第三篇分形天使处处逞能 蝴蝶效应: 从分形到混沌 第三篇分形天使处处逞能 你可能没想到: 分形不仅美丽,也颇具实用价值。音乐家用它们产生奇妙的音乐,企图揭示音乐与数学及其他领域间的内在联系; 艺术家们利用它们构思作品,设计者用其装饰和点缀我们的生活; 图像处理中,竟然可以用发现其中的分形结构来减少复杂图形的储存量; 此外,还可能有助于生物和医学研究…… 3.1 分形音乐 自然界中分形无处不在,人类社会中分形的应用也比比皆是,不仅应用到建筑、服装等艺术设计中,还用于音乐作品中,产生不少“分形音乐”(fractal music),让人大开眼界。 关于音乐和数学的关系,曾有一个笑话: 一个男数学老师曾经问一个研究音乐理论的女老师: “音乐里只有7个音,你为什么要准备花一生的时间去研究呢?” 音乐老师迟疑了一下,笑着反问道: “数学不也只有10个数字,你又为何打算研究一辈子,还不一定能研究清楚呢?” 一般来说,人们不会否认艺术(如雕塑、建筑、绘画等)与数学的关系,因为它们需要一点理性的计算。但如果说到音乐与数学的关系,就不太一样了,大多数人可能很迷惑: 音乐与数学有关系吗? 实际上,音乐与数学的关系源远流长,在音乐发生的最初阶段,就与数学有着亲密的血缘关系。感性的音乐中处处闪现着理性数学的影子。古希腊的毕达哥拉斯学派已经认识到琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系,从而建立了音阶和调音的理论。他们发现了和声与整数之间的关系,和声是由长度成整数比的弦发出的,等等。毕达哥拉斯的理论在早期西方音乐界占据了重要地位。 中国最早产生的完备的律学理论(三分损益律)也与数学关系密切。此外,音乐还与比例、指数函数相关联。音乐大师们的作品中流淌着黄金分割之类数学表达的完美与和谐; 乐器的形状和结构中也表达了多种数学概念。 “分形音乐”又是怎么一回事呢?我们再用计算机中产生芒德布罗集图像的过程来解释这个问题。产生芒德布罗集和朱利亚集图形的时候,我们用黑色、红色、黄色等不同的颜色来标志不同的数学迭代性质。也就是根据迭代后,当n→无穷时,Z点到原点的距离Rn的极限情况,来决定点的颜色,比如说: 如果Rn≤100,c为黑色; 如果100