第5章 数学物理定解问 题 及其工程应 用 CHAPTER5 无论是研究电流或电压怎样随着时间而变化,还是研究静电场的电势在空间中的分布, 或是研究电磁波的电场强度在空间和时间中的变化情况,总之,这都是在研究某个物理量 (电场强度、电势、电压)在空间的某个区域中的分布情况,以及它是怎样随时间变化的,要解 决这些问题,首先必须掌握所研究的物理量在空间中的分布规律和在时间中的变化规律,这 就是物理课程中论述的物理规律。物理规律反映同一类物理现象的共同规律,即普遍性,即 共性。可是,同一类物理现象中,各个具体问题又各有其特殊性,即个性,但物理规律并不反 映这种个性。 为了计算具体的问题,还必须考虑到所研究区域的边界处在什么样的状况下,也就是 说,我们研究的对象处在什么样的环境中,周围的“环境”总是通过边界才传给研究对象,所 以周围“环境”的影响体现于边界所处的物理状况,即边界条件。例如,不同材料的杯子倒入 相同温度的热水,放置在空气中,它们的降温时间长短不同,杯子的材料就是水热传导的边 界。同时,为计算随时间变化的问题,还必须考虑到研究对象的特定“历史”,即它在早先某 个所谓“初始”时刻的状态,即初始条件。边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境 和历史,即问题的个性。在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件。 将物理规律用数学语言“翻译”出来,不过是建立物理量 u 在空间和时间中的变化规 律,而这种规律往往是偏微分方程。物理规律用偏微分方程表达出来,叫作数学物理方程。 数学物理方程作为同一类物理现象的共性,与具体条件无关。在数学上,数学物理方程本身 (不连带定解条件)叫作泛定方程。 这样,问题在数学上的完整提法是:在给定的定解条件下,求解数学物理方程,这叫作 数学物理定解问题,或简称为定解问题。数学物理定解问题分类主要有二阶偏微分方程、二 阶线性偏微分方程、齐次二阶线性偏微分方程以及积分方程等。 5.1 数学物理定解问题的知识点 5.1.1 数学物理方程的导出 数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来,与定解条件无关。而物理规律反映 的是某个物理量在邻近地点和邻近时刻之间的联系,因此数学物理方程的导出步骤为 (1)首先确定所研究的物理量u; 2 06 (2)从所研究系统中选定微元(即力学中的“质点”、电学中的“电路元件”),根据物理规 律分析微元和相邻部分的相互作用(抓住主要影响,忽略次要影响),这种相互作用在一个短 时间段里如何影响物理量u; (3)用算式表达这种相互影响,经简化整理就是数学物理方程。 下面导出一些常见的数学物理方程,它们分别属于三种类型,即波动方程、运输方程和 恒定场方程。 1.波动方程 问题1:均匀弦的微小横向振动,如图5-1所示。 图5-1 均匀弦的微小横向振动 说明:“横向”是指弦上的点沿垂直于x 轴的方向运动;“微小”是指振动的幅度及弦在 任意位置处切线的倾角都很小,以致其高阶项可以忽略不计。弦的重力与张力相比,可以忽 略不计。 解 设弦上某点的横坐标为x,弦上各点的横向位移为u,则横向位移u 为x 和t 的函 数,记为u(x,t)。把弦细分为许多极小的小段,如图5-1所示。分析(x,x+dx)段B,该段 没有重量,且是柔软的,受到邻段A 和C 的拉力分别为T1 和T2。 弦的横向加速度为utt,利用牛顿定律F=ma,段B 的纵向和横向运动方程分别表示为 T2cosα2 -T1cosα1 =0 T2sinα2 -T1sinα1 =(ρds)utt { (5-1) 式中,ρ 为弦的线密度;ds 为段B 的弧长。 由于弦的微小振动,α1 和α2 为小量,则 cosα1 ≈1,cosα2 ≈1 sinα1 ≈α1 ≈tanα1,sinα2 ≈α2 ≈tanα2 ds= dx2 +du2 =dx 1+ (ux )2 ≈dx(ux =.u/.x =tanα ≈α <<1) tanα1 =ux |x ,tanα2 =ux |x+dx 于是运动方程简化为 T2 -T1 =0 T2ux |x+dx -T1ux |x =ρuttdx { (5-2) 式中,T2=T1 表明弦中张力不随x 变化,即整个弦张力相同;同时,每个时刻都有ds=dx, 207 即ds 不随时间 t 变化,因此作用于 B 段的张力也不随时间 t 变化。由此可见,弦中张力与 x 和 t 均无关,为常数,记为T。 运动方程又可以简化为 T() ux|x+dx -ux| x =ρutdx.Tuxx =ρut .ρut -Tuxx = 0 若弦为均匀的,则 ρ 为常数,上式简化 为 -a2=0 =T/ ρ (5-3) 式中,。(t ) 该方程(u) 称为自由(a) 振动方程。(x) (x) x, a为振动在弦上的传播速度(u) 如果弦在振动过程中受到外加横向力的作用,且每单位长度弦所受横向力为F(t), 那么运动方程变成 t)f(t)x,( 该式称为受迫振动方程u。(t ) -a2uxx =f(x,x,=F(t)/ ρ 5-4) 问题2:均匀杆的纵向振动 把杆细分为许多极小的段,分析(x,x+dx)线段B(图5-2)。在振动过程中,段 B 两端 的位移分别为u(x,和u(x+dt),因此 B 段的伸长为u(x+dt)u(t)dt,而 t) x,x,-x,=u| 相对伸长为[u(x+dt)u(t)]=u/dux 。 x,-x,dx= 图5-2 均匀杆的纵向振动 由于杆作纵向振动时,杆上各点的相对伸长是变化的, x (t) 即段 B 的两端分别为ux, x+dx, 和ux (t)。设杆材料的杨氏模量为Y,根据胡克定律,段 B 两端的张应力分别为 Yux (x,和Yux x+dx,则 B 段的运动方程为 t)(t) , x)(t)x, ρ(Sdut =YSux x+dx,-YSux (t) =YSuxdx 式中, S 为杆的横截面积式也可以简化为 ρ 为杆的密度,-a2。上(x) =0 a2=Y/(5-5) ρ 式中,度。该(u) 程称为杆的纵向振动方程。(t ) a为纵向振动在杆中的传播速(u) 方(x) 问题3:传输线方程 。 对直流电路和低频交流电路,线与线之间的电 容 和电感可以忽略不计,但对较高频率的交变电流,电 路中导线的自感和电容的效应不能忽略不计,因此同 一支路中的电流未必相等。 解考虑双线或同轴线,电容和电感是沿着传输 线连续分布的。设传输线单位长度导线电阻、线间电 漏、电容和电感分别为R、G、 C 和L。如图5-3所示, 把传输线分成许多小段,分析(x,x+dx)段,该段可图5-3 传输线 2 08 以看作分立的电阻Rdx 和自感Ldx 串接在线路中,分立的电容Cdx 和漏电阻(I/G)dx 跨 接在两线之间。由电路理论可知,u=Rj,u=L .j .t,j=Gu 和j=C .u .t。基于基尔霍夫电流 定律(KCL定律),两线之间的漏电流(Gdx)u 以及电容Cdx 的充放电,使得该小段两端的 电流减小表示为 j(x,t)-j(x +dx,t)=Gdxu(x,t)+Cdx.u(x,t) .t 而由基尔霍夫电压定律(KVL定律)得到导线电阻Rdx 上的电压降(Rdx)j 和两线之间的 电感Ldx 上的感生电动势(Ldx).j/.t,使得该小段两端的电压降表示为 u(x,t)-u(x +dx,t)=Rdxj(x +dx,t)+Ldx.j(x +dx,t) .t 因此该式可以写成 -dj=Gudx +Cdx.u .t -du =Rdxj+Ldx.j .t ì . í .. .. .jx =-Gu -Cut ux =-Rj-Ljt { . .j .x + G +C . .t . è . . .÷u =0 R +L . .t . è . . .÷j+.u .x =0 ì . í .. .. 若分别消去方程组中的电压u 和电流,则得到 LCjtt -jxx + (LG +RC)jt +RGj=0 LCutt -uxx + (LG +RC)ut +RGu =0 { (5-6) 若导线电阻R 和线间电漏G 可以忽略不计的传输线称为理想传输线,此时的传输线方程为 jtt -a2jxx =0 utt -a2uxx =0 { a2 =1/(LC) (5-7) 问题4:流体力学与声学方程 流体力学中研究的物理量是流体的流动速度v、压强p 和密度ρ。对于声波在空气中 的传播,相应地要研究空气质点在平衡位置附近的振动速度v、空气的压强p 和密度ρ。物 体的振动引起周围空气压强和密度的变化,使空气中形成疏密相间的状态,这种疏密相间状 态向周围的传播形成声波。 记空气处于平衡状态时的压强和密度分别为p0、ρ0,并把声波中的空气密度相对变化 量(ρ-ρ0)/ρ 记为s, s=(ρ-ρ0)/ρ, ρ=ρ0(1+s) 由于空气的振动速度|v|远小于声速,v 是很小的量,且假定:声振动不过分剧烈,s 也 是很小的量。声振动时,空气可以看作没有黏性的理想流体,声波的传播过程可当作绝热过 程,借助理想流体的欧拉型运动方程、连续性方程和绝热过程的物态方程,在不受外力的情 况下,略去v 和s 的二次以上的小量,可以导出声波方程 stt -a2 .2s=0 a2 = γp0 ρ0 . è . . . ÷ (5-8) 其中γ 为空气定压比热容与定容比热容的比值。 假设在声波传播过程中空气是无旋的,即.×v=0,由于对任何存在二阶偏导数的标量 函数u(x,y,z),有.×.u≡0,因此总可以找到一个标量函数u(x,y,z,t)满足v(x,y,z, t)=-.u(x,y,z,t),u 称为速度势,进而可得u 遵从的声波方程为 2 09 utt -a2 .2u =0 a2 = γp0 ρ0 . è . . . ÷ (5-9) 与方程式(5-8)的形式相同。 问题5:电磁场方程 从物理学我们知道,电磁场特性可以用电场强度E 与磁场强度H 以及电位移矢量D 与磁感应强度B 描述。联系这些物理量的麦克斯韦方程组为 rotH =J +.D .t (5-10) rotE =-.B .t (5-11) divB =0 (5-12) divD =ρ (5-13) 其中J 为传导电流的面密度,ρ 为电荷的体密度。 麦克斯韦方程组的两个旋度方程表示变化的电场产生磁场,变化的磁场也能产生电场。 电波的传播就是利用电场与磁场之间的转化,例如,如图5-4所示,一个交流馈电的半波振 子天线,交变的电流会产生变化的电场,变化的电场又产生了变化的磁场,一直往复下去,就 推动了电磁波的传播。第三个散度方程主要表示磁场是一个无源的场,它的磁力线是闭合 的,例如恒定磁场的磁力线,最后一个散度方程表示电场是有源的,电荷是电场的源,如正电 荷产生的场。 图5-4 半波振子传播示意图 这组方程还必须满足下面的结构方程: D =εE (5-14) B =μH (5-15) J =σE (5-16) 其中,ε 是介电常数,μ 是磁导率,σ 为电导率,假定介质是均匀而且是各向同性的,此时,ε、 μ、σ 均为常数。 方程式(5-10)与方程式(5-11)都同时包含E 与H ,从中消去一个变量,就可以得到关 于另一个变量的微分方程。例如,先消去E,在方程两端求旋度(假定H 、E 都是二次连续 可微的)并利用方程式(5-14)与方程式(5-15)得 rot(rotH )=ε . .trotE +σrotE 2 10 将方程式(5-11)与方程式(5-15)代入上式得 rot(rotH )=-εμ.2H .t2 -σμ.H .t 由式rot(rotH )=grad(divH )-.2H ,及divH =1μ divB=0,代入上式后得到H 所满足的 方程 .2H =εμ.2H .t2 +σμ.H .t 这里,.2为第4章提到的拉普拉斯算子。 同理,从方程式(5-10)与方程式(5-11)中消去H ,即得到E 所满足的方程 .2E =εμ.2E .t2 +σμ.E .t 如果媒质不导电(σ=0),则上面两个方程简化为 .2H .t2 = 1 εμ .2H (5-17) .2E .t2 = 1 εμ .2E (5-18) 方程式(5-17)与方程式(5-18)称为(矢量形式的)三维波动方程。 若取E 或H 的任意分量为u,并采用直角坐标系,则可将上述三维波动方程以标量函数的 形式表示出来,即 .2u .t2 =a2 .2u =a2 .2u .x2 +.2u .y2 +.2u .z2 . è . . . ÷ (5-19) 其中a2=1 εμ,u 是E(或H )的任意一个分量,方程式(5-19)是(标量形式的)三维波动方程。 2.运输方程 问题1:扩散方程 扩散:由于浓度的不均匀,使得物质从浓度高的地方流入浓度低的地方; 应用:制作半导体器件采用的就是常用的扩散法; 扩散梯度:在扩散问题中研究的是浓度u 在空间中的分布和在时间中的变化u(x,y, z;t),那么浓度的不均匀程度可以用浓度梯度.u 表示; 扩散强度:扩散运动的强度可用扩散强度q 表示,即定义为单位时间内通过单位横截 面积的原子或分子,或质量。 解 根据扩散定律 q =-D.u . qx =-D .u .x qy =-D .u .y qz =-D .u .z ì . í .... .... (5-20) 式中,D 为扩散系数,与介质的温度有关。 利用扩散定律和粒子数(或质量)守恒定律导出三维扩散定律。把空间细分为极小的小 2 11 平行六面体,该六面体位于(x,x+dx;y+dy;z+dz),如图5-5所示。 图5-5 平行六面体 先考虑单位时间内x 方向的扩散流。左表面的流量 qx|xdydz 和右表面的流量qx|x+dxdydz 分别是流入和流 出平行六面体的,则单位时间内x 方向的净流入流量为 Δx =-(qx |x+dx -qx |x )dydz =-.qx .xdxdydz = . .x D .u .x . è . . . ÷ dxdydz 同理,可以得到单位时间内y 方向和z 方向的净流入流 量为 Δy = . .y D .u .y . è . . . ÷ dxdydz Δz = . .z D .u .z . è . . . ÷ dxdydz 利用粒子数(或质量)守恒定律,若平行六面体内无源,则平行六面体中单位时间内增加 的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数 .u .tdxdydz = . .x D .u .x . è . . . ÷ + . .y D .u .y . è . . . ÷ + . .z D .u .z . è . . . ÷ é . êê ù . úú dxdydz 式中,.u .t为浓度的时间增长率,即单位时间内平行六面体中单位体积内增加的粒子数。整 理上式,得到 ut - . .x D .u .x . è . . . ÷ + . .y D .u .y . è . . . ÷ + . .z D .u .z . è . . . ÷é . êê ù . úú =0 (5-21) 若扩散系数D 在空间中为均匀的,则式(5-21)简化为 ut -D (uxx +uyy +uzz)=0 取a2=D ,可得 ut -a2 .2u =0 (5-22) 若物体内存在扩散源,且其强度(单位时间内单位体积中产生的粒子数)为F (x,y,z; t),那么扩散方程为非齐次扩散方程,即 ut -a2 .2u =F(x,y,z;t) (5-23) 问题2:热传导方程 类似于扩散,温度不均匀时,热量从温度高的地方向温度低的地方转移,这就是热传导 方程。此时要研究的是温度在空间的分布和在时间中的变化u(x,y,x;t)。 根据热传导定律 q =-k .u (5-24) 式中,k 为热传导系数。 解 利用热传导定律和能量守恒定律可以导出三维热传导定律。首先把空间细分为微 小的平行六面体,该六面体位于(x,x+dx;y+dy;z+dz)。 类似于扩散方程的方法,由热传导定律分别导出单位时间内x 方向、y 方向和z 方向的 净流入热量为 2 12 Δx = . .x k.u .x . è . . . ÷ dxdydz Δy = . .y k.u .y . è . . . ÷ dxdydz Δz = . .z k.u .z . è . . . ÷ dxdydz 利用能量守恒定律,若平行六面体内无热源,那么平行六面体中单位时间内增加的热量 等于单位时间内的净流入热量,即 cρut - . .x k.u .x . è . . . ÷ + . .y k.u .y . è . . . ÷ + . .z k.u .z . è . . . ÷ é . êê ù . úú =0 (5-25) 式中,c 为比热,ρ 为密度。对均匀物体,k、c 和ρ 均为常数,则式(5-25)简化为 cρut -k(uxx +uyy +uzz)=0 取a2=k cρ,可得 ut -a2 .2u =0 (5-26) 若物体内存在热源,且其热源强度(单位时间单位体积中产生的热量)为F(x,y,z;t), 那么热传导方程为非齐次偏微分方程,表示为 ut -a2 .2u =f(x,y,z;t) (5-27) 其中f(x,y,z;t)=F(x,y,z;t)/(cρ)。 3.恒定场方程 所谓的恒定场,就是场量不随时间变化,只与空间有关。 问题1:稳定浓度分布 如果扩散源强度F(x,y,z)不随时间变化,扩散运动持续进行下去,最终稳定状态,空 间中各点的浓度不再随时间变化,即ut=0,于是,式(5-23)成为.·(k .u)=-F(x,y,z),如 k 是常数,则有 k .2u =-F(x,y,z) (5-28) 这是泊松方程。若没有源,则是拉普拉斯方程 .2u =0 (5-29) 式(5-28)和式(5-29)是浓度的稳定分布方程。 问题2:稳定温度分布 如果热源强度F(x,y,z)不随时间变化,热传导持续进行下去,最终将达到稳定状态, 空间中各点的温度不再随时间变化,即ut=0,于是式(5-27)成为.·(k .u)=F(x,y,z), 如k 是常数, k .2u =-F(x,y,z) (5-30) 这也是泊松方程,如没有热源,也简化为拉普拉斯方程 .2u =0 (5-31) 式(5-30)和式(5-31)是温度的稳定分布方程。 问题3:静电场方程 现在从麦克斯韦方程组式(5-10)~方程式(5-13)与结构方程式(5-14)~方程式(5-16)推 2 13 导出静电场的电势所满足的微分方程,对于静电场情形.B .t =0,由式(5-11)有 rotE =0 即静电场的电场强度是无旋场,旋度为零,即保守场,这时电场强度E 与电势u 之间存在 关系 E =-gradu 代入式(5-14)和式(5-13),有 div(gradu)=-ρ ε 而div(gradu)=.2u,于是静电场的电位必须满足 .2u =-ρ ε (5-32) 这个非齐次方程叫作泊松方程。 如果静电场是无源的,即ρ=0,则方程式(5-32)变成 .2u =0 (5-33) 这个方程叫作位势方程或拉普拉斯方程,即无源静电场的电势满足拉普拉斯方程。 4.亥姆霍兹方程 方程 .2u +λu =0 称为亥姆霍兹方程。第6章讨论用分离变量法求解波动方程、热传导方程时会用到这个方 程。量子力学状态薛定谔方程是典型的亥姆霍兹方程。 -h2 2m .2φ(x,y,z)+V(x,y,z)φ(x,y,z)=Eφ(x,y,z) (5-34) 其中V(x,y,z)是粒子势能,φ(x,y,z)是描述微观粒子运动状态的所谓波函数。如果采用 习惯的记号u(x,y,z)代替φ(x,y,z),并加以整理,式(5-34)就成为亥姆霍兹方程形式 .2u +λu =0 (5-35) 其中λ=2m h2 (E-V)。 显然,当系数λ=0时,亥姆霍兹方程式(5-35)就退化为拉普拉斯方程。 5.1.2 定解条件 定解条件包括初始条件、边界条件,还有衔接条件。有时衔接条件也称为边界条件,只 是与下面介绍的三类边界条件有些差别而已。 1.初始条件 所谓的初始条件,是指某个物理量在“初始”时刻的状态,而这个“初始”时刻也是相对 的。5.1.1节讨论的三类微分方程分别为输运方程、波动方程和恒定场方程,其方程形式中 分别包括物理量的一阶偏导、二阶偏导和无偏导项。 对输运方程(扩散、热传导),初始状态是指所研究的物理量u 的初始分布(如初始浓度 分布、初始温度分布),因此初始条件为 u(x,y,z;t)|t=0 =φ(x,y,z) (5-36) 2 14 式中,φ(x,y,z)为已知函数。 对波动方程(弦、杆、传输线和电磁波),不仅需要给出初始“位移” u(x,y,z;t)|t=0 =φ(x,y,z) (5-37) 还要给出初始“速度” ut(x,y,z;t)|t=0 =ψ(x,y,z) (5-38) 从数学角度看,对泛定方程中出现一阶导数ut,方程为一阶微分方程,只需要初始条 图5-6 两端固定,长为l 的弦 件,如输运方程;而对泛定方程中出现二阶导数utt,方程为 二阶微分方程,需要两个初始条件。 注意:从给出的初始条件u(x,y,z;t)|t=0=φ(x,y, z)或ut(x,y,z;t)|t=0=ψ(x,y,z)可以看出初始条件是 针对整个系统的初始条件。 举例:一根长为l,两端固定的弦,用手把中点拉开,然 后任其振动,如图5-6所示。 此时初始条件就是放手的那个瞬间弦的位移和速度。初始速度和初始位移分别为 ut(x,t)|t=0 =0,u(x,t)|t=0 = (2h/l)x 0