第3章 CHAPTER 3 电路分析方法之二 ——电路方程法 本章提要 本章讨论电路分析的一般方法——电路方程法。这类方法是在选取合适的电路变量后,依据基尔霍夫定律和元件特性列写电路方程(组)求解电路。本章的主要内容有: 典型支路及其特性方程、2b变量分析法、支路电流分析法、节点电压分析法、回路电流分析法等。本章所介绍的电路方程法,不仅适用于线性电阻性电路分析,也可容易地推广应用于含动态元件电路的正弦稳态分析和暂态分析。 3.1概述 等效变换法对于较简单电路的求解是一种行之有效的方法,但这类方法具有一定的局限性。本章所介绍的电路方程法是一类普遍适用的方法,也称为网络一般分析法,它既能用于具有任意结构形式的复杂电路的求解,也能借助网络图论的知识用于计算机对电路的计算、分析。 电路方程法是在选取合适的电路变量后建立并求解电路方程从而获得电路响应的方法。这一方法的关键是如何建立选取了特定变量的网络方程,因此本章的学习重点集中于讨论如何建立电路方程的方法上面。通过对电路的直接观察建立电路方程称为视察法,应用网络图论的知识采用系统的方法建立矩阵形式的方程称为系统法。本章首先介绍常用的视察法,本书的最后一章将介绍网络图论的基础知识及用系统法列写矩阵形式的电路方程的方法。 任何电路分析方法的基本依据都是电路的两类基本约束,即基尔霍夫定律和电路元件特性(元件的电压、电流关系),电路方程法也不例外。选取了一定的电路变量后所建立的电路方程均是电路两类基本约束的特定表现形式。 建立电路方程时,所需列写的KCL和KVL方程都应是独立的方程。对应于一组独立的KCL方程的节点称为独立节点,对应于一组独立的KVL方程的回路称为独立回路。在第1章已述及,若一个电路有b条支路,n个节点,则独立节点数为n-1个,独立回路数为b-n+1个。如何写出一个电路独立的KCL和KVL方程呢?下面以图31所示电路为例加以说明。 图31说明独立节点、独立回路的电路 在图31所示电路中,共有4个节点,6条支路。则独立节点数为3个,独立回路数也为3个。选取列写KCL方程的独立节点的方法是选择四个节点中的任意三个即可,例如选节点①、②、③写出的三个KCL方程为一组独立的KCL方程。由这三个方程可导出节点④的KCL方程,因此,节点④是不独立的节点。若电路中指定了参考节点,则通常就将参考节点之外的n-1个节点选作独立节点。 选取列写KVL方程的一组独立回路时可按下面的方法去做。在每选择一个新的回路时,使该回路至少包含一条新的支路,即未含在已选回路中的支路,从而使此回路的KVL方程中至少含有一个新的未知支路电流。这样选取的新回路的KVL方程一定独立于已选取的回路的KVL方程。 通常一个电路按上述方法可选出多组独立回路。可以验证图31所示电路,可以选出16组独立回路,而每一组独立回路中的回路数都是3个。图32给出了其中的三组独立回路。 图32图31电路的三组独立回路示意 可以证明电路中各组独立回路的KVL方程体现的是相同的对回路电压的约束,即由一组独立回路的各KVL方程可导出其他各组独立回路的KVL方程。例如由图32(a)所示电路的三个独立回路的KVL方程可得出图32(b)所示三个回路的KVL方程; 由图32(b)所示电路的三个独立回路的KVL方程可导出图32(c)所示电路的三个独立回路的KVL方程等,读者可自行验证之。 电路中的求解对象通常是各支路的电压、电流,可以直接以支路电压和电流为变量来建立电路方程而求得电路响应,但这样做往往使所建立的电路方程数目较多而增大计算工作量。为解决这一问题,可以选取电路中的一些中间变量(电量)来建立电路方程,再由这些中间电量来求得各支路电压、电流。这些中间电量包括节点电位(节点电压)、回路电流、网孔电流等。选择不同的中间电量建立电路方程从而求解电路的方法就是本章所要介绍的各种电路分析方法。 3.2典型支路及其支路特性 元件特性(元件的电压、电流关系)是电路分析的基本依据之一。在实际计算电路的响应时,往往将元件特性转化为用支路特性(支路的电压、电流关系)表示。 3.2.1典型支路及其支路特性方程 图33是电路中的一条典型支路,它由独立电压源、电流源及电阻元件复合连接而成。所谓“典型”是指该支路基本包含了电路中一条支路构成所可能具有的情形。例如纯电阻电路是其中的所有电源为零的情形,而电源的戴维宁支路则是电流源为零的情形等。这条典型支路暂未包含受控源,含有受控源的情况将在稍后讨论。 该典型支路的特性是支路电压uk和电流ik的关系方程,也称为支路伏安关系或支路方程。支路方程有两种表示形式,即用支路电流表示支路电压,或用支路电压表示支路电流。根据图33所示典型支路k的电压、电流的参考方向,两种形式的支路方程为 uk=RkiRk+usk=Rk(ik-isk)+usk=Rkik+usk-Rkisk(31) 或 ik=Gkuk+isk-Gkusk(32) 式中Gk=1Rk。 具有b条支路的电路可认为是由b条典型支路构成的,于是便有b个上述的支路方程(当然一些方程中的某些项为0)。 例31试写出图34所示电路中所有支路的用支路电压表示支路电流的特性方程。 图33电路中的一条典型支路 图34例31电路 解依题意,是需写出如式(32)所示的支路方程。设各支路电压、电流为关联正向,且Gk=1/Rk,可写出各支路方程为 I1=G1U1+G1Us1 I2=G2U2-G2Us2 I3=G3U3 I4=G4U4-Is I5=G5U5 I6=G6U6 3.2.2电路含有受控源时的支路特性方程 在列写含有受控源电路的支路方程时,应注意对受控源控制量的处理,需将受控源的控制量用合适的支路电量表示,即支路方程形式为式(31)时,控制量应为支路电流,支路方程形式为式(32)时,控制量则为支路电压。 例32试写出图35所示电路的支路特性方程(支路电压用支路电流表示)。 解所需列写的是形如式(31)的支路方程。设各支路电压、电流为关联正向,写出各支路特性方程为 图35例32电路 U1=R1(I1-is)=R1I1-R1is U2=R2I2 U3=R3I3 U4=R4I4+rmI2 U5=R5I5+us U6=R6(I6-gmU1)=R6I6-R6gmU1 =-R1R6gmI1+R6I6+R1R6gmis 需注意的是,第6条支路中的受控源控制量是支路1的电压U1,应将U1用支路电流I1表示。 3.32b变量分析法 一般而言,对于具有b条支路的电路,就有b个支路电流变量和b个支路电压变量,于是网络变量的总数为2b个。若电路有n个节点,则可写出n-1个独立的KCL方程和b-n+1个独立的KVL方程以及b个独立的支路方程。上述独立方程的总数为 (n-1)+(b-n+1)+b=2b 这表明网络可列写的独立方程的数目与网络未知变量的数目正好是相等的,因此可用列写上述方程并联立求解的方法来求出网络中的全部2b个支路电流、电压变量。这种方法称为2b变量分析法(简称为2b法),相应的方程式称为2b方程。 电路分析的依据是基尔霍夫定律和元件特性这两类基本约束。可以看出,2b法是这两类约束的直接应用。2b法的优点是建立电路方程简单直观,且适用于任意的网络,包括线性和非线性网络。同时它也是其他电路分析方法方程的基础,即各种电路分析法的方程可视为2b法方程演变的结果。但由于该法所需列写的方程数目较多,求解计算较为烦琐,因此,除了一些情况下用于计算机辅助电路分析外,实际中用得较少。 练习题 31电路如图36所示。 图36练习题31电路 (1) 试列写两种形式的支路方程; (2) 试建立该电路的2b法方程式。 3.4支路电流分析法 以支路电流为变量建立电路方程求解电路的方法称为支路电流分析法,也可简称为支路法。该方法所建立的是电路中独立节点的KCL方程和独立回路的KVL方程。对于有b条支路的电路,电流变量有b个,所建立的方程的数目也是b个,较2b法而言,方程的数目减少了一半。这一方法所对应的电路方程也称为支路法方程。 3.4.1支路法方程的导出 建立支路法方程时所列写的是电路中独立节点的KCL方程和独立回路的KVL方程,所有方程中的变量均是支路电流。下面举例说明支路法方程的具体形式及导出用视察法列写支路法方程的规则。 图37建立支路电流法方程的用图 在图37所示的电路中,选取各支路电流、电压的参考方向如图中所示。对三个独立节点①、②、③建立KCL方程为 i1+i4-i5=0 i2+i5+i6=0 -i3-i4-i5=0 (33) 又对三个独立回路(网孔)建立KVL方程为 -u1+u2-u5=0 -u2-u3+u6=0 u4+u5-u6=0 (34) 各支路的特性方程(伏安关系式)为 u1=R1i1+E1 u2=R2i2-E2 u3=R3i3 u4=R4i4 u5=R5i5 u6=R6i6 (35) 将支路方程式(35)代入KVL方程式(34),并对方程进行整理,将未知量的项置于方程左边,将已知量移至方程右边,可得 -R1i1+R2i2-R5i5=E1+E2 -R2i2-R3i3+R6i6=-E2 R4i4+R5i5-R6i6=0 (36) 将式(33)和式(36)联立,便得所需的支路电流法方程。 容易看出,式(36)实质是KVL方程,是将相关支路特性代入到各独立回路KVL方程后的结果。这表明支路法方程和2b法方程类似,是电路两类基本约束的一种体现形式。 3.4.2视察法建立支路法方程 支路电流法的方程由两组方程构成。一组是独立节点的KCL方程,可任选n-1个节点后写出。另一组是在电路中任选一组独立回路后写出的KVL方程,该组方程中的第k个方程对应于电路中的第k个独立回路。考察并分析式(36),可知其一般形式为 ∑Rjij=∑Esj(37) 该方程的左边是k回路中所有支路的电阻电压之代数和,当支路电流的参考方向和k回路的绕行方向一致时,该电阻电压项前面取正号,否则取负号。式(37)的右边是k回路中所有电压源(包括由电流源等效的电压源)电压的代数和,当电源电压的参考方向和k回路的绕行方向一致时,该电压项前面取负号,否则取正号。 根据上述规则和方法,可由对电路的观察直接写出支路法方程,称为视察法建立电路方程。 视察法建立支路电流法方程的具体步骤归纳如下: ① 指定电路中各支路电流的参考方向。 ② 指定各独立回路的绕行方向。若是平面电路,则可直接以网孔作为独立回路,并选定顺时针方向为网孔的绕行方向。 ③ 任选n-1个节点作为独立节点,列写这些节点的KCL方程。 ④ 列写各独立回路的KVL方程,方程的形式为∑Rjij=∑Esj,即每一KVL方程的左边为回路中各电阻电压的代数和,且每一电阻电压均用该电阻中的电流表示; 方程的右边为回路中所有电压源电压的代数和,注意需将与电阻并联的电流源等效变换为与电阻串联的电压源。 图38例33电路 例33如图38所示电路,已知R1=R2=1Ω,R3=2Ω,Es=10V,Is=7.5A。试用支路电流法求各支路电流及两电源的功率。 解(1) 选定各支路电流的参考方向和网孔的绕行方向如图所示。 (2) 该电路共有两个节点,则独立节点只有一个,可任选一个节点为独立节点。写出节点①的KCL方程为 -I1+I2+I3=0① (3) 写出各网孔的KVL方程为 m1:R1I1+R2I2=Es1② m2:-R2I2+R3I3=-R3Is③ (4) 将①、②、③式联立,并代入电路参数求解,解出各支路电流为 I1=3A,I2=7A,I3=-4A (5) 两电源的功率为 Es的功率:Ps1=-Es1I1=-10×3=-30W Is的功率:Ps2=-(Is+I3)R3Is=-(7.5-4)×2×7.5=-52.5W (6) 验算计算结果的正确性。电路中的全部电阻吸收的总功率为 PR=R1I21+R2I22+R3(I3+Is)2=1×32+1×72+2×3.52=82.5W 两电源吸收的总功率为 Ps=Ps1+Ps2=-30-52.5=-82.5W 例33的结果说明电源发出的功率与电阻吸收的功率相等,谓之“功率平衡”,表明了电路的计算结果是正确的。 对电路进行计算后,应验证结果的正确性,验算“功率平衡”是常用方法之一。 事实上,支路分析法还包括了支路电压分析法,即以支路电压为变量列写电路的KVL和KCL方程的方法。由于支路电压法在实际中用得较少,因此不再作深入讨论。 3.4.3电路中含受控源时的支路电流法方程 在电路中含有受控源时,若用视察法建立支路电流法方程,可根据受控源的特性,先将受控源视为独立电源列写方程,再将受控源的控制量转换用支路电流表示,然后对方程加以整理,将含有待求支路电流变量的项都移放至方程的左边。 例34试列写图39所示电路的支路电流法方程。 图39例34电路 解(1) 先将受控源视为独立电源列写方程。列写独立节点①、②、③的KCL方程为 -I1-I4+I6=0 I2+I4+I5=0 I3-I5-I6=0 列写回路1、2、3的KVL方程为 R1I1+R2I2-R4I4=Es1-Es2 -R2I2+R3I3+R5I5=Es2+R3αU1 R4I4-R5I5+R6I6=rmI2 (2) 电路中受控电流源的控制量为电压U1,将其转换为支路电流I1。由电路,有 U1=Es1-R1I1 (3) 将上式代入回路2的KVL方程,并对KVL方程加以整理,将含未知量的项移至方程左边,则该电路的支路电流法方程为 -I1-I4+I6=0 I2+I4+I5=0 I3-I5-I6=0 R1I1+R2I2-R4I4=Es1-Es2 R1R3αI1-R2I2+R3I3+R5I5=R3αEs1+Es2 -rmI2+R4I4-R5I5+R6I6=0 3.4.4应用支路电流法时对无伴电流源支路的处理方法 当电路中含有无伴电流源支路时,因该支路的端电压为未知量,且不能用其支路电流予以表示,所以在用前述方法列写回路的KVL方程时会遇到困难。对这种情况可有两种解决办法。 1. 虚设电压变量法——增设无伴电流源的端电压变量 在列写KVL方程时,将无伴电流源两端的未知电压作为待求变量,这一新增变量并非是电流变量,因此称为“虚设变量”。由于无伴电流源支路的电流是已知的,尽管出现了一个新的电压变量,但待求变量的总数并未增加,因此方程的总数亦未增加。 图310例35电路 例35用支路电流法求图310所示电路中各支路电流及两电源的功率。 解设无伴电流源的端电压为u,其参考方向如图中所示,又设各支路电流的参考方向如图示。节点①的KCL方程为 I1-I2+6=0 回路1和回路2的KVL方程为 -R1I1+6R3+u=0 -R2I2-R3×6-u=-Us 将电路参数代入并对方程加以整理后得 I1-I2=-6 -6I1+u=-12 -3I2-u=-15 解上述方程组,求得 I1=1A,I2=7A,u=-6V 两电源的功率为 PIs=uIs=-6×6=-36W PUs=-UsI2=-27×7=-189W 2. 选合适回路法——使无伴电流源支路只和一个独立回路关联 在所选的一组独立回路中,无伴电流源支路只和一个独立回路关联,即该支路只出现在一个回路中,而不会成为两个及以上回路的公共支路。 由于该无伴电流源支路的电流为已知,未知的支路电流的数目就比支路数少一个,故该无伴电流源所在独立回路的KVL方程无须列写。又因在其他独立回路中不出现该无伴电流源支路,因而避开了无伴电流源的端电压不能用支路电流表示的困难。由于不引入新的变量,从而减少了方程的数目。若一个电路中有q个无伴电流源(包括受控电流源),则所需列写的KVL方程将减少q个。 图311例36电路 例36试用支路电流法求图311所示电路中独立电源和受控源的功率。 解该电路有两个独立回路,如果使无伴受控电流源只属于右边的独立回路1,则不需列写该回路的KVL。而另一不含无伴受控电流源支路的独立回路应是虚线所示的回路2。于是所需列写的支路电流法方程为 KCL:I1+I2-3I1=0 KVL:2I1-2I2=-12-8 即 -2I1+I2=0 I1-I2=-10 解之,可得 I1=10A,I2=20A 又可求得 U=2I1+12=32V 于是求出各电源的功率为 P8V=-8I2=-8×20=-160W P12V=12I1=12×10=120W Pc=-3I1U=-3×10×32=-960W 应用支路电流法时所列写的是独立节点的KCL方程和独立回路的KVL方程,其特点是电路中有多少个未知的支路电流,所需列写的方程数目就有多少个。当电路的支路数较多时,求解方程组的工作量很大。因此对支路数较少的电路适宜用此法,但对较复杂的电路,一般不用支路分析法,而选用其他方法求解。 练习题 32列写图312所示电路的支路电流法方程。 图312练习题32电路 3.5节点分析法 在一个有n个节点的电路中,在指定了一个参考节点后,其余n-1个节点的电位(也称为节点电压)可作为求解变量。由于在电路中应用了电位的概念后,KVL将自动获得满足,因此若能将各支路电流用节点电位表示,则只需列写n-1个独立节点的KCL方程,从而获得一组有n-1个方程且正好有n-1个节点电位变量的电路方程,就可求得各节点电位。由于每一支路是连接于两个节点之间,因此根据支路特性(元件特性)方程,总能将支路电流用节点电位予以表示。这种以节点电位为待求变量依KCL建立方程求解电路的方法,称为节点电位分析法或简称为节点分析法,所对应的电路方程称为节点法方程。 3.5.1节点法方程的导出 节点法的求解对象是节点电位(也称节点电压),所建立的是独立节点的KCL方程。在图313所示电路中,选节点④为参考节点,指定各支路电流的参考方向如图中所示。各独立节点的节点电位为U1、U2和U3。写出独立节点①、②、③的KCL方程为 I1+I2+I6-Is=0 -I1+I3+I4=0 -I2-I3-I5-I6=0 (38) 图313建立节点法方程的用图 再将各支路电流用节点电位表示为 I1=U1-U2R1 I2=U1-U3R2 I3=U2-U3R3 I4=U2R4 I5=-U3+E5R5 I6=U1-U3-E6R6 (39) 将式(39)代入KCL方程式(38)并进行整理,将未知量的项置于方程左边,将已知量移至方程右边,可得 1R1+1R2+1R6U1-1R1U2-1R2+1R6U3=E6R6+Is -1R1U1+1R1+1R3+1R4U2-1R3U3=0 -1R2+1R6U1-1R3U2+1R2+1R3+1R5+1R6U3=E5R5-E6R6 (310) 式(310)即是所需的节点法方程。可以看出节点法方程实质是KCL方程,是把用节点电位表示的支路电流方程代入到KCL方程后的结果,它是2b法方程的又一种表现形式。 3.5.2视察法建立节点法方程 节点法方程的本质是独立节点的KCL方程,显然节点法方程的数目与独立节点数相同,为n-1个。每一节点法方程都和一个独立节点对应。观察并分析式(310),可知与节点k对应的第k个方程的一般形式为 GkkUk-∑GkjUj=Isk(311) 上式中的Gkk为连接于节点k上所有支路中电阻元件的电导之和,且Gkk恒为正值; Gkk也称为节点k的自电导。式中的Gkj为连接于节点k和节点j之间的全部支路的电阻元件的电导之和,且Gkj前恒取负号; Gkj也称为节点k和j的互电导。该式右边Isk为连接于节点k上全部支路中电流源(含由电压源等效的电流源)电流的代数和。当某个电流源的电流是流入节点k时,该项电流前取正号,否则取负号。 按照上述规则和方法,可通过对电路的观察直接写出节点法方程,称为视察法建立节点法方程。 用视察法建立节点电位法方程并求解电路的具体步骤如下。 (1) 给电路中的各节点编号,并指定电路的参考节点。 (2) 在电路图中标示待求电量的参考方向,例如指定各支路电流的参考方向。 (3) 按视察法建立节点法方程的规则,列写出对应于各独立节点的电路方程。 (4) 解第(3)步所建立的方程(组),求出各节点电位。 (5) 由节点电位求得待求的电量,例如支路电压、支路电流或元件的功率等。 例37试列写图314所示电路的节点电位法方程。 解(1) 给电路中的各节点编号如图,并选节点④为参考点,则节点电位变量为U1、U2和U3。 (2) 将电路中的两条戴维宁支路等效变换为诺顿支路后,按前述确定自电导、互电导和节点电流源电流的方法,对各节点逐一写出该电路的节点电位法方程为 n1: 1R1+1R5+1R6U1-1R1U2-1R5U3=-Es5R5+Is n2: -1R1U1+1R1+1R2+1R3U2-1R2U3=0 n3: -1R5U1-1R2U2+1R2+1R4+1R5U3=Es4R4+Es5R5 例38用节点电位分析法求图315所示电路中各支路电流及电流源的功率。 图314例37电路 图315例38电路 解(1) 如图315所示,给各节点编号,并选定节点④为参考点。 (2) 指定各支路电流的参考方向及电流源的端电压的参考方向如图315中所示。 (3) 各独立节点电位为U1、U2和U3。按视察法的规则建立电路的节点法方程为 12+12+1U1-U2-12U3=6 -U1+12+12+1U2-12U3=0 -12U1-12U2+12+12+1U3=0 应注意节点①的自电导中不应包括与电流源串联的3Ω电阻的电导,这是因为节点法的实质是按KCL建立电路方程,而待求变量是节点电位,每一方程实际是相应节点的KCL方程。在节点①方程的右边已写入了与此节点相连的电流源的电流,而此电流与串联的3Ω电阻无关,因此在节点法方程中不应出现与电流源串联的电阻之电导值。 (4) 将上述方程组进行整理,得 2U1-U2-0.5U3=6 -U1+2U2-0.5U3=0 -0.5U1-0.5U2+2U3=0 解之,可得各节点电位为 U1=5V,U2=3V,U3=2V (5) 将各支路电流用节点电位表示后,可求得 I1=U12=2.5A,I2=U1-U21=2A,I3=U3-U22=-0.5A I4=U22=1.5A,I5=U31=2A,I6=U3-U12-1.5A 电流源两端的电压为 ui=U1+3×6=5+18=23V 电流源的功率为 Pi=-6ui=-6×23=-138W 3.5.3电路中含受控源时的节点法方程 当电路中含受控源时,若用视察法建立节点法方程,可根据受控源的特性,先将受控源视为独立电源,用规则化方法列写方程,再将其控制量用节点电位表示,然后对方程加以整理,将含有未知节点电位的项均移至方程的左边。 例39电路如图316所示,试求独立电流源和受控电流源的功率。 图316例39电路 解用节点法求解。选节点b为参考点,先将受控源视为独立电源,控规则化方法建立节点a的方程为 15+110+15Ua=205+2-12I2+2U15 将受控源的控制量U1和I2用节点电位Ua表示,有 U1=64+6Ua=35Ua I2=20-Ua5=4-15Ua 将上述两式代入节点法方程,整理方程并求解,可求得节点电位为 Ua=25V 又求得电流I2为 I2=4-15Ua=4-15×25=-1A 于是求出独立电流源的功率为 PI=-2Ua=-2×25=-50W 受控电流源的功率为 Pc=12I2Ua=12×(-1)×25=-12.5W 3.5.4电路中含无伴电压源时的节点法方程 当电路中含无伴电压源支路时,因该支路的电流为未知量,且不能用其支路电压予以表示,所以在用前述方法列写节点法方程时会遇到困难。对此种情况可有三种处理方法。 1. 虚设电流变量法——增设无伴电压源支路的电流变量 在列写节点法方程时,必须计入无伴电压源支路的电流。为此将无伴电压源支路的未知电流作为新的待求变量,这一新增变量并非是节点电位变量,因此称为“虚设变量”。在增加这一变量后,为使方程可解,必须补充一个方程。由于无伴电压源支路的电压是已知的,且这一支路连接在两个节点之间,于是可用这两个节点电位之差表示无伴电压源的电压,这一关系式便是所需补充的方程,也称为“增补方程”。 在列写节点电位方程时,可将无伴电压源支路的未知电流变量视为电流源的电流写入方程。 图317例310电路 例310试列写图317所示电路的节点电位法方程。 解(1) 给电路中的各节点编号,并选节点④为参考节点。 (2) 设无伴电压源E2支路中的电流为Ie,其参考方向如图317所示。 (3) 将无伴电压源支路的电流Ie视为独立电流源的电流写入节点法方程,并写出“增补方程”,即用节点电位表示的无伴电压源电压的方程。于是列写出采用“虚设电流变量法”的节点电位法方程为 1R1+1R2+1R4U1-1R2U2-1R4U3=E1R1 -1R2U1+1R2+1R3U2=Ie -1R4U1+1R4U3=Is+Ie 增补方程为 U2-U3=E2 (4) 将上述方程中的未知量均移至方程的左边,整理后的节点法方程为 1R1+1R2+1R4U1-1R2U2-1R4U3=E1R1 -1R2U1+1R2+1R3U2+Ie=0 -1R4U1+1R4U3-Ie=Is U2-U3=E2 2. 电压源端点接地法——选择无伴电压源支路关联的节点之一为参考节点 当无伴电压源支路的一个端点与参考节点相接时,该无伴电压源支路另一个端点所接节点的电位便是已知的,其值为无伴电压源的电压值。于是这一电位为已知的节点对应的方程就不必列写,从而减少了方程的数目。 例311用节点电位法求图318所示电路中两独立电源的功率。 图318例311电路 解给电路中的各节点编号,并选无伴电压源的负极性端所接的节点④为参考节点。指定电压源支路的电流I和电流源的端电压U的参考方向以及各相关支路电流的参考方向如图中所示。节点①的电位为 U1=6V 对节点②和③列写的节点法方程为 -12×6+12+1U2=3 -1×6+12+1U3=-3 应注意,与电流源串联的2Ω电阻不应出现在节点法方程中。 解上述方程组,可得 U2=4V,U3=2V 由此可求得各支路电流为 I1=U1-U31=6-2=4A I2=U1-U22=6-42=1A I=-I1-I2=-4-1=-5A 电流源的端电压为 U=(U2-U3)+2×3=(4-2)+6=8V 于是求得两电源的功率为 P6V=6I=6×(-5)=-30W P3A=-3U=-3×8=-24W 在例311中,两个未知的节点电位实际只需分别建立一个方程便可求出。由此可见,对含有无伴电压源支路的电路采用“电压源端点接地法”后可有效地简化计算工作。 3. 作封闭面法——围绕连接无伴电压源支路的两节点作封闭面而后建立该封闭面的 KCL方程 前述的“电压源端点接地法”避免了对连接有无伴电压源支路的节点建立方程,在未选择某个无伴电压源的一个端点作为参考节点的情况下,可采用“作封闭面法”达到同样的目的。这一方法的步骤是先围绕连接着这一无伴电压源的两个节点作一封闭面,而后对该封闭面列写KCL方程。 图319例312电路 例312求图319所示电路中各电阻支路的电流及两个电压源的功率。 解给电路中各节点编号并指定各支路电流的参考方向如图所示。该电路中有两个无伴电压源支路,现选择5V电压源支路所接的节点⑤为参考节点,则节点④的电位为 U4=-5V 另一电压为23V的无伴电压源支路连接在节点①和节点②之间,围绕这两个节点作一封闭面如图中所示,对此封闭面建立如下的KCL方程 I1+I2+5-1=0 将I1和I2用节点电位表示,则封闭面的KCL方程为 14(U1-U3)+13(U2-U3)=-4 整理后得 14U1+13U2-712U3=-4① 由于U2-U1=23,因此方程①中的未知变量只有两个。再对节点③建立方程,并将U4=-5V代入,有 -14U1-13U2+13+14+12+1U3=-5② 将方程①和②联立,并将U2-U1=23代入,可解得 U1=-26V,U2=-3V,U3=-6V 由此求得各电阻支路的电流为 I1=U1-U34=-26-(-6)4=-5A I2=U2-U33=-3-(-6)3=1A I3=U32=-62=-3A I4=U4-U31=-5-(-6)1=1A 两个无伴电压源支路的电流为 I5=I1+5=-5+5=0A I6=I3-1=-3-1=-4A 于是求得两电压源的功率为 P23V=23I5=0W,P5V=5I6=5×(-4)=-20W 由例312可见,若电路中有m个无伴电压源支路,则在采用“作封闭面法”后,需列写的节点电位方程可减少m个。 此外,还可通过电源转移的方法,在消除无伴电压源支路后,再用通常的规则建立节点电位法方程。不过应注意,这种方法在一定的程度上改变了电路的结构。这对求解除无伴电压源支路之外的电路变量无关紧要,但若需求取该无伴电压源支路的电流或功率,则应在求得电压源转移后的电路中各节点电位后,再回到电源转移前的电路去求解。 3.5.5节点分析法的相关说明 (1) 节点电位法以节点电位为求解对象,所建立的方程实质是独立节点的KCL方程。 (2) 若电路有n个节点,且电路不含无伴电压源(独立的或受控的)支路时,所建立的节点法方程有(n-1)个,这比用支路法时建立的方程数目减少了(b-n+1)个,所减少的是独立回路的KVL方程。 (3) 节点法既适用于平面电路,也适用于非平面电路,是分析计算电路时常用的一种方法,尤其适用于节点数较少(即节点数少于独立回路数)的电路。由于在电路中易于确认节点电位变量,所以节点法在计算机辅助电路分析中也是最常用的方法之一。 (4) 当用视察法对含有受控源的电路建立节点法方程时,可先将受控源视为独立电源,用规则化方法列写方程,再将受控源的控制量用节点电位表示后代入方程进行整理。 (5) 对含有无伴电压源的电路用视察法建立方程时,可采用“虚设变量法”“电压源端点接地法”和“作封闭面法”。其中后面两种方法可减少列写的方程的数目,是实际应用中最常用的方法。当电路中有m(m≥2)条无伴电压源支路时,通常是联合采用“电压源端点接地法”和“作封闭面法”,可使所建立的方程数目减少m个。 练习题 33试建立图320所示电路的节点电位法方程。 图320练习题33电路 3.6回路分析法 在求解电路时,还可用所谓的“回路电流”为变量来建立电路方程,这一方法所列写的是独立回路的KVL方程,称为回路电流分析法或回路分析法,也简称为回路法,所对应的电路方程称为回路法方程。 3.6.1回路电流的概念 回路电流是一种假想的电量,是设想的沿着一个回路的边沿或在回路内部流通的电流。图321所示电路有三个独立回路,假定每一回路都有一回路电流在其中流动,如电流il1、il2和il3。可以看出,电路中的每一支路都有一个或多个 图321说明回路电流概念的电路 回路电流通过,于是每一支路电流就是这些回路电流的代数和。例如图321中各支路电流用回路电流表示如下: i1=il1-il2-il3 i2=-il2-il3 i3=il1 i4=-il1+il2 i5=il2 i6=il3 由此可见,只要求得了回路电流,就可以求出各支路电流,进而可由支路方程求得全部的支路电压。由图321电路还可以看出,有三条支路仅通过了一个回路电流,而正是这三条支路决定了这三个独立回路(由该支路决定的独立回路中不会出现另两条支路),或者说这三条支路中的电流就是回路电流,这也表明这三个独立回路的电流构成了一组独立变量。 3.6.2回路法方程的导出 回路法的求解对象是回路电流,所建立的是独立回路的KVL方程。下面用图322所示电路导出其回路法方程,进而得到用视察法建立回路法方程的规则。 图322建立回路法方程的电路 在图322所示电路中,选取三个独立回路并给出三个回路电流的参考方向(绕行方向)。三个独立回路的KVL方程为 u1+u2-u3-u6=0 u3+u4+u6=0 u2-u3+u5=0(312) 写出各支路的特性方程并将各支路电流用回路电流表示,得 u1=R1I1+E1=R1il1+E1 u2=R2I2-E2=R2(il1+il5)-E2 u3=R3I3+E3=R3(-il1+il4-il5)+E3 u4=R4I4=R4il4 u5=R5I5=R5il5 u6=R6I6=R6(-il1+il4)(313) 将式(313)代入式(312)并进行整理,将含未知量的项置于方程左边,把已知量的项移至方程右边,得 (R1+R2+R3+R6)il1-(R3+R6)il4+(R2+R3)il5=-E1+E2+E3 -(R3+R6)il1+(R3+R4+R6)il4-R3il5=-E3 (R2+R3)il1-R3il4+(R2+R3+R5)il5=E2+E3(314) 上式即是所需的回路法方程。容易看出,回路法方程是将用回路电流表示的支路电压代入到独立回路的KVL方程后的结果,它是2b法方程的又一种表现形式。 3.6.3视察法建立回路法方程 回路法方程的实质是独立回路的KVL方程,显然回路法方程的数目与独立回路的数目相同,为b-n+1个。每一个回路法方程都和一个独立回路对应。考察并分析式(314),可知与回路k对应的第k个方程的一般形式为 Rkkilk±∑Rkjilj=Elk(315) 式中,Rkk为回路k中所有支路的电阻之和,且恒取正值,也称为回路k的自电阻; Rkj为回路k和回路j所有共有支路的电阻之和,也称为k回路和j回路的互电阻,当k回路电流和j回路电流的方向关于公共支路为一致时,Rkj前取正号,否则取负号; Elk为回路k中所有电压源(含电流源等效的电压源)电压的代数和,当某个电压源电压的参考方向与回路k的电流方向为一致时,该项电压前取负号,否则取正号。 按照上述规则和方法,可通过对电路的观察直接写出回路法方程,称为视察法建立回路法方程。 用视察法建立回路法方程并求解电路的具体步骤归纳如下。 ① 选取一组独立回路并给出各回路电流编号、指定参考方向。通常回路电流的参考方向与决定此独立回路的那一支路的电流方向为一致。 ② 按上述视察法建立回路法方程的规则,逐一写出对应于各独立回路的电路方程。 图323例313电路 ③ 解第②步所建立的回路法方程(组),求得各回路电流。 ④ 由回路电流求出各支路电流。 ⑤ 由支路方程求得各支路电压及功率等待求量。 例313试用回路法求图323所示电路中两个电压源及电阻R和R1的功率。 解选择三个独立回路并给出各回路电流的参考方向如图中所示。如此选择独立回路是因为这三个回路是由两个电压源支路及R支路所决定的,则这三条支路的电流便是三个回路的电流。由列写回路法方程的规则,可写出各回路的方程为 l1:(1+2+2+1)il1-(2+2)il2-(2+1)il3=-6 l2:-(2+2)il1+(2+2)il2+2il3=-3 l3:-(1+2)il1+2il2+(1+2+1)il3=0 将上述方程联立求解,求得 il1=-5.1Ail2=-5.25Ail3=-1.2A 于是所求各功率为 P6V=6i1=6il1=6×(-5.1)=-30.6W P3V=3i2=3il2=3×(-5.25)=-15.75W PR=i23R=i2l3R=(-1.2)2×1=1.44W PR1=i24R1=(-il2-il3)2×2=[-5.25-(-1.2)]2×2=32.805W 3.6.4电路中含受控源时的回路法方程 在用视察法建立含受控源电路的回路法方程时,可先将受控源视为独立电源用规则化方法列写方程,再将其控制量用回路电流表示,然后对方程加以整理,将含有未知回路电流的项均移至方程的左边。 图324例314电路 例314求图324所示电路中独立电压源和受控电压源的功率。 解用回路法求解。选取三个独立回路及回路电流的参考方向如图324所示。用规则化方法列写回路法方程为 (2+2+1)il1+(2+2)il2+2il3=15+2i (2+2)il1+(2+2+1+3)il2+(2+1)il3=15 2il1+(2+1)il2+(2+1+1)il3=0 将受控源的控制量i用回路电流表示,由电路图可见i=il3,将该式代入回路法方程并对方程进行整理,可得 5il1+4il2=15 4il1+8il2+3il3=15 2il1+3il2+4il3=0 解该方程组,可求出各回路电流为 il1=1.4A,il2=2A,il3=-2.2A 又由支路电流和回路电流的关系,求出两个电压源中的电流为 i1=-il1-il2=-1.4-2=-3.4A i2=il1=1.4A 于是求得两个电压源的功率为 P15V=15i1=15×(-3.4)=-51W P2i=-2i·i2=-2×(-22)×1.4=6.16W 3.6.5电路中含无伴电流源时的回路法方程 当电路中含无伴电流源支路时,因该支路的电压为未知量,且不能用其支路电流予以表示,因此在用前述方法列写回路法方程时会遇到困难。对此可有两种解决方法。 1. 虚设电压变量法——增设无伴电流源支路的电压变量 方法是在建立方程时增设无伴电流源支路的端电压为新的电路变量并写入方程,同时增补一个用回路电流表示的无伴电流源电流的方程。 2. 选合适回路法——使无伴电流源支路只和一个回路相关联 这一方法和支路电流法中的做法是相似的,即在选择回路时,使每一无伴电流源支路只和一个回路关联,不让它成为两个及以上回路的公共支路。这样,无伴电流源所在回路的电流即是该电流源的电流,此由无伴电流源决定的回路的方程便无须列写,从而减少了方程的数目,使计算得以简化。 图325例315图 例315求图325所示电路中的电流I。 解该电路中有两个无伴电流源支路,选用回路法求解并采用选合适回路法。 选择电路的四个独立回路并指定各回路电流的参考方向如图中所示。由两个无伴电流源决定的两个独立回路的电流为已知电流源的电流,即il1=6A,il2=8A,这两个回路的方程不必列写。粗看起来,还有il3和il4这两个回路电流是未知的,似乎需解一个二元一次方程组,但仔细观察可发现回路l3和l4之间并无公共电阻支路,它们之间的互电阻为零。这样l4回路的方程中将不含有未知量il3,即该方程中只有待求量il4=I。因此,求I只需解一个方程就可以了。写出l4回路的方程为 (3+4)I+3×6=3I-6 解之,得 I=-6A 练习题 34试列写图326所示电路的回路法方程并求独立电流源的功率。 图326练习题34电路 3.6.6网孔电流分析法 对一个平面电路,通常其所有内网孔可构成一组独立回路,此时在各网孔内部流通的假想电流称为网孔电流,可见网孔电流可视为回路电流的特例。以网孔电流为变量,建立方程求解电路的方法称为网孔电流分析法或网孔分析法,也简称为网孔法,所建立的方程亦是独立回路(网孔)的KVL方程,称为网孔法方程。 1. 网孔法方程 图327建立网孔法方程的一个电路 网孔法的求解对象是网孔电流,所对应的是电路中各网孔的KVL方程。在图327所示电路中,按惯例选顺时针方向为网孔的绕行方向,同时这也是网孔电流的参考方向。又选取各支路电流、电压的参考方向如图所示。电路中三个网孔的KVL方程为 u1+u3+u4=0 u2-u3-u5=0 -u4+u5-u6=0(316) 写出用支路电流表示的各支路电压的支路方程,再将各支路电流用网孔电流表示,可得 u1=R1i1-E1=R1im1-E1 u2=R2i2-E2=R2im2-E2 u3=R3i3=R2(im1-im2) u4=R4i4=R4(im1-im3) u5=R5i5=R5(-im2+im3) u6=R6i6=R6(-im3)(317) 将式(317)代入式(316),并进行整理,将含未知量的项置于方程左边,将已知量的项移至方程右边,得 (R1+R3+R4)im1-R3im2-R4im3=E1 -R3im1+(R2+R3+R5)im2-R5im3=E2 -R4im1-R5im2+(R4+R5+R6)im3=0 (318) 这一方程组就是对应于图327所示电路的网孔法方程。 2. 视察法建立网孔法方程 一个平面网络的内网孔数目为b-n+1个。网孔法方程中的每一个方程均与一个网孔对应。考察并分析式(318),可知与网孔k对应的第k个方程的一般形式为 Rkkimk-∑Rkjimj=Emk(319) 式中,Rkk为网孔k中所有支路的电阻之和,且恒取正值,也称为网孔k的自电阻; Rkj为网孔k和网孔j共有支路的电阻,也称为网孔k和j的互电阻,其恒取负值,这是因为已约定所有网孔电流的参考方向均为顺时针方向,所以对于k、j两网孔的公共支路来说,两个网孔电流的方向必定相反,这与前述回路法中的情况有所不同,在回路法中,对两个回路的共有支路而言,两回路电流的方向可能一致,也可能相反,这导致相应的电阻项前面可能取正号,也可能取负号; Emk为网孔k中所有电压源(含电流源等效的电压源)的代数和,当某个电压源的方向与网孔k的电流方向为一致时,该项电压前取负号,否则取正号。 按照上述规则和方法,可通过对电路的观察直接写出网孔法方程,称为视察法建立网孔法方程。可以看出,网孔法是回路法的特例,用网孔法求解网络时步骤和做法与回路法完全相同,且网孔法建立电路方程较回路法更为简便,这是因为平面电路的网孔一目了然,无须费力去选取,且每一网孔法方程中的互电阻项前面恒取负号。 例316用网孔法求图328所示电路中两个独立电源和两个受控电源的功率。 图328例316电路 解用网孔法求解电路的步骤和方法与回路法相似。此电路中含有受控源,列写网孔法方程时,先将受控源视为独立电源写出初步的方程,再将受控源的控制量用网孔电流表示后代入后对方程进行整理。 (1) 给各网孔编号并选取顺时针方向为各网孔的绕行方向。 (2) 指定需计算的有关电压、电流的参考方向,如图328所示。 (3) 将各受控源视为独立电源按视察法的规则列写网孔法方程。在建立方程的同时将诺顿支路转换为戴维宁支路。所建立的方程为 (1+1+1)im1-im2-im3=8+2U1 -im1+(1+2+2)im2-2im3=-2U1+3I -im1-2im2+(1+1+2)im3=-8 (4) 将两个受控源的控制量U1和I用网孔电流表示,即 U1=1×I1=-im1,I=im3-im1 (5) 将用网孔电流表示的受控源的控制量代入前面所列写的网孔法方程中,并对方程进行整理,可得方程组 5im1-im2-im3=8 im2-im3=0 im1+2im2+4im3=8 (6) 解上述方程组,求得各网孔电流为 im1=2A,im2=1A,im3=1A (7) 由网孔电流求出各有关电量为 U1=-im1=-2V,I=im3-im1=1-2=-1A I2=im2-im1=1-2=-1A,I1=-im1=-2A U3=2(1.5I-im2)=2[1.5×(-1)-1]=-5V U4=1×(8+im3)=8+1=9V 由此求得各电源的功率为 P8V=8I1=8×(-2)=-16W P8A=-8U4=-8×9=-72W P2U1=2U1I2=2×(-2)×(-1)=4W P1.5I=-1.5IU3=-1.5×(-1)×(-5)=-7.5W 例317试列写图329所示电路的网孔法方程。 解该电路中有一无伴电流源,因其两端的电压未知,且不能用其支路电流予以表示,所以在按规则建立方程时会遇到困难。与回路法的做法相似,可有两种处理方法。 图329例317电路之一 图330例317电路之二 方法一“虚设变量法” 给电路中的各网孔编号,并选取顺时针方向为各网孔电流的参考方向。又设无伴电流源支路的端电压参考方向如图中所示。用规则化的方法写出各网孔的方程为 (R1+R3)im1-R3im3=E1-U (R2+R4)im2-R4im3=E2+U -R3im1-R4im2+(R3+R4+R5)im3=0 用网孔电流表示的无伴电流源电流的关系式为 -im1+im2=Is 将上述方程中未知量的项移至方程的左边,则所建立的网孔法方程为 (R1+R3)im1-R3im3+U=E1 (R2+R4)im2-R4im3-U=E2 -R3im1-R4im2+(R2+R4+R5)im3=0 -im1+im2=Is 方法二使无伴电流源只和一个网孔关联 若无伴电流源支路只与一个网孔关联,则此网孔的电流即是无伴电流源的电流,因此该网孔的方程无须列写,这样可减少方程的数目。为此,将原电路改画如图330所示。于是i′m1=Is,另外两个网孔的方程为 -R2i′m1+(R1+R2+R5)i′m2-R5i′m3=-E1-E2 -R4i′m1-R5i′m2+(R3+R4+R5)i′m3=0 将i′m1=Is代入上面两个方程后,整理得到所需的网孔法方程为 (R1+R2+R5)i′m2-R5i′m3=R2Is-E1-E2 -R5i′m2+(R3+R4+R5)i′m3=R4Is 练习题 35试列写图331所示电路的网孔法方程。 图331练习题35电路 习题 31用支路电流法求题31图所示电路中的各支路电流及各电压源的功率。 32用支路电流法求题32图所示电路中独立电压源和受控电流源的功率。 题31图 题32图 33用支路电流法求题33图所示电路中各支路电流。 34用节点分析法求题34图所示电路中各独立电源的功率。 35电路如题35图所示,用节点分析法求各支路电流。 36用节点法求题36图所示电路中的电流I。 题33图 题34图 题35图 题36图 37电路如题37图所示,用节点分析法求两个受控源的功率。 38某网络的节点法方程为 1.6-0.5-1 -0.51.6-0.1 -1-0.13.1 φ1 φ2 φ3=1 2 -1 试绘出电路图。 39如题39图所示电路,网络N是具有4个节点的含受控源的线性时不变网络,其节点方程如下: 4-2-1 -26-4 -1-23 φ1 φ2 φ3 = 3 0 1 现在节点③与节点④之间接入一含受控源的支路,如图中所示,试求1.2φ2受控源的功率。 题37图 题39图 310用节点法求题310图所示电路中受控电源的功率。 311用回路法求题311图所示电路中的电压U和电流I。 题310图 题311图 312用回路法求如题312图所示电路中各电压源支路的电流i1、i2、i3和i4。 313电路如题313图所示,试用回路法求受控电压源的功率。 题312图 题313图 314用网孔法求题314图所示电路中的各支路电流。 315电路如题315图所示,用网孔法求各电源的功率。 316试用网孔法求题316图所示电路中的U和I。 题314图 题315图 题316图 317已知某电路的网孔法方程为 1.7-0.5-0.2 1.52-8 -2.2-13.4 im1 im2 im3 =10 0 0 试构造与之对应的电路。 318求题318图所示电路中的电流i。 319试求题319图所示电路中2V电压源及2A电流源的功率。 题318图 题319图 320电路如题320图所示,求电流I1。 321试用只列写一个电路方程的方法求出题321图所示电路中,独立电流源和受控源的功率。 题320图 题321图