第 1 章 行 列 式 行列式虽然产生于解线性方程组, 但它的应用却非常广泛. 1.1 二阶、三阶行列式 这一节我们介绍二阶和三阶行列式, 为引入一般的 n 阶行列式做准备. 1.1.1 二阶行列式 行列式的概念是在解线性方程组时产生的, 这一点在本章第 5 节中可以看到. ˇ 　　　　　　ˇ a11 a12 在二阶行列式 ˇ ˇ ˇ ˇ 中, 数 aij 称为第 i 行第 j 列元素, ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a21 a22 ˇ ˇ a11 a12 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ i 称为行标, j 称为列标. 从左上角到右下角的连线称为主对角线, 从右上角到左下角的连线称为次对角线(如图 1.1). 由此可见, 二 阶行列式的值等于主对角线两元素的乘积减去次对角线两元素的 乘积, 也可用图 1.1 的方式来表示. 　　对于三阶和 n 阶行列式, 以及矩阵, 以上这些 记号(行标, 列标, 主、次对角线等)也都这样称呼. ˇ ˇ ˇ a21 a22 ˇ ? ` 图 1.1 二阶行列式对角线法则 ˇ ˇ ˇ 3 5 ˇ 例 1.1 计算二阶行列式 ˇ ˇ ˇ ˇ 解 由定义知 ˇ 2 6 ˇ D “ 3 ? 6 ? 2 ? 5 “ 8. 例 1.2 已知 λ “ a 是方程 ˇ ˇ 2λ ? 3 λ ` 5 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ “ 0 的根, 求常数 a 的值. ˇ ˇ λ ` 2 λ ` a ˇ ˇ ˇ ˇ 2a ? 3 a ` 5 ˇ 解 将 λ “ a 代入方程得 ˇ ˇ ˇ a ` 2 2a ˇ “ 0, 由二阶行列式的定义有 ˇ ˇ D “ p2a ? 3q2a ? pa ` 2qpa ` 5q “ 3a2 ? 13a ? 10 “ 0, 解得 a “ 5 或 a “ ? 2 . 1.1.2 三阶行列式 　　我们看到, 三阶行列式是 3! “ 6 个乘积项的代数和, 而每个乘积项都是行列式的不同行、 不同列的 3 个元素的乘积. 　　事实上, 三阶行列式可用对角线法则来记忆(如图 1.2), 即：实线上的三个数的乘积取“+” 号, 虚线上的三个数的乘积取“?”号, 三阶行列式的值等于它们的代数和. ˇ ˇ a11 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a12 a13 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a21 a22 a23 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a31 a32 a33 ˇ ? ` ? ` ? ` 图 1.2 三阶行列式对角线法则 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 3 2 1 ˇ 例 1.3 求行列式的值: D “ ˇ ˇ ˇ 5 ?1 ?3 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 6 0 4 ˇ 1.1 二阶、三阶行列式 . 3 . ?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨?¨ 解 按对角线法则有 D “ 3?p?1q?4 ` 2?p?3q?6 ` 5?0?1 ? 1?p?1q?6 ? 2?5?4 ? p?3q?0?3 “ ?12 ? 36 ` 6 ? 40 “ ?82. ˇ ˇ ˇ a b 0 ˇ ˇ ˇ 0 a1 b1 ˇ ˇ ˇ a2 0 b2 ˇ 解 按对角线法则有 D “ a ¨ a1 ¨ b2 ` b ¨ b1 ¨ a2 ` 0 ¨ 0 ¨ 0 ? 0 ¨ a1 ¨ a2 ? b ¨ 0 ¨ b2 ? a ¨ b1 ¨ 0 “ aa1b2 ` bb1a2. 平面上三点共线的条件 已知平面上的互异三点 Apx1, y1q, Bpx2, y2q, Cpx3, y3q 共线, 推导其应满足的条件. 解 过 A, B 两点的直线方程用两点式表示为 y ? y1 x ? x1 , y2 ? y1 “ x2 ? x1 因 C 点在该直线上, 所以 C 点坐标满足此方程, 代入 px3, y3q 得 y3 ? y1 x3 ? x1 , y2 ? y1 “ x2 ? x1 化简得 x1y2 ` x2y3 ` x3y1 ? x1y3 ? x2y1 ? x3y2 “ 0, 写成行列式即为 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 0. ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 习 题 1.1 一、计算题 1．计算下列行列式： ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ (1) ˇ 2 3 ˇ ; (2) ˇ 64 16 ˇ ; (3) ˇ 1 loga b ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 5 4 ˇ ˇ 27 9 ˇ ˇ logb a 1 ˇ ˇ ˇ (4) ˇ t2 ˇ 1 ˇ t2 ` t ` 1 ˇ ˇ ˇ ˇ sin θ ? cos θ ˇ ˇ ˇ ˇ x ? 1 ?1 ˇ ˇ ˇ ; (5) ˇ ˇ ; (6) ˇ ˇ ˇ t ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ. ˇ ˇ 2 ˇ ˇ 1 t ? 1 ˇ ˇ cos θ sin θ ˇ ˇ 1 x ` x ` 1 ˇ 2. 计算下列三阶行列式： ˇ ˇ ˇ 2 3 4 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1 1 1 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1 0 0 ˇ ˇ ˇ (1) ˇ ˇ ; (2) ˇ ˇ ; (3) ˇ ˇ ; ˇ 5 1 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2 3 4 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2 x y ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 3 1 5 ˇ ˇ 4 8 16 ˇ ˇ 3 x1 y1 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ cos θ 0 sin θ ˇ ˇ 1 2 a ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ (4) ˇ ˇ ; (5) ˇ ˇ. ˇ 0 1 1 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 0 1 b ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 　ˇ ? sin θ 0 cos θ ˇ 3. 验证以下等式成立： ˇ c 0 3 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a22 a23 ˇ ˇ ˇ ˇ a21 a23 ˇ ˇ ˇ ˇ a21 a22 ˇ ˇ ˇ “ a11 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ. ˇ ˇ ˇ ˇ ? a12 ˇ ˇ ` a13 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a32 a33 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a31 a33 ˇ ˇ a31 a32 ˇ 二、应用题 1．若直线 l 经过平面上两个不同的点 Apx1, y1q, Bpx2, y2q, 用行列式表示直线 l 的方程. 　　2．设平面直线 l1 : a1x ` b1y ` c1 “ 0 与 l2 : a2x ` b2y ` c2 “ 0 相互垂直, 用行列式表示系数应满 足的条件. 1.2 n 阶行列式的定义 　　和二阶、三阶行列式一样, n 阶行列式也是在解线性方程组时引入的, 所以它的定义应该和 二阶、三阶行列式的定义相一致. 　　在二、三阶行列式的展开式中, 为什么有些项前面取“`”号, 有些项前面取“?”号？这 要在引入排列与逆序的概念后才能了解清楚, 这也是引入 n 阶行列式所必需的概念. 1.2.1 排列与逆序 例如, 23541 是一个 5 级排列, 4132 是一个 4 级排列. 为方便起见, 我们称 123 ¨ ¨ ¨ n 为自然排列. 　　例如 5 级排列 45312 中, 3 前的 4 比它大, 则 4 与 3 构成一个逆序, 5 与 1 也构成一个逆 序, 等等. 从这个定义出发, 如果排列 i1i2 ¨ ¨ ¨ in 的第 j 个数(元素) ij 前有 tj 个数比它大 p1 ? j ? nq, 则称 tj 为数 ij 的逆序数, 从而有 n τ pi1i2 ¨ ¨ ¨ inq “ t1 ` t2 ` ¨ ¨ ¨ ` tn “ ? tj. (1.3) j“1 例 1.5 求排列 51324 的逆序数. 解 容易得到, t1 “ 0, t2 “ 1, t3 “ 1, t4 “ 2, t5 “ 1, 所以 τ p51324q “ 0 ` 1 ` 1 ` 2 ` 1 “ 5. 我们也可以通过如下算式简单计算逆序数: 显然, 自然排列 12 ¨ ¨ ¨ n 的逆序数为 0. 显然例 1.5 中的排列为奇排列, 又如, 因为 τ p4132q “ 4, 所以排列 4132 为偶排列. 例 1.6 求排列 npn ? 1qpn ? 2q ¨ ¨ ¨ 21 的逆序数, 并讨论其奇偶性. 解 列算式求解如下: 所以 τ pnpn ? 1qpn ? 2q ¨ ¨ ¨ 21q “ 0 ` 1 ` 2 ` ¨ ¨ ¨ ` pn ? 1q “ npn ? 1q . 2 容易得到, 当 n “ 4k, n “ 4k ` 1 时, 为偶排列；当 n “ 4k ` 2, n “ 4k ` 3 时, 为奇排列. 例 1.7 求 i, j 的值, 使 645i1j 为偶排列, 若要使它为奇排列, i, j 又为多少？ 解 因为是 6 级排列, 所以 i, j 只能从 2, 3 两数中各取一个. 若 i “ 2, j “ 3, 则 τ p645i1jq “ τ p645213q “ 12, 此时为偶排列； 若 i “ 3, j “ 2, 则 τ p645i1jq “ τ p645312q “ 13, 此时为奇排列. 1.2.2 排列的对换 为了研究行列式的性质, 常常需用到对换的概念. 例如, 在排列 45231 中, 对换 1 与 2, 得到排列 45132. ?证明 先证明相邻对换情形. 　　设 n 级排列 ¨ ¨ ¨ ij ¨ ¨ ¨ 对换 i 与 j 后得到排列 ¨ ¨ ¨ ji ¨ ¨ ¨ . 注意到在对换前后, 虚点处各元素 的逆序数并不改变, 所以只需考虑对换前后元素 i 与 j 的逆序数的变化. 　　当 i ? j 时, 对换后, i 的逆序数增大 1, j 的逆序数不会改变, 所以对换后排列的逆序数增 大 1; 当 i ? j 时, 对换后, i 的逆序数不变, j 的逆序数减小 1, 所以对换后排列的逆序数减小 1. 由此, 无论 i ? j 还是 i ? j, 经相邻对换后排列的奇偶性改变. 再证一般情形. 　　设 n 级排列 ¨ ¨ ¨ ia1 ¨ ¨ ¨ amj ¨ ¨ ¨ 经过对换 i 与 j 后变为排列 ¨ ¨ ¨ ja1 ¨ ¨ ¨ ami ¨ ¨ ¨ , 我们将这一 对换看成是经过若干次相邻对换来实现的. 首先, i 依次与 a1, ¨ ¨ ¨ , am, j 经 m ` 1 次相邻对换 变为排列 ¨ ¨ ¨ a1 ¨ ¨ ¨ amji ¨ ¨ ¨ , 然后将 j 依次与 am, ¨ ¨ ¨ , a1 经过 m 次相邻对换变为所需要的排列 ¨ ¨ ¨ ja1 ¨ ¨ ¨ ami ¨ ¨ ¨ , 一共经过了 pm ` 1q ` m “ 2m ` 1 次相邻对换. 于是排列的奇偶性改变了 奇数次, 从而排列 ¨ ¨ ¨ ia1 ¨ ¨ ¨ amj ¨ ¨ ¨ 与排列 ¨ ¨ ¨ ja1 ¨ ¨ ¨ ami ¨ ¨ ¨ 的奇偶性相反. l 1.2.3 n 阶行列式的定义 　　为了得到 n 阶行列式的定义, 需要将二阶、三阶行列式的定义统一起来. 我们先引入下列 重要定理. 定理 1.2 n 级排列共有 n! 个 (n ? 1), 其中奇、偶排列各占一半, 各为 n! 个. 2 ?证明 定理的前半部分由排列组合中的排列数即可得到证明. 下面证明后半部分. 　　设 n! 个 n 级排列中有 p 个奇排列, q 个偶排列. 将 p 个奇排列中的每个排列的第一、二个 数都进行一次对换, 则得 p 个不同的偶排列, 于是知 p ? q. 同样, 将 q 个偶排列中的每个排列 的第一、二个数都进行一次对换, 得到 q 个不同的奇排列, 于是有 q ? p , 从而 p “ q. l 例如, 2 级排列共有 2! “ 2 个, 其中偶排列是 12, 奇排列是 21. 又如, 3 级排列共有 3! “ 6 个, 其中偶排列为 123, 231, 312, 奇排列为 132, 213, 321. 现在我们来考查二阶、三阶行列式的共同特征. 注意到 p?1q “ 1, p?1q 2k`1 “ ?1pk P Nq, 所以符号取决于指数的奇偶性. 我们得到二阶、三阶行列式的展开式有以下几个特点： (1) 二阶行列式有 2! “ 2 项, 三阶行列式有 3! “ 6 项； 　　(2) 行列式的每一项都是不同行、不同列的元素的乘积, 再加上一个正、负号. 当行标按自 然顺序排列时, 如果列标排列是偶排列, 则这一项前取“`”号, 如果列标排列是奇排列, 则这一 项前取“?”号(参考以下等式)； (3) 行列式展开式中有一半项前面取“`”号, 另一半项前面取“?”号. 所以我们可以将二阶、三阶行列式统一用求和符号“?”表示如下(其中每项上面括号内标 出列标排列的逆序数, 这是为了便于理解)： ˇ ˇ ˇ a11 a12 ˇ p0q p1q τ pj1 j2 q ˇ ˇ “ a11a22 ? a12a21 “ ? p?1q a1j a2j , ˇ a21 a22 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1 2 j1 j2 ˇ ˇ p0q ˇ ˇ p2q p2q p3q p1q p1q ˇ ˇ “ a11a22a33 ` a12a23a31 ` a13a21a32 ? a13a22a31 ? a12a21a33 ? a11a23a32 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ “ ? p?1qτ pj1 j2 j3 qa1j 2j 3j j1 j2 j3 1 a 2 a 3 . 其中 ? 是分别对列标排列 j1j2 和 j1j2j3 求和. 这样, 二阶、三阶行列式的定义就统一起来了. 其实 n 阶行列式也是这样定义的. n 阶行列式简记为 D “ |aij | 或 detpaij q. 当 n “ 1 时, 一阶行列式 |a| “ a. 注意它和绝对值记号是有区别的. 关于 n 阶行列式的定义, 需要注意以下几点： (1) n 阶行列式的展开式中共有 n! 项； 　　(2) 每一项都是不同行、不同列的 n 个元素的乘积, 再加上一个正、负号. 当行标按自然顺 序排列时, 如果列标构成的排列是偶排列, 则这一项前取“`”号；如果列标构成的排列是奇排 列, 则这一项前取“?”号 (参考以上二、三阶行列式的等式)； (3) n 阶行列式的展开式中有一半项前面取“`”号, 另一半项前面取“?”号. 注意, 这里说的“`”、“?”号, 不包括各元素本身的符号. 因为行列式的任何一项 p?1qτ pj1 j2 ¨¨¨jn qa1j a2j · ¨ ¨ anjn 都必须在每一行和每一列中各取一个 元素, 所以得到： 如 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 3 2 0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2 1 0 ˇ “ 0, ˇ ˇ “ 0. ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1 3 0 ˇ ˇ ˇ ˇ 以下介绍几类特殊行列式的计算, 其结果可作为公式使用. ˇ ˇ ˇ a11 a12 a13 a14 ˇ ˇ ˇ ˇ 例 1.8 求上三角行列式 D “ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 0 a22 a23 a24 0 0 a33 a34 0 0 0 a44 ˇ ˇ 的值. ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 解 按行列式的定义有 D “ ? τ pj1 j2 j3 j4 q p? q a1j a2j a3j a4j . j1 j2 j3 j4 1 2 3 4 我们知道, 如果 a1j1 , a2j2 , a3j3 , a4j4 中有一个元素为 0, 则这一项 p?1q a1j1 a2j2 a3j3 a4j4 即为 0, 这种项不需要计算, 所以我们只需寻找 a1j1 , a2j2 , a3j3 , a4j4 都是字母的项. 　　根据该行列式的特点, 从第 4 行起考虑. 易知, 必须 j4 “ 4, 即乘积项中必须有 a4j4 “ a44 这个元素, 划去 a44 所在的第 4 行与第 4 列, 在剩下部分考虑, 考查第 3 行知, 乘积项中必须有 a3j3 “ a33 这个元素, 再划去 a33 所在的行与列知, 乘积项中必须有 a2j2 “ a22 这个元素, 划去 a22 所在的第 2 行与第 2 列知, 必须有 a1j1 “ a11 这个元素. 所以有 j4 “ 4, j3 “ 3, j2 “ 2, j1 “ 1, 即 D “ p?1 τ p1234q a11a22a33a44 “ a11a22a33a44. 以上结果可推广到 n 阶上三角行列式的情形, 即 n 阶上三角行列式 ˇ ˇ ˇ a11 a12 ¨ ¨ ¨ a1n ˇ ˇ ˇ ˇ D “ ˇ 0 a22 ¨ ¨ ¨ a2n ˇ ˇ “ a a ¨ ¨ ¨ a . (1.5) ˇ .. . ˇ ˇ ˇ 11 22 nn ˇ ˇ ˇ 类似地, 可得 n 阶下三角行列式 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D “ ˇ 0 0 ¨ ¨ ¨ ann a11 0 ¨ ¨ ¨ 0 a21 a22 ¨ ¨ ¨ 0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ “ a a ¨ ¨ ¨ a . (1.6) ˇ .. . ˇ ˇ ˇ 11 22 nn ˇ ˇ ˇ n 阶对角行列式 ˇ an1 an2 ¨ ¨ ¨ ann ˇ ˇ ˇ ˇ a11 0 ¨ ¨ ¨ 0 ˇ ˇ ˇ ˇ D “ ˇ 0 a22 ¨ ¨ ¨ 0 ˇ ˇ “ a a ¨ ¨ ¨ a . (1.7) ˇ .. . ˇ ˇ ˇ 11 22 nn ˇ ˇ ˇ ˇ 0 0 ¨ ¨ ¨ ann ˇ 由上面的三个公式得到结论： (上、下)三角行列式及对角行列式的值等于其主对角线元素的乘积. 例 1.9 用定义计算 n 阶反对角行列式 ˇ ˇ ˇ 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 λ1 ˇ ˇ ˇ ˇ 0 0 ¨ ¨ ¨ λ2 0 ˇ ˇ .. ˇ ˇ ... ... . ˇ ˇ . ˇ ˇ 0 λn?1 ¨ ¨ ¨ 0 0 ˇ ˇ ˇ ˇ λn 0 ¨ ¨ ¨ 0 0 ˇ 解 按定义 D “ ? j1 j2 ¨¨¨jn τ pj1 j2 ¨¨¨jn q p? q a1j1 a2j2 · ¨ ¨ anjn , 类似于例 1.8 的说明, 只需寻找 a1j1 , a2j2 , ¨ ¨ ¨ , anjn 都是字母的项. 从第 1 行起考虑, 类似例 1.8, 通过划去所选的数所在的行与列的方法可得 j1 “ n, j2 “ n ? 1, ¨ ¨ ¨ , jn?1 “ 2, jn “ 1, 所以, D 的展开式中仅剩一项, 即得 D “ p?1qτ pnpn?1q¨¨¨21qa1na2 n 1 n1 p ? q ¨ ¨ ¨ a . 由例 1.6 的结果有 D “ p?1q n pn ?1 q 2 λ1λ2 ¨ ¨ ¨ λn. 我们可以证明, 行列式的一般项也可以用以下两个定理中的式子表示. 定理 1.3 n 阶行列式 D “ |aij | 的一般项可以表示为 τ pi1 i2 ¨¨¨in q`τ pj1 j2 ¨¨¨jn q p?1q 其中 i1i2 ¨ ¨ ¨ in 及 j1j2 ¨ ¨ ¨ jn 都是 n 级排列. ai1 j1 ai2 j2 ¨ ¨ ¨ ain jn , (1.8) 定理 1.4 n 阶行列式 D “ |aij | 的一般项也可表示为 τ pi1 i2 ¨¨¨in q 其中 i1i2 ¨ ¨ ¨ in 为 n 级排列. p?1q ai11ai22 ¨ ¨ ¨ ain n, (1.9) 　　至此, 我们得到了 n 阶行列式的一般项可以用三种形式表示, 这为我们理解行列式提供了 很大方便. 例 1.10 试问在 5 阶行列式 |aij | 中, 乘积项 a23a34a52a45a11 前应取什么符号. 解 按定理 1.3, 因为 所以前面取“?”号. p?1qτ p23541q`τ p34251q “ p?1 5`6 “ ?1, 按行列式的定义 1.7, 将乘积项行标排成自然顺序, 符号由列标排列的奇偶性确定. 因为 　　　　　　　　　　　　　a23a34a52a45a11 “ a11a23a34a45a52, 得右边乘积项列标排列的逆序数 τ p13452q “ 3, 所以前面取“?”号. 按定理 1.4, 将乘积项的列标排成自然排列, 前面的符号由行标排列的奇偶性决定. 因为 　　　　　　　　　　　　　a23a34a52a45a11 “ a11a52a23a34a45, 得右边乘积项行标排列的逆序数 τ p15234q “ 3, 所以前面取“?”号. 这个例子也验证了定理 1.3、定理 1.4 的正确性. 习 题 1.2 一、选择题 (单选题) 1. 已知 6i541j 为奇排列, 则 i, j 的值为 p q. (A) i “ 3, j “ 2 (B) i “ 2, j “ 3 (C) i “ 7, j “ 3 (D) i “ 2, j “ 7 2. 下面几个构成 6 阶行列式的展开式的各项中, 前面取“+”号的是 p q. (A) a15a23a34a42a51a66 (B) a11a26a32a44a53a65 (C) a21a53a16a42a64a35 (D) a51a32a13a44a25a66 3. 设 a62ak5a33al4a46a21 是 6 阶行列式 |aij | 的一个乘积项, 则 p q. (A) k “ 5, l “ 1, 取正号 (B) k “ 3, l “ 1, 取负号 (C) k “ 1, l “ 5, 取负号 (D) k “ 1, l “ 5, 取正号 4. 已知行列式 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D1 “ ˇ ˇ , D2 “ ˇ ˇ . ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 如果 D1 与 D2 的值相等, 则其中的 a, b 应满足 p q. (A) a “ 2b (B) 5a “ b (C) a ` b “ 0 (D) a “ ?2b 5. 已知行列式 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D1 “ ˇ ˇ , D2 “ ˇ ˇ , ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 其中 λ1λ2λ3λ4 ‰ 0, 则 D1 与 D2 应满足关系 p q. (A) D1 “ D2 (B) D1 “ ?D2 (C) D1 “ 2D2 (D) 2D1 “ D2 6. n 阶行列式 ˇ ˇ ˇ 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 1 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 0 0 ¨ ¨ ¨ 2 0 ˇ ˇ D1 “ ˇ . . ˇ ˇ ˇ . . ˇ . . ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 0 n ? 1 ¨ ¨ ¨ 0 0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 的值为 p q. ˇ n 0 ¨ ¨ ¨ 0 0 ˇ n n`1 npn?1q (A) n! (B) p?1q n! (C) p?1q n! (D) p?1q 2 n! 二、计算题 1. 用定义求下列行列式的值: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ (1) ˇ ˇ; (2) ˇ ˇ; ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ