

subplot(224)； 

plot(lags/Fs,c)； 

xlabel('时延')； 

ylabel('自相关函数')

title('自相关')； 

grid

仿真结果如图3.4所示。


图3.4例3.9的仿真结果


【例3.10】两周期信号
x1(t)=sin(2πft)，x2(t)=0.5sin(2πft+π)
式中，f=10Hz，求互相关函数Rx1x2(τ)。
MATLAB程序如下： 

clear

N=1000； 

n=0： N-1； 

Fs=500； 

t=n/Fs； 

Lag=200； 

x=sin(2*pi*10*t)； 

y=0.5*sin(2*pi*10*t+pi)； 

［c,lags］=xcorr(x,y,Lag,'unbiased')； 

%周期信号x1(t)

subplot(311)； 

plot(t,x,'r')

xlabel('时间')； 

ylabel('x1(t)')； 

grid； 

title('原信号')； 

%周期信号x2(t)

subplot(312)

plot(t,y,'b')

xlabel('时间')； 

ylabel('x2(t)')； 

title('原信号')； 

grid； 

%互相关函数

subplot(313)； 

plot(lags/Fs,c,'black')； 

xlabel('时延')； 

ylabel('互相关函数')

title('互相关')； 

grid

仿真结果如图3.5所示。


图3.5例3.10的结果比较



习题三
3.1下列有理函数是否为功率谱密度的正确表达式?为什么？

(1) ω2ω6+3ω2+3(2) exp［-(ω-1)2］
(3) ω2ω4-1-δ(ω)(4) ω41+ω2+jω6
(5) ω2+4ω4-4ω2+3(6) e-jω2ω2+2
3.2对题3.1中的正确功率谱密度表达式，计算其自相关函数和均方值。
3.3求正弦随相信号X(t)=cos(ω0t+Φ)的功率谱密度。式中，ω0为常数，Φ为(0,2π)上均匀分布的随机变量。
3.4求Y(t)=X(t)cos(ω0t+Φ)的自相关函数及功率谱密度。式中，X(t)为平稳随机过程，Φ为(0,2π)上均匀分布的随机变量，ω0为常数，X(t)与Φ相互独立。
3.5已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为RX(τ)=e-α|τ|，求X(t)的功率谱密度GX(ω)，并作图。
3.6已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为RX(τ)=4e-|τ|cosω0τ+cos3ω0τ，求X(t)的功率谱密度GX(ω)，并作图。
3.7已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为
RX(τ)=1-|τ|T，-T≤τ≤T

0，其他
求X(t)的功率谱密度GX(ω)，并作图。
3.8设X(t)为平稳随机过程，试用X(t)的功率谱表示Y(t)=A+BX(t)的功率谱密度。式中，A和B为实常数。
3.9求自相关函数为RX(τ)=pcos4(ω0τ)的随机过程的功率谱密度，并求其平均功率。式中，p，ω0为常数。
3.10已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度为
GX(ω)=1，|ω|≤ω0


0，其他
求X(t)的自相关函数RX(τ)，并作图。
3.11已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度为
GX(ω)=8δ(ω)+20×1-|ω|10，|ω|≤ω0

0，其他
求X(t)的自相关函数RX(τ)。
3.12设平稳随机过程是实过程，求证该过程的自相关函数与功率谱密度都是偶函数。
3.13若系统的输入过程X(t)为平稳过程，系统的输出为平稳随机过程Y(t)=X(t)+X(t-τ)，如图3.6所示。证明Y(t)的功率谱密度为GY(ω)=2GX(ω)(1+cosωτ)。


图3.6习题3.13图


3.14已知平稳随机过程
X(t)=∑Ni=1aiYi(t)
式中，ai是一组常实数，而随机过程Yi(t)皆为平稳过程且相互正交。证明： 
GX(ω)=∑Ni=1a2iGYi(ω)
3.15设平稳随机过程X(t)=acos(Θt+Φ)，式中，a为常数，Φ是在(0,2π)上均匀分布的随机变量； Θ也是随机变量，并且fΘ(ω)=fΘ(-ω)，Φ与Θ相互独立。求证X(t)的功率谱密度为GX(ω)=a2πfΘ(ω)。
3.16随机过程为
W(t)=AX(t)+BY(t)
式中，A和B为实常数，X(t)和Y(t)是宽联合平稳过程。
(1) 求W(t)的功率谱密度GW(ω)； 
(2) 如果X(t)和Y(t)不相关，求GW(ω)； 
(3) 求互谱密度GXW(ω)和GYW(ω)。
3.17设随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，求证： 
Re［GXY(ω)］=Re［GYX(ω)］； Im［GXY(ω)］=-Im［GYX(ω)］
3.18设X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳随机过程，均值mX、mY都不为0，定义Z(t)=X(t)+Y(t)，求互谱密度GXY(ω)及GXZ(ω)。
3.19已知平稳随机过程X(t)和Y(t)相互独立，功率谱密度分别为
GX(ω)=16ω2+16，GY(ω)=ω2ω2+16
令新的随机过程
Z(t)=X(t)+Y(t)


V(t)=X(t)-Y(t)
(1) 证明X(t)和Y(t)联合平稳； 
(2) 求Z(t)的功率谱密度GZ(ω)； 
(3) 求X(t)和Y(t)的互谱密度GXY(ω)； 
(4) 求X(t)和Z(t)的互相关函数RXZ(τ)； 
(5) 求V(t)和Z(t)的互相关函数RVZ(τ)。
3.20已知可微平稳随机过程X(t)的功率谱密度为
GX(ω)=4ω2+1
(1) 证明过程X(t)和导数Y(t)=X′(t)联合平稳； 
(2) 求互相关函数RXY(τ)和互谱密度GXY(ω)。
3.21已知可微平稳过程X(t)的自相关函数为RX(τ)=2exp(-τ2)，其导数为Y(t)=X′(t)。求互谱密度GXY(ω)和功率谱密度GY(ω)。
3.22已知随机过程W(t)=X(t)cosω0t+Y(t)sinω0t。其中，随机过程X(t)，Y(t)联合平稳，ω0为常数。
(1) 讨论X(t)，Y(t)及其均值和自相关函数在什么条件下，才能使随机过程W(t)宽平稳。
(2) 利用(1)的结论，用功率谱密度GX(ω)，GY(ω)，GXY(ω)表示W(t)的功率谱密度GW(ω)。
(3) 若X(t)，Y(t)互不相关，求W(t)的功率谱密度GW(ω)。
3.23已知平稳随机过程X(t)，Y(t)互不相关，它们的均值mX，mY皆不为0。令新的随机过程Z(t)=X(t)+Y(t)，求互谱密度GXY(ω)和GXZ(ω)。
3.24已知可微平稳随机过程X(t)的功率谱密度为
GX(ω)=4α2β(α2+ω2)2
式中，α，β皆为正实常数，求随机过程X(t)和其导数Y(t)=X′(t)的互谱密度GXY(ω)。
3.25已知随机过程X(t)，Y(t)为
X(t)=acos(ω0t+Θ)


Y(t)=A(t)cos(ω0t+Θ)
式中a，ω0为实正常数; A(t)是具有恒定均值mA的随机过程； Θ为与A(t)独立的随机变量。
(1) 运用互谱密度的定义式
GXY(ω)=limT→∞12TE［X*T(ω)YT(ω)］
证明： 无论随机变量Θ的概率密度形式如何，总有
GXY(ω)=πamA2［δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)］
(2) 证明： X(t)，Y(t)的互相关函数为
RXY(t,t+τ)=amA2cosω0τ+E［cos(2θ)］cos(2ω0t+ω0τ)-

E［sin(2θ)］sin(2ω0t+ω0τ)
(3) 求互相关函数RXY(t,t+τ)的时间平均〈RXY(t,t+τ)〉t。
3.26设一个线性系统由微分方程
dy(t)dt+by(t)=ax(t)
给出，式中a，b为常数； x(t)，y(t)分别为输入平稳过程X(t)和输出平稳过程Y(t) 的样本函数，且输入过程均值为0，初始条件为0，RX(τ)=σ2e-β|τ|，求输出的谱密度GY(ω)和相关函数RY(τ)。
3.27设一个线性系统输入平稳过程X(t)，其相关函数为RX(τ)=βe-α|τ|。 若输入与输出过程的样本函数满足微分方程
dy(t)dt+by(t)=dx(t)dt+ax(t)
式中，a，b为常数。求输出过程Y(t)的谱密度GY(ω)和相关函数RY(τ)。
3.28设有如图3.7所示的电路系统，输入零均值的平稳过程X(t)，且相关函数为RX(τ)=σ2e-β|τ|。求Y1(t)，Y2(t)的谱密度及两者的互谱密度。


图3.7习题 3.28图


3.29设{X(t),-∞<t<∞}是均值为0的正交增量过程，E［|X(t2)-X(t1)|2］=|t2-t1|，若
Y(t)=X(t)-X(t-1)
(1) 证明{Y(t),-∞<t<∞}是平稳过程； 
(2) 求{Y(t)}的功率谱密度。