038
客户端 物理
游戏中的物理引擎，主要是用于模拟自然中的物理现象。比如以一定的初速度抛出小球后，小球
运动轨迹的模拟；小球碰撞到物体后，反弹轨迹的模拟；再比如一块布料的模拟。
物理引擎的基本原理是计算物体受到的外力，计算加速度，然后计算速度。根据速度，计算物体
下一帧的位置。
物理引擎和渲染同步，只用将模拟后的位置同步给渲染。物理引擎每帧tick 的时间，不需要和渲
染引擎一样。渲染引擎获取物体位置时，物理引擎只要能根据时间对物体的位置进行插值，交给
渲染引擎就可以了。
因为物理引擎的需求比较固定，自定义需求少，开发工程量大，一般选用第三方的插件。目前，
比较流行的3D 物理引擎有Havok、PhysX、Bullet 等。
Havok 引擎是比较成熟的物理引擎。它的功能齐全，物理模拟的效率高，并且模拟效果好，很少
出现不自然的模拟结果。但是Havok 引擎是收费，并且不开源。该引擎是一个跨平台的物理引擎，
但是被微软收购后，不再支持其他平台。
PhysX 是Nvidia 公司的一款开源、免费的物理引擎，它的功能较为完善，效率也不错，模拟效
果也还行，支持多个平台，是目前比较好的选择。
Bullet 是一款开源、免费、跨平台的物理引擎；但是它的效率比前两个引擎较差。
在物理引擎的一帧之内，一般会经过如图3.1 的模拟过程。
物理
Physics 03
3.1　游戏中物理引擎简介
3.2　物理引擎的碰撞检测系统
039
Physics 01/03
图3.1　物理引擎一帧的模拟过程
在这个架构中，碰撞检测系统是物理引擎最重要的系统，它是整个物理引擎的基石。物理引擎的
用户，依赖碰撞检测来查询场景中的信息。物理引擎的运动模拟部分，依赖碰撞检测系统提供的
信息，让刚体在碰到东西之后，能发生反弹。碰撞检测部分是物理引擎性能消耗的主要部分，它
的性能直接决定了整个物理引擎的性能。
碰撞检测部分，主要提供三个功能：碰撞过滤系统，碰撞回调机制，碰撞查询接口，下面分别
介绍。
3 .2.1　碰撞过滤系统
物理引擎的碰撞过滤系统，提供了一种机制，让用户可以自定义刚体在运动时，是否发生碰撞。
这套过滤机制，同样也适用于碰撞查询接口。物理引擎一般通过一个过滤函数给用户自定义，这
个函数的接口声明如下：
FilterFlags FilterShaderFunction(FilterData filterData0, FilterData filterData1);
其中FilterData 是过滤标签，每个刚体会有一个这个类型的属性，每次查询的输入也会包含这个
类型的变量。物理引擎在判定是否发生碰撞前，会调用FilterShaderFunction 函数，并把有可
能发生碰撞的两个刚体的FilterData 传入该函数，由该函数决定是否会发生碰撞。由于这个函数
在物理引擎模拟的时候会被频繁调用，所以用户提供的这个函数，效率必须非常高。
FilterShaderFunction 函数需要考虑灵活性和效率，一般有两种常用的方法。一种是PhysX
提供的默认方式，这种方式把FilterData 解释成一个编号，然后内部有个表，记录每个编号之
间是否发生碰撞，另外一种方式，是Havok 提供的Layer-System-SubSystem 系统。这
个系统中，把FilterData 分为几个部分，分别记录Layer，System 和SubSystem 的编号，
以及不发生碰撞的SubSystem 的编号，对于不同System 的物体，通过layer 来设置碰撞
规则，其规则和PhysX 的方式类似。对于同System 的物体，通过SubSystem 来设置碰撞
规则。
040
客户端 物理
3 .2.2　碰撞回调机制
用户往往希望在两个刚体发生碰撞时，获得物理引擎的通知，以便做出相应的逻辑处理。物理引
擎的碰撞回调机制，就是为用户提供这个功能的。在这个机制中，用户向物理引擎提供一个处理
碰撞回调的对象，当发生碰撞时，物理引擎就会调用这个对象的接口，来通知用户。处理碰撞回
调的类，其声明形式一般如下所示：
class PxSimulationEventCallback
{
public:
virtual void onContact(const PxContactPairHeader& pairHeader, const PxC
ontactPair* pairs, PxU32 nbPairs) = 0;
}
其中PxContactPairHeader 包含了发生碰撞的两个刚体的信息，而PxContactPair 包含了碰
撞发生的位置和法向量等信息。
3 .2.3　碰撞查询接口
碰撞查询是物理引擎提供给用户的一个功能，用户可以通过这个系统，查询场景里的刚体。碰撞
查询一般有三种类型：射线查询，形状求交查询和扫描查询。
射线查询是由用户给定一条线段的起点和终点，物理引擎会找到和这条线段相交的所有刚体以及
所有交点和交点处的法向量，如图3.2 所示。
图3.2　射线查询示意图（图片引自参考文献[4]）
射线查询的接口声明一般如下所示：
bool raycast(
const PxVec3& origin, const PxVec3& unitDir, const PxReal distance,
PxRaycastCallback& hitCall, const PxQueryFilterData& filterData
);
041
Physics 01/03
其中filterData 用于碰撞过滤系统，hitCall 用于搜集物理引擎返回的碰撞信息。
求交查询是由用户提供一个形状，并提供形状的位置和朝向，物理引擎会找到和这个形状相交的
所有刚体，如图3.3 所示。
图3.3　求交查询示意图（图片引自参考文献[4]）
求交查询的接口声明一般如下所示：
bool overlap(
const PxGeometry& geometry, const PxTransform& pose,
PxOverlapCallback& hitCall, const PxQueryFilterData& filterData
);
其中geometry 为形状，pose 为形状所在的位置和朝向，filterData 用于碰撞过滤系统，hitCall
搜集查询结果。
扫描查询是由用户提供一个形状，和它的初始位置及朝向，然后提供这个形状平移的方向和距离，
物理引擎会找到这个形状在移动过程中碰到的所有刚体，如图3.4 所示。
图3.4　扫描查询示意图（图片引自参考文献[4]）
扫描查询的接口声明一般如下所示：
bool sweep(
const PxGeometry& geometry, const PxTransform& pose,
const PxVec3& unitDir, const PxReal distance,
PxSweepCallback& hitCall, const PxQueryFilterData& filterData
);
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客户端 物理
其中filterData 用于碰撞过滤系统，hitCall 搜集查询结果。
在所有的查询接口中，都会提供一个Callback 类，物理引擎通过这个类来向用户提供查询结果。
这个类的声明，一般如下所示：
template<typename HitType>
struct PxHitCallback
{
virtual PxAgain processTouches(const HitType* buffer, PxU32 nbHits) = 0;
};
在碰撞查询的过程中，物理引擎每收集到一个碰撞，就会调用PxHitCallback 的process
Touches，让用户进行处理。用户一般可以根据需要，保存或丢弃这个信息。另外，用户可以通
过这个函数的返回值，告诉物理引擎是继续查询还是立刻返回。比如用户只是需要找到一个刚体
就行了，那么在物理引擎第一次调用这个函数时，用户就可以终止查询过程，节省时间。
3 .2.4　碰撞系统的架构
物理引擎的碰撞检测系统，一般采用分层的架构，这样可以优化效率。碰撞系统的分层架构，一
般包括粗检测阶段和细检测阶段。有些物理引擎，如Havok，会在粗细阶段之间，加入一个中间
阶段。在碰撞系统的分层架构中，粗阶段用运算量非常小的算法，判断两个物体是否发生碰撞。
把不可能发生碰撞的物体对剔除掉，把有可能发生碰撞的物体对交给细检测阶段。细检测阶段会
用精确的算法，判断两个物体是否发生碰撞。
粗检测阶段的算法，是碰撞检测系统最重要的算法，它直接决定了碰撞检测系统的效率。粗检
测阶段，使用AABB 来描述物体，通过AABB 是否相交，来进行剔除。为了加速物体之间的
碰撞检测，粗检测阶段一般会用到几种加速算法。下面介绍其中的两种，Bounding Volume
Hierarchies 和Sweep-and-prune。
Bounding Volume Hierarchies 是通过对AABB 做一个多层结构来加速，如图3.5 所示。
图3.5　Bounding Volume Hierarchies 示意图（图片引自参考文献[3]）
图3.5 中，树的每个节点都是一个AABB，父节点的AABB 完全包含所有子节点的AABB。
场景中的每个物体的AABB 作为树的叶子节点，当进行查询的时候，如果父节点的AABB 和查
043
Physics 01/03
询相交，那么检测其子节点；否则，就表示这
个节点的所有子节点都不会和这个查询相交。
Bounding Volume Hierarchies 一般用于静
态的物体。
Sweep-and-prune 算法的思路如图3.6 所示。
图3.6　Sweep-and-prune 算法示意图（图片引自参考文献[5]）
把场景中所有物体的AABB 按照某个坐标轴进
行投影，记录每个AABB 在轴上的最大最小
值。设两个物体A 和B 的AABB，其最大和
最小值分别为MinA、MaxA、MinB、MaxB，
如果MinA>MaxB， 或者MaxA<MinB， 那么
两个AABB 一定是不相交的。Sweep-andprune
算法会用一个有序队列保存所有AABB
的最大最小值，如图3.7 所示。
图3.7　Sweep-and-prune 算法示意图
另外还会保存这一帧各个AABB 的相交情况。
在每一帧的开始，依次检测每个AABB 是否
有更新，如果有AABB 移动后大小发生改变，
那么对应的AABB 在坐标轴上的最大最小值
也会发生改变，要么增大，要么减小。图3.8
展示了B 向右移动的情况。
图3.8　Sweep-and-prune 算法示意图
在MinB 和MaxB 同时增加的时候，按时间顺序，
发生了如下事件：
MaxB 和MaxC 发生交换，由于B 和C 处
于潜在交叉状态，不做处理；
MinB 和Maxa 交换位置，A 和B 由潜在交
叉变成了不交叉；
MinB 和Minc 交换位置，由于B 和C 处于
潜在交叉状态，不做处理；
MinB 和Maxc 交换位置，B 和C 由潜在交
叉状态变成了不交叉状态。
Sweep-and-prune 算法每帧对于运动的
AABB 做上述的处理，可以得到每帧AABB
交叉状态的改变事件。这样就可以把求解所有
AABB 是否交叉的任务，分解到每一帧中去做，
提高了效率。
中检测阶段的算法，往往是针对物理引擎中的
三角网面类型的形状，它对三角网面的刚体建
立BSP 树，来加速处理过程。
细检测阶段的算法，往往是针对不同类型的基
本形状，使用不同的算法。物理引擎支持的基
本形状有球体，长方体，胶囊体，凸多面体，
三角网面等。物理引擎对每两个形状之间的求
交和扫描都分别有对应的算法，对射线和每种
形状之间的求交也分别有对应的算法。由于
这些算法比较多，这里就不一一介绍，仅介
绍一个比较著名的GJK(Gilbert-Johnson-
Keerthi) 算法。
GJK 算法是求两个凸多面体是否相交的算法。
设集合A 和B 分别是两个凸多面体中所有点
的集合，则A 和B 的Minkowski 差定义为：
C = A B = {x = a - b | a∈A，b∈B} （3.1）
044
客户端 物理
C 是一个集合，C 中每个元素都是A 和B 两个凸多面体中点的差向量。C 中长度最小的元素，就
是两个凸多面体的距离。如果零向量不在C 中，那么A 和B 就不相交，否则A 和B 就相交。显然，
遍历C 中的每个元素，来寻找零向量是不现实的，运算量太大。GJK 算法使用支持函数来减少
运算量，对于一个凸多面体A，其关于方向d 的支持函数为：
SA(d ) = x，x ∈ A，xd=max ad
a∈A （3.2）
也即支持函数SA(d) 的结果是多面体A 中的点，这个点在方向d 上的投影最大。对于两个凸多面
体A 和B 的Minkowski 差C，其支持函数有如下规律：
Sc(d ) = x，x ∈ A B，xd = max cd
c∈A B
max cd = max (a-b)d = max (ad-bd )
c∈A B a∈A，b∈B a∈A，b∈B
max (ad-bd ) = max ad - min bd = max ad - max b (-d )
a∈A，b∈B a∈A b∈B a∈A b∈B
（3.3）
所以
Sc(d) = SA(d) - SB(-d) （3.4）
另外，GJK 算法利用了Caratheodory 定理来优化计算。对于一个三维空间的凸多面体A，A
中的任意一点，可以有A 中不多于4 个点的凸线性组合来表示，这使得GJK 算法可以在每次迭
代中最多对4 个点进行计算。
物理引擎主要根据经典物理学中刚体的运动规律来进行模拟。在物理引擎中，用一个三维向量
p=(x，y，z) 表示刚体质心的位置，用一个四元素q=x+yi+zj+wk 表示刚体的朝向。对于刚体上的任
意一点b = p + r，其中 p 和 r 都是世界坐标系下的坐标，r 表示该点和刚体质心的相对位置。把 b
对时间求导，可以得到如下的公式：
= + ω× r
dt
d p
dt
d b
（3.5）
上式中， dt
d p
是刚体运动的线性速度，一般记作v。三维向量ω 是刚体运动的角速度，ω 向量表示
的方向就是刚体转动的旋转轴，ω 向量的长度表示角速度的大小，角速度和刚体的朝向q 之间的
关系如下。
= ωq
2
1
dt
dq
（3.6）
3.3　物理引擎的动力学模拟
045
Physics 01/03
上式中的四元数ω 和加速度 ω =（ωx，iωy，jωz）
的关系如下：
ω = ωx + iωy + jωz （3.7）
把b 对时间求二次导数，可以得到：
ω× r
dt 2
d 2 b
dt 2
d 2 p
= + × + × dt
d ω
ω ω （3.8）
式中， dt 2
d 2 p
是刚体的线性加速度，一般记作a；
dt
d ω
是刚体的角加速度，一般记作a。
根据力学定理，有：
= = = =
dt
d p
F Fk
k
ak m
k
a m （3.9）
其中 P 是刚体的动量，P = m v。F 是刚体受
到的外力之和，m 是刚体的质量。对于刚体的
转动惯量，有如下的公式：
L = I ω （3.10）
其中I 是一个3×3 的矩阵，表示刚体的惯性
张量。对L 求导，可以得到：
= =
dt
d L
t ω×I · ω + I · a （3.11）
其中t 是力矩，求解上面的公式，可以得到：
a = I -1 · t－ ω×I · ω （3.12）
3 .3.1　无约束情况下的模拟
如果刚体在一帧中没有和任何物体发生碰撞，
并且没有额外的约束条件，在这种情况下，对
刚体进行模拟非常简单。首先，收集刚体受到
的外力，计算F 和t。由于在这种情况下，刚
体的外力只有重力和用户输入的力，F 和t 的
计算非常简单。
然后通过公式：
a =
m
F
（3.13）
和
a = I －1 · t－ ω×I · ω （3.14）
可以计算出这一帧的a 和α。
假设这一帧的模拟时间是Δt，那么通过公式：
vt+Δt = vt + a Δt （3.15）
和
ωt+Δt = ωt+ α Δt （3.16）
可以计算出新的线性速度和角速度，然后根据
公式：
pt+Δt = pt + vt+Δt Δt （3.17）
和
qt+Δt = qt + ωqtΔt
2
1
（3.18）
计算出刚体新的位置和朝向。
3 .3.2　有约束的模拟
一般物理引擎会提供一些约束条件，这些约束
条件会限制刚体运动时的自由度。比如常见的
链条约束，轴转动约束等。对于有约束的刚体，
物理引擎会先按照没有约束的情况，计算这一
帧刚体的速度。然后带入到约束方程中，求解
要让刚体满足约束，速度应该怎么调整，用这
个调整以后的速度，进行刚体位置的计算。
一般约束方程写成如下的形式：
FA = C 0 （3.19）
其中FA 表示刚体上的一个点，约束方程限制
了刚体上的这个点的自由度。在物理引擎中，
一般要求约束具有完整性。所谓完整性，就是
要求上述的约束方程，隐含着对刚体速度的约
束。对上式求导，我们可以得到：
= = = 0
dt
dC
PA
C
PA
dPA C
dt
v + ω× r （3.20）
整理之后可以写成：
=
dt
dC
J v
ω = 0 （3.21）
上式就是关于刚体速度的约束。对上式继续求
导，我们可以得到：
=
dt2
d2C
J a
α + k = 0 （3.22）
其中k 是关于速度的向量。
046
客户端 物理
由于J 是约束函数关于速度的导数，因此约束的力的方向和J 的方向一致，因此有：
fc = λJ （3.23）
其中λ 是一个系数。刚体除了受到约束的力fc，还受到外力fext，因此有：
f = fc + fext = λJ + fext = M a
α （3.24）
把前面的各个公式代入上式，整理后可以得到：
M － JT
J 0
fext
－ k
a
αλ
= （3.25）
解这个方程，就能得到约束施加给刚体的线性加速度a 和角角速度α 了。
3 .3.3　对碰撞的模拟
当刚体和其他刚体发生碰撞以后，物理引擎会把碰撞点作为一个约束。设发生碰撞的两个刚体为
A 和B，A 和B 上的碰撞分别为点PA 和PB，碰撞表面的法线为nA。那么碰撞的约束方程为：
= nA≥ 0 C PA PB PA－ PB · （3.26）
对上式求导并整理后，可以得到和普通约束类似的约束方程，如下所示：
0
0
a
－
MJ
e
Jc
－ JTe
00
－ JTc
00
a
α
λe
λc
=
fext
－ ke
－ kc
（3.27）
且
a ≥ 0，λc ≥ 0，aλc = 0
求解这个方程，就可以得到为了保证两个刚体不发生穿插，而需要施加的外力。
3 .4.1　玩家控制器
玩家控制器主要模拟玩家在场景里的行走，它保证玩家不和场景发生穿插。用户每帧输入给玩家
控制器一个速度，物理引擎用这个速度来控制玩家控制器。注意，物理引擎并不能保证玩家控制
器一定按这个速度前进，因为有可能玩家控制器在爬坡或者遇到了障碍物。
3.4　玩家控制器，ragdoll，车辆等的物理引擎实现方案
047
Physics 01/03
物理引擎玩家控制器的实现原理如图3.9 所示。
图3.9　玩家控制器逻辑流程
在玩家控制器的每次移动中，物理引擎会用一个胶囊提进行三次扫描来判断玩家控制器是否可以
移动，会移动到什么地方。另外，物理引擎会用一个比扫描时使用的胶囊体稍小的刚体跟着玩家
控制器移动，来实现玩家控制器阻挡其他刚体的效果。
3 .4.2　布娃娃系统
游戏引擎中，为了让人物在跌倒、被击飞或者死亡时的动作表现得更加逼真，往往会用物理引擎
来模拟人物的动作，用布娃娃系统来完成这些效果。布娃娃系统是基于刚体模拟的一套系统，它
用刚体和约束对人的身体进行建模，用骨架映射技术和动画系统进行关联，将物理引擎刚体模拟
的结果和动画系统的骨架姿态联系起来，从而实现模拟动画，并增强动画表现的效果。
考虑到人体的头、四肢和躯干可以发生的形变很小，布娃娃系统用刚体来表示这些部位。对于头，
一般用一个球形的刚体表示；对于四肢，一般用胶囊体的刚体表示；对于躯干，一般用若干个球、
胶囊体或凸体来表示。布娃娃系统示意图如图3.10 所示。
图3.10　布娃娃系统示意图
人体的关节，起到连接上述各个部分的作用。同时，关节的活动范围有一定的限制。因此，布娃
娃系统用带限制的约束来表示关节。而表示关节的约束，一般限制了两个刚体的局部点是对应的，
并且不能发生分离，即被关节连接的两个身体部位之间不会被拉扯开。因此要用一个点约束作为
关节约束的基础，点约束规定了刚体A 上的某个局部点和刚体B 上的某个局部点之间永远是固定
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客户端 物理
在一起的。点约束在转动方面没有限制，即两
个刚体A、B 之间的相对角度可以是任意的。
当然，人的关节不允许随意转动，每个方向上
的转动有一定的限制。因此，从上述的点约束
出发，加上每个方向上转动的最大或最小值，
就能有效地模拟人的关节特点。有了上述的刚
体约束模型之后，通过物理引擎的模拟，就可
以得到人物在没有自主运动时，在外力作用的
情况下，身体的运动形态了。这样可以有效地
模拟人物倒地、死亡等的动作效果。
由于关节约束是连接两个刚体的，并且是不允
许环的出现的，约束连接的两个刚体，有一个
是父刚体，有一个是子刚体。因此布娃娃系统
的刚体逻辑上有一个树状结构，父子节点之间
由关节约束连接。这样构成了一个类似动画系
统中的骨架结构，这个骨架的结构比动画骨架
简单，并且和动画骨架有一定的相似性。
在物理引擎模拟出各个刚体的位置之后，也就
是布娃娃的物理骨架姿态已经确定了。但是引
擎的渲染部分并不能用这个骨架对网格进行蒙
皮，因为蒙皮数据是针对动画骨架的，因此布
娃娃系统需要做物理骨架和动画骨架之间的映
射。由于两个骨架之间存在相似性，因此总有
一些骨骼在两个骨架系统中同时出现，这种骨
骼之间可以建立一一映射。并且这些能一一映
射的骨架之间，父子关系也是保持的，即骨架
A 中的骨骼Ai 和Aj，Ai 是Aj 的祖先；那么骨架
B 中，和Ai、Aj 一一对应的骨骼Bi 和Bj，Bi 也
是Bj 的祖先，如图3.11 所示。
图3.11　骨架映射关系示意图
图3.11 中每个节点表示一个骨骼，节点间的
黑色连线表示父子关系。骨架A 和B 之间的红
色连线表示对应的骨骼是一一映射关系，一一
映射的骨骼之间的父子关系是保持下来的。因
为两个骨架的结构相似，只是A 骨架比B 骨架
更细致；可能在两个一一映射节点之间，比B
骨架多出一些节点，以达到更细致的动作表现。
绿色虚线框内的节点，构成的多个骨骼和两个
骨骼之间的链式对应关系。
对于两个骨架之间，一一映射的骨骼，我们在
做骨架映射时，只用做简单的一一对应就可以
了，即把Ai 骨骼在模型空间的变换矩阵赋值给
Bi 骨骼即可；对于链式对应关系的骨骼，只用
保证链条两端的连线方向在模型空间中一致，
链条的起点重合即可；对于链条上的每个骨骼，
保持其局部变换矩阵和骨架在初始姿态下一
致，保证链条的长度和初始状态下一致，就可
以了。链条映射的方法如图3.12 所示。
图3.12　链式映射示意图
图3.12 中，A1 和B1 是链条的起点，映射时需
要保证它们的位置保持一致；A5 和B5 是链条的
终点，映射时，需要保证A1 和A5 的连线与B1
和B5 的连线方向一致；A1 和A5 的长度与B1 和
B5 的长度维持各自的数值，不用做拉伸对齐。
对于链条中的骨骼A4，保证其到父节点A1 的局
部变换矩阵为骨骼初始状态下的值就可以了。
有了骨骼的映射关系，当物理系统模拟出刚体
的位置之后，就可以将其映射到动画系统的骨
骼上，然后让渲染系统进行正确的蒙皮绘制。
反过来，当动画系统通过动画得出动画骨骼的
姿态后，可以映射到物理骨骼上，获得刚体的
位置，这样就可以用动画驱动布娃娃系统。当
人物死亡的时候，如果将最后两帧动画驱动的
刚体位置进行求导，可以得到刚体的速度。在
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Physics 01/03
切换成布娃娃系统驱动时，用这个速度作为刚
体的初速度，那么可以让物理模拟能和动画进
行顺畅的切换，让动作的惯性体现到布娃娃系
统上，得到的效果更加真实。
3 .4.3　车辆系统
在射击类和赛车类游戏中，需要追求逼真的车
辆表现效果。比如车辆在加速减速时，车头应
该有抬起、急刹车时，车头要低压；转弯时，
车身有侧倾、极限情况下，要发生漂移等。这
些让车辆符合真实物理现象的需求，一般使用
车辆系统来实现。车辆系统是基于物理引擎的
刚体模拟的，其基本原理就是用一个刚体来模
拟车身，用一系列的公式计算车身受到的外力，
用物理引擎的刚体模拟来计算车辆的速度、位
置和碰撞效果。
物理引擎的车辆系统，是根据真实车辆系统的
结构来建模的。真实的车辆，其在正常行驶时，
车身受到的外力，都是通过车辆和悬挂传递过
来的。所以物理引擎的车辆系统，在建模时，
只用一个刚体表示车身，只对这个刚体进行模
拟。另外，车辆系统会记录车辆的悬挂和车身
的连接点的位置，并称这些连接点为受力点。
车身正常形式时，车轮和悬挂通过这些受力点
给车身施加外力和力矩。这样的抽象和简化，
也是符合真实车辆的结构的。上述的车辆系统
的结构如图3.13 所示。
图3.13　车辆系统组成图（图片引自参考文献[4]）
图3.13 中，车轮对应的刚体，仅用于场景中
阻挡其他的刚体，而不参与车辆的模拟运算，
其质量一般设置为无穷大，达到只能被车辆系
统控制，而不会被场景里其他刚体影响的效果。
物理车辆系统在计算车辆每个轮胎对车身刚体
的外力时，分成两个部分。第一个部分是车辆
动力系统，该系统对车辆的发动机，传动系统
进行建模，计算对每个车轮提供的动力。第二
个部分是轮胎系统，该系统对车辆的车轮进行
建模，计算每个车轮和地面的摩擦以及由此产
生的外力。下面分别介绍这两个部分。
假设车辆引擎当前的转动角速度为 ωeng，那么
引擎输出的动力力矩为：
Teng = Accinput * TC（ωeng） （3.28）
上式中，Accinput 是玩家的输入，表示油门踏板
的开合程度，取值范围在[0，1] 上。Tc（ωeng）
是引擎的动力曲线，表示在引擎转动角速度为
ωeng 时，引擎能输出的最大力矩。对于引擎转
动的角速度，我们有如下的公式：
ωen（g t + Δt）- ωen（g t ）
Ieng
- Tc + Teng = Δt （3.29）
上式中，Ieng 是引擎的转动惯量，Tc 是车辆变速
箱传递给引擎的阻力力矩。车辆的变速器是连
接引擎和车轮的部件，它负责动力和阻力在引
擎和车轮之间传递。在物理引擎的车辆模型中，
Tc 的计算如下所示：
Tc = K G
i
αi ωi - ωeng （3.30）
上式中，G 为变速箱的变速比，K 表示变速箱
的强度，反应变速箱上损失的能量比例。ωi 为
第i 个车轮的滚动角速度，αi 是变速箱把动力
输出给轮子时，轮子获得的动力占总输出量的
百分比。例如，在前轮驱动的车中，左前和右
前轮获得变速箱的动力输都为50%，而两个
后轮都为0%。另外要注意，所有轮子获得的
动力输出比例之和应该为1。如下所示：
= 1
i
αi （3.31）
050
客户端 物理
由于力的作用是相互的，因此每个轮子获得来自变速箱的力矩输出为αiTcG。考虑到轮子受到的刹
车力影响，每个轮子上的力矩为：
Ti = αiTcG + Bti + Tti （3.32）
其中，Bti 为第i 个轮子上刹车的力矩，Tti 为轮胎和地面摩擦后，产生的力矩。对于车轮的角速度，
我们有下面的等式：
ωi （t +Δt）- ω（i t ）= =
Ii
Ti Δt
Ii
αiTcG + Bti + Tti Δt （3.33）
把Tc 带入到引擎和轮胎的角速度公式中，我们可以得到如下方程组：
ωen（g t + Δt）- ωen（g t ）=
ω（i t + Δt）- ω（i t ）= Δt
Δt
Ieng
- K G αi ω（i t + Δt） - ωeng（t + Δt） + Teng
i
Ii
αi K G αi ω（i t + Δt） - ωen（g t + Δt）G + Bti + Tti
i
（3.34）
上面的方程组中，ωeng（t +Δt）和ωi（t +Δt）是未知量，ωeng（t）和ωi（t）是已知量。在知道了
车辆系统的各个参数之后，就可以通过t 时刻的车轮和引擎角速度，求解t +Δt 时刻的车轮和引擎
角速度。
在上面的车辆动力系统中，计算的ωi 用于车辆轮胎系统的输入，Tti 是车辆轮胎系统对车辆动力
系统的反馈。车辆的轮胎系统，以车轮为对象，建立车轮的动力方程。对于每个车轮，会以车轮
和地面的接触点为原点，建立车轮的局部坐标系。如图3.14 所示。
其中X 轴方向为轮胎前进的方向，一般称为纵向，Y 轴方向称为侧向，
车轮和地面的接触点记为Ci。如果知道车辆当前的线性速度 v 和角速
度 ω，知道Ci 相对车辆质心的位移 Pi，那么接触点Ci 的速度为：
　　　　　　　　　　　vc,l ω Pi = × + v （3.35）
把 vc,l 分解到车轮局部坐标系的X 轴和Y 轴，得到 vc,l,x 和 vc,l,y。在纵
向上，车轮的打滑系数定义为：
sliplong, i =
vc,l,x
r ωi
（3.36）
上式中，r 为车轮半径，ωi 为车轮滚动的角速度，车轮在侧向的打滑系数定义为：
sliplat = arctan
vc,l,y
vc,l,x
（3.37）
sliplong 和sliplat 是反应轮胎和地面打滑情况的参数，用来计算轮胎和地面的摩擦力。计算公式如下：
Flong, i = fi Slong（sliplong, i）Ni
Flat,i = fi Slat（sliplat, i）Ni
（3.38）
上式中，fi 是轮胎的整体摩擦系数。Slong（sliplong, i）是根据sliplong, i 计算在纵向上摩擦系数修正量
的函数，Slat（sliplat, i）是根据sliplat, i 计算在侧向上摩擦系数修正量的函数，Ni 是悬挂施加给轮胎
的压力。
图3.14　车轮局部坐标示意图
051
Physics 01/03
车辆系统每帧会通过射线检测来模拟悬挂。从悬挂的受力点开始，沿悬挂的运动方向做射线检
测，检测到的长度归一化到悬挂的最大最小行程之内，这个归一化后的长度，记为Ji。对于悬挂，
车辆系统会给出弹回强度Si 和阻力系数Di 来描述悬挂的特性。那么悬挂给轮胎的压力Ni 可由下
式计算得到：
Ni = Mi + Si Ji + Di dt
dJi （3.39）
上式中Mi 为分摊到第i 个悬挂上的车辆的质量。
在获得Flong,i 之后，可以获得动力系统中Tti 的数值：
Tti = Flong, i r （3.40）
车轮系统每帧都会通过迭代算法，计算动力系统和轮胎系统的各个未知量。经计算，得到了
ωeng（t +Δt）、ωi（t +Δt）、Flong, i、Flat, i、Ni 之后，就可以确定对车辆刚体施加的力和力矩。车辆
刚体受到的线性力为：
F =
i
Flong,i + Flat,i + Ni （3.41）
车辆受到的力矩为：
τ =
i
Flong,τ + Flat,τ + Nτ ×Rτ （3.42）
其中 Ri 为第i 个车轮受力点相对车辆质心的偏移量。当车辆系统模拟完车辆的状态之后，可以根
据计算出来的角速度和悬挂行程，来计算车辆的车辆姿态，并把结果反馈给动画系统，做车辆的
动画表现。
破碎效果是物理引擎的重要应用。在一些游戏大作中，破碎效果极大地增强了打击感和震撼力，
是3A 作品不可或缺的特性。一些游戏甚至以破碎效果为主要玩法之一，例如《彩虹六号：围攻》。
物理引擎中，破碎效果的模拟，往往会作为一个比较独立的系统，这是因为物理引擎一般是模拟
刚体的运动。刚体是理想化的模型，它不会因为碰撞发生形变，更加不会破碎。所以，破碎过程
的模拟，就不能把物体作为刚体，而应该有一套独立的系统——破碎系统。
破碎系统需要解决的核心问题，是如何把一个刚体变为若干个其他刚体，也就是碎片。一般的做
法是，物理引擎模拟物体的撞击，当撞击发生时，物理引擎计算出撞击的位置和冲量，将这些信
3.5　破碎系统简介
052
客户端 物理
息交给破碎系统，破碎系统判定是否破碎，如
果破碎，用碎片去代替原来的刚体。然后，破
碎系统将控制权交还给物理引擎，由物理引擎
继续模拟碎片的运动。
一个刚体破碎成若干的刚体，需要两个方面的
计算：刚体质量属性的计算和刚体形状的切割。
这些计算的消耗比较大，不适合在游戏中实时
进行。目前主流的破碎系统，都是事先做好刚
体的分割，在游戏运行的时候，会根据情况，
决定哪些碎片出现，哪些碎片不出现，这样达
到描述物体不同破碎状态的效果。
在分割刚体时，刚体质量属性的计算，包括了
所有模拟刚体运动时，需要的质量属性，如质心、
质量、转动惯量等。刚体形状的切割，为了减
少模拟时的计算量，一般使用平面来切割刚
体，使得切割出来的形状比较简单。平面切割
可以递归进行，获得比较好的效果，如图3.15
所示。
图3.15　平面递归切割
使用平面来切割刚体的形状，计算较简单，同
时有利于生成的结果也是简单的形状。简单的
刚体形状，有利于计算刚体的质量属性。但是，
如果对用于渲染的形状，也只是用平面来切割，
那么效果不会很好。所以，破碎系统除了要切
割刚体的形状外，还要切割用于渲染的形状。
切割渲染形状的面，可以在切割刚体的面上，
增加一些细节，同时带上纹理和UV 坐标，用
于产生切割面的材质。如图3.16 所示，左边
是物理切割的结果，右边是渲染切割的结果。
由于渲染形状的面数可以比刚体的形状更多，
因而能用更丰富的细节来表现切面。
图3.16　切割边界细节
在获得了预先切割的刚体后，游戏运行时可以
通过对碎片的组合，来产生很多不同种类的破
碎模式，只要能参数的破碎模式足够多，那么
玩家就很难发现碎片是被预先切割的，从而得
到比较好的效果。这种方案的原理如下，先按
照破碎层级来组成一个树状结构。在这个结构
中，父节点碎成子节点，子节点可以继续破碎。
根据需要，来设定破碎的层级。当一个破碎条
件触发时，根据触发点的位置和冲量大小，来
决定破碎的程度。同时将相邻的子节点粘合在
一起，这样来获得一个最接近真实情况的分割，
如图3.17 所示。
图3.17　破碎结构树
053
Physics 01/03
布料模拟是游戏引擎中比较重要的一种物理效果，它主要用来模拟人物的衣服随着人物运动而飘
动的效果。布料的物理性质和和刚体差异巨大，因而不使用前面讲述的专注于刚体模拟的物理引擎。
在工程实现上，布料的模拟由单独的布料系统来完成。布料系统负责布料运动的模拟，并让布料
能受到外部的力的影响。
布料系统一般使用弹簧质点模型来描述布料，如图3.18 所示。
弹簧质点模型将布料划分为很多网格，如图3.18 中的黑色网格所示。
网格的每个顶点为质点，其质量为m。所有质点的质量之和，即为整
块布料的质量。为了不让布料散开，表示布料的这些质点之间，使用
弹簧约束连接。当两个质点的距离过远时，约束会施加力，将它们拉
近；反之，约束会施加力将它们推远。
一般布料中的弹簧约束分为三类。第一类是连接网格上相邻两个质点的约束，如图3.18 中黑色
直线所示，这类约束叫做结构约束。结构约束保持布料上各个质点的距离，宏观上的效果是控制
布料的拉伸性的。第二类约束是连接网格对角点的约束，如图3.18 中橙色直线所示，这类约束
叫做切变约束。切变约束保持了布料各行或者格列质点之间保持平行，宏观上控制布料在被拉扯
时，发生切变的程度。第三类约束是连接两个不相邻质点的约束，这两个质点之间仅隔了一个质点，
如图3.18 中蓝色折线所示。这类约束叫做弯曲约束，宏观上控制布料弯曲的难度。
设弹簧质点模型中的第i 个质点的位置为 xi，它的速度为 vi，那么有：
Fi, j = ki, j xi xJ + li, j di, j dt
d xi
dt
d xJ xi xJ
xi xJ
xi xJ
xi xJ
- - - -
- -
- -
（3.43）
上式中，ki, j 为第i 个质点和第j 个质点之间的弹簧约束的胡克系数，di, j 为阻尼系数。综合考虑第
i 个质点受到的所有约束和外力，可以得到：
m =
j
fi,J + mg + fi,ext
dt 2
d 2 xi （3.44）
上式中，mg 为质点受到的重力，fi, ext 为质点受到的外力。对布料的质点解上述的微分方程，就可
以得到质点的位置，从而确定布料的状态。
在模拟布料时，如果需要表现布料和玩家躯干发生碰撞，不会穿插的效果，需要在布料系统中描
述角色的碰撞形状。如图3.19 所示。
图3.18　布料弹簧质点模型
3.6　布料系统简介
054
客户端 物理
图3.19　布料系统角色碰撞形状示意图
为了计算效率，碰撞形状一般为了简单的几何体，如球体、胶囊体、长方体，当布料模拟时，发
现质点和碰撞形状交叉时，就认为发生了碰撞。这个时候，需要纠正质点的位置并给质点施加合
理的外力，这样就能得到布料和物体碰撞之后的效果了。
如果需要角色在运动且布料能有被角色动作牵扯带动的感觉，那么就需要让布料系统和动画系统
进行结合。一般的做法是选取布料上的一些质点，和角色的动画骨骼绑定在一起，让这些质点的
运动跟随动画。其他没有绑定的质点，依然按照布料的方程进行模拟。实践中，会引入一个系数
来表示质点的运动，并显示有多少比例的运动在跟随动画。在布料和角色接触的部分，这个系数
设置为1，让布料和角色一起运动，忽略物理计算的结果。当布料的质点不和角色接触，且原理
角色时，这个系数设置为0，让布料的运动完全符合物理计算的结果。在这两类质点之间的点，
这个值应该逐渐由1 过渡到0，这样能让动画和布料的过渡更加自然。
参考文献
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[2] Grant Palmer. Physics for Game Programmers[M]. Apress, 2005.
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Virtual Reality Interaction and Physical Simulation, 2005.