第10章 CHAPTER 10 周期性非正弦稳态电路分析 本章提要 本章介绍周期性非正弦稳态电路的分析方法。主要内容有： 周期性非正弦稳态电路的基本概念； 周期性非正弦函数的谐波分析及频谱图； 周期性非正弦函数的有效值、平均值与功率； 周期性非正弦稳态电路的一般分析方法； 周期性非正弦对称三相电路的分析等。 10.1周期性非正弦稳态电路的基本概念 当稳态电路中的支路电压、电流为周期性非正弦波时，称为周期性非正弦稳态电路。在工程实际中，周期性非正弦稳态电路是一类常见的电路。例如在电力系统中，三相交流发电机所产生的电压从严格的意义上说并不是正弦波，这样在电网各处以及负载中的电压、电流将是周期性的非正弦波。又如在自动控制电路和计算机电路中，其激励一般是方波信号源，则电路中各元器件中的电流及端电压是周期性的按非正弦规律变化的波形。再如在电力和电子技术中常用的整流电路中，虽然其激励是正弦电源，但因电路中含有二极管这种非线性器件，因此电路的输出是周期性的非正弦波。由此可见，周期性非正弦稳态电路的相关概念及其分析方法在工程应用上有着十分重要的意义。 一、 周期性非正弦电压、电流 图101给出了周期性非正弦电压和电流的例子。 图101周期性非正弦电压、电流的波形 如图101（a）所示，电压波形的周期是2T1，其最大值（振幅）umax=Um； 又如图101（b）所示，电流波形的周期是T1，其正振幅为Im1，负振幅为Im2。 二、 周期性非正弦稳态电路 周期性非正弦稳态电路也称为非正弦周期电流电路。简便起见，在本书中，周期性非正弦稳态电路亦简称为非正弦电路。 按激励函数是否作正弦规律变化，非正弦电路可分为两类。 1. 激励为正弦函数的非正弦电路 这类电路中的激励为正弦函数，但响应却是非正弦函数，造成这一现象的原因是电路中含有非线性元件或时变元件。如图102（a）所示的全波整流电路中含有二极管这一非线性元件，当激励电压为图102（b）所示的正弦波形时，电路中的输出电压uo是图102（c）所示的非正弦波形。 图102全波整流电路及其输出电压的波形 2. 激励为非正弦函数的非正弦电路 这类电路包括两种情形，即激励为非正弦周期函数，但电路中的其他元件是线性时不变元件； 或激励为非正弦周期函数，但电路中的其他元件中包含有非线性元件或时变元件。在上述两种情况下，电路的响应一般为非正弦函数。如图103（a）所示的脉冲波发生电路，R、C均为线性时不变元件，激励的波形为方波，如图103（b）所示，当RCT1时，电阻电压波形如图103（c）所示。 图103脉冲波发生电路及其电压波形 本书只讨论激励为周期性非正弦函数、其他元件为线性时不变元件的非正弦电路的稳态分析。 三、 非正弦电路的稳态分析方法 非正弦电路的稳态分析可采用直流稳态电路和正弦稳态电路的分析方法。其思路是借助数学中的傅里叶级数，将电路中的周期性非正弦激励分解为直流分量和一系列不同频率的正弦量之和，再依据叠加定理，将非正弦电路转化为直流电路和一系列不同频率的正弦稳态电路的叠加。 10.2周期性非正弦函数的谐波分析 若函数f（t）满足下述关系式： f（t）=f（t±kT）（k=0,1,2,…） 则称f（t）为周期函数，式中T为周期函数的周期，其频率f=1/T，角频率ω=2πf=2π/T。 一、 周期性非正弦函数的傅里叶展开式 在下面的讨论中，将周期性非正弦函数简称为周期函数。 1. 傅里叶级数的形式 一个周期函数f（t），只要它满足狄里赫利条件，即 （1） 在一个周期内连续或仅有有限个第一类间断点； （2） 在一个周期内只有有限个极值点。 便可将它展开为傅里叶级数，其展开式为 f（t）=a02+∑∞k=1（akmcoskωt+bkmsinkωt）（101） 或 f（t）=A02+∑∞k=1Akmsin（kωt+φk）（102） 可见傅里叶级数为一无穷级数，它由一系列频率不同的正弦函数叠加而成（常数项可视为频率为零的正弦量）。式（101）和式（102）为傅里叶级数的两种形式。两种表示式中各系数及初相位φk间的关系式为 图104用直角三角形表示傅里叶级数中系数间的关系 A0=a0 Akm=a2km+b2km φk=arctanakmbkm （103） 或 akm=Akmsinφk bkm=Akmcosφk （104） 上述关系式可用图104所示的直角三角形表示。 在实际应用中，傅里叶级数多采用式（102）的形式。在将一个周期函数展开为傅里叶级数时，通常是先求得式（101），再根据式（103）得到式（102）。 2. 谐波的概念 在非正弦电路中，谐波是十分重要的概念。 在式（101）和式（102）表示的傅里叶级数中，和周期函数f（t）的周期相同的正弦分量（即k=1的分量）称为f（t）的一次谐波或基波； 而频率是一次谐波（基波）频率k倍的分量称为f（t）的k次谐波，如k=2的分量称为二次谐波，k=3的分量称为三次谐波等； 常数项a02或A02称为f（t）的零次谐波或直流分量。通常把k≥2的谐波称为高次谐波，k为奇数的谐波称为奇次谐波，k为偶数的谐波称为偶次谐波。式（101）中akmcoskωt称为k次谐波的余弦分量，bkmsinkωt称为k次谐波的正弦分量。 例如，一个周期函数f（t）的角频率是50rad/s，其傅里叶展开式 取前四项为 f（t）=200+1702sin50t+902sin150t+422sin（250t+60°） 则f（t）的基波角频率是50rad/s，它包括四种谐波，即直流分量（零次谐波）、基波（一次谐波）、三次谐波和五次谐波。为便于看清各次谐波分量，这一周期函数可写为 f（t）=200+1702sinω1t+902sin3ω1t+422sin（5ω1t+60°） 其中ω1=50rad/s是基波的角频率,k次谐波的角频率（频率）是周期函数角频率（频率）的k倍。 3. 傅里叶级数中系数的计算公式 将一个周期函数展开为傅里叶级数，关键在于级数中各项系数的计算。式（101）中的各项系数按下列公式求出： a0=2T∫T0f（t）dt=2T∫T2-T2f（t）dt akm=2T∫T0f（t）coskω1tdt=2T∫T2-T2f（t）coskω1tdt bkm=2T∫T0f（t）sinkω1tdt=2T∫T2-T2f（t）sinkω1tdt （105） 式中，T为周期函数f（t）的周期； ω1为f（t）的角频率。ω1和T之间的关系为 ω1=2π/T 求得系数a0、akm和bkm后，再由式（103）求出式（102）中的各系数A0、Akm和φk。 4. 将周期函数展开为傅里叶级数的方法 给定一个周期函数的波形后，可用两种方法求出其对应的傅里叶级数，这两种方法是查表法和计算法。 1） 查表法 表101给出了一些常见的典型周期函数的傅里叶级数。因此可用查表的方法求得一些常见周期函数的傅里叶级数。 表101常见周期函数的傅里叶级数简表 波形傅里叶级数A（有效值）Aav（平均值） f（ωt）=8Amaxπ2sinωt-19sin3ωt +125sin5ωt-… +（-1）k-12k2sinkωt+… （k=1,3,5,…） Amax3Amax2 续表 波形傅里叶级数A（有效值）Aav（平均值） f（ωt）=4Amaxαπsinαsinωt +19sin3αsin3ωt +125sin5αsin5ωt+… +1k2sinkαsinkωt+… （k=1,3,5…） Amax1-4α3πAmax1-απ f（ωt）=Amax12-1πsinωt +12sin2ωt +13sin3ωt +…+1ksinkωt +… （k=1,2,3,…） Amax3Amax2 f（ωt）=4Amaxπsinωt +13sin3ωt+15sin5ωt+… +1ksinkωt+… （k=1,3,5,…） AmaxAmax f（ωt）= Amaxα +2π sinαπcosωt +12sin2απcos2ωt +… +1ksinkαπcoskωt +… （k=1,2,3,…） αAmaxαAmax 续表 波形傅里叶级数A（有效值）Aav（平均值） f（ωt）=2Amπ12 +π4cosωt+13cos2ωt -115cos4ωt+… -coskπ2k2-1coskωt+… （k=2,4,6,…）Am2Amπ f（ωt）=4Amπ 12+13cos2ωt -115cos4ωt+… -coskπ2k2-1coskωt+… （k=2,4,6…）Am22Amπ 2） 计算法 所谓计算法是根据给定的周期函数的波形由式（105）及式（103）计算系数a0、akm和bkm及A0、Akm和φk后而得到傅里叶级数。 例101已知周期性电压u的波形如图105所示，试求其傅里叶级数。 图105例101图 解该电压波形在一个周期［-π,π）内的表达式为 u= -t（-π≤t≤0） t（0≤t<π） 此电压的周期T=2π，角频率ω1=2πT=1rad/s（应注意坐标横轴是时间t而不是角度ωt）。可求得傅里叶级数中的各系数为 a0=2T∫T2-T2f（t）dt=22π∫0-π（-t）dt+∫π0tdt=π akm=2T∫T2-T2f（t）coskω1tdt =1π∫0-π（-t）coskω1tdt+∫π0tcoskω1tdt=2π∫π0tcoskω1tdt =2π1（kω1）2coskω1t+tkω1sinkω1tπ0=2π1（kω1）2coskω1π+πkω1sinkω1π-1（kω1）2 将ω1=1rad/s代入上式，可得 akm=2πk2（coskπ-1）（k=1,2,…） k为偶数时，akm=0； k为奇数时，akm=-4πk2。 bkm=2T∫T2-T2f（t）sinkω1tdt =1π∫0-π（-t）sinkω1tdt+∫π0tsinkω1tdt=0 于是所给电压波形的傅里叶级数为 u=a02+∑∞k=1akmcoskω1t =π2-4πcosω1t+132cos3ω1t+152cos5ω1t+… =π2-4πcost+19cos3t+125cos5t+… 或 u=π2-4πsin（t+90°）+19sin（3t+90°）+125sin（5t+90°）+… 5. 关于傅里叶级数的说明 傅里叶级数是一个无穷级数，仅当取无限多项时，它才准确地等于原有的周期函数。而在实际的分析工作中，只需截取有限项，截取项数的多少取决于所允许误差的大小。级数收敛得越快，则截取的项数可越少。 图106矩形方波的波形 一般而言，周期函数的波形越光滑和越接近正弦波，其傅里叶级数收敛得越快。如例101中的电压波形较为光滑且接近正弦波，其傅里叶级数中各项的系数随谐波次数的增高而衰减得很快。这表明该级数以较快的速度收敛，只需截取较少的项数便可较准确地代表原波形。又如图106所示的矩形波，其展开式为 f（t）=4sinω1t+13sin3ω1t+15sin5ω1t+… 可看出，该级数收敛得较慢，这是由于该波形光滑程度较差且和正弦波形相去甚远的缘故。因此，该级数只有截取较多的项数才不致产生过大的误差。 二、 几种对称的周期函数 在工程实际中常利用函数的对称性质简化求取周期函数傅里叶级数的计算工作。这是因为在一定的对称条件下，波形中可能不含有某些谐波，在傅里叶级数中对应于这些谐波的系数为零而无须计算。 共有五种对称情况。在下面的讨论中，设周期函数f（t）的周期为T。 1. 在一周期内平均值为零的函数 1） 平均值为零的函数的波形特性 这类函数波形的特征是在一个周期中正半周的面积等于负半周的面积。因此函数在一个周期内的平均值为零。图107所示便是这类函数的两个例子。 图107在一个周期内平均值为零的函数的波形 2） 平均值为零的函数的傅里叶级数 这类函数的傅里叶级数中不含有常数项。这是因为一个周期内的平均值为零时，必有 a02=1T∫T0f（t）dt=0 2. 奇函数 1） 奇函数的波形特征 奇函数的特征是其波形对称于坐标原点。这类函数满足关系式f（t）=-f（-t）。图108便是奇函数的两个例子。 图108奇函数的波形 显然，奇函数也是一个周期内平均值为零的函数。 2） 奇函数的傅里叶级数 奇函数的傅里叶级数为 f（t）=∑∞k=1bkmsinkω1t（106） 即级数中不含有常数项和余弦项。这是因为奇函数在一个周期内的平均值为零，故常数项为零； 又因为余弦函数是偶函数，故奇函数的傅里叶级数中不可能含有余弦项。 因此，在求奇函数的傅里叶级数时，只需计算系数bkm。 3. 偶函数 1） 偶函数的波形特征 偶函数的特征是其波形对称于坐标纵轴。这类函数满足关系式f（t）=f（-t）。图109便是偶函数的两个例子。 2） 偶函数的傅里叶级数 偶函数的傅里叶级数为 f（t）=a02+∑∞k=1akmcoskω1t（107） 即傅里叶级数中不含有正弦分量。这是因为正弦函数是奇函数，而偶函数的傅里叶级数中不可能含有奇函数。 因此，在求偶函数的傅里叶级数时，只需计算a0和akm。 图109偶函数的波形 4. 奇谐波函数 1） 奇谐波函数的波形特征 奇谐波函数的特征是将其波形在一个周期内的前半周期后移半个周期（即将前、后半周置于同一半周期内）后，前、后半周对横轴形成镜像。这类函数满足关系式f（t）=-ft±T2。图1010是奇谐波函数的两个例子。 图1010奇谐波函数的波形 2） 奇谐波函数的傅里叶级数 奇谐波函数的傅里叶级数为 f（t）=∑∞k=1Akmsin（kω1t+φk）（k=1,3,5,…）（108） 即级数中不含有常数项和偶次谐波。这是因为奇谐波函数是在一个周期内平均值为零的函数，因而级数中的常数项为零； 又因为 图1011偶次谐波不符合奇谐波函数 波形特征的说明 偶次谐波不满足f（t）=-ft±T2，故不是奇谐波函数。 如图1011中的二次谐波（在一个T内变化两个循环）显然不符合奇谐波函数的特征，故奇谐波函数的傅里叶级数中必不含有偶次谐波。 因此，在求奇谐波函数的傅里叶级数时，只需计算奇次谐波的系数。 5. 偶谐波函数 1） 偶谐波函数的波形特征 偶谐波函数的特征是其波形在一个周期内的前半周和后半周的形状完全一样，且将前半周后移半个周期（即将前、后半周置于同一半周期内）后，前、后两个半周完全重合。这类函数满足关系式f（t）=ft±T2。图1012是偶谐波函数的两个例子。 图1012偶谐波函数的波形 2） 偶谐波函数的傅里叶级数 偶谐波函数的傅里叶级数为 f（t）=A02+∑∞k=1Akmsin（kωt+φk）（k=2,4,6,…）（109） 即傅里叶级数中不含有奇次谐波。这是因为奇次谐波不满足f（t）=ft±T2，则在偶谐波函数的傅里叶级数中必不含有奇次谐波。 因此，在求偶谐波函数的傅里叶级数时，不需计算奇次谐波的系数。 6. 关于周期函数对称性的说明 （1） 某个周期函数可能同时具有几种对称特性，在分析时应予以注意。 （2） 注意奇函数与奇谐波函数，偶函数和偶谐波函数的区别。 （3） 一个周期函数是奇函数还是偶函数，既取决于波形的形状，也取决于坐标原点的位置。而一个周期函数是奇谐波函数还是偶谐波函数，仅决定于函数的波形，与坐标原点的位置无关。 （4） 一个波形含有哪些次谐波与坐标原点的选择无关，坐标原点的位置只影响谐波的初相位。因此可利用移动坐标原点的办法使某些波形变为奇函数或偶函数，以简化分析计算工作。 例102试定性指出图1013所示波形含有的谐波成分。 解可以看出，图示波形同时具有几种对称特性。这一波形所对应的函数f（t）满足下列关系式： 1T∫T0f（t）dt=0,f（t）=f（-t） f（t）=-ft±T2 这表明f（t）在一个周期内的平均值为零，它既是偶函数，也是奇谐波函数，于是傅里叶级数中不含中直流分量和正弦分量，亦不含有偶次谐波，其傅里叶级数的形式为 f（t）=∑∞k=1akmcoskω1t（k=1,3,5,…） 例103如图1014所示波形，问若将其展开为傅里叶级数时，是否可利用周期函数的对称性？试将其展开为傅里叶级数。 图1013例102图 图1014例103图 解经分析可知，该波形不属于五种对称情况中的任何一种。但根据该波形的特点，若将纵轴向右移动14周期，如图中虚线所示，则f（t′）为一偶函数，其傅里叶级数中不含有正弦分量，因此只需计算系数a0 和akm。求出f（t′）的傅里叶级数后，将级数中变量t′用t-T4代换（即将纵轴还原），便可得f（t）的傅里叶级数。可求得 f（t′）=Fmπ+12Fmωt′+23πFmcos2ωt′-215πFmcos4ωt′+… 则 f（t）=Fmπ+12Fmcosω1t-T4+23πFmcos2ω1t-T4-215πFmcos4ω1t-T4+… =Fmπ+12Fmsinω1t-23πFmcos2ω1t-215πFmcos4ω1t+… 练习题 101用查表法写出图1015（a）、（b）所示波形的傅里叶级数。 图1015练习题101图 102判断下列各函数是否为周期函数，并说明原因。若是周期函数，其周期为何？ （1） f（t）=22+2sin6t （2） f（t）=200sin50πt+1202sin（100πt+30°）+502cos200πt （3） f（t）=100+502sin2πt+202sin10πt 103周期函数的波形如图1016（a）、（b）所示，试定性分析各波形的谐波成分。 图1016练习题103图 10.3周期性非正弦函数的频谱图 一、 周期性非正弦函数的频谱和频谱图 由傅里叶级数可知，周期性非正弦函数的k次谐波的振幅Akm和初相位φk均是（角）频率ω的函数，于是有 Akm=Akm（ω） φk=φk（ω） 将Akm（ω）和φk（ω）分别称为振幅频谱和相位频谱，两者统称为频谱。频谱分析在工程应用中有着十分重要的意义。在实际中，通常用所谓的“频谱图”来表示频谱分析的结果。作频谱图是指将振幅频谱和相位频谱用二维坐标系中的图形予以表示。由频谱图可直观地看出一个周期函数所含的谐波成分以及各次谐波振幅的相对大小以及初相位随（角）频率变化的规律。 1. 振幅频谱图 振幅频谱图的横坐标是角频率ω，纵坐标是振幅。图中垂直于横轴、出现于基波角频率整数倍点上的一些长短不一的直线段表示各次谐波振幅的大小。 2. 相位频谱图 相位频谱图的横坐标是角频率ω，纵坐标是初相位。图中垂直于横轴、出现于基波角频率整数倍点上的一些长短不一的直线段表示各次谐波初相位的大小及符号。 二、 作频谱图的方法 可采用两种方法做出给定的周期函数的频谱图。 1. 直接根据傅里叶级数作频谱图 这种方法是直接根据周期函数的傅里叶展开式f（t）=A02+∑∞k=1Akmsin（kω1t+φk）中各次谐波的振幅Akm和初相位φk做出频谱图。 例104试做出图1017所示周期函数的频谱图。 图1017例104图 解可以看出，题给波形是一偶函数，但要注意并不是偶谐波函数，这里不需计算的系数是bkm。波形的表达式为 f（t）=FmsinπTt（0≤t≤T） 则 a02=1T∫T0FmsinπTtdt=FmπcosπTtT0=2Fmπ ak=2T∫T0Fmsinπttcoskω1tdt 要注意，题给波形的角频率ω=πT，而傅里叶级数基波的角频率ω1=2πT,故ω1=2ω，于是 akm=2ωFmπ∫πω0sinωtcos2kωtdt=2ωFmπ∫πω0sin（2k+1）ωt-sin（2k-1）ωt2dt =ωFmπcos（2k+1）ωt（2k+1）ω+cos（2k-1）ωt（2k-1）ωπω0=Fmπ22k+1-22k-1=-4Fmπ（4k2-1） 则所求的傅里叶级数为 f（t）=a02+∑∞k=1akmcoskω1t =2Fmπ1-23cosω1t-215cos2ω1t-…-24k2-1coskω1t-… =2Fmπ1-23sin（ω1t+90°）-215sin（2ω1t+90°）-…-24k2-1sin（kω1t+90°）… =2Fmπ1+23sin（ω1t-90°）+215sin（2ω1t-90°）+…+24k2-1sin（kω1t-90°）-… 据此，可做出振幅频谱图和相位频谱图如图1018所示。 图1018例104周期函数的频谱图 2. 根据傅里叶级数的指数形式做频谱图 傅里叶级数除了式（101）和式（102）表示的两种形式外，还可表示为指数形式。频谱图可根据傅里叶级数的指数形式做出。 （1） 傅里叶级数的指数形式 根据数学中的欧拉公式，可将傅里叶级数表示为指数形式。欧拉公式为 coskω1t=12（ejkω1t+e-jkω1t） sinkω1t=-12j（ejkω1t-e-jkω1t） 于是有 f（t）=a02+∑∞k=1［akmcoskω1t+bkmsinkω1t］ =a02+∑∞k=112akm（ejkω1t+e-jkω1t）-12bkmj（ejkω1t-e-jkω1t） =a02+∑∞k=112（akm-jbkm）ejkω1t+12（akm+jbkm）e-jkω1t =a02+∑∞k=112Akmejkω1t+12kme-jkω1t（1010） 式中，复数Akm=akm-jbkm=|Akm|／ψk，是对应于k次谐波的复振幅，其辐角ψk=arctan-bkmakm ，与式（103）比较，可知k次谐波的初相位为 φk=ψk+π2（1011） 为Akm的共轭复数。式（1010）便是傅里叶级数的指数形式。 k次谐波的复振幅Akm可根据周期函数f（t）求出。事实上 Akm=akm-jbkm=2T∫T0f（t）coskω1tdt-j2T∫T0f（t）sinkω1tdt =2T∫T0f（t）（coskω1t-jsinkω1t）dt=2T∫T0f（t）e-jkω1tdt（1012） 同样有 km=akm+jbkm=2T∫T0f（t）ejkω1tdt（1013） 在式（1013）中，若用-k代替k，便有 -km=2T∫T0f（t）e-jkω1tdt=Akm 则傅里叶级数的指数形式可写为 f（t）=a02+∑∞k=112Akmejkω1t+∑-∞k=-112Akmejkω1t=12∑∞k=-∞Akmejkω1t（1014） 在傅里叶级数指数形式的一般表达式（1014）中出现了-kω1，但这并不意味存在着“负频率”的谐波。事实上，由上述推导过程可知，一个谐波是由两个指数函数项合成的。 （2） 根据复振幅Akm做频谱图 根据复振幅做频谱图的步骤是： ① 由式（1012）求出复振幅Akm=|Akm|／ψk； ② 将不同的k值（k=0,1,2,…）代入Akm的表达式，求出各次谐波的振幅|Akm|及初相位φk=ψk+π2； ③ 根据已求出的|Akm|及φk做出振幅频谱图和相位频谱图。 要注意以下两点： ① 周期函数的直流分量（常数项）并非是A0,而是A0/2； ② k次谐波的初相位φk=ψk+π2。 例105对例104中的周期函数求出其复振幅Akm后再做频谱图。 解根据式（1012），该周期函数的复振幅为 Akm=2T∫T0f（t）e-jω1tdt=2T∫T0FmsinπTte-jkω1tdt 注意到ω=πT及ω1=2πT（见例104中的说明），则 Akm=2πω∫πω0Fmsinωte-j2kωtdt=-2ωFmπe-j2kωtωcosωt+j2kωsinωtω2+（-j2kω）2πω0 =-2Fmπ（4k2-1）（e-j2kπ+1）=-2Fmπ（4k2-1）（cos2kπ+1）=-4Fmπ（4k2-1） 直流分量为 A0m2=-4Fm2π（-1）=2Fmπ 各次谐波的复振幅为 U·1m=4Fm-π（4-1）=-4Fm3π=4Fm3π／±180° U·2m=4Fm-π（16-1）=-4Fm15π=4Fm15π／±180° U·3m=4Fm-π（36-1）=-4Fm35π=4Fm35π／±180° U·4m=4Fm-π（64-1）=-4Fm63π=4Fm63π／±180° 而第k次谐波的初相位依式（1011）为 φk=ψk+π2=-π2 由此做出的振幅频谱图和相位频谱图与例104完全相同。 练习题 104试做出图1019所示方波波形的振幅频谱图和相位频谱图。 图1019练习题104图 10.4周期性非正弦电压、电流的有效值与平均值 在周期性非正弦稳态电路中，周期电压、电流的有效值与平均值是十分重要的概念。 一、 周期电压、电流的有效值 1. 有效值的定义 在第7章中就已指出，与一个周期电压或电流做功本领相当的直流电压或电流的数值是该周期电压或电流的有效值。据此，周期电量的有效值被定义为周期电量的均方根。若设周期电流i的有效值为I，则 I=1T∫T0i2dt（1015） 若周期电压u的有效值为U,则 U=1T∫T0u2dt（1016） 2. 非正弦电量有效值的计算公式 下面以周期电流i为例，导出计算周期电压、电流有效值的公式。将i展开为傅里叶级数，得 i=I0+∑∞k=1Ikmsin（kω1t+φk） 则其有效值为 I=1T∫T0i2dt=1T∫T0I0+∑∞k=1Ikmsin（kω1t+φk）2dt（1017） 将上式中的被积函数展开，得 I0+∑∞k=1Ikmsin（kω1t+φk）2 =I20+［2I0I1msin（ω1t+φ1）+2I0I2msin（2ω1t+φ2）+…］ +［2I1msin（ω1t+φ1）I2msin（2ω1t+φ2） +2I1msin（ω1t+φ1）I3msin（3ω1t+φ2）+…］+… +［I21msin2（ω1t+φ1）+I22msin2（ω2t+φ2）+…］ 可以看出，被积函数展开式中的各项可分为四种类型（等式右边每一方括号内的项为一种类型）： （1） 直流分量的平方I20； （2） 直流分量与k次谐波乘积的2倍2I0Ikmsin（kω1t+φk）； （3） 两个不同频率的谐波乘积的2倍2Iqmsin（qω1t+φq）Irmsin（rω1t+φr），q≠r； （4） k次谐波的平方I2kmsin2（kω1t+φk）。 根据三角函数系的正交性质 ∫T2-T2sinmω1tsinnω1tdt= 0（m≠n） T2（m=n） ∫T2-T2cosmω1tcosnω1tdt= 0（m≠n） T2（m=n） 上述被积函数展开式中第三种类型的各项在一个周期内的积分均为零。又根据正弦函数在一个周期内的平均值为零，上述展开式中第二种类型的各项在一周期内的积分亦为零。于是式（1017）为 I=1T∫T0［I20+I21msin2（ω1t+φ1）+…］dt =I20+I1m22+I2m22+… =I20+I21+I22+…=∑∞k=0I2k（1018） 式（1018）便是电流i有效值的计算公式，式中的Ikm和Ik分别为k次谐波的最大值和有效值，且Ik=Ikm2。同样，可得到周期电压u有效值的计算公式为 U=U20+U1m22+U2m22+… =U20+U21+U22+U23+…=∑∞k=0U2k（1019） 3. 关于有效值计算公式的说明 （1） 式（1018）和式（1019）表明，周期电量的有效值等于各次谐波有效值平方之和的开方，而不等于各次谐波的有效值之和； （2） 周期电量的有效值只与各次谐波的有效值有关，而与各次谐波初相无关。 例106 已知一周期电压为u=80-50sin（t+60°）+42sin（2t+30°）+30cos（2t+15°）+20cos3tV，求该电压的有效值。 解在非正弦电路的分析中，一定要注意看清周期电量中含有哪些谐波。题给定电压u的表达式尽管由五项组成，实际上u只含有四种谐波，其中二次谐波由两个分量组成，应将这两个分量合二为一。可求出二次谐波的振幅相量为 U·2m=42／30°+30／15°+90°=57.59／60.2°V 由于有效值与各次谐波的符号及初相无关，因此无须将三次谐波中的余弦函数化为正弦函数，也无须理会基波前的负号。因此有效值为 U=U20+U1m22+U2m22+U3m22 =802+5022 +57.5922+2022 =97.51V 二、 周期电压、电流的平均值和均绝值 周期电压、电流的平均值包括一般意义上的平均值和绝对平均值。 一般意义上的平均值通常就称为平均值，其定义式为 Fav=1T∫T0f（t）dt（1020） 显然，周期函数的平均值就是其恒定分量（直流分量）。若周期函数在一个周期内的前半周和后半周的波形相同、符号相反，则其平均值为零； 若周期函数的波形在一个周期内不改变符号，其平均值不可能为零。 周期函数的绝对平均值简称为均绝值，它是指周期函数的绝对值在一个周期内的平均值，其定义式为 Faa=1T∫T0|f（t）|dt（1021） 显而易见，无论周期函数的波形怎样，只要其在一周期内不恒等于零，它的均绝值总不为零。 例107试求图1020（a）所示电压波形的平均值Uav和均绝值Uaa，设u的最大值为Um。 图1020例107图 解可以看出，该电压波形在一个周期内前半周和后半周的波形相同，符号相反，因此其平均值为零，即 Uav=1T∫T0udt=0 电压绝对值|u|的波形如图1020（b）所示，可求得均绝值为 Uaa=1T∫T0|u|dt=2T∫T20|u|dt=2T ∫T404TUmtdt+∫T2T4T2-t4TUmdt =8UmT2t22T40-12T2-t2T2T4=8UmT2×T216=Um2 例108用整流式磁电系电压表测得全波整流电压的平均值为180V，求整流前正弦电压的有效值。 解整流式磁电系仪表指针的偏转角与被测量的均绝值成正比，而全波整流波形的平均值就是其均绝值。由均绝值的定义式，对正弦电压u（t）有 Uaa=1T∫T0|U（t）|dt=2T∫T202Usinωtdt =22πU=0.9U 上式表明，正弦电压的均绝值是其有效值的0.9倍，于是可得正弦电压的有效值为 U=Uaa/0.9=1.11Uaa=1.11×180=200V 在实际中，也可将整流式磁电系仪表的均绝值读数扩大1.11倍后进行刻度，从而其读数便是波形的有效值。 练习题 105某周期性非正弦电流的表达式为 i（t）=［30+602sin（20t+30°）+452sin20t+202sin30t+182cos30t］A 试求该电流的有效值。 106（1） 若全波整流电流的平均值为5A，求整流前正弦电流的最大值。 （2） 若正弦电压的振幅为311V，求半波整流电压的平均值。 10.5周期性非正弦稳态电路的功率 一、 周期性非正弦稳态电路的瞬时功率 图1021非正弦稳态二端网络 图1021所示为一非正弦稳态二端网络N，设端口电压和端口电流分别为 u=U0+∑∞k=1Ukmsin（kω1t+φku） i=I0+∑∞k=1Ikmsin（kω1t+φki） 则网络N吸收的瞬时功率为 p=ui=U0+∑∞k=1Ukmsin（kω1t+φku） ×I0+∑∞k=1Ikmsin（kω1t+φki） =U0I0+U0∑∞k=1Ikmsin（kω1t+φki） +I0∑∞k=1Ukmsin（kω1t+φku） +∑∞k=1Ukmsin（kω1t+φku） ×∑∞k=1Ikmsin（kω1t+φki）（1022） 由此可见，瞬时功率由四种类型的电压、电流的乘积项构成，这四种乘积项为： （1） 直流电压、电流的乘积U0I0； （2） 直流电压和各次谐波电流的乘积U0Ikmsin（kω1t+φki），k=1,2,3,…； （3） 直流电流和各次谐波电压的乘积I0Ukmsin（kω1t+φku），k=1,2,3，…； （4） 基波及以上各次谐波电压、电流的乘积Uqmsin（qω1t+φqu）×Ipmsin（pω1t+φpi），p、q=1,2,3,…，这一类型又包含了两种情况，即同频率的各次谐波电压、电流的乘积项和不同频率的各次谐波电压、电流的乘积项。 二、 周期性非正弦稳态电路的有功功率（平均功率） 1. 有功功率的计算公式 图1021所示网络吸收的有功功率（平均功率）为 P=1T∫T0pdt（1023） 将式（1022）表示的p代入上式便可导出有功功率的计算式。 式（1022）中的三种乘积项在一个周期内的积分为零，即 ∫T0U0Ikmsin（kω1t+φki）dt=0 ∫T0I0Ukmsin（kω1t+φku）dt=0 ∫T0Ipmsin（pω1t+φpi）×Uqmsin（qω1t+φqu）dt=0（p≠q） （1024） 这样，非正弦稳态网络的平均功率为 P=1T∫T0pdt =1T∫T0U0I0+∑∞k=1Ukmsin（kω1t+φku）×Ikmsin（kω1t+φki）dt =1T∫T0U0I0dt+1T∫T0∑∞k=1UkmIkmsin（kω1t+φku）sin（kω1t+φki）dt =U0I0+∑∞k=1UkIkcos（φku-φki）=P0+∑∞k=1Pk=∑∞k=0Pk（1025） 2. 关于计算非正弦周期性稳态电路有功功率的说明 （1） 式（1025）表明，周期性非正弦电路中的有功功率等于各次谐波的有功功率之和； （2） 由式（1024）可得出一个重要结论： 在周期性非正弦电路中，不同谐波的电压、电流不产生有功功率，换句话说，只有同频率的电压、电流才产生有功功率； （3） 要特别注意，式（1025）对应于电压u和电流i为关联参考方向，若是非关联参考方向，则电路功率P的计算式前应冠一负号，即P=-∑∞k=0Pk； （4） 由于k次谐波电压、电流的相位差可能大于90°或小于-90°，则Pk亦可能为负值，因此式（1025）中各功率之和是代数和。 例109已知某非正弦稳态网络的端口电压u及端口电流i为关联参考方向，且u=80+652sin（ω1t+80°）-402sin（3ω1t-60°）+202sin（5ω1t+75°）V，i=12+82cos（ω1t-150°）+42sin（3ω1t+25°）A,求该网络的有功功率。 解i中的基波是用余弦函数表示的，为便于计算电压、电流的相位差，应将余弦函数化为正弦函数，则 i=12+82sin（ω1t-60°）+42sin（3ω1t+25°）A 由于i中不含有五次谐波，故u中的五次谐波电压不产生有功功率。于是