第1讲
数列的极限：概念、证明、性质与计算关于数列的基本内容以及等差、等比数列的性质，请参看人教B版教材，本文不再赘述。
关于数列的概念，有如下几点需要注意。
（1） 数列是一列有序的数，这个“数”可以是实数，可以是复数。
（2） 一个数列各项之间有既定的顺序，改变了这个顺序，就成了另一个数列。
（3） 数列不一定要有规律，可以是很随机的一列数。
（4） 数列的表示有两种：数列通项公式，以及带初始项的递推公式。缺失了初始项的递推公式代表着这组数列并不是唯一的。
为什么要研究数列？
数列是以一种自然的方式对现象的记录——这个“自然的方式”是指“按照观测的次序”，这个“现象”可以由自然机制所决定，也可以由逻辑机制决定，二者很多时候有所交叉。研究数列，其实是在借助数学去研究被记录下来的信息，以求进一步看清现象。
例11 小明喜欢吃苹果，但每天吃几个不一定。将小明从出生开始第n天吃苹果的数量an记录下来，这样就形成了一个数列{an}。很容易从实际情况看出an∈�瘙綃，且数列{an}为有穷数列。（思考：为什么？）这个数列中可能蕴含着哪些信息呢？
显然，小明不可能从出生第一天开始就吃苹果，所以找到最小的使an＞0的下标n，就找到了小明开始吃苹果的第一天在他生命里的位置。另外，小明每天吃的苹果的数量是否随年龄的增长而增长？是否是持续地增长？是否到达一定年龄后每天吃的苹果的数量趋于稳定？小明每天最多吃几个苹果？这些信息都可以从数列{an}中找到。
上述数列{an}中包含了小明每天吃的苹果数量的一切信息。但是有的信息我们必须要等小明这一生结束之后才能得到，比如“小明每天最多吃几个苹果”。这对于关心小明的人来说，无疑是残酷的。
事实上，如果小明每天吃几个苹果是绝对随机的行为，那么我们只能接受这个残酷的现实。但是，如果小明是按照某个规则来吃苹果的，那么我们就不必非要等到他的一生结束之后，才知晓他吃苹果的很多信息。
这个“规则”可以很复杂，和天气、心情、交通情况、当天上了什么课、当天妈妈做的早餐合不合胃口等相关；也可以很简单，比如小明给自己规定从6岁生日那天开始吃苹果，每个连续的3天恰好吃6个苹果。但是无论怎样，只要小明制定的规则是确定的，生成的数列{an}就能依据这个规则找到通项公式，或者是递推公式。
例如，如果小明给自己规定从6岁生日那天（假设是出生后第2190天，2190=6×365）开始吃苹果，每个连续的3天恰好吃6个苹果，那么我们就知道：
an=0, 1≤n≤2189a2190=sa2191=tan=6－an－1－an－2, n≥2192，n∈�瘙綃*
其中,1＜s≤6，0≤t≤6－s，s、t∈�瘙綃（思考：为什么？）为参数。这里的递推关系从a2190开始，s、t为这个递推关系中初始两项的取值。确定了s、t，也就确定了数列{an}。
假如s=2，t=3，那么就可以得知a2192=6－2－3=1，进而可得（思考：为什么？）
an=2, n=2190+3k3, n=2191+3k1, n=2192+3k ,k∈�瘙綃
面向建模的数学第1讲数列的极限：概念、证明、性质与计算这样一来，不用等到小明的一生结束，就可以推算出他今后任何一天吃的苹果数量，也可以得知小明一生每天最多吃3个苹果。
一个有趣的现象是，上面的这个{an}由一对有序的整数对(s,t)所决定，这样的有序整数对所对应的坐标都分布在平面直角坐标系xOy中区域
1≤x≤60≤y≤6－x
内的整点（即横、纵坐标均为整数的点）上。图11画出了这些整点。
图11区域1≤x≤60≤y≤6－x中的
整点图
按照小明制定的规则，他在“每天吃的苹果的数量”这件事上的行为，完全取决于整数对(s,t)处于哪一个整点上。这21个点（思考：如何计算的？）所构成的集合，构成了这件事的参数空间。
例12 设数列{an}满足递推关系an=－13a2n－1+1,n≥2,n∈�瘙綃，a1=α待定。我们来分析这个数列的趋势，以及首项的值α对其的影响。
根据递推关系，容易列出如下方程组
an+1=－a2n3+1an=－a2n－13+1,n≥2,n∈�瘙綃
两式相减可得
an+1－an=－a2n－a2n－13
an+1－an=－an+an－13（an－an－1）（1）
如果0＜α＜1，则可知an∈（0,1），n∈�瘙綃*（思考：为什么？），于是
0＜an+an－13≤23（2）
结合（1）式和（2）式，可得（思考：为什么？）
an+1－an＜23an－an－1（3）
这个结果意味着随着n的增大，数列的后一项与前一项的差的绝对值会越来越小。这就好像一个人沿直线“跳舞”，每一步可能向前可能向后，但随着时间的推移，每步的跨度越来越小。一个自然的问题是：最后这个人会不会趋近于某一个位置？回到数列{an}，an会不会趋近于某一个值呢？
借助计算机，我们不妨实验几个α的数值，看一下处于（0,1）区间上的不同α取值对应数列{an}的前10项的数值。
从表11中可以看到，虽然初始值α的取值不同，但是只要它处于（0,1）区间内，则an均会逐渐趋近于0.791附近。当然这个结论来自有限的例子，是一种不完全归纳。表11不同的初始值α对应的a1~a10的值（精度保留小数点后3位）αa1a2a3a4a5a6a7a8a9a101/60.1670.9910.6730.8490.7600.8080.7830.7960.7890.7931/30.3330.9630.6910.8410.7640.8050.7840.7950.7890.7921/20.5000.9170.7200.8270.7720.8010.7860.7940.7900.7922/30.6670.8520.7580.8080.7820.7960.7890.7930.7910.7925/60.8330.7690.8030.7850.7950.7900.7920.7910.7920.791那么当α＞1或者α＜0时会不会也有相同结论呢？
事实上，如果我们令a1=α=－4，则a2=－4.333,a3=－5.259,a4=－8.220,a5=－21.522,a6=－153.405,a7=－7843.39,a8=－2.05×107,a9=－1.40×1014,a10=－6.55×1027。
由此可见，数列{an}的趋势受初始值a1=α影响，而且规律较为复杂。那么我们如何去观察这个规律呢？
一个好的办法是通过画图来观察。
如图12所示，在平面直角坐标系上画出递推公式an=－13a2n－1+1所对应的函数y=－13x2+1的函数图像，以及函数y=x的图像。在x轴上取一点(a1,0)，过这个点作x轴的垂线，交y=－13x2+1的函数图像于点P1，则P1的坐标为(a1,a2)。再过P1作y轴的垂线，交y=x的函数图像于点Q1，则Q1的坐标为(a2,a2)。再过Q1点作x轴的垂线交y=－13x2+1的函数图像于点P2，其坐标为(a2,a3)。再过P2作y轴的垂线，交y=x的函数图像于点Q2，则Q2的坐标为（a3,a3）。再过Q2点作x轴的垂线交y=－13x2+1的函数图像于点P3，其坐标为(a3,a4)。如此往复，即可得到点列Pn，其中Pn的横坐标即为an。（思考：为什么？）
图12利用图形分析递推公式an=－13a2n－1+1,n≥2,n∈�瘙綃的变化趋势
(a) a1∈(x1,0)时；(b) a1∈(0,x2)时；(c) a1∈（x2,3）时；(d) a1∈（3,－x1）时；(e) a1＜x1时；(f) a1＞－x1时
这个过程里涉及y=－13x2+1和y=x两个函数的图像，这两个函数有两个交点，其横坐标分别为x1=－3－212,x2=－3+212。（思考：为什么？）
从图12中观察，对于a1∈(x1,0)、a1∈(0,x2)、a1∈（x2,3）和a1∈（3,－x1）四种情况，Pn均逐渐趋近于y=x的图像与y=－13x2+1的图像在第一象限的交点。容易计算出此交点的坐标为－3－212,－3+212，它的横坐标的近似值为0.7912。这是否和表11中an的数值趋于0.791的现象有某种必然的联系呢？而对于a1＜x1和a1＞－x1两种情况，an并没有收敛到某一个值，而是发散到无穷远。
通过图12的图形分析，猜想出以下结论。（思考：这个猜想是如何形成的？）
猜想11： 对于例12中的数列{an}及x1=－3－212,x2=－3+212，当a1∈(x1,－x1)时，{an}“收敛”到x2；当a1＞－x1或a1＜x1时，{an}“发散”；当a1=x1或a1=－x1时，{an}“收敛”到x1。
这个“猜想”其实并不完善，因为并没有定义什么是“收敛”，什么是“发散”，也就无从证明甚至判断它的对错。
为了解决这个问题，就需要对“数列的极限”给出数学的形式化定义。历史上，关于极限的定义，很多数学家都有过描述，但直到德国数学家魏尔斯特拉斯在柯西、阿贝尔等人的工作基础上提出εN语言后，这个概念才变成了逻辑严密的可以用来论证和辨析的工具。
定义11： 已知数列{an}，若存在某个数值a，使得ε＞0，N＞0，对于n＞N的an，均有an－a＜ε，则称数列{an}以a为极限（或等价地收敛到a），记作limn→+∞an=a；否则，称数列{an}无极限。特别地，如果M＞0，N＞0，对于n＞N的an，均有an＞M，则称数列{an}发散。
这个定义关注的是，对于确定的数值a，以及任意小的“间隔”ε，是否在n充分大之后，均可使得an与a的间距不超过ε。如果该假设成立，那么数列{an}就以a为极限；如果数列{an}不以任何数为极限，那么就称它没有极限。发散的数列从绝对值上看是无界的，这也是“发散”一词的由来。
借由定义11，猜想11得以获得了它严格的数学表述。
猜想11′： 对于例12中的数列{an}及x1,x2，
（1） 当a1∈(x1,－x1)时，limn→+∞an=x2；
（2） 当a1＞－x1或a1＜x1时，{an}发散；
（3） 当a1=x1或a1=－x1时，limn→+∞an=x1。
例13 利用定义11证明猜想11′。
回忆x1=－3+212,x2=－3+212分别为函数y=x和y=－13x2+1图像左右两个交点的横坐标，则x1,x2为关于x的方程x2+3x－3=0的两个实数根。（思考：为什么？） 
首先证明猜想11′中的结论（1）。通过观察图12中的（b）、（c）两种情况，可知a1∈［0,3］的情形较为容易。事实上，如果a1∈［0,3］，则an∈［0,1］,n≥2,n∈�瘙綃。（思考：为什么？）
(1) 情形1： a1∈［0,3］时。通过方程组
an=－13a2n－1+1x2=－13x22+1,n≥2,n∈�瘙綃
上下两式相减，可得
an－x2=－an－1+x23（an－1－x2）
an－x2=an－1+x23an－1－x2
当n＞2时，an－1∈［0,1］，从而an－1+x2∈［x2,x2+1］（0,2），于是
an－1+x23＜23（*）
从而
an－x2＜23an－1－x2，当n≥3时
进而当n＞3时有
an－x2＜23an－1－x2＜232·an－2－x2＜…＜23n－2·a2－x2
＜23n－2·a2+x2＜23n－2×2
ε＞0，当n＞3且n＞2+log23ε2，即n＞max3,2+log23ε2时，an－x2＜ε。根据定义11，这意味着当a1∈［0,3］时，limn→+∞an=x2。
(2) 情形2： a1∈(x1,0)时。
此时（*）式不再成立，于是无法用上面的证明过程找到ε合适的N。但是通过对图12（a）的观察，不难发现即使a1∈(x1,0)，但经过有限步的递推，当n充分大之后，an仍会落在区间［0,3］中，进而归结到与情形1类似的情形。下面严格证明这一点。
当a1∈(x1,0)时，a2=－13a21+1＞a1。这是因为x1,x2为函数y=x与y=－13x2+1的图像的两个交点的横坐标。由于二次函数y=－13x2+1开口向下，所以当x∈(x1,x2)时，y=－13x2+1的函数值大于y=x的函数值，即－13x2+1＞x。
同理，只要an－1∈(x1,0)，则an＞an－1，这里n≥2,n∈�瘙綃。
于是当a1∈(x1,0)时，{an}的前若干项会逐项递增。但是这并不能说明{an}会在某个时刻递增到区间［0,3］上，需要更细致地分析。
① 若a1∈［－3,0)，可断言a2∈［0,1)。这是因为，一方面
a2=1－13a21≥1－13（3）2=0
另一方面
a2=1－13a21＜1－13(0)2=1
综合这两方面，可知a2∈［0,1)。故当a1∈［－3,0)时，与情形1同理可得
an－x2＜23an－1－x2，当n≥3时
于是当n＞3时依然有
an－x2＜23n－2×2
从而ε＞0，当n＞max3,2+log23ε2时，an－x2＜ε。根据定义11，这意味着当a1∈［－3,0)时，limn→+∞an=x2。
② 对于a1∈（x1,－3），则
a2=1－13a21＜1－13（－3）2=0
a2=1－13a21＞1－13x21=x1
于是a2∈(x1,0)。则观察方程组
an+1=－13a2n+1an=－13a2n－1+1,n≥2,n∈�瘙綃
两式相减，可得
an+1－an=－an+an－13·（an－an－1）,n≥2,n∈�瘙綃
若an－1∈（x1,－3）,an∈（x1,－3），则
an+1－an=－an+an－13·（an－an－1）＞233·（an－an－1）＞an－an－1
这意味着只要an－1,an都处于区间（x1,－3）中，则an+1－an就要大于an－an－1，即an－1,an,an+1递增且间隔越来越大。于是必存在N0∈�瘙綃*，使得aN0∈（－3,0）。（思考：为什么？）
根据①中证明，只要aN0∈（－3,0），则aN0+1∈（0,1），进而
an－x2＜23an－1－x2，当n≥N0+2时
于是当n＞N0+2时，类似于前面的证明，可得
an－x2＜23n－（N0+1）×2
从而ε＞0，当n＞maxN0+2,N0+1+log23ε2时，an－x2＜ε。根据定义11，这意味着当a1∈（x1,－3）时，limn→+∞an=x2也成立。
由①和②可知，当a1∈(x1,0)时，结论成立。
(3) 情形3： a1∈（3,－x1）时。
若a1∈（3,－x1），则
a2=1－13a21＜1－13（3）2=0
a2=1－13a21＞1－13（－x1）2=x1
于是a2∈(x1,0)。
根据情形2证明，ε＞0，当n＞maxN0+2,N0+1+log23ε2+1时，an－x2＜ε。根据定义11，这意味着当a1∈（3,－x1）时，limn→+∞an=x2也成立。
综合情形1、情形2、情形3可知，当a1∈(x1,－x1)时，limn→+∞an=x2成立。
然后证明猜想11′的结论（2），这里同样需要分类讨论。
(4) 情形4： a1＜x1时。
a2=1－13a21＜a1＜x1，同理可得an＜an－1＜x1，n≥2,n∈�瘙綃*。
考察方程组
an+1=－13a2n+1an=－13a2n－1+1,n≥2,n∈�瘙綃
两式相减，可得
an+1－an=－an+an－13·（an－an－1）,n≥2,n∈�瘙綃
进而
an+1－an=an+an－13·an－an－1＞2x13·an－an－1＞2an－an－1,n≥2,n∈�瘙綃
an+1－an＞2an－an－1＞…＞2n－2a2－a1,n≥2,n∈�瘙綃
故
an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+…+（a2－a1）+a1=an－an－1+an－1－an－2+…+a2－a1+a1＞2n－2a2－a1+…+20a2－a1+a1＞2n－2a2－a1+…+20a2－a1=a2－a1·1－2n－11－2=（2n－1－1）·a2－a1
于是，M＞0，令N=log2Ma2－a1+1+1，则当n＞N时，
an＞（2n－1－1）·a2－a1＞M
根据定义11可知，数列{an}发散。
(5) 情形5： a1＞－x1时。
若a1＞－x1，则a2=1－13a21＜1－13（－x1）2=x1，于是a2＜x1。类似于情形4的证明过程可知，M＞0，令N=log2Ma3－a2+1+2，则当n＞N时，
an＞（2n－2－1）·a3－a2＞M
再根据定义11可知，数列{an}也发散。
综合情形4和情形5可知，当a1＞－x1或a1＜x1时，{an}发散。
最后来说明猜想11′中的结论（3）。实际上，无论当a1=x1时还是a1=－x1时，数列{an}从第二项开始均为常数x1，从而limn→+∞an=x1。（思考：为什么？）
至此，猜想11′的结论全数证毕。

注11： 例13论证过程较长，情况较多，读者可能会产生困惑。但这些情况的确定，以及每种情况下{an}的走势和论证技巧，都是通过类似图12的作图方法直观观察之后提炼出来的。这个过程中经历了这样的过程：从数学的符号语言出发，转化为图形语言，又通过对图形的直观想象，提炼出演绎的思路，进而通过符号语言加以论证。
注12： 通过例13的论证体会，在证明数列收敛或是发散时，对于N的寻找只需要保证“充分大”即可，并不是唯一的。读者完全可以将证明中的N替换为更大的数，同样可以符合定义11的要求。这也是εN语言的强大之处——将一切讨论通过N引向充分远的地方。
注13： 例13的论证过程中反复用到了二次函数单调性以及图像性质，并不止一次地使用了在解析几何和数列中常用的“将两个已知方程作差”的技巧。这些基本的知识点和技巧，需要上升为处理问题的经验，以供举一反三地使用。
注14： 图12中所用的“图形法”，只对二阶递推公式（即只关于数列中前后连续两项的递推公式）有效，对于三阶及以上的递推公式，此方法失效。（思考：为什么？）

例14 细致的读者应该已经发现，在研究递推公式an=-13a2n-1+1,n≥2,n∈�瘙綃时，如果将此式中的an均换成x，得到方程x=－13x2+1，它的两个实根正是例13论证中的x1,x2，并且当数列{an}存在极限时，这个极限恰好就是x2。
那么对于一般的递推公式有没有类似的结论呢？实际上有以下定理。
定理11： 设数列{an}和数列bn均存在极限，且limn→+∞an=a，limn→+∞bn=b，则数列an+bn、数列an－bn和数列an·bn均存在极限，且limn→+∞（an±bn）=a±b，limn→+∞（an·bn）=a·b。当bn≠0,n∈�瘙綃*时，数列anbn也存在极限，且limn→+∞anbn=ab。
证明： （1） 若数列{an}和数列bn均存在极限，且limn→+∞an=a，limn→+∞bn=b，则由定义11可知，ε＞0，N1＞0使得当n＞N1时，有an－a＜ε2，同时N2＞0使得当n＞N2时，有bn－b＜ε2。设N=maxN1,N2，则n＞N时，有
（an+bn）－（a+b）=(an－a)+(bn－b)≤an－a+bn－b＜ε2+ε2=ε
（an－bn）－（a－b）=(an－a)－(bn－b)≤an－a+bn－b＜ε2+ε2=ε
进而由定义11可知limn→+∞（an±bn）=a±b。
（2） 若数列{an}和数列bn均存在极限，且limn→+∞an=a，limn→+∞bn=b，则由定义11可知，ε＞0，N1＞0，使得当n＞N1时，有an－a＜ε1+a+b；同时N2＞0，使得当n＞N2时，有bn－b＜ε1+a+b。特别地，对于ε=1＞0，N3＞0，使得当n＞N3时，有bn－b＜1，即1－b＜bn＜1+b，故当n＞N3时，bn＜1+b。设N=max{N1,N2,N3}，当n＞N时，有
anbn－ab=anbn－abn+abn－ab
≤anbn－abn+abn－ab
=bnan－a+abn－b
＜（1+b）·an－a+abn－b
＜（1+a+b）ε1+a+b
=ε
进而由定义11可知limn→+∞（an·bn）=a·b。
（3） 若数列bn均存在极限且limn→+∞bn=b≠0，则对b2＞0，存在N1＞0，使得当n＞N1