3相对论佯谬知多少




1. 
双生子佯谬




一开始，爱因斯坦对闵可夫斯基的四维时空不以为然，但当他结合黎曼几何考虑广义相对论的数学模型时，才认识到这个相对论少不了的数学概念的重要性。
狭义相对论通过洛伦兹变换将时间和空间的概念联系在一起。我们生活的空间是三维的，因为3个数字决定了空间一点的位置。然而，在这个世界发生的任何事件，除了决定地点(即位置)的3个值之外，发生的时间点也很重要。如果把时间当作另外一个维度的话，我们的世界便是四维的了，称为四维时空。其实四维时空也是我们生活中常用的表达方式，比如说，当从电视里看到新闻报道，说到在曼哈顿第5大道99街某高楼上的第60层发生了杀人案件时，还一定会提到案件发生的时间：  2014年10月3日6点左右。这儿的报道中提到的5、99、60这3个数字，可以说是代表了事件的三维空间坐标，而发生的时间(2014年10月3日6点)就是第四维坐标了。
尽管物理学家企图将时间和空间统一在一起，但两者在物理意义上终有区别，无法将它们完全一视同仁，一定的场合下还必须严格加以区分。于是，天才数学家庞加莱将四维时空中的时间维和空间维分别用实数和虚数来表示。也就是说，将时空用3个实数坐标代表空间，1个虚数坐标描述时间。或者反过来：  用1个实数坐标表示时间和3个虚数坐标表示空间。到底是让空间作为实数唱主角(前者)，还是像后面一种情况那样将时间表示为实数，只不过是一种约定或习惯而已。后一种表示方法是本书中将经常使用的。
后来，闵可夫斯基发展了庞加莱的想法，他用仿射空间来定义四维时空。如此一来，就可以在形式上用对称而统一的方式来处理时间和空间。类似于三维欧几里得空间中的坐标旋转，洛伦兹变换成为这个四维时空中的一个双曲旋转。在欧几里得空间中，两个相邻点之间间隔的平方是一个正定二次式：  
ds2=dx2+dy2+dz2
上面二次式“正定”的意思可暂且简单理解为dx2、dy2、dz2等的系数都是正数。
但“正定”这点不适用于闵可夫斯基时空，因为时空中的坐标除了实数之外，还有了虚数。根据刚才的约定，闵可夫斯基时空中两个相邻点之间间隔的平方变成了：  
dτ2=dt2-dx2-dy2-dz2
这里的dτ被称为固有时。不同于欧几里得度规，闵可夫斯基时空的度规是“非正定”的。这种非正定性也导致闵氏空间具有了许多不同于欧氏空间的有趣性质。
从物理的角度看，时间和空间最根本的不同是时间概念的单向性。你在空间中可以上下左右、四面八方随意移动，朝一个方向前进之后可以后退再走回来。但时间却不一样，它只能向前，不会倒流，否则便会破坏因果律，产生许多不合实际情况的荒谬结论。
爱因斯坦的狭义相对论将时间和空间统一起来，彻底改变了经典的时空观，由此也产生了许多“佯谬”，双生子佯谬是其中最著名的一个。
根据相对论，对于静止的观测者来说，运动物体的时钟会变慢。而相对论又认为运动是相对的，那么有人就感到糊涂了：  站在地面上的人认为火车上的人的钟更慢，坐在火车上的人认为地面上的人的钟更慢，到底是谁的钟快、谁的钟慢啊？之所以问这种问题，说明人们在潜意识中仍然认为时间是“绝对”的。尽管爱因斯坦将同时性的概念解释得头头是道，听起来也似乎有他的道理，但是人们总觉得有问题想不通，于是便总结出来了一个双生子佯谬，它最早是由朗之万在1911年提出的。


话说地球上某年某月某日，假设在1997年吧，诞生了一对双胞胎，其中哥哥(刘天)被宇宙飞船1号送上太空，而弟弟(刘地)则留守地球过普通人的日子。飞船1号以极快的速度(光速的3/4)飞离地球(图311中向右)。根据相对论的计算结果，在如此高的速度下，时间变慢的效应很明显，大概是3∶2。所谓“时钟变慢”，是一种物理效应，不仅仅是时钟，而是所有与时间有关的过程，诸如植物生长、细胞分裂、原子振荡，还有你的心跳，所有的过程都放慢了脚步。总之就是说，当自认为是在“静止”参考系中的人过了3年时，他认为运动的人只过了2年。按照地球人的计划，1997年发射的那艘宇宙飞船1号，将于地球上30年(而飞船1号上20年)之后，在某处与飞船2号相遇。飞船2号是朝向地球飞过来的，即图311中向左的方向，速度也是光速的3/4左右。在那个时刻，刘天从飞船1号转移到飞船2号上。也就是说，飞船1号继续向右飞行，飞船2号继续向左飞行，只有刘天突然掉头反向以速度(075c)飞回地球。因此，地球上总共经过了60年之后，2057年，一对双胞胎能够再见面啦！那时候，地球上的弟弟刘地已经60岁了，但一直生活在高速运动的飞船中的哥哥刘天却只过了40个年头，人当壮年，还在风华正茂的年月。不过，有人便说：  刘天会怎么想呢？爱因斯坦的狭义相对论不是说所有的参考系都是同等的吗？刘天认为自己在飞船中一直是静止的，地球上的弟弟却总是相对于他作高速运动，因此，他以为弟弟应该比他年轻许多才对。但是，事实却不是这样，他看到的弟弟已经是两鬓斑白、老态初现，这便似乎构成了佯谬。无论如何，我们应该如何解释刘天心中的疑惑呢？


图311双生子佯谬




首先，刘天有关狭义相对论的说法是错误的。狭义相对论并不认为所有的参考系都等同，而是认为只有惯性参考系才是等同的。刘天在旅行过程中坐了两个宇宙飞船。他的旅程分成了飞离地球(飞船1号)和飞向地球(飞船2号)这两个阶段。飞船1号和飞船2号可以分别当作是惯性参考系，但刘天的整个旅行过程却不能作为一个统一的惯性参考系。因为刘天的观察系统不是惯性参考系，刘天便不能以此而得出刘地比他年轻的结论。所以，“佯谬”不成立。当刘天返回地球时，的确会发现地球上的弟弟已经比自己老了20岁。如果设想两个宇宙飞船的速度更快一些，快到接近光速的话，当它再次返回地球时，的确就有可能出现神话故事中描述的“山中方一日，世上已千年” 的奇迹了。
然而，如何解释双生子佯谬，如何计算两人相遇时各自的年龄呢？下面两节将会仔细分析。



2. 
同时的相对性




我们可以使用刚才介绍的闵可夫斯基时空来分析双生子佯谬。不过，我们并不需要画出四维的图形，只需要像图321所示的，画出一个时间轴t加一个空间轴x，二维时空就足以说明问题了。



图321地球惯性系(黑色直角坐标)和飞船1号惯性系

(红色斜交坐标)中同时的相对性



图321中用黑线标示的直角坐标系(t，x)是地球参考系中的坐标。在这个坐标系中，两个双生子的时空过程可以分别用他们的“世界线”来表示。什么是世界线呢？就是某个事件在时空中所走的路径。用这个新名词，以区别于仅仅是空间的“轨迹”或者仅仅时间的流逝。比如说，刘地一直在地球上没有离开，所以他的世界线是沿着地球坐标系的t轴，路径为O→A→C→D，在图321中是一条垂直向上的直线。而刘天坐了两次宇宙飞船，他的世界线在图中是一条折线，为O→B→D。
也就是说，在图中的地球坐标系中，两个双生子的世界线都是从O到D，这是标志他们交会见面的两个时空点：  分别对应于出生时(O)和地球上60年之后(D)。两人的世界线中的一条是直线，一条是折线，这又说明什么问题呢？读者可能会认为：  折线不是比直线要长吗？这点在普通空间是正确的，在“时空”中却未必见得，那是因为在这个二维时空中的距离平方表达式中有一个负号的缘故(度规不是正定的)：  
dτ2=dt2-dx2   (321)
而在普通二维坐标空间中，度规是正定的：  
ds2=dx2+dy2    (322)
换言之，式(321)中时空度规中的负号造成了时空空间与普通空间不同的一些奇特性质。
首先，我们通过图321观察、解释一下时空中“同时”概念的相对性。对地球参考系(黑线直角坐标)而言，同时的点位于平行于x轴(黑色)的同一条水平线上，即水平线是同时线。比如说，地球上2012年发生的事件都在标志了“t=15年”的那条黑色水平线上。
宇宙飞船1号相对于地球向右作匀速运动，也可以看作一个惯性参考系。我们将飞船1号的同时线用红色线表示，并且将它们与地球的时空坐标系画到同一个图(图321)中。地球时空坐标用黑色线表示，飞船1号的时空坐标用红色线表示。
飞船1号的时空坐标相对于地球时空坐标来说有一个旋转，如图中红色的斜线所示。但读者务必注意，这里的所谓“坐标轴旋转”，不同于普通空间中的旋转，它被称为“双曲旋转”。普通空间中的坐标转动，直角坐标转动后仍然是直角坐标。但在闵可夫斯基时空中，进行坐标变换时需要保持光速不变，也就是保持光锥的位置总是在45°角处，如图321中的虚线所示。所以，当时间轴顺时针转动时，空间轴需要逆时针转动，以对光锥保持对称。
对飞船1号的时空参考系而言，等时线不再是水平线，而是平行于x′，标上了t′=0、t′=10年、t′=20年的那些红色斜线，见图321。例如，研究一下图中的A、B、C这三个事件之间的关系。在地球的时空坐标中，C和B是同时的，都发生在地球时间为30年的那条等时线上。然而，从飞船1号的时空参考系来看，A和B才是同时发生的，都发生在飞船1号的时间t′=20年的那条等时线上。而在飞船1号看来，C事件是在A事件之后，所以也在B事件之后。


现在，将以上概念用于双生子问题中。刘地是在地球坐标系上，他认为C和B是同时发生的，都发生在地球上的2027年，C点在刘地的世界线上，表明刘地30岁； B点在刘天的世界线上，表明刘天的“地球年龄”是30岁。但因为刘天实际上是在运动中的飞船1号上，所以时间过得更慢，因而刘地认为刘天的“真实年龄”是20岁。
到地球上的2027年为止，刘天(B点之前)一直都在飞船1号上。在他看来，B和C不是同时的。按照他的红线坐标，B和A才是同时的，B点对应于自己20岁，与B同时的是A点，弟弟刘地相对于自己是运动的，时间应该更慢，所以在A点他还不到20岁。
到此为止，两个人的说法都是正确的，每一个人都认为对方坐标系中的时钟比自己的更慢，从而都可以得出对方比自己更年轻的结论。但是，想象一下，如果刘天只坐在飞船1号上的话，他和刘地就永远不可能再见面了，因而也就不可能构成前面所述的佯谬。不过，读者可能会说：  他们虽然不能见面，但是可以通电话呀，在电话中他们互相一问，不就知道对方多少岁了吗？然而，狭义相对论认为信息的速度不可能超过光速，当他们以光速通话时，也需要考虑他们之间的距离以及同时性的问题。因此，对这种通电话的情况，我们就不进一步详细分析了。
在我们的故事中，地球上过了30年之后，刘天被转移到了飞船2号上面，掉头向地球飞来。飞船2号的参考系(图中没有画出)，已经不同于飞船1号的红线坐标参考系。这其中，刘天从飞船1号转到飞船2号时身体经受的物理过程就说不清楚了，要使刘天从+0.75c的速度，变成-0.75c的速度，加速和减速的过程必不可少。在这个过程中的刘天感觉将如何？他会不会被压扁或撕裂了啊？这里我们暂且不去考虑这种问题，而着重于从狭义相对论时钟变慢的效应来估算他的年龄。



3. 
闵可夫斯基时空中的固有时




那么，既然在双生子佯谬中需要考虑宇宙飞船的加速度，是不是需要广义相对论的知识才能解释清楚它呢？也不是这样的。用地球参考系的二维时空图就可以解释清楚。这里，首先需要介绍一下在相对论中很重要的“固有时”的概念。


固有时，或称“原时”，在式(321)中表示的是微分形式的dτ，一段有限长度的固有时可从积分计算得到。比较式(321)和式(322)可知，固有时τ类似于普通空间中的弧长s。在普通空间中，弧长s表示一条曲线的长度，或者说是一个人走过的路径的长度。如图331所示，设想一个旅行者(太空人)，带着自己的时钟和卷尺，一直记录他走过的距离和时间。卷尺计算测量他走过的距离，而时钟所记录的就是固有时。


图331固有时和坐标时的区别以及与弧长的类比



从图331(b)中可以看出固有时和坐标时的区别，坐标时是事件之外的观察者使用某个参考系记录事件所发生的时间，固有时则是旅行者自己携带的时钟所记录的时间。此外，固有时与弧长的不同之处是：  普通空间的弧长一般比坐标数值更大，但固有时却比坐标时要小，其原因从式(321)中显而易见，正是因为度规中空间坐标平方和时间坐标平方间的符号差造成的。换言之，固有时用以描述时空中事件之间流过的时间，这个时间被事件自身的时钟所测量，测量结果不仅取决于两个事件对应的时空点位置，而且也取决于时钟参与其中的具体过程。或简单地说，固有时是时钟的世界线长度。
实际上，我们之前学过了黎曼几何，对固有时的概念不难理解，它就是对应于在黎曼几何中经常强调的内蕴几何不变量：  弧长s。时空中的“弧长”，就是固有时。对广义相对论重要的内蕴性质，在狭义相对论中也很重要。