



第1篇

力学











 
第2章  质点运动学运动与力动量与角动量功和能


1.1思考题解答

1.1.1质点运动学

1. 做平抛实验时分析小球的运动用什么参考系？分析湖面上游船运动用什么参考系？分析人造地球卫星的椭圆轨道运动以及土星的椭圆轨道运动又各用什么参考系？
答参考系通常以观察物体运动时所用参考物而命名，在实验室观测小球的平抛实验时所用尺子和时钟是固定于实验室的，此时的参考系称为实验室参考系； 如果是在室外做小球的平抛实验，一般选用地面为参考系，此时所选用的参考系称为地面参考系。观测湖面上游船运动，一般选用地面为参考系，所以所用参考系为地面参考系。人造地球卫星的椭圆轨道运动指的是卫星相对地心的运动，所以所选用的是地心参考系。土星的椭圆轨道运动是相对太阳而言的，所以所选用的是太阳参考系。
2. 回答下列问题： 
（1） 位移和路程有何区别？
（2） 速度和速率有何区别？


图1.1

（3） 瞬时速度和平均速度的区别和联系是什么？
答（1） 如图1.1所示，路程是标量，位移是矢量。路程是物体运动经历的
实际路径； 而位移是物体初末位置矢量之差，Δr=r2-r1，表示物体位置的改变，一般并不是物体所经历
的实际路径。
（2） 速度是矢量，速率是标量。速度是位置矢量对时间的变化率，�瘙經=
drdt； 速率是速度大小，是路程对时间的
变化率，v=｜�瘙經｜=drdt
=｜dr｜dt=dsdt。
（3） 瞬时速度是瞬时量，是物体运动某一时刻t的位矢变化率，�瘙經=
drdt，其方向是沿质点运动	轨道的
切线而指向运动的前方。而平均速度反映的是物体运动所经历的某一时段Δt的位移和
Δt的比，�瘙經=ΔrΔt，其方向是Δt时间内位移的方向。当Δt→0时，平均速度就成为瞬时
速度，limΔt→0ΔrΔt=drdt=�瘙經。




第1章质点运动学运动与力动量与角动量功和能






大学物理辅导（第3版）





3. 回答下列问题并举出符合你的答案的实例： 
（1） 物体能否有一不变的速率而仍有一变化的速度？
（2） 速度为零的时刻，加速度是否一定为零？加速度为零的时刻，速度是否一定为零？
（3） 物体的加速度不断减小，而速度却不断增大，这可能吗？
（4） 当物体具有大小、方向不变的加速度时，物体的速度方向能否改变？
答（1） 有。速度是矢量，既有大小，又有方向，两者中有一个变化，速
度就会变化。例如作匀速圆周运动的物体，它的速度时刻在变化，但其速率不变。
（2） 速度为零的时刻，加速度不一定为零； 加速度为零的时刻，速度也不一定为零。因
为加速度是速度对时间的变化率，速度为零的时刻其变化率不一定为零，速度不为零时不能
保证其变化率不为零。例如水平弹簧振子，相对平衡位置有最大位移时其速度为零，而加速
度不为零； 平衡位置时速度最大而其加速度为零。
（3） 可能。例如加速直线运动，物体的加速度可以不断减小，只要与速度的方向一致，
物体仍然作加速运动，速度仍不断增大。
（4） 能改变。如空气阻力很小时的斜抛运动，重力加速度恒定不变，但物体的速度方向
却一直在改变。
4. 圆周运动中质点的加速度方向是否一定与速度的方向垂直？如不一定，此加速度的方向在什
么情况下偏向运动的前方？
答圆周运动中质点的加速度方向不一定与速度的方向垂直。当圆周运动中质点
的速率增加时，加速度的方向偏向运动的前方。a=a
t+an，只要at不为零，加速度
方向就与速度的方向不垂直，且只要at的方向与速度的方向一致（速率增加），加速度
的方向就偏向运动的前方。
5. 任意平面曲线运动的加速度方向总指向曲线凹进的那一侧，为什么？
答物体作平面曲线运动时，在曲线凹进那一侧曲线上的每点总有一个曲率
圆。切向加速度表示质点速率的变化，其方向总沿通过此点曲率圆的切线方向； 法向加速
度表示速度方向的变化，它的方向是指向处于曲线凹进那一侧的曲率中心。所以二者合成的
加速度的方向当然总指向曲线凹进那一侧。
6. 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，问an、at、a三者的大小是否都随时间改变？总加速度a与速度�瘙經之间的夹角如何随时间改变？
答速率随时间均匀增大，可设v=kt（k为正常数）。因at=dv/dt=k，所以其大小不随时间改变； 由于an=v2R（R是质点作圆周运动的半径），所以an=k2Rt2是时间的函数，且随时间增大而增大。而总加速度的大小a=a2n+a2t=k4R2t4+k2同样是时间的函数，也随时间增加而越来越大。由于at与�瘙經的方向一致，总加速度a与速度�瘙經之间的夹角就是总加速度a与其分量at之间的夹角。质点的速率增加时，加速度的方向偏向运动的前方，其与速度�瘙經之间的夹角为


θ=arctananat=arctankt2R


θ将随时间增加而越来越大。法向加速度an随时间增大而切向加速度at不随时间变化，总加速度a与速度�瘙經之间的夹角必然随时间增加而越来越大。
7. 根据开普勒第一定律，行星轨道为椭圆。已知任一时刻行星的加速度方向都指向椭圆的
一个焦点（太阳所在处）。分析行星在通过图1.2(a)中M、N两位置时，它的速率分别
应正在增大还是正在减小。
答总加速度a的方向始终指向焦点，而它沿轨道切线方向
的切向加速度分量at的方向与速度�瘙經方向可能同
向也可能反向，同向时行星速率增大，反向时行星速率减小。在图1.2（b）中M点，因为切
向加速度方向与速度方向相反，M点的速率正在减小； 在N点，切向加速度方向与速度方向
相同，所以N点的速率正在增加，如图1.2(c)所示。


图1.2


8. 一斜抛物体的水平初速度是v0x，它的轨迹的最高点处的曲率圆的半径是多大？
答在轨迹最高点处，有v=v0x，a=g=an，则由an=v2/
ρ得曲率圆半径

ρ=v20x/g

9.  有人说，考虑到地球的运动，一幢楼房的运动速率在夜间比在白天大。这是对什么参考系说的？地球自转及围线太阳公转示意图如图1.3（a）所示。


图1.3


答这是对太阳参考系而言的。如图1.3（b）所示，设地球自转的角速度为ω，楼房对地球自转轴有一自转速率v=rω（r为楼房在自己转动平面内圆周运动的半径），这个速度大小在白天和黑夜是一样的。地球绕太阳有一公转轨道速度，楼房相对太阳的运动速度就是相对地心的自转速度和地球公转速度的矢量和。如图1.3(b)所示，夜间楼房背向太阳，楼房的自转速度与公转速度的方向基本一致； 而白天楼房面对太阳，其自转速度与公转速度的方向基本相反。因此，自转速度和公转速度的叠加使得太阳参考系中看到同一幢楼房的运动速率在夜间比在白天大一些。
10. 设自由落体从t=0时刻开始下落。用公式h=gt2/2计算，它下落的距离为19.6 m的
时刻为+2 s和-2 s。这-2 s有什么物理意义？该时刻物体的位置和速度各如何？
答在公式h=gt2/2中，t=-2 s是指比计时时刻t=0早2 s的时间，它的物理意义是借用“时间倒流” 说明了自由落体过程的可逆性。从t=0时刻开始下落的自由落体，t时刻的速度v=gt，在t→-t时间反演操作下，v→-v速度反向，速度反向意味着物体在重力作用下进行的是自由落体的逆过程即竖直上抛运动。t→-t时间反


图1.4

演相当于时间倒流，自由落体的时间倒流过程就是无阻力的竖直上抛，这相当于用摄像机把自由落体拍摄下来而倒着放映。因此，从t=0时刻开始下落的自由落体，-2 s代表物体在竖直上抛运动中从此时刻到达顶点（y=0，v′=v=0）的时间为2 s。-2 s时刻物体的位置就是自由落体过程中+2 s时的位置y=19.6 m，而速度则反向，v′=-2g=-v（m/s），这正是物体在上升运动中达到最高点（t=0）前两秒时的运动状态，如图1.4所示。
*11. 如果使时间反演，即把时刻t用t′=-t取代，质点的速度�瘙經=d
rdt，加速度a=d2rdt2以及匀加速直线运动学公式直角坐标系中的y向分量表达式vy=v0y+ayt和y=y0+v0yt+12ayt2将会有什么变化？电影中的武士一跃登上高峰的动作形象是实拍的跳下动作的录像倒放的结果，为什么看起来和“真正的”跃上动作一样？
答对于可逆过程，若时间反演，质点的位置不受影响。对于正过程质点的速度定义式�瘙經=drdt，在其反过程中其速度定义式为
�瘙經′=dr′dt′，作时间反演变换t→-t=t′，r→r=r′，�瘙經=
drdt=dr′-dt′=-dr′dt′=-�瘙經，即正反过程中速度是反向的。对于正过程，加速度a=d2rdt2=d�瘙經dt，在时间反演过程中的加速度为
a′=d2r′dt′2=
d�瘙經′dt′，当作t→-t=t′，�瘙經→-�瘙經=�瘙經′时间反演变换时，a=d�瘙經dt=-d�瘙經′-dt′=d�瘙經′dt′=a′，即正反过程中加速度是不变的。同理，当t→-t时，对于正过程中的匀加速直线运动学公式


vy=v0y+ayt，y=y0+v0yt+12ayt2


有vy→-vy=v′y，v0y→-v0y=v′0y，ay→ay=a′y，y→y=y′，y0→y0=y′0，所以在其时间反演过程中，上式可分别写成


v′y=v′0y+a′yt′，y′=y′0+v′0yt+12a′yt′2


即运动表达式不变。正过程如果是匀加速直线运动，过程中的速度和加速度方向相同； 而其逆过程中，由于加速度方向不变而速度反向，其运动表达式表示的是匀减速直线运动。所以，运动表达式不变并不表明正反过程的运动形式具有时间反演不变性，具有时间反演不变性的是正反过程中的物理规律（牛顿第二定律F=ma），因为在时间反演的可逆过程中，力、质量和加速度都是不变的。这就是说，在上述正、反两过程中，它们的运动形式虽相逆但都符合牛顿定律，它们的时序虽相反但在自然界都可能实际发生。如果把匀加速直线运动录下来，不管正放还是倒放录像，因为它们都符合物理定律，看起来都是“真”的现象，单从录像的放映中人们不能区别是倒放还是正放，也就是不能区别运动过程的正与反。一武士从高处跳下的过程在空气阻力可以忽略的情况下是一个可逆过程，实拍下武士从高处跳下的动作再在电影中倒放，就可以表现他“真正地”从平地一跃而登上高峰的动作形象，其道理就是如此。
1.1.2运动与力
1. 没有动力的小车通过弧形桥面（见图1.5（a)）时受几个力作用？它们的反作用力作用在哪
里？若小车的质量为m，车对桥面的压力是否等于mgcosθ？小车能否作匀速率运动？


图1.5


答没有动力的小车通过弧形桥面时，受到三个力的作用，如图1.5(b)所示，一是地球的作用力（重力）mg，竖直向下； 二是弧形桥面给予小车的弹性支撑力 N，垂直桥面向上； 三是弧形桥面对小车车轮沿弧形桥面切线向后的滚动摩擦力 f。
作用力与反作用力大小相等，方向相反（在一条直线上），分别作用于相互作用的两个物体上。因此小车所受重力的反作用力作用于地球，弹力N的反作用力作用于弧形桥面，滚动摩擦力 f的反作用力作用于弧形桥面。
对于小车，y向的牛顿第二定律方程为


N-mgcosθ=-mv2ρ（ρ为此处桥面的曲率半径）


则有N=mgcosθ-mv2ρ。因为N的反作用力就是车对桥面的压力，所以车对桥面的压力大小mgcosθ-mv2ρ不等于mgcosθ（v≠0）。
没有动力的小车在图1.5中所示的通过弧形桥面过程中是不会作匀速率运动的。因为此过程中重力对小车做正功，支撑力N不做功，滚动摩擦力f对车整体不做功，在不考虑其他耗散力（空气阻力、轮轴摩擦等）的情况下，由动能定理可知小车速率是逐渐增加的。从受力角度看，对于小车，x向的牛顿第二定律方程为


mgsinθ-f=mat


设桥面对小车的摩擦系数为μ，有f=μN，而N=mgcosθ-mv2ρ，则切向加速度大小为


at=gsinθ-μNm=gsinθ-μgcosθ+μv2ρ


如果小车作匀速率运动（v为常数），那么沿桥面的切向加速度at=dvdt=0，在μ和ρ是常数的情况下对此式两边求导可得cosθ+μsinθ=0，有


cotθ=-μ


即要求小车沿桥面运动（图中θ角度不断变化）时cotθ等于一个负常数，这显然是不可能的。所以没有动力的小车通过弧形桥面时不可能作v是常量的匀速率运动。
2. 有一单摆如图1.6（a）所示，试在图中画出摆球到达最低点P1和最高点P2时所受的力。
在这两个位置上，摆线中张力是否等于摆球重力或重力在摆线方向的分力？如果用一水平绳拉住摆球，使之静止在P2位置上，摆线中张力多大？


图1.6


答① 摆球在最低点P1和最高点P2的受力如图1.6（b）所示，它们分别是重力mg、张力T1和重力mg、张力T2。
② 在最低点P1，竖直向的力学方程为


T1-mg=mv2l


因摆球速度v≠0，所以张力大于摆球重力，差值为摆球的向心力。
在最高点P2时，摆球的速度为零，沿摆线方向的牛顿力学方程为


T2-mgcosθ=0


张力T2=mgcosθ，即不等于重力而等于重力在摆线方向的分力。
③  若一水平绳拉住摆球（图1.6（c）中F），使之静止在P2位置上，受力平衡，沿竖直向的牛顿力学方程为


Tcosθ-mg=0


则摆线中张力为T=mg/cosθ。
3. 有一个弹簧，其一端连有一小铁球，能否做一个在汽车内测量汽车加速度的“加速度计”？若能，根据的是什么原理？
答可以。将弹簧竖直自由地悬挂于车顶，当汽车加速前进时，小铁球受到
垂直向下的重力、弹簧的拉力以及和运动方向相反的惯性力作用。当受力平衡时，测出弹簧
与竖直线之间的夹角，就可以由关系式a=gtanθ测出不计弹簧质量时汽车的加速度
，小球偏转反方向就是汽车的加速度方向。
汽车内： 小球的动力学方程为（见图1.7）


x向： Tsinθ-ma=0

y向： Tcosθ-mg=0


由此可得tanθ=ag，即a=gtanθ。
4. 当歼击机由爬升转为俯冲时（见图1.8（a）），飞行员会由于脑充血而“红视”（视场
变红）； 当飞行员由俯冲拉起时（见图1.8（b）），飞行员会由于脑失血而“黑晕”（眼
睛失明）。这是为什么？若飞行员穿上一种G套服（把身躯和四肢肌肉缠得很紧的一种衣服
），当飞行员由俯冲拉起时，他能经得住相当于5g的力而避免黑晕，但飞行开始俯冲时，最多经得
住-2g的力而仍免不了红视。这又是为什么（定性分析）？


图1.7




图1.8



答如图1.9（a）所示，歼击机由爬升转为机头向下俯冲时，相对地面（惯性系）飞行员在作曲线运动，存在如图所示的法线加速度an，它的方向和飞行员的头向相反。飞行员是一个非惯性系，飞行员的血液会受到如图所示与an方向相反的惯性离心力（-man）作用，在此作用下身躯和四肢肌肉的血液涌向飞行员脑部，过多的脑部血液使飞行员的视觉是“红糊糊的一片”，什么也看不到，即出


图1.9

现“红视”现象。当歼击机由俯冲拉起机头迅速上仰时，如图1.9（b）所示，飞行员也是作曲线运动，不过此时法线加速度an方向与飞行员的头向相同，飞行员作为非惯性系，他的血液会受到离开脑部向下的惯性力，造成脑失血而使飞行员的视觉一片漆黑，出现“黑视”，即“黑晕”现象。“黑视”和“红视”是飞行员晕厥的先兆，是其生理承受的极限，是向飞机的机动性提出的挑战，为此出现了歼击机飞行员的G套服。G套服的作用是把人的身躯和四肢肌肉缠得紧紧的，压迫血管使身躯及四肢肌肉内部血液流动不畅，造成它们与脑部之间血液流动的阻力，限制血液大量流出或流入大脑，降低“黑视”与“红视”的反应，从而保证人身和飞行安全。这种作用就像卫生员紧急抢救伤员时经常用绷带勒紧血管上部以减少血管下部的大量出血，并阻止血管下部感染血液很快地上流。
当人们猛地下蹲时可以体会到“红视”的感觉，由下蹲状态猛地站起来时人们往往会出现“黑视”的感觉。平时处于重力场“g”中的飞行员穿上G套服后（看起来就像贴身的潜水服），由于G套服极大限度地阻碍了脑部血液向身躯及四肢肌肉的流动，所以他可以处于 “5g”的法向加速度力场中（相当于受到5g的力）而不至于脑失血过多出现“黑晕”现象。“-2g” 相当于飞行员处于2g的力场，但惯性力把血液从下部推向头部。从生理上讲“红视”比“黑视”更危险，且由于人体血液量是一定的，脑部血容量是有限的，大量的血液仍储存在身躯及四肢肌肉之内，所以歼击机由爬升转为俯冲时飞行员所能承受的加速度相对会小一些，即便是“-2g”的力场也会产生过多的血液冲入脑部而引起“红视”现象。相对重力场“g”，飞行员处于“5g”或“-2g”力场中称为超负荷，故G套服又俗称“抗荷服”。
5. 用天平测出的物体质量是引力质量还是惯性质量？两汽车相撞时，其撞击力的
产生是源于引力质量还是惯性质量？
答用天平测出的物体的质量与引力有关，是物体和砝码
受到的地球引力对天平刀口支撑点力矩平衡测出的质量，所以是引力质量。两汽车相撞的撞击力源于物体运动，表现为自身动量的变化率，F=
d(m�瘙經)dt，其中
m是惯性质量。
6. 设想在高处用绳子吊一块重木板，板面沿竖直方向，板中央有颗钉子，钉子上悬挂
一单摆，今使单摆摆动起来。如果当摆球越过最低点时砍断吊木板的绳子，在木板下落过
程中，摆球相对于木板的运动形式将如何？如果当摆球到达极限位置时砍断绳子，摆球相对
于木板的运动形式又将如何？（忽略空气阻力）
答砍断绳子使木板自由下落时，若以此木板为参考系（非惯性系），则摆
球相对于木板的运动形式将取决于摆球受力和初始条件。摆球在越过最低点而未到极限位置
时具有一定的速度，此时摆球受到竖直向下的重力mg、摆绳的拉力T，还有竖直向上
的惯性力mg。由于重力和惯性力相互平衡，所以摆球仅受与其速度v垂直的拉力T作用
，是向心力。因此，摆球相对于木板作匀速率圆周运动，如图1.10(a)所示。


图1.10