第1章函数 函数是微积分的重要研究对象。了解函数的概念、性质及运算对于学好微积分具有重要作用。 本章主要讨论 1. 函数是如何定义的? 2. 函数有哪些特性? 3. 何谓复合函数? 4. 何谓反函数? 5. 基本初等函数包括哪几类函数? 6. 初等函数是如何定义的? 1.1函数及图像 微积分中主要研究变化的量,即变量,而这些变量之间的相互关系在数学上是用函数来表达的。 1.1.1函数的概念 在现实世界的许多实际问题中,一个量的变化会依赖于其他量的变化,比如,室内一天24小时的温度是随着时间而变化的; 圆的面积是随着半径的变化而变化的。现实世界中广泛存在于变量(variable)之间的这种相互依赖关系,是函数(function)概念产生的客观背景。 定义1.1(函数)给定两个非空集合(set)D和E,如果存在一个法则(rule)f,使得对于D中的每一个元素(element)x,在E中都有唯一的元素y与它对应,则称f为定义在D上的函数,记作f:D→E或y=f(x),x∈D。 称x为自变量(independent variable),y为因变量(dependent variable),集合D称为函数f的定义域(domain),x所对应的y的值称为函数值(function value),记作f(x)。函数值的全体{y|y=f(x),x∈D}称为函数f的值域(range),记为R。 图1.1 函数可以看成是由集合D到集合E的映射(mapping),因此,定义1.1可以用图(figure)1.1表示。 注: (1) 如无特别说明,本书用字母R表示全体实数构成的集合。 (2) 对于本书中的函数,定义1.1中的集合D和E一般是R的子集,即DR,ER。 例1已知函数f(x)=2x-1,求f(0)、f(-2)和f(1)。 解f(0)=2×0-1=-1,f(-2)=2×(-2)-1=-5,f(1)=2×1-1=1。 例2求函数f(x)=4-x2的定义域和值域。 解因为负数没有实平方根,所以使该函数有意义的自变量x应满足 4-x2≥0,即-2≤x≤2。 因此该函数的定义域为D={x|-2≤x≤2},或表示为D=[-2,2]。 当x∈D时,f(x)的值由0~2,所以函数的值域为R={y|0≤y≤2},或表示为R=[0,2]。 在中学我们学过,表示函数的主要方法有三种: 解析法(公式法)、列表法和图像法。例如,例1和例2中的函数的表示方法都是解析法。 例3一实验室某天从凌晨1点到中午12点之间(t表示整点时刻)每过1个小时的室内温度T(单位: ℃)记录如下表: t123456789101112 T17.016.516.317.117.818.519.420.121.622.323.724.0 利用列表法表示了温度T与时间t之间的函数关系,此函数的定义域为D={1,2,…,12}。 图1.2 图像法是表示函数的非常直观的方法。设函数f的定义域为D,坐标平面上的点集{(x,f(x))|x∈D}称为函数y=f(x)的图像(graph)。 例如,例1中的函数f(x)=2x-1可以用图像法表示成图1.2。 有些函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达,这样的函数通常称为分段定义的函数(piecewisedefined function),简称分段函数。 例4函数y=sgnx=-1,x<0, 0,x=0, 1,x>0称为符号函数(sign function),它是分段函数。它的定义域为D=(-∞,+∞),值域R={-1,0,1},其图像如图1.3所示。 例5绝对值函数(absolute value function) y=|x|=-x,x<0, x,x≥0 是分段函数,其图像如图1.4所示。 图1.3 图1.4 例6设x为任意实数,小于或等于x的最大整数称为最大取整函数(the greatest integer function)或地板函数(floor function),记为x」。 例如,2.3」=2,2」=2,0.7」=0,-1.6」=-2,3」=1。 最大取整函数y=x」的图像如图1.5(a)所示。 图1.5 设x为任意实数,大于或等于x的最小整数称为最小取整函数(the least integer function)或天花板函数(ceiling function),记为「x。 例如,「2.3=3,「2=2,「0.7=1,「-1.6=-1,「3=2。 最小取整函数y=「x的图像如图1.5(b)所示。 由图1.5不难看出,天花板函数与地板函数的关系为「x=x」+1。这两个函数在计算机程序设计中会经常用到。 1.1.2具有某些特性的函数 为了更好地研究函数和利用函数,这里介绍几类具有某些特性的函数——奇函数、偶函数、单调函数和周期函数。 1. 奇函数和偶函数 定义1.2(奇、偶函数)设函数f(x)的定义域D关于原点对称。 (1) 若对任意x∈D,均有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数(even function); (2) 若对任意x∈D,均有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数(odd function)。 例如,函数y=x2是偶函数,函数y=x3是奇函数,它们的图像如图1.6所示。 图1.6 根据定义1.2,对任意x∈D,若函数f(x)为偶函数,则点(x,f(x))与点(-x,f(x))均在函数y=f(x)的图像上,即偶函数f(x)的图像关于y轴对称。由类似分析可得,奇函数f(x)的图像关于坐标原点对称。 对于奇函数或偶函数y=f(x),在作图时可以只作出x≥0(或x≤0)部分的图形,另外一部分图形可根据函数图像的对称特点画出。 例7判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=x2+1; (2) f(x)=sinx+x; (3) f(x)=x2+x。 解容易看出,这三个函数的定义域均为D=(-∞,+∞),关于原点对称。 (1) 因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),所以该函数是偶函数(见图1.7(a))。 (2) 因为f(-x)=sin(-x)+(-x)=-sinx-x=-(sinx+x)=-f(x),所以该函数是奇函数(见图1.7(b))。 (3) 因为f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x,即f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以该函数既非奇函数,也非偶函数(见图1.7(c))。 图1.7 2. 单调函数 观察图1.8中函数y=f(x)的图像,曲线在定义域的不同区间有升有降,在区间(-∞,a]上曲线上升,在区间[a,b]上曲线下降,在区间[b,c]上曲线再次上升,在区间[c,d]上曲线再次下降。曲线上升时,函数值y随着自变量x的增大而增大; 曲线下降时,函数值y随着自变量x的增大而减小。 定义1.3(单调函数)设函数f(x)在区间D上有定义,对任意的x1,x2∈D,不妨设x1f(x2),则称f(x)为区间D上的减函数(decreasing function)。 区间D上的增函数或减函数称为区间D上的单调函数(monotonic function),或者称函数在区间D上具有单调性(monotonicity),D称为单调区间(monotonic interval)。 图1.8 若f(x)为区间D上的增函数,也称f(x)在区间D上是增加的、递增的或单调递增的。若f(x)为区间D上的减函数,也称f(x)在区间D上是减少的、递减的或单调递减的。若f(x)为区间D上的单调函数,也称f(x)在区间D上是单调的。 例如,y=x2在区间(-∞,0]上是减少的,在[0,+∞)上是增加的,因此y=x2在区间(-∞,0]或[0,+∞)上是单调的,但在区间(-∞,+∞)上不是单调的。 3. 有界函数 定义1.4(上界、下界及有界函数)设函数f(x)在区间D上有定义。 (1) 若存在常数U,使得对每一个x∈D,均有f(x)≤U,则称f(x)在D上有上界(bounded from above),称U为f(x)在D上的一个上界(upper bound); (2) 若存在常数L,使得对每一个x∈D,均有f(x)≥L,则称f(x)在D上有下界(bounded from below),称L为f(x)在D上的一个下界(lower bound); (3) 若函数f(x)在D上既有上界又有下界,则称f(x)在D上有界(bounded)或者称f(x)为D上的有界函数(bounded function)。 例如,f(x)=1-x2在(-∞,+∞)上有上界,数1是它的一个上界; f(x)=ex在(-∞,+∞)上有下界,数0是它的一个下界; f(x)=sinx是(-∞,+∞)上的有界函数,数1是它的一个上界,数-1是它的一个下界; f(x)=x3在(-∞,+∞)上既无上界也无下界。 根据定义1.4,可以得到函数有界的充要条件: 函数f(x)在区间D上有界的充要条件是存在正数M,使得对于任意x∈D,均有|f(x)|≤M。M就称为函数f(x)在D上的一个界。 例如,对于f(x)=sinx,因为|sinx|≤1,故可以取M=1。 4. 周期函数 定义1.5(周期函数)设函数f(x)的定义域为D,若存在一个正数T,使得对每个x∈D,均有x±T∈D,且f(x±T)=f(x),则称f(x)是周期函数(periodic function),T称为f(x)的周期(period)。 若T为f(x)的周期,则对正整数k,kT也是f(x)的周期。如果周期函数f(x)有一个最小的正周期,则通常所说的f(x)的周期就是指最小正周期。 例如,函数f(x)=sinx的周期为2π,f(x)=tanx的周期为π。 并非每个周期函数都存在最小正周期。对于常数函数f(x)=C,任何正实数都是它的周期,但不存在最小正周期。 对于周期为T的周期函数,在每个长度为T的区间上,函数图形的形状是一样的。 1.1.3函数的四则运算 由于函数值为实数,因此类似数与数之间的四则运算,函数与函数之间也可以进行加、减、乘、除四则运算。 定义1.6(函数的和差积商运算)设函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2,记D=D1∩D2,且D≠,则可以在D上定义这两个函数的四则运算如下: (1) 和(sum): (f+g)(x)=f(x)+g(x),x∈D; (2) 差(difference): (f-g)(x)=f(x)-g(x),x∈D; (3) 积(product): (f·g)(x)=f(x)·g(x),x∈D; (4) 商(quotient): (f/g)(x)=f(x)/g(x),x∈D\{x|g(x)=0,x∈D}。 注: D\{x|g(x)=0,x∈D}的意思是将D中使g(x)=0的点去掉,即 D\{x|g(x)=0,x∈D}={x|g(x)≠0,x∈D}。 通过对已知函数进行四则运算,我们可以得到新的函数。 例8已知函数f(x)=x,g(x)=3-x,它们的定义域分别为D1=[0,+∞)和D2=(-∞,3],且D=D1∩D2=[0,3],则 (f+g)(x)=x+3-x,x∈D=[0,3]; (f-g)(x)=x-3-x,x∈D=[0,3]; (f·g)(x)=x·3-x=x(3-x),x∈D=[0,3]; (f/g)(x)=x3-x=x3-x,x∈D\{x|x=3}=[0,3)。 1.1.4复合函数 一个函数的值域为一个实数集,在此实数集上还可以再定义函数,这样的过程称为函数的复合(composite)。对两个已知函数进行复合是得到新函数的又一个方法。例如,设y=f(u)=lnu,u=g(x)=x2+1,变量y是变量u的函数,而变量u又是变量x的函数,最终变量y是变量x的函数。写出该过程,得 y=f(u)=f(g(x))=f(x2+1)=ln(x2+1)。 上述过程就称为函数f和g的复合。 定义1.7(复合函数)已知函数y=f(u)和u=g(x),称y=f(g(x))为函数f和g的复合函数(composite function),记为fg,即 (fg)(x)=f(g(x))。 称f为外层函数,g为内层函数,u为中间变量。 y=f(u)和u=g(x)能构成复合函数y=f(g(x))的条件是u=g(x)的值域包含在y=f(u)的定义域内。函数f和g的复合过程如图1.9所示。 图1.9 例9已知f(x)=x,g(x)=x-2,求: (1) (fg)(x); (2) (gf)(x); (3) (ff)(x); (4) (gg)(x)。 解(1) (fg)(x)=f(g(x))=g(x)=x-2,x∈[2,+∞)。 (2) (gf)(x)=g(f(x))=f(x)-2=x-2,x∈[0,+∞)。 (3) (ff)(x)=f(f(x))=f(x)=x=x1/4,x∈[0,+∞)。 (4) (gg)(x)=g(g(x))=g(x)-2=(x-2)-2=x-4,x∈(-∞,+∞)。 两个以上函数也可以依序复合而得到复合函数。例如,设y=f(u)=sinu,u=g(v)=v,v=h(x)=1-x2,则(fgh)(x)=f(g(h(x)))=sin1-x2,x∈[-1,1]。 例10一小商品厂日生产q件某产品的总成本为C(q)=q2+q+900(单位: 元),设在某一天开工后的t小时内该产品的生产数量为q(t)=25t件。 (1) 将工厂生产该产品的总成本表示成t的函数; (2) 试计算在第3个小时结束时,工厂支付的成本; (3) 试确定开工以后多长时间需支付11000元的成本。 解(1) 这个问题就是求函数C(q)=q2+q+900与函数q(t)=25t的复合函数,即C(q(t))=(25t)2+25t+900=625t2+25t+900(单位: 元)。 (2) 根据题意,在函数C(q(t))=625t2+25t+900中,令t=3,从而得到C(q(3))=625×32+25×3+900=6600,即支付的成本为6600元。 (3) 由题意可知,625t2+25t+900=11000,即25t2+t-404=0可得t1=4,t2=-10125(舍去),即开工以后4个小时需支付11000元的成本。 注: 前面是将几个简单的函数复合成比较复杂的函数,但在微积分中,有时需要将复杂函数分解(decompose)为简单函数,即确定一个复杂函数是由哪些简单函数复合而成的,这个过程在复合函数求导及积分运算中具有重要的应用。 例11已知函数W(x)=sin3x,求函数f,g,h,使得W=fgh。 解由W(x)=sin3x可知,最内层的函数是x,之后对x进行正弦运算,最后是3次方运算。所以,令 h(x)=x,g(x)=sinx,f(x)=x3, 则有 (fgh)(x)=f(g(h(x)))=sin3x=W(x)。 1.1.5反函数 在中学我们学过指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数,为了比较详细地说明反函数的内容,下面先给出一一对应函数的概念。 对于指数函数y=f(x)=2x,当x=3时,y=f(3)=23=8,当x=5时,y=f(5)=25=32,只要x1≠x2,就有f(x1)≠f(x2),像这样的函数称为一一对应函数。 定义1.8(一一对应函数)设函数f(x)的定义域为D,若对于任意的x1,x2∈D,只要x1≠x2,就有f(x1)≠f(x2),则称f(x)为一一对应函数(onetoone function)。 例如,y=x3及y=3x-1在定义域(-∞,+∞)内都是一一对应函数,而y=sinx和y=x2在定义域(-∞,+∞)内不是一一对应函数。 一个函数是一一对应的充要条件是平行于x轴的任何直线与该函数图像的交点至多有1个。 对于函数y=f(x),我们研究的是变量y随变量x的变化情况,但有时候需要反过来,即研究变量x随变量y的变化情况。例如,对于指数函数y=f(x)=2x,有时候需要已知y求x,当y=8时,可求得x=3,当y=32时,可求得x=5,对任意的y>0,总可以求得唯一的x与之对应,也就是变量x可以看成是变量y的函数,将其称为y=f(x)=2x的反函数(inverse function),记为x=f-1(y),符号f-1读作“f逆”(f inverse),我们知道,指数函数y=f(x)=2x的反函数为对数函数x=log2y。 定义1.9(反函数)设函数y=f(x)为一一对应函数,其定义域为D,值域为R。若对任意的y∈R,均有唯一的x∈D,使得f(x)=y,则x为y的函数,将此函数记作x=f-1(y),并将其称为函数y=f(x)的反函数。x=f-1(y)的定义域为R,值域为D。 注: (1) x=f-1(y)与y=f(x)互为反函数,且 f-1(f(x))≡x,x∈D,f(f-1(y))≡y,y∈R。 (2) 在反函数x=f-1(y)中,y是自变量,x为因变量。但我们习惯用符号x作为自变量,符号y作为因变量,所以,y=f(x)的反函数习惯上写成y=f-1(x)(x∈R)。函数y=f-1(x)与x=f-1(y)虽然变量使用的记号不同,但仍然表示同一个函数关系。并注意f-1(x)≠[f(x)]-1。 (3) 相对于反函数y=f-1(x)来说,原来的函数y=f(x)称为直接函数。点(a,f(a))在y=f(x)上,相应地,点(f(a),a)在y=f-1(x)上,因此,反函数y=f-1(x)的图像与直接函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,如图1.10所示。 图1.10 (4) 只有一一对应函数才具有反函数,因为单调函数是一一对应的,所以单调函数一定具有反函数。 一般地,求函数y=f(x)的反函数的步骤如下: (1) 解方程y=f(x),将x表示成y的函数,得x=f-1(y); (2) 交换x=f-1(y)中的符号x和y,x作为自变量,y作为因变量,得反函数y=f-1(x)。 例12求函数y=f(x)=x3+1的反函数。 解首先将x表示成y的函数: 由y=x3+1,得x3=y-1,即x=3y-1; 再交换x和y: 交换x=3y-1中的x和y,得y=3x-1。 因此,f(x)=x3+1的反函数为f-1(x)=3x-1。 思考题 1. 设函数f(x)的定义域为D,判断下列结论是否正确,并说明理由。 (1) 对任意a,b∈D,有f(a+b)=f(a)+f(b); (2) 若存在a,b∈D,使得f(a)=f(b),则一定有a=b; (3) 若f(x)是一一对应函数,则f-1(x)=1f(x)。 2. 有界函数的上界及下界是不是唯一的?举例说明。 3. y=x2在定义域(-∞,+∞)上是否具有反函数?为什么? 4. 设函数y=f(x)为一一对应函数,若已知y=f(x)的图像,如何画出其反函数y=f-1(x)的图像? 习题1.1 A组 一、 选择题 1. 下列各组函数中,相等的一组是()。 A. f(x)=|x|与g(x)=x2B. f(x)=x与g(x)=x2 C. f(x)=x2-1x+1与g(x)=x-1D. f(x)=2lnx与g(x)=lnx2 2. 设f(x)与g(x)为定义域相同的奇函数,且在定义域上g(x)≠0,则下列函数中为奇函数的是()。 A. f(x)+g(x)B. f(x)·g(x) C. f(x)/g(x)D. f(x)·g(x)+x 3. 下列函数中,周期为2π的是()。 A. y=tanxB. y=sin2xC. y=sin2xD. y=sinx+cosx 4. 已知函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(1-lnx)的定义域为()。 A. [0,1]B. (0,1)C. [1,e]D. (1,e) 5. 若f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则下列函数(设它们都有意义)为奇函数的是()。 A. f(x)·g(x)B. f(g(x))C. g(f(x))D. g(g(x)) 6. 下列函数中,在区间(-∞,+∞)上单调增加的是()。 A. y=cosx B. y=exC. y=x2D. y=1-2x 二、 填空题 1. 函数f(x)=-x2+2x+3与x轴和y轴的交点坐标分别为。 2. 函数f(x)=1x与函数g(x)=x2的交点坐标为。 3. 函数f(x)=-x,x<0, x,x≥0,g(x)=x2,x<0, 1,0≤x<1 -x2,x≥1,,则f(x)+g(x)=。 4. 若定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增加的,则f(x)在(-∞,0]上的单调性为。 5. 已知f-1(x)=x,-11,则f(x)的值域为。 6. 已知f(x)=x2-2,则f(x+3)=。 三、 解答题 1. 设f(x)=3x2+5x-2,求f(1),f(0),f(-2)。 2. 设y=-2x+4,x≤1, x2+2,x>1,求f(-3),f(1),f(3)。 3. 对函数f(x),表达式f(x+h)-f(x)h称为f(x)的差商(difference quotient),其中h为不等于零的实数。计算下列函数的差商: (1) f(x)=3x-5; (2) f(x)=7x2; (3) f(x)=1x; (4) f(x)=lnx。 4. 判断下列函数是奇函数还是偶函数: (1) f(x)=x4-3x2-1; (2) f(x)=x|x|; (3) g(x)=sinx+cosx; (4) f(x)=lnx+x2+1。 5. 在同一坐标系(或不同坐标系)中画出下列各对函数的图像,并观察每对图像之间的关系: (1) f(x)=x+1,g(x)=x2+xx; (2) f(x)=1x,g(x)=1x-1; (3) f(x)=x2-1,g(x)=|x2-1|; (4) f(t)=t3,g(t)=3t;