第3章刚 体 力 学


前面两章介绍了力学的基本概念和原理，如牛顿定律、冲量和动量、功和能等概念，以及动量、角动量和能量守恒定律。其中，这些概念和原理在多数情况下都是就质点提出而且应用于质点的。虽然曾提出过质点系为研究对象，但也只是讨论了少数几个质点的情形。
本章将要介绍一种特殊的质点系——刚体,讨论刚体所遵从的力学规律。它们实际上是前两章所讲的基本概念和原理在刚体上的应用。对于刚体，本章也只着重讨论定轴转动这种简单的情况，讨论转动惯量、力矩、刚体的动能和角动量等基本概念及基本规律。为研究更复杂的运动奠定基础。
3.1刚体运动的描述
刚体是固体物件的理想化模型。任何固态物质都具有一定的形状和大小，并在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变都很小，可以将其忽略不计。于是提出了“刚体”的理想模型。我们就把这个固体当作刚体处理。刚体是在任何情况下形状和大小都不发生变化的力学研究对象。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个“质元”。由于刚体不变形，各质元间距离不变，故刚体是质元间距离保持不变的质点系，称为“不变质点系”。既然刚体属于质点系，所以关于质点系的基本定理、基本定律就都可以应用于刚体。当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
3.1.1刚体的平动
如何描述刚体的运动呢？刚体的运动形式是多种多样的，但不论是怎样复杂的运动都可以看作是由最基本的运动构成的。刚体最基本的运动形式是平动和定轴转动。


图31刚体的平动

如果刚体在运动中，刚体内任意两点间的连线始终保持平行，那么这样的运动就叫平动，如
图31所示。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表。通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
可见，根据质心的定义和质心运动定理，可以确定平动刚体的运动规律。

3.1.2刚体的定轴转动
在刚体运动过程中，若刚体上各质元均围绕同一直线作圆周运动，且圆心都在该直线上，则这条直线称为转动轴线，简称转轴。如果转动轴线的位置和方向相对于某一参考系是固定的，则该转轴称为固定轴。这种运动就称为绕固定轴转动，简称定轴转动,如图32所示。




图32刚体转动描述


显然，定轴转动是刚体转动的最简单、最基本的运动形式。
1. 角坐标和角位移
为了描述刚体定轴转动，建立坐标系Oxyz,如图32(a)所示，坐标轴z与固定转轴重合。在刚体非转轴部分任取一些质元，如a、b、c，分别过质元作z轴的垂线，由于各质元相对位置不变，所以相对于转轴而言，都具有相同的角量。因而，可用刚体上任一质元来描述刚体的转动。在刚体上任取一质元P(可看成一质点),过该点截出一与转轴相垂直的平面Oxy,该平面称为转动平面，如图32(b)表示。
设P点的位置矢量为r，因其大小不变，故其位置可由自x轴转向r的夹角θ来确定。r在Δt时间内扫过的角度就是刚体(任一个质点)转过的角度。θ称为绕定轴转动刚体的角坐标。规定自x轴逆时针转向r时，θ为正； 反之为负。当刚体绕固定轴转动时，其角坐标是时间的函数，即


θ=θ(t)(31)


式(31)称为刚体绕定轴转动的运动学方程。它能够全面描述作定轴转动刚体的运动规律，由它可确定任意时刻刚体的运动状态。
假设t时刻，刚体的角坐标为θ(t)； 经过Δt时间，刚体的角坐标变为θ(t+Δt),刚体在Δt时间内的角位移为


 Δθ=θ(t+Δt)-θ(t)(32)



由于角坐标是代数量，所以对有限大的Δθ，角位移也是代数量。对无限小的Δθ，角位移为矢量。当刚体逆时针转动时.角位移为正，反之为负。
在国际单位制中，角坐标和角位移的单位都是弧度(rad)。
2. 角速度
为了描述刚体作定轴转动的快慢程度，定义刚体的角位移Δθ与发生这一角位移所用的时间Δt之比，当Δt→0时极限值为刚体t时刻的瞬时角速度，简称角速度，记作ω，即


ω=limΔt→0ΔθΔt=dθdt(33)


即角速度等于角坐标对时间的导数。面对转轴观察，当ω>0时，刚体逆时针转动； ω<0时，刚体顺时针转动。在国际单位制中，角速度的单位为rad/s。工程技术上，常用每分钟的转数n来表示转动快慢。它与角速度的关系是


ω=2πn60(34)



与质点运动学相似，已知初始位置，可以由角速度求出角坐标、角位移，根据式(33)，有


θ=θ0+∫t0ωdt

Δθ=θ-θ0=∫t0ωdt


若是匀角速度转动，则有


θ=θ0+ωt

Δθ=θ-θ0=ωt



这里需要说明，式(33)仅定义了角速度的大小，实际角速度是一矢量，它的方向由右手螺旋法则确定，如图33所示，把右手的拇指伸直，其余四指弯曲，使弯曲方向与刚体的转动方向一致，此时拇指所指的方向为角速度ω的方向。


图33右手螺旋关系


对于刚体绕固定轴转动，它的转向仅有两种可能，逆时针方向或顺时针方向。因此角速度的方向也仅有两方向，即沿转轴向上或向下，故常用代数方法表示角速度。
3. 角加速度
为了描述刚体角速度随时间变化的快慢程度，定义角速度增量Δω与发生这一增量所用时间Δt之比，当Δt→0时的极限值为刚体t时刻的瞬时角加速度，简称角加速度，记作β，即


β=limΔt→0ΔωΔt=dωdt(35)


即瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。同理，角加速度也有正负之分。若角加速度的符号与角速度相同，刚体作加速转动； 若符号相反，作减速转动。角加速度的单位在国际制中为rad/s2。
当已知初始角速度时，可由角加速度求出角速度，即


ω=ω0+∫t0βdt


若是匀变速转动，则


ω=ω0+βt

θ=θ0+ω0t+12βt2



正像角速度是矢量一样，角加速度也是矢量。当刚体作定轴转动时，其角加速度也是沿着转轴的，故方向仅有两种可能： 与角速度ω的方向相同或相反。这种情况下，我们用代数量表示角加速度。
4. 转动角量与线量的关系
刚体作定轴转动时，其非轴上的所有质元都作圆周运动，如图32(b)所示，P点的线速度与角速度关系为


v=rω(36)


P点的线加速度与角加速度关系为


at=rβ,an=rω2(37)



例31一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机(图34)，滑轮半径r=0.5m，如果升降机从静止开始以加速度a=0.4m/s2匀加速上升，求： 


图34例31图


(1) 滑轮的角加速度。
(2) 开始上升后，t=5s末滑轮的角速度。
(3) 在这5s内滑轮转过的角位移及转过的圈数。
解(1) 由升降机的加速度和轮缘上一点的切向加速度相等，所以，根据式(37)可得滑轮的角加速度


a=at=rβ


则


β=ar=0.40.5rad/s2=0.8rad/s2



(2) 利用匀加速转动公式，因ω0=0,所以5s末滑轮的角速度为


ω=ω0+βt

ω=(0+0.8×5)rad/s=4rad/s



(3) 利用公式θ=θ0+ω0t+12βt2，得滑轮转过的角位移为


Δθ=θ-θ0=ω0t+12βt2=10rad


与此相应的圈数是


n=Δθ2π≈1.6(圈)



3.1.3刚体的平面运动
前面讨论的是刚体作平动及定轴转动的运动规律，但在很多情况下刚体的转轴只是相对于刚体固定不动，但却相对于其他物体移动，同时刚体上所有质点还绕轴转动，例如车轮的滚动、方轮在链轨上的滚动等，如图35所示。
这些刚体的运动具有相同的特性，即刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定面平行，这样的运动称为平面运动。
其特点是，刚体内垂直于固定平面的直线上的各点，运动状态都相同。根据此特点，可以利用与固定面平行的平面在刚体内截取一平面图形，此图形的位置一经确定，刚体的位置便确定了。
那么如何来分析刚体的平面运动呢？现有一三角形刚体ABC作平面运动，如图36所示。假设其初始位置如图36(a)所示，沿如图36(b)所示的曲线经过Δt时间到达末位置。此过程可以通过以下方式实现： 先将三角形ABC作平动运动到AB′C′位置，然后绕过A点并与三角形面相垂直的转轴顺时针转动θ角。当然我们也可以将此刚体由初始位置作平动运动到A′BC′，再绕过B点并与三角形平面相垂直的转轴顺时针转动θ角实现； 或将此刚体作平动运动到A′B′C，再以过C点并与三角形平面相垂直的转轴顺时针转动θ角实现。其中A、B、C称为基点，显然基点的选取是任意的。



图35刚体的平面运动


(a) 圆柱体的滚动；  (b) 方轮在链轨上的滚动 





图36刚体平面运动

(a) 三角形刚体； (b) 三角形转动



由以上分析，我们可以得出结论： 刚体的平面运动视为随基点的平动与绕基点转动的合成。
这里需要说明几点： 
(1) 平动位移与基点选择有关，而转动角位移与基点的选择无关。
(2) 所谓绕基点的转动是指，绕过基点且垂直于平面图形的轴的转动，该轴不是固定轴，而是定向转轴。
(3) 若选取质心为基点，则刚体平面平行运动为随质心的平动与绕质心转动的组合。
以车轮滚动为例，假设行驶过程中汽车的车轮在水平面上作无滑动的滚动。站在地面上观察时，在垂直于轮轴的平面上，各点(轮轴上点除外)的运动状态都不相同，运动是复杂的。图37中实线代表了轮子边缘一点的运动轨迹，经过Δt的时间，该点由P运动到P″，P点的这一运动过程可看作是随轮轴(质心C)平动到P′，绕轮轴转动θ角后得到的。由此可见，轮子上任意点的运动可看作是随轮轴的平动与绕轮轴转动的合运动。


图37车轮无滑动滚动

3.2刚体角动量、转动惯量、转动动能
第2章介绍了质点、质点系的角动量的概念，角动量在刚体转动研究中是一个十分重要的概念。既然刚体是特殊质点系，那么我们将借助质点、质点系的角动量推广到刚体的角动量。
3.2.1刚体作定轴转动的角动量
为讨论刚体绕固定轴转动的角动量，我们将刚体看作是由质量元组成的质点系，首先研究刚体上任意选取一质量元的角动量，然后在此基础上，讨论整个刚体的角动量。


图38角动量矢量


如图38所示，刚体绕坐标轴Oz作定轴转动。刚体上任取一质量元Δmi，其与坐标原点O共面，且绕坐标原点O作圆周运动，其相对于坐标原点O的位置矢量为ri。如果质点的速度为vi，则该质量元相对于O点的角动量Li为


Li=ri×Δmivi(38)



我们首先讨论质量元的角动量特点，根据右手螺旋关系，质点角动量的方向沿转轴向上，角动量的大小为


Li=riΔmivisinαi(39)


式中，αi为质点位置矢量ri与其速度vi之间的夹角。
由于质量元作圆周运动，故αi等于90°。此时它的角动量大小为


Li=riΔmivi=Δmir2iω(310)



由于刚体作定轴转动，其质量元绕转轴转动的角速度都相同，故公式中用ω代替ωi，而且各质元的角动量方向都相同。
既然刚体可看成是由许多质点组成的，那么整个刚体统定轴的角动量为各质点对此轴角动量的矢量和，记作L，即


L=∑i=1Li(311)


由于各质量元的角动量方向相同，故其大小为


L=∑i=1Li=∑i=1Δmir2iω(312)



3.2.2刚体的转动惯量

式(312)中，∑Δmir2i与刚体的形状、质量分布和转轴的位置有关，与刚体的运动状态无关，这个量称为刚体的转动惯量，即



J=∑i=1Δmir2i(313)



于是式(312)可写为 


L=Jω(314)


式(314)与p=mv相比较，转动惯量和角速度分别与质量和速度相比拟。这个转动惯量恰是对一定轴转动时转动惯性的量度。
转动惯量是标量，由它的定义式(313)可以看出，它与下列因素有关： 第一，刚体的质量，当刚体形状与转轴位置确定后，刚体的质量越大，其转动惯量越大； 第二，转轴的位置，刚体距转轴越远，其转动惯量越大； 第三，质量相对转轴的分布，质量一定的刚体，它的质量分布距转轴越远，其转动惯量越大。
对于质量连续均匀分布的刚体有


J=∫mr2dm(315)


式中，r为质量元dm到转轴的距离。
在国际单位制中，转动惯量的单位是kg·m2(千克·米2)。
例32一质量为m、长为l的均匀细杆，如图39所示，求它对通过杆的中心且垂直于杆的转轴的转动惯量。


图39均匀细杆绕中心轴转动


解根据已知条件可以求出杆的线密度λ=ml，如图39所示，建立坐标系Oxy。在距转轴x处选一小质元dm=λdx，由式(315)得


J=∫mr2dm=∫l2-l2x2λdx=112ml2



若细杆过杆的一端且垂直于杆的轴线转动，其转动惯量为


J=∫l0x2λdx=13ml2



由以上计算过程可以看出，根据式(315)，应用定积分可计算出各种情况下刚体的转动惯量。
表31给出几种常见形状刚体的转动惯量。


表31几种常见形状刚体的转动惯量




质点绕定轴的转动

J=mr2细杆对过中心且与杆垂直的轴线

J=112ml2

圆柱体对柱体轴线

J=12mR2圆柱筒对柱体轴线

J=mR2

实球体对任意直径

J=25mR2薄球壳对任意直径

J=23mR2



3.2.3刚体的转动动能
设刚体以角速度ω作定轴转动，由于刚体的运动，必然具有动能，那么如何研究刚体定轴转动时的动能呢？
刚体上任取某一质量元，其质量为mi，距转轴的距离为ri，它作圆周运动的速率为vi，则该质量元的动能为


Eki=12miv2i=12mir2iω2


则刚体的转动动能为


Ek=∑12mir2iω2



而∑mir2i为刚体的转动惯量J，因此


Ek=12Jω2(316)


即刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体转动惯量与角速度平方的乘积的一半。显然，它与质点动能的形式非常相似。
3.3刚体定轴转动定律
3.3.1力矩
如图310(a)所示，O为空间一参考点，F为作用力，P为受力质点。受力质点相对于O点的位置矢量为r。把受力质点相对于O点的位置矢量r与力矢量F的矢积M，称为力F对于参考点O的力矩，即


M=r×F(317)



力对参考点的力矩是矢量，其大小为


M=Frsinα



式中，α为自r转向F的夹角。
力矩的方向： 与r和F所在平面垂直，且构成右手螺旋关系，如图310(b)所示。力矩是一导出量，在国际单位制中，它的单位为N·m(牛·米)。
对于定轴转动(见图311)而言，若假设一刚体可绕通过O点并且垂直于纸平面的转轴旋转，作用在刚体上P点的力F在此平面内，则根据右手螺旋关系知： 对于O点的力矩的




图310力矩矢量




图311定轴力矩





方向必然沿转轴方向(或向上或向下)。其大小为



M=Frsinα


因d=rsinα，d是转轴到力F作用线的垂直距离，称为力对转轴的力臂，因此


M=Fd(318)



若有几个力同时作用于一个刚体时，则有


M=M1+M2+…+MN(319)


即它们的合力矩是各个力矩的矢量和。对于刚体绕固定轴转动的情况，因各力矩的方向都是沿转轴的，因此其合力矩大小为


M=M1+M2+…+MN(320)



3.3.2定轴转动的转动定律
当外力矩作用于绕固定轴转动的刚体时，刚体的转动状态将发生改变，即获得角加速度。那么力矩与角加速度之间满足什么关系呢？下面讨论力矩与角加速度之间的定量关系。
我们把刚体看成质点系，根据质点系角动量定理式(273)有


M外=dLdt



对于绕固定轴转动的刚体而言，其所受的外力矩矢量和、角动量矢量都是沿固定转轴的，即只有在转轴的分量。于是有


M=dLdt=d(Jω)dt 

M=Jβ(321)



式(321)表明，刚体作定轴转动时，其角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，这个关系称为刚体的定轴转动定律。它的形式和作用类似于质点力学中的牛顿第二定律，是解决刚体定轴转动问题的基本动力学方程。
例33如图312(a)所示，质量为mA的物体A静止在光滑水平面上，它和不计质量的绳索相连接，此绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，B铅直悬挂。圆柱形滑轮可绕其几何中心轴转动。当圆柱体转动时，绳索相对滑轮没有滑动，滑轮与轴承间的摩擦力略去不计。


图312例33图


求这两物体的线加速度为多少，水平和铅直两端绳索的拉力为多少。
解受力情况分析如图312(b)所示。选地面为参考系。物体A，B都作平动，其中A向右运动，B向下运动； 而C沿顺时针方向作定轴转动。
对于作平动物体的A和B，应用牛顿第二定律列方程： 


T1=mAa(1)
mBg-T2=mBa(2)



对于作定轴转动的物体C，应用转动定理


T′2R-T′1R=Jβ(3)


运动过程中，由于绳索相对于滑轮没有滑动，所以平动物体的加速度和转动物体的角加速度之间有如下关系成立： 


a=Rβ(4)


根据牛顿第三定律和题中的辅助条件得


T′1=T1， T′2=T2(5)


解以上方程组，可以得到


a=mBgmA+mB+12mC
T1=mAmBgmA+mB+12mC
T2=mBgmA+12mCmA+mB+12mC



3.4刚体定轴转动的动能定理
3.4.1力矩的功



图313力矩做功

在质点力学中，我们曾经学习了功的概念： 一个受到外力作用的质点，如果在力的方向上发生了一段位移，这个力就对质点做了功。同样的道理，在刚体的定轴转动过程中，如果力矩的作用使刚体发生了一定的角位移，这个力矩也要做功。
如图313所示，在坐标系Oxyz中，z为转动轴，它与转动面垂直。设F为作用在刚体上的力，力的作用点到转轴的距离为r，当刚体运动了一个微小角位移dθ时，力的作用点相应地经过了弧长ds=rdθ。力F在这一过程中所做的功为


dA=F·dr=Fθ|dr|=Fθds=Fθrdθ



因为力F对转轴的力矩M=Fθr所以


dA=Mdθ(322)


式(322)中，dA表示M在角位移dθ内所做的元功。可见，力矩做功