板块三、选填压轴题


考点1、函数图像与性质综合

题型1指对函数比较大小拓展


1. 对数值正负判定有八字真言： “同区间正，异区间负。”
(1) 如果底数和真数均在（0,1）上，或者均在（1,+∞）上，那么对数的值为正数； 
(2) 如果底数和真数一个在（0,1）上，一个在（1,+∞）上，那么对数的值为负数。
2. 构造函数法。
根据条件的特点进行化简，构造形式上的统一化，利用函数性质(对称性，周期性)将自变量放入至同一单调区间中进行比较。
3. 数形结合法。
如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小。

【例1】(2016全国Ⅰ卷理8)若a>b>1，0<c<1，则（）。

A. ac<bc         B. abc<bac   
C. alogbc<blogac       D. logac<logbc
【答案】C。
【解析】A： 考虑幂函数y=xc，因为c>0，所以y=xc为增函数，又a>b>1，所以ac>bc，A错。
B： abc<bacbac<ba，又y=bax是减函数，所以B错。
D： 由对数函数的性质可知D错。故选C。
【变式】(2017山东卷理7)若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是()。
A. a+1b<b2a<log2(a+b)             B. b2a<log2(a+b)<a+1b
C. a+1b<log2(a+b)<b2a            D. log2(a+b)<a+1b<b2a
【答案】B。
【解析】因为a>b>0，且ab=1，所以a>1,0<b<1,所以b2a<1,log2(a+b)>log22ab=1，2a+1b>a+1b>a+ba+1b>log2(a+b)。故选B。
【例2】(2017全国Ⅰ卷理11)设x,y,z为正数，且2x=3y=5z，则（）。
A. 2x<3y<5z   B. 5z<2x<3y   C. 3y<5z<2x   D. 3y<2x<5z
【答案】D。
【解析】
方法一： 设2x=3y=5z=k，因为x,y,z为正数，所以k>1，则x=log2k，y=log3k，z=log5k，所以2x3y=2lgklg2×lg33lgk=lg9lg8>1，则2x>3y，排除A，B。
只需比较2x与5z，2x5z=2lgklg2×lg55lgk=lg25lg32<1，则2x<5z。故选D。
方法二： 取对数： xln2=yln3=zln5。xy=ln3ln2>32，则2x>3y，xln2=zln5，则xz=ln5ln2<52，故2x<5z，即3y<2x<5z。故选D。
【变式】(2018全国Ⅲ卷理12)设a=log0.20.3，b=log20.3，则()。
A. a+b<ab<0    B. ab<a+b<0 
C. a+b<0<ab    D. ab<0<a+b
【答案】B。
【解析】因为a=log0.20.3,b=log20.3，所以1a=log0.30.2,1b=log0.32，
则1a+1b=log0.30.4，有0<1a+1b<1,即0<a+bab<1。
又a>0,b<0，则ab<0，故ab<a+b<0。故选B。




题型2函数的对称性与周期性综合



1. 函数的对称性。








函数f(x)在整个定义域上满足的关系

图像的对称性

f(a－x)=f(a+x)
关于直线x=a轴对称
f(a－x)=－f(a+x)
关于(a,0)对称
f(a－x)=f(b+x)
关于直线x=a+b2轴对称
f(a－x)=－f(b+x)
关于a+b2,0对称
f(a－x)+f(b+x)=2c
关于a+b2,c对称

2. 对称性与周期性。






f（a+x）=f（a－x），

f（b+x）=f（b－x），

特殊地，f（a+x）=f（a－x），

f（x）为偶函数
T=2|b－a|


T=2|a|
f（a+x）=－f（a－x），

f（b+x）=－f（b－x），

特殊地，f（a+x）=－f（a－x），

f（x）为奇函数
T=2|b－a|

T=2|a|
续表


f（a+x）=f（a－x），

f（b+x）=－f（b－x）

特殊地，f（a+x）=f（a－x），

f（x）为奇函数
T=4|b－a|


T=4|a|


【例3】(2018全国Ⅱ卷理11)已知f(x)是定义域为(－∞,+∞)的奇函数，满足f(1－x)=f(1+x)。若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=（）。
A. －50B. 0C. 2D. 50
【答案】C。
【解析】解法一： 因为f(x)是定义域为(－∞,+∞)的奇函数，所以f(－x)=－f(x)，
且f(0)=0。又f(1－x)=f(1+x)，则f(x)=f(2－x)，f(－x)=f(2+x)，
故f(2+x)=－f(x)，则f(4+x)=－f(2+x)=f(x)，
从而f(x)是周期函数，且一个周期为4，故f(4)=f(0)=0，f(2)=f(1+1)=f(1－1)=f(0)=0，f(3)=f(1+2)=f(1－2)=－f(1)=－2，
则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2。故选C。





解法二： 由题意可设f(x)=2sinπ2x，作出f(x)的部分图像如图所示： 
由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2。故选C。
【变式】已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2－x）=f（x），若f（1）=3，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）=()。
A. －3B. 0C. 3D. 2018
【答案】C。
【解析】因为f（x）为（－∞,+∞）的奇函数，所以f（－x）=－f（x）且f（0）=0。又f（2－x）=f（x），
则f（x）=－f（x－2）=－［－f（x－4）］=f（x－4），故f（x）是周期为4的函数。又f（1）=3，f（2）=f（2－2）=f（0）=0，则f（3）=f（3－4）=f（－1）=－f（1）=－3，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）=f（1）+f（2）=3。故选C。
【例4】(2016全国Ⅱ卷理12)已知函数f（x）（x∈R）满足f（－x）=2－f（x），若函数y=x+1x与y=f（x）图像的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则∑mi=1（xi+yi）=（）。
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
【答案】B。
【解析】由f（－x）=2－f（x），得f(－x)+f(x)=2，可知f（x）关于点（0，1）对称。而y=x+1x=1+1x也关于点（0，1）对称，则对于每一组对称点，有xi+x′i=0，yi+y′i=2，故∑mi=1（xi+yi）=∑mi=1xi+∑mi=1yi=0+2·m2=m。故选B。
【变式】已知f（x）是定义是R上的奇函数，满足f－32+x=f32+x，当x∈0,32时，f（x）=ln（x2－x+1），则函数f（x）在区间［0,6］上的零点个数是()。
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】D。
【解析】因为f（x）是定义是R上的奇函数，满足f－32+x=f32+x，所以f－32+x+32=f32+x+32，可得f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期为3。当x∈0,32时，f（x）=ln（x2－x+1），令f（x）=0，则x2－x+1=1，解得x=0或1。又f（x）是定义在R上的奇函数，则在区间－32,32上，有f（－1）=－f（1）=0，f（0）=0。
由f－32+x=f32+x，取x=0，得f－32=f32，得f32-f－32=0，则f－32=f（－1）=f（0）=f（1）=f32=0。又函数f（x）是周期为3的周期函数，则方程f（x）=0在区间［0,6］上的解有0，1，32，2，3，4，92，5，6共9个。故选D。
题型3函数的零点问题



1. 函数零点个数的判断方法。
(1) 直接求零点； 
(2) 利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数； 
(3) 利用函数图像的交点个数判断。
2. 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法。
(1) 直接法： 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； 
(2) 分离参数法： 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； 
(3) 数形结合法： 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解。

【例5】(2018全国Ⅰ卷理9)已知函数f（x）=ex，x≤0，

lnx，x>0，g（x）=f（x）+x+a。若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()。
A. ［-1，0)    B. ［0，+∞) C.  ［-1，+∞)    D. ［1，+∞)
【答案】C。
【解析】作出函数f（x）的图像如图所示，将y=ex在y轴右侧的图像去掉，再画出直线y=－x，之后上下移动，可以发现当直线过点(0,1)时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程f（x）=－x－a有两个解，也就是函数g（x）有两个零点，此时满足－a≤1，即a≥－1。 故选C。





【变式】(2019天津卷文8)已知函数f(x)=2x,0≤x≤1,
1x,x>1。若关于x的方程f(x)=－14x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()。
A. 54,94B. 54,94
C. 54,94∪{1}D. 54,94∪{1} 
【答案】D。





【解析】作出函数f(x)=2x,0≤x≤1,
1x,x>1的图像，以及直线y=－14x，如图所示： 
关于x的方程f(x)=－14x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解，即为y=f(x)和y=－14x+a(a∈R)的图像有两个交点。平移直线y=－14x，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得a=94或a=54，考虑直线y=－14x+a(a∈R)与y=1x在x>1时相切，ax－14x2=1，由Δ=a2－1=0，解得a=1(－1舍去)，所以a的取值范围是54,94∪1。 故选D。
【例6】(2017山东卷理10)已知当x∈［0,1］时，函数y=(mx－1)2的图像与y=x+m的图像有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()。
A.  (0,1］∪［23,+∞)B. (0,1］∪［3,+∞)
C. (0,2］∪［23,+∞)D. (0,2］∪［3,+∞)
【答案】B。
【解析】当0<m≤1时，1m≥1，y=(mx－1)2在x∈［0,1］时单调递减，且y=(mx－1)2∈［(m－1)2,1］，y=x+m在x∈［0,1］时单调递增，且y=x+m∈［m,1+m］，此时有且仅有一个交点。
当m>1时，0<1m<1，y=(mx－1)2在1m,1上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需(m－1)2≥1+mm≥3。 故选B。
【变式】(2018浙江卷15)已知λ∈R，函数f(x)=x－4,x≥λ，

x2－4x+3,x<λ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是； 若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是。
【答案】(1,4)； （1,3］∪（4,+∞）。
【解析】由题意得x≥2，

x－4<0或x<2，

x2－4x+3<0，所以2≤x<4或1<x<2，即1<x<4，故不等式f(x)<0的解集是（1,4）。

当λ>4时，f（x）=x－4>0，此时f（x）=x2－4x+3=0,x=1,3，即在（－∞,λ）上有两个零点。
当λ≤4时，f（x）=x－4=0,x=4，由f（x）=x2－4x+3在（－∞,λ）上只能有一个零点得1<λ≤3。
综上，λ的取值范围为（1,3］∪（4,+∞）。
题型4函数中参数取值范围



设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m。
设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m。


【例7】(2019全国Ⅱ卷理12)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0,1］时，f(x)=x(x－1)。若对任意x∈(－∞,m］，都有f(x)≥－89，则m的取值范围是()。
A. －∞,94     B. －∞,73      C. －∞,52      D. －∞,83
【答案】B。
【解析】因为f(x+1)=2f(x)，所以f(x)=2f(x－1)。
当x∈(0,1］时，f(x)=x(x－1)∈－14,0； 
当x∈(1,2］时，x－1∈(0,1］，f(x)=2f(x－1)=2(x－1)(x－2)∈－12,0； 
当x∈(2,3］时，x－1∈(1,2］，f(x)=2f(x－1)=4(x－2)(x－3)∈［－1,0］，
如图所示： 





当x∈(2,3］时，由4(x－2)(x－3)=－89解得x1=73，x2=83。
若对任意x∈(－∞,m］，都有f(x)≥－89，则m≤73，即m的取值范围是－∞,73。 故选B。
【变式】(2017全国Ⅲ卷文12)已知函数f(x)=x2－2x+a(ex－1+e－x+1)有唯一零点，则a= ()。
A. －12      B. 13      C. 12        D. 1
【答案】C。
【解析】由f(x)=x2－2x+a(ex－1+e－x+1)，得
f(2－x)=(2－x)2－2(2－x)+a［e2－x－1+e－(2－x)+1］=x2－4x+4－4+2x+a（e1－x+ex－1）
=x2－2x+a（ex－1+e－x+1），
所以f(2－x)=f(x)，即x=1为f(x)图像的对称轴。
由题意知f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x=1，即f(1)=12－2×1+a（e1－1+e－1+1）=0，解得a=12。 故选C。
【例8】(2018天津卷文14)已知a∈R，函数f（x）=x2+2x+a－2，x≤0，

－x2+2x－2a，x>0。若对任意x∈［-3，+∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是。
【答案】18，2。
【解析】分类讨论： 
（1） 当x>0时，f（x）≤|x|，即－x2+2x－2a≤x，整理可得a≥－12x2+12x，
由恒成立的条件可知a≥－12x2+12xmax，其中x>0，结合二次函数的性质可知： 当x=12时，－12x2+12xmax=－18+14=18，则a≥18。
（2） 当－3≤x≤0时，f（x）≤|x|，即x2+2x+a－2≤－x，整理可得a≤－x2－3x+2，
由恒成立的条件可知a≤（－x2－3x+2）min，其中－3≤x≤0，
结合二次函数的性质可知： 当x=－3或x=0时，（－x2－3x+2）min=2，则a≤2。
综合（1）（2），可得a的取值范围是18,2。
【变式】(2017天津卷理8)已知函数f(x)=x2－x+3,x≤1,
x+2x,x>1。设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立，则a的取值范围是()。
A. －4716,2      B. －4716,3916       C. ［－23,2］      D. －23,3916
【答案】A。
【解析】不等式f(x)≥x2+a可化为－f(x)≤x2+a≤f(x)。(*)
当x≤1时，(*)式即－x2+x－3≤x2+a≤x2－x+3，即－x2+x2－3≤a≤x2－32x+3。又－x2+x2－3=－x－142－4716≤－4716当x=14时取等号，x2－32x+3=x－342+3916≥3916当x=34时取等号，所以－4716≤a≤3916。
当x>1时，(*)式为－x－2x≤x2+a≤x+2x，－32x－2x≤a≤x2+2x。又－32x－2x=－32x+2x≤－23当x=233时取等号，x2+2x≥2x2×2x=2(当x=2时取等号)，所以－23≤a≤2。
综上，－4716≤a≤2。故选A。

【例9】(2019浙江卷9)已知a,b∈R，函数f(x)=x,x<0，
13x3－12(a+1)x2+ax,x≥0。若函数y=f(x)－ax－b恰有3个零点，则()。
A. a<-1，b<0  B. a<-1，b>0
C. a>-1，b<0  D. a>-1，b>0 
【答案】C。
【解析】（1） 当x<0时，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-b，最多一个零点。
（2） 当x≥0时，y=f(x)-ax-b=13x3-12(a+1)x2+ax-ax-b=13x3-12(a+1)x2-b，y′=x2-(a+1)x。


① 当a+1≤0，即a≤-1时，y′>0，y=f(x)-ax-b在［0,+∞）上递增，y=f(x)-ax-b最多一个零点。不合题意； 
② 当a+1>0，即a>-1时，令y′>0得x∈(a+1,+∞)，函数递增，令y′<0得x∈(0,a+1)，函数递减； 函数最多有2个零点。





根据题意,函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点函数y=f(x)-ax-b在(-∞,0)上有一个零点，在［0,+∞)上有2个零点，如图所示： 
所以，b1-a<0且-b>0,
13(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b<0,解得b<0,1-a>0,b>-16(a+1)3。故选C。
【变式】(2019天津卷理8)已知a∈R，设函数f(x)=x2－2ax+2a,x≤1,

x－alnx,x>1。若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为()。
A. ［0,1］B.  ［0，2］C. ［0,e］D. ［1,e］
【答案】C。
【解析】
解法一： 本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析。
f(0)≥0，即a≥0。
(1) 当0≤a≤1时，f(x)=x2－2ax+2a=(x－a)2+2a－a2≥2a－a2=a(2－a)>0。
（2） 当a<1时，f(1)=1>0，故当a≥0时，x2－2ax+2a≥0在(－∞,1］上恒成立。若x－alnx≥0在(1,+∞)上恒成立，即a≤xlnx在(1,+∞)上恒成立，令g(x)=xlnx，则g′(x)=lnx－1(lnx)2。当x>e时,函数单增； 当0<x<e时,函数单减，故g(x)max=g(e)=e，所以a≤e。
综上可知，a的取值范围是［0,e］。故选C。
解法二： 分2段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得。
当x=1时，f(1)=1－2a+2a=1>0恒成立。
当x<1时，f(x)=x2－2ax+2a≥02a≥x2x－1恒成立，令
g(x)=x2x－1=－x21－x=－(1－x－1)21－x=－(1－x)2－2(1－x)+11－x
=－1－x+11－x－2≤－2(1－x)·11－x－2=0，
则2a≥g(x)max=0，即a>0。
当x>1时，f(x)=x－alnx≥0a≤xlnx恒成立。令h(x)=xlnx，则h′(x)=lnx－x·1x(lnx)2=lnx－1(lnx)2。
当x>e时，h′(x)>0，h(x)递增； 当1<x<e时，h′(x)<0，h(x)递减。于是当x=e时，h(x)取得最小值h(e)=e，故a≤h(x)min=e。
综上，a的取值范围是［0，e］。故选C。

1. 若实数a，b满足a>b>1，m=loga(logab)，n=(logab)2，l=logab2，则m，n，l的大小关系为()。

A. m>l>n       B. l>n>m       C. n>l>m        D. l>m>n
2. 已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件： 
① 对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）； 
② 对任意的0≤x1<x2≤2，都有f（x1）<f（x2）； 
③ y=f（x+2）的图像关于y轴对称，则f（4.5）,f（6.5）,f（7）的大小关系为()。
A. f（7）<f（4.5）<f（6.5）                    B. f（4.5）<f（6.5）<f（7）
C. f（6.5）<f（7）<f（4.5）                    D. f（4.5）<f（7）<f（6.5）
3. 已知函数f(x)对任意x∈R都满足f(x)+f(－x)=0，fx+32为偶函数，当0<x≤32时，f(x)=－x，则f(2017)+f(2018)=。
4. 已知定义在R上的偶函数满足： f(x+4)=f(x)+f(2)，且当x∈［0,2］时，y=f(x)单调递减，给出以下四个命题： 
① f(2)=0； 
② x=－4为函数y=f(x)图像的一条对称轴； 
③ y=f(x)在［8,10］上单调递增； 
④ 若方程f(x)=m在［－6,－2］上的两根为x1，x2，则x1+x2=－8。