第 5 章　群、环和域 本章重点研究群(带有一个二元运算的集合)、环和域(带有两个二元运算的集合)等抽 象的代数系统。 5.1　基本知识点 5.1.1　基本概念 本章基本概念如下。 (1)半群和独异点:半群,交换半群,半群中元素的幂;独异点或含幺半群,交换独异点, 独异点中元素的幂,循环独异点及其生成元;子半群,子独异点。 (2)群:群,交换群或阿贝尔群,群中元素的幂,有限群与无限群,群的阶,元素的周期。 (3)置换群与循环群:置换,置换的复合,恒等置换,逆置换;对称群,置换群;循环群及 其生成元,克莱因四元群,自逆元。 (4)子群及其陪集:( 真)子群,平凡子群,( 左、右)陪集,正规子群;( 左、右)陪集分划 (分解), 子群在群中的指数。 (5)环和域:环, 有理数环, 复数环,模 n 的整数环;( 子 整数环, 实数环, n 阶实矩阵环, 真) 环;( 左、右)零因子,交换环,含幺环,无零因子环,整环;域,有理数域,实数域,复数域。 5.1.2　基本定理 本章基本定理如下。 1. 半群和独异点的同态 定理5.6 设 h 是从代数系统V1= 到代数系统V2= 的满同态,其 中运算*和..都是二元运算, (1)若V1 是(交换)半群,则V2 也是(交换)半群。 (2)若V1 是(交换)独异点,则V2 也是(交换)独异点。 推论5.(交换)半群的同态像是(交换)半群,( 交换)独异点的同态像是(交换)独异点。 1 2. 群的性质 定理5.设 是一个群, b∈G, 8 则对任意的a, (1)存在唯一的元素x∈G,使a*x=b。 (2)存在唯一的元素y∈G,使y*a=b 。 定理5.设 是一个群, 即对任意的a,c∈G, 9 则运算*满足消去律, b, (1)( 左消去律)若a*b=a*c,则b=c; (2)( 右消去律)若b*a=c*a,则b=。 推论5.有限群 的运算表每一行或每一列都是 G 的元素的一个排列。 2 中的(c) 定理5.11 若群 中的元素 a 具有有限周期r,则ak = e 当且仅当r|k,即 k 是 r 的整数倍。 定理5.群中任一元素与它的逆元都具有相同的周期。 12 定理5.在有限群中, 且周期不超过群的阶。 13 每个元素均具有有限周期, 3. 群的同态 定理5.设 h 是从代数系统V1= 到代数系统V2= 的满同态,其 14 中运算*和..都是二元运算,若V1 是(交换)群,则V2 也是(交换)群 。 推论5.( 群的同态像是(交换)群 。 4 交换 ) 群的同构关系是一个等价关系 。 4. 循环群的性质 定理5.设 是一由元素 g 生成的循环群, 16 (1)若 g 的周期为n,则 是一个 n 阶的有限循环群; (2)若 g 的周期为无限,则 是一个无限阶的循环群。 推论5.设 是 n 阶循环群, g 是生成元,则 g 的周期也是n 。 6 g,gg 5 推论5.设 是 n 阶循环群, g 是生成元,则G={2,…, n }。 5. 子群的判别定 理 定理5.设 是群, 若 17 H 是 G 的非空子集, (1)对任意的a,有a*b∈ H , b∈ H , (2)对任意的a∈ H ,有 a -1∈ H , 则< H ;*> 18 是 的子群。 H 是 G 的一个非空子集, b∈ H , 定理5.设 是一个群,若对任意的a,有 -1∈ H ,则< H ;*> 是 的子群。a*b 定理5.设 是一有限群,若< H ;*> 是 的子代数,则< H ;*> 19 是 的子群。 定理5.设 是一个群, 则< H ;*> 20 若< H ;*> 是 的有限子代数 , 是 的子群 。 6. 陪集的性质 定理5.设< H ;*> 是群 的子群, 则gH =Hg= H 。 23 若g∈ H , 定理5.24 设< H ;*> 是群 的子群, b∈G, (1)aH =bH 或aH ∩bH =. 。 若a,则 (2)Ha=Hb 或Ha∩Hb=. 。 定理5.设< H ;*> 是群 的子群,若a, 则 25 b∈G, (1)aH =bH 当且仅当b∈aH 。 (2)Ha=Hb 当且仅当b∈Ha 。 定理5.设< H ;*> 是群 的子群 , 26 (1)< H ;*> 的所有相异的左陪集组成 G 的一个(则) 分划; (2)< H ;*> 的所有相异的右陪集组成 G 的一个分划。 定理5.27 设< H ;*> 是群 的子群,则#(Hg)=# H ,即 H 的任意陪集与 H 具有相同的基数。 g∈G, gH )=#( 定理5.设< H ;*> 是群 的子群,则< H ;*> 的所有相异左陪集的个数 28 和所有相异右陪集的个数相同。 137 7. 拉格朗日定理及其推论 定理5.拉格朗日定理) 设 是一个有限群,且子群< H ;*> 在 29( d·(# H )。 中的指数为d,则#G= 推论5.素数阶群只有平凡子群。 7 推论5.8 有限群 中,任意元的周期必可整除群的阶。 推论5.9 素数阶群必为循环群,且每个非单位元的元都是生成元。 定理5.设 是 n 阶循环群, 则存在且仅存在一个阶为 30 若正整数 d 能整除n, d 的子群(也是循环群)。 推论5.若 是无限循环群, e};*> 外都是无限循 环群。 10 则 的子群除<{ 8. 环和域的同态 定理5.36 设 h 是从代数系统V1=到代数系统V2= 的满同态,其中+1,*1,+2,*2 都是二元运算, (1)若V1 是环,则V2 也是环。 (2)若V1 是域,则V2 也是域 。 推论5.11 环的同态像是环,域的同态像是域 。 5.1.3　常见题型 本章常见题型如下。 (1)判断给定集合和运算能否构成半群、独异点、群、环和域。 (2)群和环中的计算题和证明题。 (3)子群的计算和证明。 (4)证明群中的简单性质。 (5)拉格朗日定理的应用。 5.1.4　重点难点 本章重点如下。 (1)半群和独异点、子半群和子独异点等概念。 (2)群与元素周期的概念,对称群、置换群、循环群、克莱因四元群的概念。 (3)子群及其陪集,( 左、右)陪集分划(分解), 拉格朗日定理及其推论。 (4)环和域的概念及实例(整数环、有理数环、实数环、复数环、 n 阶实矩阵环、模 n 的整 数环,有理数域、实数域、复数域)。 本章难点如下。 (1)判断一个代数系统是否为半群、独异点、群。 (2)判断群(半群、独异点)的一个子集是否构成子群(子半群、子独异点)。 (3)求一个群(尤其是循环群、克莱因四元群)的所有子群。 (4)判断一个函数是否为群同态(半群同态、独异点同态)。 (5)拉格朗日定理及其推论。 (6)环和域的概念及实例(整数环、有理数环、实数环、复数环、 n 阶实矩阵环、模 n 的整 数环,有理数域、实数域、复数域)。 138 5.1.5　思维导图 139 本章基本知识点的思维导图如图5.1所示。 图5.1 第5章基本知识点的思维导图 5.2　学习要求 本章的学习要求如下。 (1)能判断给定集合和运算是否构成半群、独异点、群。 (2)能判断半群、独异点、群的非空子集是否构成子半群、子独异点、子群。 (3)掌握有限群、无限群、循环群、交换群(阿贝尔群)、对称群、置换群、克莱因四元群等 概念。 (4)会求群中元素的周期,循环群的生成元,解群方程。 (5)会运用群的基本性质证明有关群的简单命题。 (6)会表示 n 元置换,会求 n 元置换的复合。 (7)能证明群的非空子集构成子群。 (8)熟悉陪集的定义和性质,了解群的陪集分划与其上的等价关系的对应。 (9)掌握拉格朗日定理及其推论的简单应用。 *(10)了解环和域的概念及运算性质,能进行环和域中的运算。 5.3　疑难解析 1. 半群、独异点、群的概 念 半群、独异点、2所示 。 群的概念之间的区别与联系如图5. 图5.2 半群、独异点、群的概念之间的区别与联系 2. 子半群、子独异点、子群的概 念 1)建立在子代数基础上的概 念 (1)设 是一个半群,若< H ;*> 是 的子代数,则< H ;*> 为 的子半群。 (2)设 是一独异点,若< H ;*> 是 的子代数,且单位元e∈ H ,则 < H ;*> 为 的子独异点。 (3)设 是一个群,若< H ;*> 是 的子代数,单位元e∈ H ,且对任意 的a∈ H ,有 a -1∈ H ,则< H ;*> 是 的子群。 子半群(子独异点、子群)是一个半群(独异点、群)。 140 2)建立在代数系统基础上的概念 (1)若 是半群, B 是 A 的非空子集,且 也是半群,则 是 的子半群。 (2)若 是独异点, B 是 A 的非空子集,且 也是独异点, 的 单位元与 的单位元相同,则 是 的子独异点。 (3)若 是群, B 是 A 的非空子集,且 也是群,则 是 的子群。 注意:之所以在(3)中没有如(2)中那样特别强调两者的单位元相同等,是因为群中运 算有消去律。 3. 群中元素的周期 设 是群,如果 G 是有限集,则 是有限群, G 中元素的个数为群 的阶;若 G 是无限集,则 是无限群。 设 是一个群,a∈G,若存在正整数r,使得ar =e,则元素 a 具有有限周期或有 限阶。使ar = e 成立的最小的正整数 r 为 a 的周期或阶。 如果对于任何正整数r,均有ar ≠e,则 a 具有无限周期或无限阶。 显然,群中单位元具有有限周期,且周期是1;群中元素 a 若满足a2=e,则 a 的周期为1或2。 有关元素周期的重要结论: (1)若群 中的元素 a 具有有限周期r,则ak = e 当且仅当r|k,即 k 是 r 的整数倍。 (2)群 中的元素 a 具有无限周期当且仅当对任意的m,当 m ≠ n 时, n∈Z+, 有am ≠an 。 (3)群中任一元素与它的逆元具有相同的周期。 (4)在有限群 中,每个元素均具有有限周期,且周期不超过群 的阶。 4. 群的性质 (1)群满足消去律。群方程有唯一解。 (2)阶大于1的群中无零元。 (3)群中除单位元外,无其他幂等元。 b∈G, (4)群中元素的逆的性质:设 是群,则对任意的a, 有 (-1)-1,(-1-1*a- 1 a= a a*b)=b (5)有限群的运算表的特征:设 是有限群,则 G 中每个元素在*运算的运算 表中的每一行(列)必出现且仅出现1次,即运算表的每一行(列)为 G 中元素的一个全排列。 5. 循环群 1)循环群及其生成元 在群 中,如果存在一个元素g∈G,使得每一元素x∈ G 都能表示成gi∈Z) 的形式,则群 为循环群, g 为该循环群的生成元,并称群 由 g 生成 i( 。 循环群必是交换群。若 g 是循环群 的生成元,则 g -1也是它的生成元。 2)循环群的阶与其生成元的周期 设 是一由元素 g 生成的循环群, 141 (1)若 g 的周期为n,则 是一个 n 阶的有限循环群; (2)若 g 的周期为无限,则 是一个无限阶的循环群 。 设 是 n 阶循环群, g 是生成元,则生成元 g 的周期也是n 。 设 是 n 阶循环群, g 是生成元,则G={2,…, n } 。 3)两种循环群 g,gg (1)群:周期为k。 (2)群:周期无限。 6. 子群的证明方法 (1)用子群的定义,即证明运算在子集上满足封闭、有单位元、可逆。 (2)设 是群, S 是 G 的非空子集,如果运算*在 S 上满足封闭、可逆,则 是 的子群。 (3)设 是群, B 是 G 的有限子集,如果运算*在 B 上满足封闭性,则 是 的子群。 S 是 G 的非空子集, b∈S, (4)设 是群,如果对任意的a,有a*b1∈S,则 是 的子群。 7. 拉格朗日定理 1)拉格朗日定理及推论 设 是一个有限群,且子群 在 中的指数为d,则#G=d·(#H)。 群 中子群< H ;*> 的所有相异的左(右)陪集的个数为< H ;*> 在 中的指数。 (1)素数阶群只有平凡子群。 (2)有限群 中,任意元的周期必可整除群的阶。 (3)素数阶群必为循环群,且每个非单位元的元都是生成元。 (4)设 是 n 阶循环群,若正整数 d 能整除n,则存在且仅存在一个阶为 d 的子 群(也是循环群)。 则 的子群除<{ (5)若 是无限循环群, e};*> 外都是无限循环群。 2)拉格朗日定理的逆命题 拉格朗日定理的逆命题不成立,因为4次交错群没有6阶子群。 (1)交错群的概念。 一个置换,若把 t 个不同元素ai1,,…,分别映成ai2,…,,而其余的元素(假 ai2ait ait ai1 设有的话)不变,则称这个置换为一个t循环置换,或长为 t 的轮换,表示为()或 (i3…i1) ii2…i -i1i2…it i2it或…或(ti1t-1)。 利用数学归纳法可以证明:任何 n 元置换都可以写成若干个互相没有公共元素的轮换 的乘积(即复合)。进一步,每个轮换可表示成一些对换之积: ()()(1)…( a1a2…a=a1aa1a-a1a2) 因此,每个置换总可以表示为有(n) 限个对换之(n) 积。这(n) 种表示法甚至对换的个数显然不唯 一,但是同一个置换以多种方式表示成对换之积时,其所含对换个数的奇偶性是不变的,能 表示成奇(偶)数个对换之积的置换称为奇(偶)置换。 给定 n 个元素的集合A, A 上全体置换的集合,对于置换的复合运算构成群,为 n 次对 142 ( 称群,记为Sn n!阶群); A 上若干置换的集合,对于置换的复合运算构成的群,为 n 次置换 群; A 上全体偶置换的集合,对于置换的复合运算构成的群,称为 n 次交错群,记为An 。 (2)4次交错群没有6阶子群。 Cayley定理指出:任何一个有限群都与一个置换群同构。因此,6阶群只有两个:一个 是3次对称群S3;另一个是模6加法群Z6,即。 4次交错群A4 是4次对称群S4 的子群,其中每个元素的阶(即周期)只能是1,2,3,4, 而群Z6 中有6阶元素,所以Z6 不是4次交错群的子群。 考虑S3,(123)=(12)*(13), 也就是说,一个3阶元等于两个2阶元之积,而A4 中所 有2阶元为:(12)(34),(23)(14),(13)(24), 它们中任意两个相乘都不能得到一个三阶元。 例如:(12)(34)*(23)(14)=(13)(24 )。由此可知,S3 不是4次交错群的子群。 综上所述,4次交错群没有6阶子群。 8. 利用群中元素的周期建立子群的方法 设 是群, a 是 G 中的元素,且 a 的周期为r, a,ar}, 则 是 的 r 阶子群。 令A={a2,…, 为证 为 的子群,只证*在 A 上封闭即可。 .ai,aj ∈A,有ai*aj =ai+ j 。 若i+j≤r,则ai*aj ∈A。 若i+j>r,则ai *aj =ai+j-r+ r =ai+j- r *ar =ai+j- r *e=ai+j- r 。因为1≤i+j r 是 的子群。 再证 是 的 r 阶子群,即证 A 中 r 个元素互不相同。 设 A 中有两个元素相同,不妨设ai=ai+ p (1≤p 是 的 r 阶子群。 9. 环和域的概念 环是带有两个特殊代数运算(分别称为加法和乘法), 建立在群上的一个代数系统。环 的许多概念与理论是群的相应内容的推广。但由于环比群多一个代数运算,因此它涵盖的 内容比群丰富,难度也更大。域是一个特殊的环,它包含两个群结构,信息及计算机科学中 涉及的运算大部分在域上。环、整环和域的概念之间的区别与联系如图5. 3所示。 3 环、 图5.整环和域的概念之间的区别与联系 143 5.4　典型例题 【例5.下列代数系统 中, 在 是群的情况下,指出其 1】哪些构成群? 单位元并确定每个元素的逆元。 (1)G={1,3,4,5,9},*是模11 的乘法..11 。 (2)G=Q,*是数的加法。 (3)G=Q,*是数的乘法。 (4)G=Z,*是数的减法。 【解】(1) 是群,其中1是单位元,3与4互为逆元,5与9互为逆元,1以自身 为逆元。 (2) 是群,其中0是单位元,任一有理数 q 的逆元是-q。 (3) 不是群,因为0没有逆元。 (4)< 2Z 】 ;*> 不是群,因为*不可结合。 11}, 【例5.证明:设集合G={00,01,10,二元运算为按位加..,则 是克莱 因四元群,但不是循环群。 【证】按位加运算其实就是按位异或,属于逻辑运算指令。按位加运算不考虑进位,所 以运算时,相同为0, 见表5. 相异为1。构造按位加运算..的运算表, 1。 表5.按位加运算..的运算表 1 .. 00 01 10 11 00 00 01 10 11 01 01 00 11 10 10 10 11 00 01 11 11 10 01 00 由于按位加运算..在集合 G 上封闭,故 为一个代数系统。 显然,按位加运算..在集合 G 上具有结合律,00 为其单位元,且每个元都是自逆元,所 以 是一个群。 从运算表可以看出, 是克莱因四元群。 由于群中元素的周期为1或2,所以 不是循环群。 【3】 例5.证明:有限群中周期大于2的元素一定是偶数个 。 【证】设 是一个有限群 。 (1)周期大于2的元素必成对出现。 若元素 a 的周期大于2,则a2≠e,因而a≠ a -1,即 a 不以自己为逆元,而且 a -1也是周 期大于2的元素。 (2)不同的元素有不同的逆元 。 若a≠b,且a≠b-1,则由逆元的唯一性,显然有b≠ a -1,-1≠ a -1 。 b 144 从而命题得证 。 【例5.证明:若 是交换群, b∈G, 4】则对任意的a, n ( n *bn ( a*b)=an 是任意正整数 ) 【证】采用数学归纳法易证。反之也成立 。 【例5.证明:群<{2,4,6};..7>是一个循环群 , 5】1,3,5,3是一个生成元 。 【证】显然1是群的单位元 。 由于30=1,1=3,2=2,3=6,4=4,5=5,6=1, 1,3,5, 333333故群<{2,4,6};..7>是一 个循环群,3是一个生成元。 【例5.设 是交换群, 试证明a* b 的 6】其中元素 a 和 b 的周期分别为2和3, 周期为6。 【证】由于运算*是可交换的,所以 62 a*b)a6*b6a2)b3)e3* 因此,且周期不超过6。 a*b) (==(3*(=e2= e a* b 具有有限周期 , 下面证明,对任意正整数k,当k<6 时,( k ≠e 。 由群中元素周期的性质,只验证当 k 为6的因子1,3时,( k ≠ e 即可 。 当k=1时,(1≠e, a*b)e,则有 2,a*b) a*b)否则若有(1= 2 此与题设 b 的周期为3矛盾 e 。 =(a*b)=a2*b2=e*b2=b2 当k=2时,(2≠e,否则若有(2则有b2=此与题设 b 的周期为3 a*b)a*b)=e, e, 矛盾。 a*b)否则若有( a2* 3a= )e= 当k=3时,(3≠e, a*b)e,则有 此与题设 a 的周期为2矛盾 e 。 =a3*b3=(*e*a= a 由此证得a* b 的周期为6。 【另证】13 知,因为2与3互素。 由教材中的例5.a* b 的周期为6, 复合。 7】h|aa≠0,二元运算..是映射的 【例5.设G={h(x)=x+b,其中a,b∈R,x∈R}, (1)证明 是群。 (2)若 S 和 T 分别是由群 G 中a=1和b=0的所有映射组成的集合,证明: 和 是群 G 的子群。 (3)写出子群 S 和 T 在群 G 中的左陪集 有 。 f(=a1≠0,x)a2x+b2,【证】(1)封闭性。对任意的f,g∈G, x)a1x+b1,g(= a2≠0,因此a1a2≠0,且 a1(=(x+ (b2+b1)∈Gf..g(x)=a2x+b2)+b1a1a2)a1 可结合性。对任意的f,h∈G, x)=a1x+b1,g(x)=a2≠0, h(x)a3x+b3,因此 g,有f(a1≠0,a2x+b2, =a3≠0, (f..g)..h(a1a2(b2+b1=b2+b1∈G x)=a3x+b3)+a1a1a2a3x+a1a2b3+a1 而 145