非线性在工程技术领域中与自然界里是一种较为普遍的现象,随着控制技术与理论 的发展,研究人员对非线性系统的理解与控制提出了更高的要求,为了进一步完善和改 进扭绳驱动的上肢外骨骼机器人的控制精度,本章以扭绳驱动关节和机器人为研究对 象,提出了一种自适应鲁棒控制方法。 5.系统的非线性 1 第4章中的极点配置法与LQR 优化控制是在将系统假设为线性系统的前提下进行 控制器设计的,如果直流电机在运行的过程中始终保持相同的转动方向,没有发生换向, 电机的死区空间、摩擦力等非线性因素可以忽略,将直流电机当作线性系统来设计控制 器通常可以达到控制要求。但是如果电机在运动过程中存在换向现象,换句话说,也就 是电机在运行过程中存在速度为0的时刻,电机的死区、摩擦力等非线性因素就不能忽 略,这时如果仍然将系统作为线性系统来设计控制器,系统的控制精度将会降低[107]。在 电机驱动方面,基于驱动效率和散热问题,目前大多数直流电机采用开关驱动方式,通过 PWM 脉宽调制来控制直流电机电枢两端电压进行调速。PWM 脉宽调制直流电机调速 系统中,电机速度与占空比不是线性关系[108],因此采用PWM 驱动方式也会增加系统的 非线性。扭绳驱动器中采用的线缆都是柔性的,在扭转过程中,线缆和线缆之间会产生 摩擦力,随着电机转动圈数的增加,线缆之间的摩擦力也会随之增加。线缆之间的摩擦 力会在一定程度上影响扭绳驱动器的性能,尤其是驱动电机转动方向改变时,线缆之间 的摩擦力要经历从动摩擦力到静摩擦力再到反向静摩擦力最后又到反向动摩擦力的过 程。扭绳驱动方式在扭转和解开线缆的转换过程中,摩擦力的方向和类型相互转换,因 此线缆之间的摩擦力也是扭绳驱动器中一个非常明显的非线性因素。尽管在扭绳驱动 器工作之前,已经将线缆预先扭转到一个相对近似于线性的运行空间,由于线缆长时间 第5章外骨骼机器人自适应鲁棒控制75 运行后会产生弹性形变,因此扭绳传递函数中的系数 K 也会随着运行时间的变化而 变 化。通过上述分析,将系统假设为线性系统而设计的控制器,在实际控制过程中并不 能 处理扭绳驱动系统的结构不确定性、参数时变性和非线性因素 。 5.自适应鲁棒控制 自适应鲁棒控制是一种针对系统的参数不确定性与不确定非线性因素的高性能鲁 棒控制方法(AdaptiveRobustControl,ARC )。该方法同时采用确定性鲁棒控制 (DeterministicRobustControl)和鲁棒自适应控制(RobustAdaptiveControl)的设计方 法,保证系统的稳态跟踪精度与鲁棒瞬态性能[109-112]。自适应鲁棒控制在电机驱动定位、 电液伺服和气动肌肉等系统中已被广泛应用。本章针对上肢外骨骼康复训练机器人中 的扭绳驱动关节,设计自适应鲁棒控制器,实现扭绳驱动关节的高精度目标轨迹跟踪。 控制器由基于Back-Stepping设计的非线性鲁棒控制器和在线参数估计两部分组成,应 用了标准投影映射的方法来确保参数估计有界。最终设计的自适应鲁棒控制器可以在 线调节自适应参数,补偿系统模型参数的不确定性,利用鲁棒反馈抑制系统的非线性因 素和干扰,保证动态性能和目标轨迹的跟踪精度。 2.自适应控制器设计 5.1 为了实现扭绳驱动关节的高精度运动轨迹跟踪控制,控制器的设计过程中必须考虑 系统模型中的不确定非线性和参数不确定性对系统的影响。第4章对扭绳驱动器的建 模过程中,忽略了非线性因素和时变参数对系统的影响,本章将在现有的扭绳驱动器模 型中加入对系统时变参数和非线性因素的处理。首先定义状态变量X=[x1,x2]T,扭绳 驱动关节单端扭绳驱动器的完整非线性模型可以定义为 x1= d · x1=x2 (1) 5. · =- BR +Kt Ktρ(t)( x2x2+u(-Ff t)) JR JR 式中,u(是系统的输入;(是系统中由非线性摩 d 是扭绳驱动器提供的线性位移;t) Ff t) 擦力引起的有界输入干扰。由式(5.可以看出, 1) 扭绳驱动器的主要控制难点包括:①由 76 外骨骼机器人控制原理与设计 于电机的摩擦力和线缆之间的摩擦力等因素,系统是非线性系统。②扭绳驱动器模型具 有参数不确定性,例如参数ρ、 J 不仅时变而且难以精确测量,因此需要采用参数在线估 计的控制方法。为了有效解决参数不确定性和系统非线性因素的问题,需要采用BackStepping5. [113,114]的方法来设计非线性自适应控制器。首先将式(1)改写成 · x1=x2 · (2) JRxKtρ 2 =- BR K+ tρKtx2+ (u(t)-Ff (t) ) 5. 设θ1=JR/(),BR+KtKtρ式(2) Ktρ θ2=()/(), 5.可以简化成 · x1=x2 · t)((5. 对式(5.两边同时除以θ1 得 θ1x2=-θ2x2+u(-Ff t) 3) 3) · x1=x2 · -θ2 1(t)t)) (5. θ1 θ1 x2=x2+u(-Ff ( 4) 定义一个滑模面变量: · Z= 1+Kp(5) e15. 式中,e1=x1d -Kp 正的反馈增益。对式(5) x1 为轨迹跟踪误差;为(e) 5.进行拉普拉斯变 化得到 Z 相对于e1 的传递函数为1/()。由于Kp 所以该传递函数是稳定 s+Kp 是正值, 的,当 Z 趋近于0时,值的大小可以改变e1 趋近于0的速 e1 也趋近于0。通过调整Kp 度。对式(5)关于时间微分,可 得 5. ·· · Z(·) =- x e1 (5. 将式(5.中的第2个方程代入式(6)1(x) d 可得 1+Kp16) 4) · · θ25.中 1, u((· (t)t))+Kpe (7)θ1 θ1 根据滑模控制的设计方法[115,116], t): Z=x1d+ x2--Ff 1 5. 设计控制器u( · · u( =KZ +θ11d +θ1Kpe ((8) t) x 1+θ2x2+Ff t)5. 式(5.中的滑模控制器通过估计抵消系统中的非线性因素和时变参数, 8) 确保e1 会逐渐 趋近于0。通过分析式(8)可以得知,控制器在控制过程中需要知道θ1 和θ2 具体数值, 因此对式(8)进行修改 5, . 得到自适应控制器: 5. 第5章 外骨骼机器人自适应鲁棒控制 77 u(t)=ua(t)=KZ +θ^1x··1d +θ^1Kpe· 1 +θ^2x2 +F^f (t) (5.9) 式中,θ^1、θ^2 和F^f (t)是时变参数θ1、θ2 和Ff (t)的估计值,将式(5.9)代入式(5.7)中得 Z · =1 θ1[-KZ + (θ1 -θ^1)(x··1d +Kpe· 1)+ (θ2 -θ^2)x2 + (Ff (t)-F^f (t)) (5.10) Liapunov稳定性原理[117-119]是非线性系统自适应控制器设计过程中验证系统稳定性的通 用方法,Liapunov稳定原理通过对非线性系统建立的一个类似于能量的正定泛函数,然 后通过研究该正定泛函数的微分方程随时间变化的情况。如果该正定泛函数的微分是 一个负定泛函数,则可以判断系统是稳定的,这种分析非线性系统稳定性的方法给控制 器的设计带来了巨大的便利。针对扭绳驱动器,定义Liapunov正定函数: Va =12 θ1Z2 + 1 λ1..θ21 + 1 λ2..θ22 + 1 λ3..F2f . è . . . ÷ (5.11) 式中,..θ1=θ1-θ^1,..θ2=θ2-θ^2,..Ff (t)=Ff -F^f 分别代表了时变参数θ1、θ2 和Ff (t)实际 值和估计值之间的差值。因为θ1 在扭绳驱动器系统始终是正值,所以式(5.11)是一个正 定泛函数,对式(5.11)微分得 .Va =θ1Z 1 θ1(-KZ +..θ1(x··1d +Kpe· 1)+..θ2x2 +..Ff ) é . êê ù . úú + 1 λ1..θ1 1 + 1 λ2..θ2 2 + 1 λ3..Ff..F · f . è . . . ÷ (5.12) 采用如下参数估计机制,确保式(5.12)为负定函数: 1 =-λ1Z(x··1d +Kpe· 1), 2 =-λ2Zx2, ..F · f =-λ3Z (5.13) 式(5.13)中,λ1、λ2、λ3 >0,当.Va 是负定函数时,..θ1、..θ2 和..Ff 是有界的,根据Barbalat引 理可知[120,121],随着时间t → ∞,1、2 和..F · f →0,因此随着时间t → ∞,Z(t)→0。同理, 根据Z 和e 的关系,随着时间t → ∞,e(t)→0,系统跟踪轨迹的误差为0。 5.2.2 自适应鲁棒控制器设计 自适应控制器有两个主要缺点:瞬态性能的不确定性与系统的鲁棒性[122]。采用自 适应控制器的系统在系统运行的初始阶段可能会有很大的跟踪误差或者较大的系统延 迟,除此之外,参数的估计值可能会不在参数的界定范围内。因此将确定性鲁棒控制中 外骨骼机器人控制原理78 与设计 采用的参数投影自适应机制加入5.2.1节的自适应控制器中,不仅可以减少系统的不确 定性也可以改进系统的瞬态性能和稳态跟踪精度。新的自适应鲁棒控制器定义为 u(t)=ua(t)+us(t) (5.14) 式中,ua(t)是式(5.9)中的自适应控制器;us(t)是新加入的鲁棒控制器,将式(5.14)代入 式(5.10)中可得 Z · =-1 θ1 KZ + 1 θ1[-us +..θ1(x··1d +Kpe· 1)+..θ2x2 +..Ff ] (5.15) 新加入的鲁棒控制器us(t)被用来抑制扭绳驱动系统中的参数不确定性与非线性,定义 新的Liapunov函数: Vs =12 θ1Z2 (5.16) 因为θ1 在扭绳驱动器系统中始终是正值,所以式(5.11)是一个正定泛函数,对式(5.11) 微分得 .Vs =-KZ2 +Z[-us +..θ1(x··1d +Kpe· 1)+..θ2x2 +..Ff ] (5.17) 如果鲁棒控制器us(t)满足下述条件: (1)Z[-us +..θ1(x··1d +Kpe· 1)+..θ2x2 +..Ff ]≤ε (2)Zus ≥0 (5.18) 则正定泛函数的微分会满足下述不等式: .Vs ≤-KZ2 +ε ≤-2K θ1 Vs +ε (5.19) 根据式(5.19)可得 Vs(t)≤exp -2Kt θ1max . è . . .÷Vs(0)+∫t 0exp(-2K (t-v)ε(v))dv (5.20) 式中,θ1max是θ1 的上界,根据Bellman-Gronwall定理[123]得 Vs(t)≤exp -2Kt θ1max . è . . .÷Vs(0)+ε K 1-exp -2Kt θ1max . è . . . ÷ é . êê ù . úú (5.21) 同理,根据Z 和e 的关系,可得 e(t)≤exp(-Kpt)e(0)+ Z Kp [1-exp(-Kpt)] (5.22) 由式(5.22)可知,扭绳驱动系统目标轨迹跟踪误差指数收敛于一个球域,通过调整Kp 的 值来改变球域的大小。因此稳态跟踪误差是有界的,扭绳驱动系统目标轨迹跟踪的稳态 第5章 外骨骼机器人自适应鲁棒控制 79 误差为(|e(∞)|=Z(∞)/Kp )。 如果设鲁棒控制器us(t)=0.75hZ,代入式(5.18)可得 Z -34 hZ +..θ1(x··1d +Kpe· 1)+..θ2x2 +..Ff é . êê ù . úú ≤ε (5.23) 对式(5.23)进行变化: -14 hZ2 +..θ1(x··1d +Kpe· 1)Z - (..θ1(x··1d +Kpe· 1))2 h -14 hZ2 +..θ2x2Z - (..θ2x2)2 h é . êê - 14 hZ2 +..FfZ - (..Ff )2 h ù . úú + (..θ1(x··1d +Kpe· 1))2 + (..θ2x2)2+ (..Ff )2 h ≤ε (5.24) 根据式(5.24)可得关于h 的不等式: (..θ1(x··1d +Kpe· 1))2 + (..θ2x2)2+ (..Ff )2 h ≤ε (5.25) 因为θ1、θ2、Ff 有界,设θ1m =θ1max-θ1min,θ2m =θ2max-θ2min,Ffm =Ffmax-Ffmin,式(5.25) 可转换成 (θ2 1m (x··1d +Kpe· 1))2 + (θ2mx2)2+F2fm h ≤ε (5.26) 假设ε=ε1+ε2+ε3,可得 h ≥ (θ2 1m (x··1d +Kpe· 1))2 ε1 + (θ2mx2)2 ε2 + F2fm ε3 (5.27) 针对新加入的鲁棒控制器,定义与式(5.11)相似的Liapunov正定函数: V =Va =12 θ1Z2 + 1 λ1..θ21 + 1 λ2..θ22 + 1 λ3..F2f . è . . . ÷ (5.28) 但是采用投影映射参数估计机制[124],使参数估计值始终在参数的有界范围,因此新的参 数自适应律为 1 =proj(-λ1Z(x··1d +Kpe· 1)), 2 =proj(-λ2Zx2), ..F · f =proj(-λ3Z) (5.29) 式中,proj 的定义为 proj(·)= 0 θ^i =θimaxand·>0 θ^i =θiminand·<0 { · 其他 ì . í .. . .. (5.30) 8 0 外骨骼机器人控制原理与设计 · ^^(( ui(=-751Kpe 2x2+^t) 31) t)0.hZ +KZ +θ+θFf 5. 至此完成了扭绳驱动关节单端扭绳驱动器的自适应鲁棒控制策略。如式(5.所示,控 31) 制器由在线参数估计和基于Back-stepping方法设计的非线性鲁棒控制器组成,使用投 影映射参数估计机制减小模型的参数不确定性,鲁棒控制器用来抑制系统中的不确定非 线性以及参数估计误差,二者结合在一起实现了扭绳驱动关节的高精度目标轨迹跟踪。 在扭绳驱动关节装置某一端的扭绳驱动器上验证本节设计的自适应鲁棒控制策略, 控制算法的采样频率为100Hz,式(5.1)模型中用到的参数 R =0.046544Ω, J = 0.Kt=075402,0.rdρ=0. 00051261kg·m2,0.B=17261N·m/a-1·s(-) 1,5。未知参数的名 义值为θ1=0.0.未知的参数估计范围为θ1mi0,0.001, 00063285,01, θ2=n=θ1max=θ2min= 0,05 。图5.2给出了扭绳驱动关节左端扭绳驱动器跟踪幅值为60mm 、 θ2max=0.1和图5. 扫码看彩图 图5.扭绳驱动器轨迹跟踪与误差 1 第5章外骨骼机器人自适应鲁棒控制81 扫码看彩图 图5.扭绳驱动器的轨迹跟踪与误差 2 频率为0.25Hz的正弦曲线与幅值为40mm 、频率为1/6Hz,斜率为2的梯形曲线的目标 轨迹跟踪曲线的10次实验结果,通过使用trial-eror方法多次实验后,控制器的增益设 定为Kh=5,15,参数自适应系数为λ1=002,0.λ3=2。 =10,kp =0.λ2=002, 图5.未知参数的在线自适应调节 效 3给出了扭绳驱动器在跟踪正弦和梯形轨迹时, 果。由图可知,自适应鲁棒控制器采用标准投影映射参数估计机制,参数的估计是相对 独立的,因此参数的估计较为准确且收敛到参数的准确值。得益于参数的准确估计,系 统的瞬态跟踪性能与稳态误差都较好。表5. 1给出了自适应鲁棒控制器实验结果的性能 指标,相比于极点配置法和LQR优化控制,系统的目标轨迹跟踪误差最大值与均方差都 82 外骨骼机器人控制原理与设计 有大幅提高。扭绳驱动器跟踪正弦轨迹和梯形轨迹时的控制输出如图5.相比于 4所示, LQR 控制器的控制输出,由于自适应鲁棒控制器需要快速补偿参数以及系统不确定的 非线性,输出具有较大的颤振,控制功率也较大。 图5.自适应鲁棒控制器的未知参数估计 3 表5.自适应鲁棒控制器的实验误差 1 均方差最大值 正弦轨迹跟踪误差0.835mm 1.297mm 梯形轨迹跟踪误差0.458mm 1.640mm 第5章外骨骼机器人自适应鲁棒控制83 图5.自适应鲁棒控制器的控制输出量 4 5.基于自适应鲁棒的交叉耦合同步控制策略 3 本节将自适应鲁棒控制策略与第4章讨论的交叉耦合同步控制策略结合起来,提出 一种基于自适应鲁棒控制的交叉耦合同步控制策略,实现上肢康复机器人肘关节与肩关 节的目标轨迹的跟踪误差以及驱动关节两端扭绳驱动器的同步误差同时收敛,既保证肘 关节和肩关节目标轨迹的跟踪精度又不影响驱动关节两端扭绳驱动器的同步精度。 可以将式(5)中对单端扭绳驱动器定义的滑模变量扩展到机器人驱动关节两端的 5. 扭绳驱动器并融入交叉耦合同步策略[125-128],定义新的滑模变量: ( ·Zi= e ii+Ks,evi 32) i+Kp,eiag,5. 式中, i 代表驱动关节两端的任一扭绳驱动器;Kp 为正的反馈增益;Ks 为交叉耦合同步 控制增益;eavg是驱动关节两端扭绳驱动器提供线性位移的平均值。通过调整Kp 、Ks 的 值可以改变ei 与eag趋近于0的速度。对式(32)关于时间微分,可得 v5. · Zi= · i+Kp,· i +Ks,·ag,5. e ie ievi (33) 将式(4)中的第2个方程代入式(33)中,可得 5.5. · · θ2 1(ui(t)t))+Kp,· ·Zi=1d,θ1 x2,θ1-Ff,i+Ks,ag,5. xi+i-i(ie ievi (34) t): 根据滑模控制的设计方法,设计控制器ui(