第三章

怀尔德的数学教育研究
怀尔德高度重视基础数学教育、高等数学教育普及与教学研究工作，曾担任过美国数学协会主席，并积极参加美国数学教师协会(National Council of Teachers of Mathematics，NCTM)、美国国家教育研究会(National Society for the Study of Education,NSSE)等教育组织的相关会议，发表数学教育方面的演讲和研究论文，他也是当时美国新数学运动的积极参与者、鼓动者，对贝格尔等领导的数学教育改革有着重要的影响，对我们今天反思美国的数学教育改革具有一定的借鉴意义。
一、 数学教育创新的必要性
1973年，美国数学教师协会在密歇根州举办的会议上，怀尔德做了题为《数学与其他学科之间的关系》的研究，虽然题目如此，但所表达的主旨却是数学教育的重要性，或者说正是由于数学与其他学科的密切关系才决定了数学教育的重要性。WILDER R L． Mathematics and its relations to other disciplines［J］． The mathematics teacher, 1973, 66： 679685．怀尔德指出，大多数人都会采用“与其他学科的关系”这句话来说明数学的用途。除在日常生活中使用算术之外，数学还有其大多数所谓的应用，首先是天文学，其次是导航、测量、物理和其他自然科学。随着统计学和计算机的出现与发展，数学的应用也越来越广泛，社会科学特别是心理学、经济学、政治学，甚至是社会学、人类学、语言学、法律、历史和文学等领域，都在一定程度上实现了数学化。《美国经济评论》杂志很少在第二次世界大战前发表包含数学内容的文章，但今天任何阅读该杂志的人都会遇到严重困难，除非他拥有微积分和线性代数方面的知识。现代商业以及我们文化的大部分均以科学为基础，例如技术、医学、军事，以及通信和交通，这些在很大程度上都依赖于数学。
怀尔德认为，上述应用代表了数学的技术或“紧迫”应用，尽管重要且满足重大需求，但这并不是数学的唯一用途。还有两种经常被忽略或根本没有被意识到的用途。其中第一个虽然仍是技术性的，但基本上与大学教师所谓的纯粹数学或基础数学有关，尽管这些数学似乎没有实际用途。诸如詹姆斯·克拉克·麦克斯韦(James Clark Maxwell,1831—1879)方程、非欧几何等例子可以说明，这些所谓纯粹的数学理论后来都在现实中得到了应用。当前，数学在社会科学中的应用不断被发现，所谓的现实世界很多现象能用纯粹数学来表达。博弈论、图论都是纯粹数学的产物，却在社会科学中得到了广泛的应用。也许那些感叹现代数学如此抽象的人，很可能忽视了数学的自然进化是现代文化的重要组成部分。
怀尔德通过几个案例来说明，对一个学生在数学方面进行全面的教育训练是非常重要的，学生可以用一些相关领域的经验来建构其数学，并在很大程度上导致其形成数学的基本思想。特别是，他应该理解数学与其文化其他部分之间的关系，为何数学的发展超越了单纯计数集合的语言工具和一种算术技术。若教师不能用数学吸引那些有能力欣赏数学在社会中如何发挥作用的学生，那他就不应去教书。为让学生对数学概念有一个正确的理解，必须给他一个数学的直观意义。数学并不是一门绝对的科学，不管你深入其根源有多深，最终会发现它是建立在直觉基础上的。对数学基础的现代研究揭示了这样一个事实，如果不了解一个数学概念是如何、为什么以及由我们文化的哪些方面而被首次引入的，学生可能会变得沮丧、讨厌数学或者会变得教条，成为一个狭隘的只会进行复杂数学运算的专家，但却不知道数学的重要思想及其如何与文化密切关联。应指导学生研究一个不熟悉的问题，分析其基础、选择所涉及的关键概念，并将其翻译成数学语言。我们生活在一个越来越跨学科的世界，数学和数学教学都必须适应这种情况。为在现代工业和科学界占有一席之地，必须对课程进行调整，以适应数学专业和一些普通学生对数学的需要。否则我们不仅将错失一个改善数学教育的机会，也将失去利用日益增长的数学需求，训练我们文化中的数学和数学思维方式的机会。
1970年，怀尔德为美国国家教育研究会的年刊文集撰写了题为《数学课程创新的历史背景》的文章，包括“变化现象、数学学科的发展、现代数学的特征和数学课程的重建”四部分。WILDER R L． Historical background of innovations in mathematics curricula［C］// BEGLE E G． Mathematics education： the sixtyninth yearbook of National Society for the Study of Education： Part Ⅰ． Chicago： University of Chicago Press, 1970： 722．怀尔德指出，把数学作为一门计算科学的流行观念是一种错误想法，它建立在强调训练方法的过时课程基础上，使得那些具有心算特长的“数学天才”在面对现代数学概念时往往显得相当愚蠢。大多数人没有认识到一些技术变化是基础数学发展的直接结果，一个常见的例子是计算机技术。也许某个路人甲会认为计算机技术带来的革命性变化在某种程度上与基础数学有关。但他可能不会知道，在过去50年里，数理逻辑和自动机理论发展所代表的变化与此有关，他甚至根本不知道存在这样的研究领域。他通常会认为基础数学从来没有发生过变化，计算机技术只是数学代表的不变“真理”的另一种应用。因为，小学和中学所教授的数学在19世纪以来都没有发生重大变化，而基础数学却在内容和方法上都发生了根本性的变化。为此，怀尔德阐述了数学学科从计数开始，到现代数学抽象结构本质的进化史，尤其是群论和拓扑学理论的历史发展； 并提到苏联人造卫星上天导致美国民众对科学教育的批评； 20世纪以前只有在普林斯顿这样杰出的大学里才教授微积分。长期以来，数学和数学课程都发生了变化，随着数学自身在基础和应用方面的发展，可以期待以往在大学开设的课程将在高中阶段开设。与此同时，更多的高中课程必须进入中小学阶段。为完成这一转变，必须把重点放在数学作为结构的研究上。也许现代课程制定者的主要任务是始终牢记数学课程的主要目标是训练人的数学思维方式。随着数学的发展，从小学到研究生院各个阶段的课程都发生了变化，这是不可避免的。令人遗憾的是，小学和中学课程多年来一直固定在基础内容上，导致目前的改革不得不如此突然。然而，一旦目前正在进行的变革进入令人满意的模式，很可能在一段时间内不需要再进行根本性的变革。至少，课程改革的历史似乎预示着这一点。然而，历史发展与怀尔德的设想正好相反，当时美国的“新数学运动”最终以失败告终，不得不又重新强调“回到基础”。
二、 数学课程中的数学史
1969年，怀尔德在吉布斯讲席报告《研究工作的社会含义及其趋势》中就曾指出，WILDER R L． Trends and social implications of research［J］． Bull． Amer． Math． Soc．，1969, 75： 891906．在这个国家，一种研究应该振兴却似乎被忽视了，那就是数学史。他认为数学史被忽视的原因主要有三个： 一是美国历史学家主要对初等数学史感兴趣，虽然有一些数学史研究值得注意，如库里奇和埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell,1883—1960），但他们都不是历史学家，因而也不会有追随者。二是随着数学在这个国家的成熟，历史写作被认为是更具解释性而非创造性的，而且拓展数学前沿的活动也需要动用所有可用的人力。三是在当前高校盛行的系制下，数学史逐渐被吸收转入科学史系。这种发展本身并没有什么问题，但不幸的是,要想对现代数学史做出公正的评价，就需要具备与普通数学博士研究生通常期望的同等知识。怀尔德了解到一个学生显然已经为数学博士学位做好准备，但他对现代数学史的一个课题非常感兴趣，因此想写一篇论文。然而为了完成这一目标，他必须要转到所在学院科学史专业并满足该系的要求。希望这种情况将来可能会改变，特别是因为对现代数学发展的一些系统记录能得到充分处理的时间已经过去了。如果你问两个或两个以上老数学家对世纪之交后不久，一些重要数学概念创新情况的看法，你会发现他们不仅在细节上意见不一，而且有些数学家可能无法对历史给出任何回忆。怀尔德提醒大家，需要注意到的是，一直以来苏联数学界对数学史的研究相当活跃。
1971年，怀尔德在宾夕法尼亚州立大学举办的美国数学协会夏季会议上，曾做过一次《数学课程中的历史： 它的地位、特性与功能》的演讲，后来在《美国数学月刊》上发表，WILDER R L． History in the mathematics curriculum： its status, quality and function［J］． American mathematical monthly, 1972, 79： 479495． 或见法文重印版： WILDER R L． La Historia en el programa de Matematicas： su estado ca1idad y function［J］． Bo1etin de Matematicas, 1972, 6： 2358．并因该文于1973年获得美国数学协会的福德贡献奖。详见MAA网站介绍： https： //www．maa．org/programs/maaawards/writingawards/historyinthemathematicscurriculumitsstatusequalityandfunction. 怀尔德认为，造成各个研究机构、大学不重视数学史课程的原因，可能在于历史本身的属性。在历史研究衰落的过程中，数学本身一直在经历着黄金时代的飞速发展。在数学理论的发展时期，人们对历史研究的兴趣减弱似乎是有道理的。既然未来如此诱人地召唤我们，为什么还要为过去烦恼呢？数学家中有一种近乎轻蔑的倾向，这表明历史研究在某个方面已经声名狼藉。攻读历史专业学位的人很可能被调到教育学院或科学史系，这使得有研究能力的年轻人对数学历史的研究更加不感兴趣。然而，如果没有开设实质性的数学史课程，如何培养学生对数学历史的兴趣呢？考虑到数学课程已经很多的情况，再多的劝诫和恳求也无法克服人们对数学史的冷漠。只有两个办法可以让数学史在课程中竞争到一席之地： 一是要设计出不仅能吸引学生而且对其未来有内在价值的课程； 二是找到一种让数学史重新焕发活力的方法，使数学史研究的兴奋感和数学研究本身一样伟大和有益。
怀尔德指出，历史在数学课程中的作用是能够满足学生的兴趣，能够服务于人文主义的目标和数学教学的目标。它不仅应该开阔一个人的视野，显示出数学在文化中的地位，使一个人知道适合自己的数学领域，以及这个领域最初是如何产生的，并给他一种判断其发展发向的方法。数学历史的教学应该适应学生需要，数学家都有权利关心历史教学，数学史是“一门大势所趋的学问”。如果我们把数学的历史看作是概念和思想的总体发展，那么我们已经把它提升到了更高的抽象层次。我们应该从一个比数学更高的层次来展示数学的历史，把数学作为一个活的、不断进化的有机体来看待，把数学作为一种文化来研究。怀尔德建议开设一门“数学概念和理论的进化”的学期课程，让学生知道类似于“数学是如何发展到今天的”这样问题的答案，以及数学未来的大致发展方向。这样的课程将以历史为基础，此处的历史是指不断进化的数学子文化。该课程所涉及的历史可以是古代的，也可以是现代的，或者两者兼而有之，选取何种历史取决于学生对该内容的熟悉程度。怀尔德阐述了数学进化的不同历史阶段，并给出了数学进化的12个动力因素及其相关解释。数学进化论可以用科学的工具研究直觉主义、形式主义、建构主义、柏拉图主义或其他任何数学哲学的进化方式。怀尔德给出了一个他在加州大学圣巴巴拉分校开设的数学史课程的例子，给出了详细的课程大纲，以及函数、集合概念进化的教学案例。怀尔德指出，显然这不是一门正统的历史课程，它更像是科学史家所说的数学史科学。他热切地期待着在课堂上以一种更新的形式重振历史，甚至数学史这门学科能达到设立数学博士学位这样的程度。
三、 大学数学教师的教学指南
1970年，怀尔德为美国教育协会的文集《有效的高校教学》撰写了一篇大学数学新教师的教学指南，WILDER R L． The beginning teacher of college mathematics［M］//MORRIS W H． Effective college teaching： the quest for relevance．Washington： American Council on Education, 1970： 94103． 或见： WILDER R L． The beginning teacher of college mathematics［J］． CUPM Newsletter, 1970, 6： 1524．包括“数学的文化地位、数学作为一种语言、数学作为一门艺术、(数学作为)一门结构与关系的科学、教学方法、教学指南”六部分。怀尔德指出，大学数学新教师应具备的一个最重要特性是，了解数学的一般特征及其在我们文化中的地位。数学与其他学科，如人文学科中的语言学、哲学等都有关系，数学定律的进化就像人类行为其他方面一样，是一种人类的构造。尽管当今大学僵化的院系结构似乎将数学与其他科学和人文学科分开，但它们之间的界线是人为划分的。其实数学在过去的大部分时间里一度被视为一门文科(liberal arts)学科。如果新教师受过的教育没能掌握这类知识，他也没必要去修数学史或数学哲学课程来弥补不足。这些课的教学方式可能也无法提供这方面的信息，只需浏览一些关于这一主题的书籍和文章就能做得更好。为此，怀尔德向大家推荐了贝尔的《数学的发展》、克莱因的《西方文化中的数学》，以及他自己的《数学概念的进化》。
怀尔德指出，把数学看作科学的语言是一种流行看法。由于语言通常被认为是人文学科的一部分，这种看法将使数学成为一门人文学科。数学有许多人文主义的方面，只是如今没能像文科那样得到充分认识。数学在其早期发展历程中，实际上是普通语言的一部分。现代数学概念和形式的多样化发展，使得它不再被普通大众看作是一种语言。就像音乐在非音乐家眼中的地位一样，对非音乐家来说，音乐就是一种娱乐形式，而对于专业音乐家尤其是作曲家来说，音乐有许多概念和形式，只有经过专业音乐训练的人才能欣赏其艺术和美学价值。所以，数学更像是一门艺术，对这个观点有比“数学作为一种语言”更有力的理由。许多数学家同意这种对数学的描述，并认为其创造性工作本质上是一种艺术努力。此外，如果我们比较如下创作的心理过程，例如，一种新数学结构的发明，一幅现代绘画的完成，一首交响曲的作曲，会发现三者的创造过程几乎是相同的。今天的大多数数学家可能会同意，数学是一门结构和关系的科学，它是在外部文化和内部增长压力的影响下，从算术和几何的原始形式进化而来的。因此，数学获得了许多人文素质，根据其用途被作为一种语言和一种艺术。许多人主张在数学教学中，应该抓住那些有助于灌输我们文化价值的数学特征。即使那些未来纯粹从技术性角度运用数学的学生，了解数学在文化方面的特征对他们也很有益。让学生在大学前以及大学过程中花费数年时间学习数学，但又不了解它在人类文化中的地位和意义是非常可悲的。
怀尔德认为，大学数学新教师可能没接受过任何教学方法的课程学习或指导，他的教学主要受到以下三个因素的强烈影响： 在他学习期间给他印象最深的教师所使用的教学方法，他希望如何被教授这些科目而他正这样教别人的个人体会，以及他对于如何采取最佳方式面对特定学生的个体直觉。这三个因素不是独立的，因为每个因素都对另外两个因素有影响，这取决于教师过去的经验。没学生学习的教学是不能称为教学的，在讨论什么是“好的”教学时，这个事实似乎总被忽视。在教学过程中，学生的责任和教师的责任一样多，要不时地提醒学生这一事实。教授一门学科的人是会自主学习的，但许多大学生不明白这个道理，正如普鲁塔克(Plutarchus，约46—120)所说的： “头脑不是一个需要填满的容器，而是一团需要点燃的火焰。”教师的任务就是点燃这团火焰。
怀尔德为大学数学新教师给出了十条具体的教学指南。
一是在没有调动学生积极性之前不要引入新的概念。他通过数学归纳法的教学案例说明，教师应该学会利用学生已有的知识，调动学生积极性去自己发现数学归纳法的原理。
二是要坦诚。当教师不能不懂装懂，一个班的学生通常会尊重和同情一个承认他不知道问题答案并解释其原因的教师。相反，通过鼓励、帮助学生发现答案对其非常有益，有利于建立学生的主动性，提高学习兴趣。这一原则的一个例外是教师“假装不知道”的教学技巧，以便在课堂帮学生找出答案。事实上，一个教师总使用这个教学技巧的情况下，即便他真不知道答案的时候，全班学生也都会认为他知道答案。
三是不要准备过度。数学教学中过度的准备可能会导致枯燥的讲授和课堂中断，今天的学生更有进取心，他们很可能拒绝被“说教”，更希望有权参与某个话题的讨论。
四是不要害怕学生提出与课程不相干的话题。如不遵守这一原则，学生可能会对教学主题和老师都产生敌意。当然，如果学生提出的话题太特殊，不太可能引起全班同学的兴趣，那么最好告诉提问者，他可以在课堂外与老师继续讨论这一话题(并解释原因)。
五是避免单纯的训练方法。符号反射式教学就像一种对愚蠢动物的教学方式，容易让学生憎恨数学。“数学是一种活动，数学就是要做数学”这类话有一定道理，但这并不意味着数学学习要进行重复性训练。计算能力也并不是数学能力的象征，一些最好的数学家往往在计数方面很蹩脚。
六是保持对数学的热情。数学家对其后继者和社会均负有责任，有义务把他们传承下来的知识火炬继续传递下去。对有研究兴趣的人来说，这应该没问题。如一个人没有研究兴趣，仍有很多方法可用来保持其对数学的热情。其中之一是浏览大量文献，这些文献可以解释性的书籍和文章的形式获取。在阅读过程中，教师应根据自己的数学兴趣，注意发现重要的内容。还有就是参加专业会议，因为这样可以提供与自己有类似兴趣的其他人建立联系的机会，也有机会聆听杰出人物的演讲。
七是善于接受数学的一般性本质问题。对新教师来说，最令他困扰的问题是，总会有不愿把时间浪费在无用话题上的学生向他提问“这有什么用？”，而这一问题的回答对后续教学而言至关重要，且对学科发展往往也具有重要意义。与普遍看法相反，数学不是一门绝对的科学，而是在内容上允许一定任意性的一门学科，它不像自然科学和社会科学那样，受“观点不如证据重要”这一说法的约束。因此，它为学生参与课程内容提供了一个极好的机会，同时也对教师提出了挑战，要求他们为课程中选择的主题辩护，这在研究生课程中越来越普遍。
八是明确数学定义的作用。数学教学的大部分内容涉及定义概念。这些概念中的一些已经成为学生心理系统的一部分，但只是一种直觉观念。教师的任务之一是利用这种直觉的同时，弄清楚为什么数学家还要定义这些概念。向学生解释这一点将有助于进一步解释数学的一般性本质。
九是尽可能单独了解每个学生。由于大学学生人数的增加，这变得更加困难，迫使各大学倾向于大班教学和使用助教。一些最需要进行咨询的学生可能会犹豫是否寻求教师的帮助，他们可能将面临极度沮丧和最终辍学的风险。随着教师变得更有经验，他将能够更容易地发现这类学生。
十是避免仅仅是向学生教学。教师应将教学视为一个师生共同合作的过程，其中教师是一位知识渊博的指导者，但教师也不是绝对正确的。同样，他所教授的科目也不是绝对正确的，数理逻辑和数学基础的现代研究最终揭示了数学的局限性和任意性。


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第四章

怀尔德的数学基础研究
怀尔德的数学文化思想是在其对数学基础问题几十年的学术研究、教学反思和哲学思辨过程中不断孕育发展起来的。从早期思考“数学证明的本质”，到数学家大会上发表《数学的文化基础》演讲，给学生开设“数学基础简介”课时的哲学与文化思考，到“数学概念的进化”以及“数学作为一种文化体系”的理论构建，无不显现出怀尔德作为一个一流数学家、哲学家，在思考人类文化本质以及数学文化本质的过程中所展现出来的那种深刻洞见。他也因为把人类学、文化学思想运用到数学哲学思考上而获得了学界的赞誉。毫无疑问，怀尔德是数学文化研究领域的奠基人和先驱者。
一、 证明的本质
1944年怀尔德在《美国数学月刊》发表了《数学证明的本质》一文，是他最早在以往的纯粹拓扑学研究之外，开始思考数学基础问题的文章。通过查阅得州大学奥斯汀分校多尔夫·布里斯科美国史中心保存的怀尔德手稿等文献资料，可以发现怀尔德的一个关于对数学基础和相关内容注记的笔记本。WILDER R L． History and foundations of mathematics： research notes［A］//Raymond Louis Wilder Papers, 1914—1982, Archives of American Mathematics, Dolph Briscoe Center for American History, University of Texas at Austin． Box 8636/23． 笔者在这里要特别感谢得州大学奥斯汀分校硕士研究生张溢同学的热情帮助，他多次去多尔夫·布里斯科美国史中心帮忙申请了怀尔德相关手稿的扫描件，我们接下来也将在表述中按照美国史中心规定的档案文献学术引用规范，科学标记档案资料的来源和储存位置。
笔记本里主要是怀尔德手写的数学学习笔记，还贴有一些著名数学家的文章索引。例如,大卫·希尔伯特曾在德国数学年刊上的两篇文章内容剪纸，分别为《公理化思想》HILBERT D． Axiomatisches denken［J］． Math． Ann．， 1917, 78： 405415． 怀尔德的笔记本中贴纸显示该文为1918年，但网络查询到该文是1917年，第78卷。和《数学的逻辑基础》HILBERT D． Die logischen Grundlagen der Mathematik［J］． Math． Ann．， 1922, 88： 151165．文中的部分内容，主要是希尔伯特文章的原话，怀尔德在贴纸间隙用英文手写了一句话： “What is nature of proof this？”可见，怀尔德作为身处20世纪初的著名数学家，一定会聚焦于20世纪初那场发生在数学基础主义三大流派之间的哲学论争，这也是他开始对数学基础问题进行哲学思考的根本动因。
怀尔德在《数学证明的本质》一文开篇即指出： “在冒昧地跟大家讨论‘数学证明的本质’这样一个题目之前，让我向大家保证，我这样做并不是为了提出任何新的或惊人的事实，我这样做是因为我认为这对我们是有好处的。各类数学专家们经常使用模糊的术语讨论，我们应该不时停下来反思正在做的事情和我们是如何做的。当然，我们把大部分的时间和精力投入证明的行动之中。首先问大家一个问题。你相信有人能够最终证明皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat，1601—1665)定理吗？或者你相信有人能证明连续统假设吗？如果我们能找到定理证明，证明它们解的关键问题，那么很多的数学问题就会得到答案。”WILDER R L． The nature of mathematical proof［J］． American mathematical monthly， 1944, 51： 309323． 这是怀尔德1943年11月28日在芝加哥举办的美国数学协会会议上的邀请演讲，后应论文出版编辑的要求，他在文末以附录的形式对其中涉及的完全集、序集、良序集、连续统假设等数学概念给出了详细的注释。
怀尔德指出，我们教授经典几何学等需要证明来解决问题的数学内容时，不断地要求学生证明一些定理。我们经常在学术期刊上看到一些文章，收录一些旧定理的新证明，这些证明之所以合理，要么是因为其更简单，要么是其要求更少的逻辑假设。我们观察到对数学逻辑证明方法的研究，特别是那些被称为希尔伯特思想流派的人，或者受到其影响的数学家们的研究。我们意识到，已发表的证明没有得到普遍接受，不是因为在逻辑推理中出现了任何错误，而是因为可被发现而且是相当无害的一些原则。怀尔德推荐讨论逻辑方面的文章应从罗素的《数学原理》开始。接下来，怀尔德讨论了数学归纳、实例证明、演绎与抽象、建构方法、非一致性原则等数学证明的类型。怀尔德指出数学证明中的教条主义，牛顿和莱布尼茨建立的微积分从现代数学标准来看就没有任何基础，但你不能说它不是数学。在定理证明的思想资源方面，怀尔德非常重视“直觉”的重要作用，数学的定理源于直觉，那么数学证明的角色是什么呢？在怀尔德看来，“数学证明仅仅是对那些我们通过直觉提出之问题的检验过程”。而且有各种各样的检验方法，如三段论、代换、有限选择等。
最后，怀尔德总结道： 我想重申我的信念，即我们在数学中所说的“证明”只不过是对我们直觉产物的一种检验。显然，我们并不拥有，也可能永远不会拥有那些独立于时间的证明标准、需要证明的东西和运用它的人或思想流派。在这种情况下，无论社会公众会怎么想，似乎只能承认数学中一般来说没有绝对的真理。我们的直觉给出一些结果，它们在数学上似乎是可接受的，而且被证明是公众普遍喜欢的。我们用所谓的“证明”来检验这些结果，当然，如果它们没能通过这样的检验，或者更糟糕的是如果它们的假设导致矛盾，我们不会把这些结果传递给同事，让他们判断这些数学结论的价值。当然，就这一点而言，我们不能对这些结果采取自以为是的态度，甚至是对于我们信赖的四则运算。但我认为，我们可以依靠直觉和我们称为“证明”的检验作为综合证据，即使后者可能被我们的一些同事以某种方式拒绝，可能是基于超自然的力量，或者基于一个上帝的立场，他们所认为的数学宇宙规则。
怀尔德直言不讳地说： “我想自己是一个直觉主义者，因为我认为一个数学家的判断标准是他直觉的质量和可靠性，至少他有能力证明一些问题。而且我倾向于认同我曾听过数学家E．H．莫尔的观点‘时间可以证明其严谨性’，我们当然要感谢那些早期的数学家，从今天的角度来看，他们的严谨性可能是不存在的。如果你们能原谅我个人修改上述论调，那么我认为如果我的直觉告诉我某个定理是可接受的，而且似乎没有矛盾，我将以任何我能证明的方式来证明它。如果我的证明所利用的方法或假设比我的同道更教条，我就会选择彻底拒绝它。如果它看起来在数学上很重要，我将以同样方法证明它并希望把它投递给一个有信誉的期刊。同时，我不会说它是‘真理’‘绝对严谨’，虽然我知道它可能是‘完美概念’的一部分，但在数学世界里没有完全的自然栖息地。”正如对该论文的评论者指出的，怀尔德认为无论何时我们要证明一个数学定理，我们在证明定理的同时需要检验证明定理的方法，如果给定的证明方法导致定理的不可接受性，那它大概也就会被数学家共同体所拒绝，而数学家共同体的一致同意被认为是数学可接受性的终极判断标准。MCKINSEY J C C． Review of Wilder, R． L, The Nature of Mathematical Proof［J］． Journal of Symbolic Logic， 1944, 3： 73．
从怀尔德的上述观点来看，他对于数学证明的信念是直觉主义的、经验主义或拟经验主义的，他对于从欧几里得(Euclid，公元前325—前270)开始就建立的演绎性、公理化证明，尤其是大卫·希尔伯特发展起来的形式主义证明是持批评态度的，认为他们是教条主义。他曾告诉过数学家鲁本·赫什，自己的作品中含蓄地挑战了形式主义和柏拉图主义思想。赫什问他为何不直接说出来，因为怀尔德没兴趣卷入哲学争论之中。HERSH R． Experiencing mathematics： what do we do, when we do mathematics?［M］. Providence： American Mathematical Society, 2014： 62．在怀尔德的作品中可见，他显然是非常认同哈代思想的，在其后续的演讲、论文和著作中多次引用哈代的言论也是明证。对于数学证明，哈代曾主张： 严格来说，没有数学证明这样的东西； 我们可以在最后的分析中什么也不做，但必须指出证明就如同我和约翰·李特伍尔德(John Littlewood，1885—