第3章典型混沌动力学系统






混沌广泛存在于自然界，在混沌学的研究发展过程中，人们发现并提出了许多混沌动力学模型，其中有些混沌模型很有代表性，是混沌理论与应用研究的常用模型，包括离散混沌映射系统、连续混沌系统和超混沌系统，我们称之为典型混沌动力学系统。下面讨论其数学模型及其主要特性。
3.1离散混沌映射系统
首先，给出离散混沌映射系统的定义。考虑如下非线性系统


x(k+1)=Gu（k）F(x(k))x(0)=x0(31)

其中，“”表示两函数间的复合运算，x(k)∈MR,u(k)∈RP,{Gu}u∈RP是M上的具有p个参数的微分同胚群，F： M→M为一微分同胚，若x（k）是混沌的，x0∈M，则称光滑的n维状态流形M上所有通过x0的x(k)为离散混沌，其物理意义是由非线性差分方程描述的离散映射产生的混沌，离散映射通常可由计算机软件或者采样器实现。
3.1.1Logistic映射
Logistic映射是目前应用最广泛的一类非线性动力学离散混沌系统，其映射方程为［1］


xn+1=μxn(1-xn)n=1,2,…(32)


其中，参数μ∈(0,4］，xn∈(0,1)，当3.5699…<μ≤4时，系统处于混沌状态。当系统参数μ变化时，系统的动力学状态随之变化，具体体现在如下几方面： 
(1)  μ∈(0,1］时，系统存在xn→0的不动点。
(2)  μ∈［1,3)时，系统存在xn→0和xn→1-1/μ的不动点，此为周期1解。
(3)  μ∈［3,μ′)时，这里μ′=3.569945672…，依次出现轨道周期变化1→2→4→8…，即倍周期分岔现象。
(4) 当μ∈［μ′,4］时，系统出现混沌现象。
系统随参数变化的分岔图如图31所示,迭代初始值x0=0.6，迭代次数N=2000，省略前1800个点，参数μ的变化步长为0.01。由图31可见，当时间序列依次经历稳定不动点→不稳定不动点→周期→混沌四个不同的演化阶段时，系统复杂性依次明显增加。当μ=4.0时，Logistic系统复杂性最大。这一点也可以通过Logistic系统的Lyapunov指数体现，Logistic系统的Lyapunov指数曲线如图32所示。当μ=4.0时，Logistic系统的Lyapunov指数达到最大值0.69。



图31Logistic映射的分岔图




图32Logistic映射的Lyapunov指数图




下面讨论Logistic映射的统计特性。
Logistic映射的概率密度函数为


ρ(x)=
1πx(1-x)0<x<1

0其他(33)


均值为


x-=limN→+∞∑Ni=1xi=12(34)

自相关函数为


Raa(τ)=limN→+∞1N∑N-1n=0anan+τ=0.125τ=0


0τ≠0(35)


互相关函数为


Rab(τ)=limN→+∞1N∑N-1n=0anbn+τ=0(36)

改进型Logistic映射又称Improved Logistic映射，其表达式为


xn+1=1-2(xn)2xn∈(-1,1)(37)

其概率密度函数为


ρ(x)=1π1-x2x∈(-1,1)

0其他(38)

均值为


x-=limN→+∞∑Ni=1xi=0(39)

自相关函数为


Raa(τ)=limN→+∞1N∑N-1n=0anan+τ=0.5τ=0


0τ≠0(310)

互相关函数为


Rab(τ)=limN→+∞1N∑N-1n=0anbn+τ=0(311)

3.1.2Tent映射
Tent映射也是一个应用比较广泛的离散混沌映射系统。目前，由Tent构成的混沌序列已经广泛应用于混沌扩频码的产生、混沌加密系统构造和混沌优化算法的实现等领域中。Tent映射方程为


xn+1=xn/q0<xn≤q


(1-xn)/(1-q)q<xn<1(312)

其中，系统参数q∈(0,1)，xn∈(0,1)，它与Logistic互为拓扑共轭映射。当q在区间(0,1)变化时，系统处于混沌状态； 特别值得注意的是，当q=0.5时，系统呈现短周期状态，如(0.2,0.4,0.8,0.4,…)，由于短周期的存在，系统的结构比较简单，其复杂度比较小。另外，对于Tent系统，系统初值不能选取和系统参数q相同，如果相同，那么系统将演化成为一个周期系统。因此，在应用Tent系统时，应合理选择系统参数q和系统初值x0。Tent映射系统具有以下统计特性。
均值为


x-=limN→+∞∑Ni=1xi=12(313)

自相关函数为


Raa(τ)=limN→+∞1N∑N-1n=0anan+τ=1/12τ=0


0τ≠0(314)

互相关函数为


Rab(τ)=limN→+∞1N∑N-1n=0anbn+τ=0(315)

3.1.3Hénon映射
Hénon映射是1976年由Hénon提出来的一个二维离散混沌系统，其映射方程为［2］


xn+1=1-ax2n+yn

yn+1=bxn(316)


当1.07≤a≤1.4，b=0.3时，系统处于混沌状态。变量xn∈(-1.5,1.5)，当a=1.4时，系统复杂度最大。在一般的混沌同步、加密研究中，系统参数一般取a=1.4，b=0.3。图33为Hénon映射的奇异吸引子，很像天上的银河，其中初值xn(0)=yn(0)=0.5，迭代1000次。当初值xn(0)=yn(0)=0.5，参数b=0.3，a∈［0，1.5］时，得Hénon映射系统的分岔图如图34所示，显然该映射系统由倍周期而进入混沌。



图33Hénon映射的奇异吸引子




图34Hénon映射分岔图



3.1.4TDERCS映射

随着对混沌研究的不断深入，人们提出了各类新型的混沌系统。2004年，盛利元等提出了基于切延迟的椭圆反射腔离散混沌系统(tangent delayellipse reflecting cavity map system, TDERCS)［3］。TDERCS系统的映射方程为



xn=-2kn-1yn-1+xn-1(μ2-k2n-1)μ2+k2n-1

kn=2k′n-kn-1+kn-1k′2n-11+2kn-1k′n-k′2nn=1,2,…

k′n-m=-xn-myn-mμ2m≤n

yn=kn-1(xn-xn-1)+yn-1(317)

式中，系统参数μ∈(0,1］，变量|xn|≤1，|yn|≤1,m为整数，代表切线延迟数，k′n-m为延迟m后椭圆切线的斜率。k0可由入射角α确定，方法如下。
首先，由系统的初始值x0及系统参数μ计算出y0及斜率k′0


y0=μ1-x20(318)

k′0=-x0y0μ2(319)


然后利用三角函数关系，求得


k0=tanα+k′01-k′0tanα(320)


因此，给定系统参数值μ、m和初值x0、α，就可以得到一组混沌序列{xn,kn}。当切延迟m=0时，该系统演化为椭圆反射腔映射系统(ellipse reflecting cavity map system，ERCS)； 当切延迟m≥1时，该系统就为TDERCS系统，此时，系统处于混沌状态。
Lyapunov指数随系统参数μ变化的情况如图35所示,曲线形态似飞翔的大雁，故称之为“大雁图”,其中迭代次数n=400000。显然μ=1处有最大值LE1=0.92(也是极大值)； μ=0.5处有极小值LE=0.33； 由此可见，在μ的定义域内Lyapunov指数均大于零，表明TDERCS具有全域性混沌特性。



m=1时，TDERCS存在一个方形吸引子，如图36所示，其中参数取值为μ=0.8123，x0=0.7654，α=0.9876，迭代次数n=1500。迭代初期，相点不在吸引子上，随着迭代次数的增加，相点最终将落在方形吸引子上。实验表明，在0<μ<1时，方形吸引子的位置不变，与初值无关,即系统的极限状态将落在一个固定的正方形上，它给出了θ与β之间的简单线性关系。μ=1时，吸引子位置与初值有关，但所有相点都在吸引子上。



图35TDERCS系统的Lyapunov指数(大雁)图


(x0=0.7654，α=0.9876)




图36m=1时TDERCS的方形吸引子




3.2连续混沌系统
首先，给出连续混沌系统的定义。考虑非线性系统


x·=F(x,μ,t),x(t0)=x0(321)


的解x(t)∈MRn为向量场F的通过点x0的积分曲线，x0∈M,μRP为参数向量，如果x(t)是混沌的，则称光滑的n维流形M上所有经过x0的x(t)为连续混沌。
从物理意义上看，连续混沌系统是由微分方程y·=F(x)描述的、能产生混沌现象的非线性动力系统，通常可由模拟电路实现。
连续混沌系统分为两类,一类是自治系统，如Lorenz系统、Rssler系统、Chua电路系统等； 另一类是非自治系统，其中具有代表性的系统有Duffing振子、van der Pol振子。
3.2.1Duffing振子
Duffing方程是非线性动力学系统强迫振动的典型方程，属于非线性振动问题。例如研究一个两端固定的铁片在外力驱动下的振动，考虑一端固定，另一端自由的铁片处于两端磁铁之间在外力驱动下的运动，则有如下形式的Duffing方程［4］



x¨+kx·-f(x)=e(t)(322)

其中，k为阻尼系数，f(x)是一个非线性函数，e(t)是周期为T的驱动项。当f(x)、e(t)取不同的形式时，便可得出不同形式的Duffing方程。这里，考虑如下形式的Duffing方程


x¨+kx·-x+x3=Fcosωt(323)


其中，k为系统的耗散系数，F和ω为周期强迫力的振幅和频率，这是非线性振动中出现混沌解的一种重要模型。
令x·=y，则式(323)可写为


x·=y
y·=-ky+x-x3+Fcosωt(324)


令式(324)中各系数分别为k=0.1,F=1.5,ω=1,可得该系统的吸引子如图37所示。



图37Duffing系统在xy平面的奇异吸引子


3.2.2van der Pol振子
1926年，van der Pol提出了一个受外力驱动的非线性非自治系统，其方程为［5］


x·=y
y·=-x+b(1-x2)y+AsinΩt(325)

当参数b=3，A=5，Ω=1.788时，该系统的混沌吸引子如图38所示。



图38van der Pol振子在xy平面的奇异吸引子

3.2.3Lorenz系统
美国气象学家Lorenz在研究大气对流模型时，所提炼的三维方程及其表现的“蝴蝶效应”动力学行为，为混沌学的创立奠定了基础。Lorenz系统的数学模型是三元一阶非线性微分方程组，它是当今被讨论和引证最多的非线性动力学系统的典型例子之一。Lorenz系统既有分岔、混沌现象，也有各种稳定现象，如倍周期、不动点等。
Lorenz系统方程为［6］


x·=σ(y-x)
y·=rx-y-xz
z·=xy-bz(326)


其中σ，r，b为系统参数。该三阶常微分方程组以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t，故称作自治方程。式中x表示对流强度，y表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z表示垂直方向温度分布的非线性强度，r表示引起对流和湍流的驱动因素和抑制对流因素之比，是系统的主要控制参数。σ=v/k是普朗特数(v和k分别为分子黏性系数和热传导系数)，b代表与对流纵横比有关的外形比，且σ和b为无量纲常数。
数值研究结果表明，当σ=10，b=8/3，28≤r<∞，除在一些b值(b=100，160，260等)的附近外，Lorenz系统均处于混沌状态。取参数σ=10，r=28，b=8/3对Lorenz系统进行数值仿真，得到著名的“蝴蝶”吸引子，如图39所示。这种“蝴蝶”吸引子表现为它有两个不动点，轨线围绕两个不动点随机演化，形成螺旋状，恰像两个蝴蝶的翅膀。



图39Lorenz系统在xz平面的奇异吸引子


3.2.4Rssler系统

Rssler方程是以一位德国内科医生Otto E Rssler的名字命名的。他曾对自己发现的混沌现象迷惑不解，把方程产生的奇异吸引子认定为自然界的物体，定名为“眼镜蛇”。该方程很像Lorenz系统方程，但只有一个非线性交叉项，也是保密通信研究的典型系统之一。

Rssler系统的数学模型是用三元一阶微分方程组描述的［7］，即


x·=-y-z
y·=x+ay
z·=b+z(x-c)(327)


其中，a，b，c为系统参数，当a=b=0.2，c=5.7时，系统处于混沌态，这时系统的Lyapunov指数谱为(0.0714, 0, -5.3943)。随着过程的演化，方程组的三维状态空间轨迹为Rssler系统确定了一个奇异吸引子，该吸引子描绘了系统的复杂性。Rssler系统在xy平面的吸引子如图310所示。



图310Rssler系统在xy平面的奇异吸引子


3.2.5蔡氏电路
1983年，蔡少棠教授首次构建了著名的非线性混沌电路，学界称为蔡氏电路，它是迄今为止能产生最丰富复杂动力学行为，而电路结构相对简单的混沌系统，因此，已成为研究混沌控制和混沌保密通信的经典对象。调节蔡氏电路的参数可以产生倍周期分岔、单涡卷、周期3和双涡卷吸引子等复杂的非线性动力学行为。在蔡氏电路的基础上，目前对多涡卷蔡氏混沌吸引子的研究成为研究热点。
蔡氏电路混沌吸引子的归一化状态方程为［8］


x·=α［y-h(x)］
y·=x-y+z
z·=-βy(328)

其中,h(x)是分段线性函数，其波形如图311所示； 当h(x)取不同的分段线性函数时，可产生双涡卷和多涡卷混沌吸引子。从保密通信的角度来讲，涡卷越多，混沌系统保密性越强。这里仅对双涡卷、3涡卷、5涡卷、7涡卷混沌系统进行仿真。



图311分段线性函数h(x)示意图


1.  双涡卷蔡氏混沌吸引子
在双涡卷中，式(328)中的h(x)及各参数表示为


h(x)=m2q-1x+12∑2q-1i=1(mi-1-mi)·(|x+ci|-|x-c|)
q=1,α=9,β=100/7
m=［m0； m1］=［-1/7； 2/7］
c=［c1］=［1］(329)


用MATLAB仿真所得的混沌吸引子如图312所示,双涡卷混沌吸引子是目前人们最熟悉、也是研究得最为彻底的混沌电路。


图312双涡卷混沌吸引子



2. 3涡卷蔡氏混沌吸引子
在3涡卷中，式(328)中的h(x)及各参数表示为


h(x)=m2q-1x+12∑2q-1i=1(mi-1-mi)·(|x+ci|-|x-ci|)
q=2,α=9,β=100/7
m=［m0,m1,m2,m3］=［0.9/7,-3/7,3.5/7,-2.4/7］
c=［c1,c2,c3］=［1,2.15,4］(330a)

或


m=［m0,m1,m2,m3］=［-1/7,2/7,-4/7,2/7］

c=［1,2.15,3.6］(330b)


通过MATLAB仿真所得非线性函数和3涡卷混沌吸引子如图313所示。



图313非线性函数曲线与3涡卷混沌吸引子



3. 5涡卷蔡氏混沌吸引子
在5涡卷中，式(328)中的h(x)及各参数表示为


h（x）=m2q-1x+12∑2q-1i=1mi-1-mi·x+ci-x-ci
q=3,α=9,β=100/7
m=m0,m1,m2,m3,m4,m5
=0.9/7,-3/7,3.5/7,-2.7/7,4/7,-2.4/7
c=c1,c2,c3,c4,c5=1,2.15,3.6,6.2,9(331a)


或

m=［m0,m1,m2,m3,m4,m5］=-17,27,-47,27,-47,27
c=［c1,c2,c3,c4,c5］=［1,2.15,3.6,6.2,9］(331b)
通过MATLAB仿真得到5涡卷混沌吸引子如图314所示。



图3145涡卷蔡氏混沌吸引子



4.  7涡卷蔡氏混沌吸引子
在7涡卷中，式(328)中的h(x)及各参数表示为


h（x）=m2q-1x+12∑2q-1i=1mi-1-mi·x+ci-x-ci
q=4,α=9,β=100/7
m=m0,m1,m2,m3,m4,m5，m6,m7
    =0.9/7,-3/7,3.5/7,-2.4/7,2.52/7,-1.68/7,2.52/7,-1.68/7
c=c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7=1,2.15,3.6,6.2,9,14,25(332)


通过MATLAB仿真得到7涡卷混沌吸引子如图315所示。



图3157涡卷蔡氏混沌吸引子(xy平面)


3.2.6Chen系统

1999年，在研究混沌的反控制的过程中,即利用反馈控制产生混沌的问题时,香港城市大学的陈关荣教授发现了一个新的混沌吸引子,从系统的相图看，它与Lorenz“蝴蝶”吸引子相比，在相空间上更加复杂一些。
陈氏吸引子的数学模型为［9］


x·=ay-x
y·=c-ax-xz+cy
z·=xy-bz(333)


其中，X=(x,y,z)T∈R3为系统的状态,a>0,b>0,c>0为系统的参数。尽管陈氏系统在形式上与另两个著名的混沌系统——Lorenz系统和Rssler系统有相似之处,但陈关荣教授证明了该系统与这两个混沌系统都不是拓扑等价的，该系统的吸引子不同于以往任何一个混沌系统的吸引子,并对该吸引子的特性，如分岔、通向混沌的途径等进行了定性分析。当参数值取a=35、b=3、c=28时,陈氏混沌系统在xz平面的奇怪吸引子如图316所示。



图316陈氏混沌吸引子在xz平面相图


文献［10］对Chen系统进行了硬件电路设计与实验，电路图及其实验结果分别如图317和图318所示。显然，实验结果与仿真结果一致。


图317Chen系统的电路图




图318示波器显示的Chen电路混沌吸引子


3.2.7Lü系统

2002年，吕金虎等发现了一个新的混沌吸引子，它连接了著名的Lorenz吸引子和Chen吸引子，其数学模型为［11］


x·=a(y-x)
y·=-xz+cy
z·=xy-bz(334)


其中a、b、c为系统参数，当参数a=36、b=3、c=20时，系统处于混沌态。系统在xz平面的混沌吸引子如图319所示。



图319Lü系统在xz平面的吸引子



3.2.8统一混沌系统

2002年，吕金虎、陈关荣等又提出了一个新的混沌系统，该系统将Lorenz吸引子和Chen吸引子连接起来，而Lü系统只是它的一个特例，故称其为统一混沌系统。根据Vaněcek和Celikovsk的定义［12］，Lorenz系统、Chen系统和Lü系统分属于不同的拓扑类型。统一混沌系统的数学模型为［13］


x·=(25α+10)(y-x)
y·=(28-35α)x-xz+(29α-1)y
z·=xy-(8+α)z/3(335)


其中系统参数α∈［0,1］。在此范围内统一混沌系统具有全域性混沌特性，根据Vaněcek和Celikovsk在文献［12］中的定义，当α∈［0,0.8)时，统一混沌系统属于广义Lorenz系统； 当α∈(0.8,1］时，统一混沌系统属于广义Chen系统； 而当α=0.8时，统一混沌系统属于Lü系统。所以统一混沌系统具有连接Lorenz系统和Chen系统的重要作用，而且是单参数连续混沌系统，即只用一个参数α就可以控制整个系统，当α由零逐渐增加到1时，系统也由广义的Lorenz系统逐渐过渡到广义的Chen系统［14］。不同参数下的统一混沌系统在xz平面的混沌吸引子如图320所示。统一混沌系统参数α在［0, 1］的范围内的最大Lyapunov指数如图321所示，除了三个明显的周期窗口，即W1=［0.369, 0.371］，W2=［0.468, 0.470］，W3=［0.575, 0.597］，最大Lyapunov指数在α∈［0, 1］均大于零。所以统一混沌系统具有全域性混沌特性。鉴于统一混沌系统具有其他非线性模型无法比拟的优异性能，该系统的控制与同步是目前混沌研究的热点［15］，其在保密通信领域具有广泛的应用前景［16］。



图320不同参数时统一混沌系统在xz平面的吸引子






图321统一系统最大Lyapunov指数随参数而变化的曲线


3.2.9简化Lorenz系统
简化Lorenz系统的动力学方程为［17］


x·=10(y-x)
y·=-xz+(24-4c)x+cy
z·=xy-8z/3(336)

其中c是系统的分岔参数。简化Lorenz系统的最大Lyapunov指数如图322所示，显然系统在c∈［-1.59,7.75］内处于混沌态，但至少存在9个周期窗口，即W1=［3.507，3.509］，W2=［4.581，4.612］，W3=［4.6911，4.722］，W4=［5.122，5.127］，W5=［5.167，5.169］，W6=［5.599，5.600］，W7=［5.7601，5.770］，W8=［5.820，5.830］和W9=［6.415，6.425］。



图322简化Lorenz系统的最大Lyapunov指数随参数变化曲线


简化Lorenz系统的随系统参数c变化的分岔图如图323所示。



图323简化Lorenz系统随参数c变化的分岔图


简化Lorenz系统的混沌吸引子如图324所示。



图324简化Lorenz系统的吸引子(c=2)



简化Lorenz系统具有如下性质： 
（1) 在c∈［-1.59,7.75］的大部分区间里系统是混沌的。
（2) 当c=-1时，它是具有标准参数的普通Lorenz系统。
（3) 当c=0时，第二个方程中没有变量y。
（4) 当c=6时，第二个方程中没有变量x。
（5) 当c在其范围内变化时它有非常丰富的分岔集。
（6) 根据Vaněcek和Celikovsk的拓扑定义，简化Lorenz系统原点的线性化产生一个3×3偏微分的常数矩阵A=［aij］3×3，其中a12a21的符号可以区分不等价的拓扑结构。根据该准则，c<6时，a12a21>0； c=6时，a12a21=0； c>6时，a12a21<0。尽管简化Lorenz系统包含三个不同的拓扑结构，但在标准值c=6时没有发现特殊的分岔,所以拓扑结构和动力学特性之间的关系有待深入研究。
简化Lorenz系统具有如下几个重要特性。
1. 对称性和不变性
简化Lorenz系统在变换(x, y, z)→(-x, -y, z)下是对称的和不可变的，即，关于z轴对称。对称性对于所有的c∈(-∞,+∞)适用。z轴本身是一个轨道(一个不变的流)，即，如果t=t0，x=y=0，则对于所有的t≥t0，x=y=0； 而且，当t→∞时，z轴上的轨道趋于原点，对于这样一条轨道，x·=y·=0，z·=-8z/3。因此简化Lorenz系统对于所有的参数c都具有对称性和不变性。
2. 耗散性和吸引子的存在性
体积收缩比率由Lie导数给出


1VdVdt=∑Φ·iΦi,i=1,2,3,Φ1=x,Φ2=y,Φ3=z(337)


由简化Lorenz系统（336）可得


1VdVdt=x·x+y·y+z·z=3c-383=p(338)


这样，可求解得


V(t)=V(0)ept(339)

当c<38/3，p为负值，则简化Lorenz动力学系统是耗散的，对t→+∞，它以指速率ept收缩于0体积，该0点可能是一个平衡点，一个有限区间，或者一个奇异吸引子。
3. 平衡点和稳定性
简化Lorenz系统的平衡点可以通过求解三个方程x·=y·=z·=0得到，即10(y-x)=0，-xz+(24-4c)x+cy=0，xy-8z/3=0。从而可得三个平衡点,即S0(0,0,0)，S-(-64-8c,-64-8c,24-3c)，S+(+64-8c,+64-8c,24-3c)，其中两个平衡点S-、S+是关于z轴对称的。
系统在平衡点S0附近线性化，则系统有一个特征值λ1=-8/3以及其他两个特征值满足的特征方程


f(λ)=λ2+(10-c)λ+30c-240=0(340)

如果c∈(8,10)，则10-c>0和30c-240>0，则方程式(340)的两个特征值均为负数，原点平衡点是一个螺旋结点，对于c∈(-∞,8)或c∈(10,+∞)，方程式(336)的根总是满足λ2>0>λ3，因此平衡点S0在三维状态空间是一个鞍点。
下面，对系统在其他两个平衡点进行线性化，得到以下特征方程


f(λ)=λ3+(38/3-c)λ2+(272/3-32c/3)λ+20(64-8c)(341)

这两个平衡点S±具有同样的稳定特性。令A=38/3-c，B=272/3-32c/3，C=20(64-8c)。对于c∈(-1.59,7.75)或c∈(8,+∞)，有A>0，B>0，C>0和A×B<C。这样，式(341)不满足RouthHurwitz规则，而且存在一对复数共轭特征值，其实部为正值，这两个平衡点S±是螺旋鞍点。如果c∈(-∞,-1.59)或c∈(7.75,8)，则A×B>C。式(341)满足RouthHurwitz规则，而且两个复数根的实部也都是负的，且两个平衡点S±也都是螺旋结点。该系统的平衡点的分类如表31所示。



表31不同c值时的平衡点分类



平衡点
c
特征值符号
分类

S0

(8, 10)
---
螺旋结点（收敛）

(-∞, 8) & (10,+∞)
+ --
鞍点(指标1)


S±
(-∞,-1.59) & (7.75, 8)
---
螺旋结点

(-1.59, 7.75)
+ +-
螺旋鞍点(指标2)
(8,+∞)
+ --
鞍点(指标1)


简化Lorenz系统可用模拟电路实现，其中的非线性部分通过采用运放LM741和乘法器AD633来实现。由系统的仿真图知其状态变量的变化范围均超出了运放、乘法器的电源电压提供范围，故系统的状态变量不能直接作为电压变量，在具体电路实现时需将系统的状态变量进行适当的比例变换。简化Lorenz系统电路如图325所示［18］，其中c为简化Lorenz系统的系统参数，这样，改变R14的值等价于改变系统参数c的值。图326为示波器显示的吸引子相图。



图325简化Lorenz系统的电路图





图326示波器显示的简化Lorenz系统的吸引子xz平面相图(c=4.678)


3.2.10新混沌系统的建议标准
目前，已经提出了许多低维离散时间和连续时间混沌数学模型，且其解均为混沌态，由一个正的Lyapunov指数可证明这点。人们不断地发现新的混沌并发表在一大堆非线性动力学期刊上，这些论文的内容只是详细地报道了在状态空间非周期轨道到分岔图特征，计算系统的Lyapunov指数谱，在参数空间系统通向混沌的道路，以及其他一些动力学和拓扑性质等。显然这些论文几乎都没有错，但是它们通常提供的仅仅是众所周知、理解透彻的又一个混沌例子的行为，不能称其为新的混沌系统。
针对这一现象，Sprott教授认为［19］，要想认定提出的系统是新的混沌系统，则该系统必须至少满足下面标准中的一项： 
（1) 系统应能可靠地模拟一些自然界重要的未解决的问题，并对该问题进行解释。
（2) 系统必须展示一些以前没有观察到的动力学行为。
（3) 系统必须比所有已存在，并观察到相同行为的已知系统更简单。
以上标准为新混沌系统的论文发表提供了一个必要非充分的条件，著名的Lorenz系统在首次发表时就完全满足这三个标准，因为它涉及大气湍流，提出了初值敏感条件，并且在当时是拥有这些性质的最简单的系统。
3.3超混沌系统
对于高维偏微分方程中出现的混沌运动，在许多情形下可能具有多于一个方向的不稳定性，即超混沌。超混沌系统具有两个以上的正的Lyapunov特征指数，具有较一般混沌系统更复杂的动力学行为。
3.3.1Rssler超混沌系统
Rssler超混沌系统是Rssler于1979年发现的一个简单的四维振荡器模型，该系统能在两个方向上产生双曲不稳定的超混沌吸引子。Rssler系统的动力学方程为［20］


x·1=-x2-x3
x·2=x1+ax2+x4
x·3=b+x1x3
x·4=-cx3+dx4(342)


当系统参数a=0.25，b=3.0，c=0.5，d=0.05时，系统处于超混沌态，其Lyapunov指数谱为(0.112, 0.019, 0, -25.188)，其吸引子如图327所示。



图327Rssler超混沌吸引子相图



3.3.2Chen超混沌系统
2005年，Li等通过状态反馈控制构建了超混沌Chen系统，其方程为［21］ 


x·=a(y-x)+w
y·=dx-xz+cy
z·=xy-bz
w·=yz-rw(343)


其中，x、y、z和w为系统的状态变量，a、b、c、d和r为系统的控制参数，在a=35、b=3、c=12、d=7条件下，r处于区间［0，0.1085］、(0.1085，0.1798］、(0.1798，0.1900］时，系统(343)分别表现为混沌运动、超混沌运动、周期性运动。当a=35、b=3、c=12、d=7和r=0.16时，超混沌系统具有两个正的Lyapunov指数，分别为0.1567和0.1126，该系统的吸引子如图328所示。



图328Chen超混沌吸引子相图



3.3.3折叠毛巾超混沌映射
1979年，Rssler提出了一个三维超混沌映射［20］，它具有折叠毛巾状的吸引子，其映射方程为

xn+1=axn(1－xn)－0.05(yn－0.35)(1－2zn)
yn+1=0.1((yn+0.35)(1+2zn)－1)(1－1.9xn)
zn+1=3.78zn(1－zn)+byn(344)

其中，a、b为控制参数，x、y、z为系统变量。当a=3.8，b=0.2时，系统是超混沌的，其Lyapunov指数谱为(0.418,0.373,-2.502)［22］。当a=3.8，b=0.2，x0=0.1，y0=0.2和z0=0.3时，折叠毛巾映射的三维混沌吸引子相图如图329所示。


图329折叠毛巾映射的三维混沌吸引子像图


3.3.42DSIMM超混沌映射
基于Sine映射和ICMIC映射，采用闭环调制耦合模型［23］，可得到二维sine ICMIC调制映射(twodimensional sine ICMIC modulation map,2DSIMM)［24］，其系统方程为

x(n+1)=asin［ωy(n)］sin［c/x(n)］

y(n+1)=asin［ωx(n+1)］sin［c/y(n)］(345)

其中，x、y为系统状态变量，参数a表示幅度，ω表示频率，c表示内部扰动频率。值得注意的是，xn、yn≠0。否则，系统方程(345)无意义。因此，系统的初始条件x0、y0≠kπ或c/kπ, k∈N。当参数取a=1，ω=π，c=3时，系统具有两个正的LEs(3.8307，2.7737)，呈超混沌态，其吸引子相图如图330所示。


图3302DSIMM映射在参数a=1，ω=π ，c=3的吸引子相图



混沌系统模型远不止这些，本章介绍的只是典型混沌系统，是混沌理论与应用研究的常用模型，这些模型不仅具有实际物理意义，而且具有独有的特征，是人们研究混沌理论及其应用的常用对象。随着混沌学研究的深入，人们还将不断揭示和发现自然界中的混沌系统模型及其动力学特性。
思考题
（1) 尝试构建一个新的混沌模型。
（2) 一个新的混沌系统应具有什么样的特征？
（3) 计算映射xn+1=x2n+c的分岔图，其中-2<c<0.3，并近似验证费根鲍姆常数。
（4) 什么是超混沌系统？有何特征？
参考文献



［1］May R. Simple mathematical models with very complicated dynamic ［J］. Nature, 1976, 261： 459467.

［2］Hénon M. A twodimensional mapping with a strange attractor ［J］. Communication in Mathematical Physics, 1976, 50, 291312.

［3］盛利元,孙克辉,李传兵.基于切延迟的椭圆反射腔离散混沌系统及其性能研究［J］.物理学报, 2004.53(9)： 28712806.

［4］Duffing G. Erzwungene Schwingungen bei Vernderlicher Eigenfrequenz ［M］. Braunschweig： Vieweg, 1918.

［5］van der Pol B. On relaxation oscillations ［J］. Philosophical Magazine, 1926, 2： 978992.

［6］Lorenz E N. Deterministic nonperiodic flow ［J］. Journal of Atmospheric Sciences, 20： 130141.

［7］Rssler O E. An equation for continuous chaos ［J］. Physics Letters A, 1976, 57(5)： 397398.

［8］Matsumoto T, Chua L O, Tanaka S. Simplest chaotic nonautonomous circuit ［J］. Physical Review A, 1984, 30： 11551157.

［9］Chen G, Ueta T. Yet another chaotic attractor ［J］. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1999, 9： 14651466.

［10］Zhong G Q, Tang K S.Circuitry implementation and synchronization of Chen’s attractor ［J］. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002, 12(6)： 14231427.

［11］Lü J H, Chen G R. A new chaotic attractor coined ［J］. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002, 12(3)： 659661.

［12］Vanecek A, Celikovsky S. Control Systems： From linear analysis to synthesis of chaos ［M］. London： PreticeHall, 1996.

［13］Lü J H, Chen G R, Cheng D Z, et al. Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system ［J］. International Journal of. Bifurcation and Chaos, 2002, 12(12), 29172926.

［14］Lü J H, Zhou T, Chen G R, et al. The compound structure of Chen’s attractor ［J］. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002, 12(4)： 855858.

［15］Yang Y S, Liao T Lu, Yan J J. Sliding mode control design for generalized projective synchronization of unified chaotic systems containing nonlinear inputs ［J］. Journal of Vibration and Control, 2012, 18(6)： 808816.

［16］Cheng C J. Robust synchronization of uncertain unified chaotic systems subject to noise and its application to secure communication ［J］. Applied Mathematics and Computation, 2012, 219(5)： 26982712.

［17］Sun K H, Sprott J C. Dynamics of a simplified Lorenz system ［J］. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2009, 19(4)： 13571366.

［18］孙克辉,杨静利,丁家峰,等.单参数Lorenz混沌系统的电路设计与实现［J］.物理学报, 2010, 59(12)： 83858392.

［19］Sprott J C. A proposed standard for the publication of new chaotic systems ［J］. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2011, 21(9)： 23912394.

［20］Rssler O E. An equation for hyperchaos ［J］. Physics Letters A, 1979, 71（23）： 155157.

［21］Li Y, Chen G, Tang K S. Generating hyperchaos via state feedback control ［J］. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2005, 15(10)： 33673375.

［22］Zgliczynski P.Symbolic dynamics for the Rssler folded towel map［J］.Banach Center Publications,1999,47(1): 253258.

［23］Liu W,Sun K,Zhu C.A fast image encryption algorithm based on chaotic map［J］.Optics and Lasers in Engineering,2016,84: 2636.

［24］Liu W,Sun K,He S.SFSIMM highdimensional hyperchaotic map and its performance analyse［J］.Nonlinear Dynamics,2017,89(4): 25212532.