〖PJS:-,∈,+,M:图,∈〗第章 我的解析 ■答案■ ■答案续■ 题型题型第一章集合与常用逻辑用语〖=Z(〗一集合与常用逻辑用语〖=〗〖=jie（〗第一节集合〖=〗 1.考查内容 （1）集合的概念与表示. （2）集合的基本关系. （3）集合的基本运算. 2.考频赋分 集合每年必考，通常是选择题的第一题或第二题，难度不大，分值为5分. 3.题型难度 均以选择题形式出现，都为容易题. 4.命题热点 集合注重考查基本运算，偶尔考查基本概念及表示方法. 5.解题方法 常用数轴法、图像法、图示法. 6.核心素养 学科核心素养以数学运算、逻辑推理为主. 7.关联考点 集合一般与分式不等式、一元二次不等式、指数和对数不等式和绝对值不等式等关联. 8.命题趋势 高考对集合的考查比较稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算.给出的集合一般有两种类型，一种是由有限个实数构成的离散型数集，一种是直接给定范围或以一元一次不等式、一元二次不等式的解集构成的连续型实数集.同时适当关注集合与充要条件相结合的解题方法. 〖=yi(〗集合的有关概念〖=〗 1.集合的含义 某些指定构成一个集合.构成集合的元素常见的有、、等数学对象. 2.集合元素的特征 (1)确定性：集合中的元素必须是，任何一个对象都能出它是否为该集合中的元素. (2)互异性：集合中任何两个元素都是的，如{1,1,2,3}就是错误的，应记为{1,2,3}. (3)无序性：集合与其组成元素的无关，如{a,b,c}={a,c,b}. 3.集合的常用表示法 集合的常用表示法有、、(韦恩图、数轴)和. 4.常用数集的表示 表11 集合 实数集 有理数集 整数集 自然数集 正整数集 复数集表示 〖=yi(〗集合的关系〖=〗 1.元素与集合之间的关系 (1)属于(记作a∈A); (2)不属于(记作aA). 2.集合与集合之间的关系 (1)子集关系(即包含关系)相等 真子集. 子集：如果对任意，则集合A是集合B的子集，记为，显然AA.规定：A. 相等：对于两个集合A与B，如果，同时，那么集合A与B相等，记作A=B. 真子集：对于两个集合A与B，若AB，且存在，但，则集合A是集合B的真子集，记作AB或BA.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 空集：不含有的集合，记作. (2)子集个数 由n个元素组成的集合A的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个. A的子集有2n个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则n个元素共有2n种选择，或从二项式角度理解，即C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn=2n. 〖=yi(〗集合的基本运算与性质〖=〗 集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算. 三大运算的基本定义、数学符号语言、韦恩图表示，以及运算性质,如表12所示. 表12 运算 交集 并集 补集符号 ∩ ∪ 瘙綂IA基本定义 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集 由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集 已知全集I，集合AI，由I中不属于A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集I的补集符号语言 A∩B={x|x∈A且x∈B} A∪B={x|x∈A或x∈B} 瘙綂IA={x|x∈I且xA}韦恩图 运算性质 A∩B=B∩A A∩BA A∩BB A∩I=A A∩A=A A∩= A∪B=B∪A AA∪B BA∪B A∪I=I A∪A=A A∪=A 瘙綂I(瘙綂IA)=A 瘙綂I=I 瘙綂II= (瘙綂IA)∩A= (瘙綂IA)∪A=I 三大运算间有一些常见的基本逻辑关系，即交集与并集的一组关系：A∪BA∩BA=B. 简证：因为A∪BA∩B，又由集合运算性质得A∩BA∪B，从而A∩B=A∪B，故A=B. 三大运算间的一组运算等价关系：A∩B=AA∪B=BAB瘙綂IB瘙綂IAA∩瘙綂IB=瘙綂IA∪B=I． 〖=da(〗1.对象的部分或全体数式点 2.(1)确定的明确判断(2)互不相同(3)顺序 3.列举法描述法图示法区间法 4.RQZNN*或N+C 2.(1)a∈Aa∈BAB或BAABBA b∈BbA任何元素(2)2n2n-12n-12n-2〖=〗 〖=TX(〗1集合的基本概念〖=〗 解决集合的基本概念问题，要注意以下两点： (1)要注意识别集合中元素的属性：是数集还是点集，是数集要化简，是点集要解方程或用图像法求解. (2)根据元素限制条件得出结果后，要注意检验是否满足元素的互异性. 〖=yi(〗利用集合元素的特征解题〖=〗 解法突破：关于集合中元素的特性，要注意集合中元素的互异性，一方面利用集合中元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，检验集合中元素是否满足互异性可确保答案正确. 例1.1设a,b∈R，集合{1,a+b,a}=0,b a,b，则b-a=(). A.1B.-1C.2D.-2 扫码看微课 分析利用集合相等的概念及集合中元素的性质直接求解. 由题意知，0∈{1,a+b,a}，又a≠0，故a+b=0,得b a=-1，则集合{1,0,a}={0,-1,b}，可得a=-1,b=1,则b-a=2.故选C. 〖=2(〗观察元素满足什么限制条件，找准“关键元素”突破.如本题中的“关键元素”是0，注意a≠0，则根据两个集合相等的充要条件得a+b=0，于是可以顺利求解b a和a，b.〖=〗集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一个集合，求实数a,b的值. 〖=yi(〗集合元素的理解〖=〗 解法突破：解决集合问题必须先弄清集合中元素的属性，明确是数集还是点集，是函数的定义域还是函数的值域. 例1.2化简下列集合. (1){x|y=x-1}； (2){y|y=x-1}. 分析(1)所求元素是x，即求函数的定义域;(2)所求元素是y，即求函数的值域. (1)依题意，x-1≥0，故所求的集合为{x|x≥1}. (2)易得y≥0，故所求的集合为{y|y≥0}. 〖=2(〗对集合元素属性的识别，常见的元素属性如表13所示. 表13 集合 集合的意义{x|f(x)=0} 方程f(x)=0的解集{x|f(x)>0} 不等式f(x)>0的解集{x|y=f(x)} 函数y=f(x)的定义域{y|y=f(x)} 函数y=f(x)的值域{(x,y)|f(x,y)=0} 曲线f(x,y)=0图像上的点集具体案例如表14所示. 表14 集合 集合的意义M={y|x2+y2=1,x,y∈R} 单位圆上点的纵坐标的取值集合为{y|-1≤y≤1}，即表示数集［-1,1］N={(x,y)|x2-y=0,x,y∈R} 曲线x2-y=0，即抛物线y=x2上的所有点组成的集合，即表示点集由表14可知，M∩N=.再如，P={(x,y)|x2+y2=4}，Q={y|y=x}，则有P∩Q=，而此时我们容易错写成 P∩Q={(-2,-2),(2,2)}.〖=〗集合P={x∈Z|0≤x<3}，M={x∈R|x2≤9}，则P∩M=（）. A.{1，2}B.{0，1，2} C.{x0≤x<3}D.{x0≤x≤3} 已知集合A={x｜y=2x-1},集合B={y｜y=x2}，则集合A∩B等于（）. A.(1,1)B.{(1,1)} C.{1}D.［0,+∞) 〖=yi(〗元素个数的问题〖=〗 解法突破：理解问题中元素的属性，然后分析题中的条件，明确集合及其元素，在方法上采用枚举法或分析法，特别要注意元素的互异性. 例1.3设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b,a∈A,b∈B}，则M中的元素个数为(). A.3B.4C.5D.6 分析根据新法则求解，要注意集合元素的互异性. 因为集合M中的元素x=a+b，a∈A，b∈B， 所以当b=4时，a=1，2，3，此时x=5，6，7. 当b=5时，a=1，2，3，此时x=6，7，8. 所以根据集合元素的互异性可知，x=5，6，7，8. 即M={5，6，7，8}，共有4个元素.故选B. 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）. A．9B．8C．5D．4 （2020全国Ⅲ1）已知集合A={(x,y)|x,y∈N*，y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）. A．2B．3C．4D．6 〖=TX(〗2集合间的基本关系〖=〗 (1)集合间关系的问题要先讨论空集情况. (2)判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化简集合，再从表达式寻找两集合的关系；二是采用合情推理的思维，用列举法表示各集合，从元素中寻找关系. (3)已知两数集间的关系求参数，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系. ①若元素是离散型，即可列举的，常转化为方程(组)求解，要注意检验互异性; ②若元素是连续型，如表示不等式的解集，常借助数轴辅助分析求解.端点值的取舍为一大难点，可直接将端点代入检验再取舍. 〖=yi(〗判断两集合的关系〖=〗 解法突破：1.判定两集合的关系一般有两种方法：一是化简集合，直接寻找两集合的关系；二是用列举法（或韦恩图法）表示各个集合，从元素（或图形）中寻找关系. 2.判断两个集合的关系，主要是看它们是否具有包含关系，充分理解子集和真子集的概念是解决该类问题的关键. 例1.4设集合M=xx=k 2+1 4,k∈Ζ，N=xx=k 4+1 2,k∈Ζ，则(). A.M=NB.MN C.MND.M∩N= 分析分析集合中元素的构成，等价变形，再判断集合间的关系. 解法一(列举法)： M=…，-1 4,1 4,3 4,5 4，… N=…，-1 4,0,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4，… 可知MN.故选B. 解法二(逻辑分析法)：集合M中的元素x=k 2+1 4=2k+1 4，k∈Z，分子为奇数；集合N中的元素x=k+2 4，k∈Ζ，分子为整数，则MN.故选B. 〖=2(〗列举法是小题的快速解法，思维层次较低，容易入手.逻辑分析法要先统一形式才能方便比较，思维上有一定的难度.〖=〗集合A=(x,y)y-2 x+1=-2与集合B={(x,y)|y-2=-2(x+1)}的关系是（）. A．A=BB．AB C．BAD．没有包含关系 （多选题）下列选项中的两个集合相等的有（）. A.P={x|x=2n,n∈Z}，Q={x|x=2(n+1),n∈Z} B.P={x|x=2n－1,n∈N*}，Q={x|x=2n+1,n∈N*} C.P={x|x2－x=0}，Q=xx=1+－1n 2,n∈Z D.P={x|y=x+1}，Q={(x,y)|y=x+1} 〖=yi(〗集合关系中的含参问题〖=〗 解法突破：已知两集合间的关系求参数，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系. 扫码看微课例1.5已知集合A={x|-30}，B={x|y=lg(x-1)}，则(瘙綂UA)∩B=（）. A．{x|x>2或x<0}B．{x|15,T={x|a7},T={x|a2”是“a2>1”的(). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 分析利用定义法或集合法判断充分条件、必要条件. 解法一(定义法)：a>2a>1a2>1，充分性成立.而a2>1a>1或a<-1/a>2，必要性不成立.故选A. 解法二(集合法)：记A={a|a>2},B={a|a2>1}={a|a>1或a<-1}，显然AB.故A是B的充分非必要条件.故选A. 设x∈R，则“x-1 2<1 2”是“x3<1”的（）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 （多选题）下列选项中可以是x2<1的一个充分条件的有（ ）. A.x<1B.01或x<－3, q:x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是(). A.\[1，＋∞)B.(－∞，1\] C.\[－3，＋∞)D.(－∞，－3\] 分析将q是p的充分不必要条件转化为集合的关系QP求解. 因为条件p：x＞1或x＜-3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件,所以集合Q={xx>a}是集合P={xx>1或x<－3}的真子集，QP，即a∈\[1，+∞）.故选A. （多选题）一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件是（）. A.n=4B.n=-5 C.n=-1D.n=-12 已知p:x-m2>3x-m是q:x2+3x-4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为. 〖=TX(〗6全称量词命题与存在量词命题〖=〗 全称量词命题与存在量词命题问题，关键是弄清如何判断其真假，如何写出其否定. 〖=yi(〗全称量词命题与存在量词命题的真假〖=〗 解法突破：(1)要判定全称量词命题“x∈M，p(x)”是真命题，需对集合M中的每一个元素x，证明 p(x)成立.如果在集合M中找到一个元素x0，使 p(x0)不成立，那么全称量词命题就是假命题. (2)要判定存在量词命题“x∈M，p(x)”是真命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.否则，这一存在量词命题就是假命题，一般判断存在量词命题是假命题时需要用到反证法. 例1.13下列四个命题： p1：任意x∈R，2x>0； p2：存在x∈R，x2+x+1<0； p3：任意x∈R，sin x<2x； p4：存在x∈R，cos x>x2+x+1. 其中的真命题是(). A.p1，p2B.p2，p3 C.p3，p4D.p1，p4 分析根据全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法逐一进行判断. 对于x∈R，2x>0，p1为真命题； x2+x+1=x+1 22+3 4>0，p2为假命题； sin-3π 2=1>2-3π 2，p3为假命题； x=-1 2时，cos x>cosπ 6=3 2>x2+x+1，p4为真命题.故选D. 下列命题中，真命题是(). A.所有的素数是奇数 B.相邻的3个正整数至少有一个能被2整除 C.存在两个相交平面垂直于同一直线 D.若AB，则对任意x∈A，有x∈B 已知函数f(x)=x2+bx(b∈R)，下列结论正确的是(). A.b∈R，f(x)在(0，+∞)上是增函数 B.b∈R，f(x)在(0，+∞)上是减函数 C.b∈R，f(x)为奇函数 D.b∈R，f(x)为偶函数 〖=yi(〗全称量词命题与存在量词命题的否定〖=〗 解法突破：含有全称量词的全称量词命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；含有存在量词的存在量词命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定.有些全称（存在）量词命题省略了全称（存在）量词，否定时应结合命题的含义加上量词，再进行否定. 例1.14(2015全国Ⅰ3)设命题p：n∈N,n2>2n，则瘙綈p为(). A.n∈N,n2>2n B.n∈N,n2≤2n C.n∈N,n2≤2n D.n∈N,n2=2n 分析全称量词与存在量词命题的否定，先否定量词（即“任意”变“存在”，“存在”变“任意”），再否定结论. 的否定是，n2>2n的否定是n2≤2n，得瘙綈p：n∈N,n2≤2n.故选C. 〖=2(〗命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及其否定如表17所示. 表17 正面词语 否定 正面词语 否定等于(=) 不等于(≠) 至少有一个 一个也没有大于(＞) 不大于(≤) 任意 存在小于(＜) 不小于(≥) 所有 某个(些)是 不是 至多有n个 至少有n+1个都是 不都是 任意两个 某两个至多有一个 至少有两个 〖=〗设命题p:所有正方形都是平行四边形，则瘙綈p为（）. A.所有正方形都不是平行四边形 B.有的平行四边形不是正方形 C.有的正方形不是平行四边形 D.不是正方形的四边形不是平行四边形 〖=TX1(〗7根据全称（存在）量词命题的真假，求参数的范围〖=〗 1.常见结论： （1）x∈R，y=0，等价于方程y=0有实数根； （2）x∈R，y＞0，就是不等式y＞0恒成立，等价于ymin＞0; （3）x∈R，y＞0，就是不等式y＞0有解，等价于ymax＞0; （4）x∈R，y＜0，就是不等式y＜0恒成立，等价于ymax＜0; （5）x∈R，y＜0，就是不等式y＜0有解，等价于ymin＜0. 2.正难则反（补集思想）方法 对于命题p的有些问题正面解决时很难或者很复杂，这时我们可以考虑它的反面，即把命题p的问题转化为命题瘙綈p的问题，从而把问题简化得以解决，即“正难则反”的方法，也就是“补集思想”的应用. 例1.15已知命题：“x0∈［1,2］，使x20+2x0+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是． 分析x0∈［1,2］，使x20+2x0+a≥0等价于函数f(x)=x2+2x+a在区间［1,2］上的最大值大于或等于0. 设f(x)=x2+2x+a，若x0∈［1,2］，使x20+2x0+a≥0，则只需f(x)max≥0即可. f(x)=x2+2x+a=(x+1)2-1+a，当x∈［1,2］时，f(x)是增函数，所以f(x)max=f(2)=8+a≥0，即a≥-8. 故实数a的取值范围是［-8，+∞). 若命题“t∈R,t2－2t－a<0” 是假命题,则实数a的取值范围是. 请完成最有效训练题2第二章一元二次函数、方程和不等式〖=Z(〗二一元二次函数、方程和不等式〖=〗〖=jie（〗第一节不等式的性质〖=〗 1.考查内容 从近几年高考命题来看，不等式的性质是必考内容，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容. 2.考频赋分 不等式的性质通常在选择题中考查，难度不大，分值为5分. 3.题型难度 以选择题的形式出现，为容易题. 4.命题特点 注重考查逻辑推理，一般与代数式的大小比较或函数单调性结合考查. 5.解题思想方法 特值法，构造函数法，转化与化归. 6.核心素养 以数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养为主，考生应在平时备考和训练时着重体会. 7.关联考点 代数式的大小比较、不等式的证明、函数的单调性、常用逻辑用语. 8.命题趋势 高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握不等式的相关性质，理解比较两数（式）大小的理论依据，特别要重视不等式性质的灵活运用. 〖=yi(〗不等式与不等关系〖=〗 不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式. （1）用不等号（“>”“<”“≥”“≤”“≠”等）连接的式子称为不等式. （2）实数大小顺序与运算性质之间的关系：a－b>0a>b；a－b＝0a＝b；a－b<0ab,b>c(传递性,注意找中间量). (2)a>b,c>da+cb+d(同向可加性). (3)a>b>0,c>d>0acbd0(同正可乘性，注意条件为正). 2.一个不等式的等价变形，一律为“”(充要条件)，这是解不等式的理论依据：(1)a-b=0ab;a-b<0ab;a-b>0ab. (2)a>bba(对称性). (3)a>b,c>0acbc(c>0)(乘正保号性). (4)a>b,c<0acbc(c<0). (5)a>b,c∈Ra+cb+c(不等量加等量). (6)a>b>0，n∈N*anbn0(乘方保号性，注意条件为正). (7)a>b>0，n∈N*n an b0(开方保号性，注意条件为正). (8)ab>0,a>b1 a1 b(同号可倒性). (9)ab<0，a>b1 a1 b. 最为重要的3条不等式的性质为： ①a>b,c>da+c>b+d； ②a>b>0,c>d>0ac>bd>0； ③a>b,ab>01 a<1 b. 这3条性质在不等式问题中都有重要的应用，但应注意它们的适用条件，可以用口诀“同向同正可乘,同号取倒需反向”来记忆. 〖=da(〗1.(1)a>c(2)>(3)>> 2.(1)=<>(2)<(3)>(4)<(5)>(6)>>(7)>>(8)<(9)>〖=〗 〖=TX(〗8不等关系与不等式〖=〗 由不等关系到不等式的过程，实质为从文字语言到符号语言，或者从图形语言到符号语言的过程，更是建立数学模型的过程，首先要弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数，还是一组变量间的关系；然后找不等词语，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应及实际问题的现实意义对不等式的影响. 例2.1完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是(). A.5x＋4y＜200B.5x＋4y≥200 C.5x＋4y＝200D.5x＋4y≤200 分析由工资预算20000元，可以得出不等关系“支出工资总额≤20000”，再利用变量x，y表示“支出工资总额”，即可得出满足的关系式. 由题意x，y满足的不等式关系为500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200.故选D. 糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为c=糖的质量b克 糖水的质量a克(a>b)，向糖水溶液（不饱和）中再加入m克糖，那么糖水溶液（不饱和）将变得更甜，则反映这一事实的不等关系为（）. A.b a>b+m a+mB.b ab+m aD.b a0,b>0,则b a>1b>a;b a<1b1ba;b a=1b=a. 例2.2比较a+m b+m与a b(其中实数b>a>0，实数 m>0)的大小. 分析比较两个数或式的大小常用的方法是作差法和作商法，应用时注意准确把握解题方法和步骤. 解法一(作差比较)：a+m b+m-a b=b(a+m)-a(b+m) b(b+m)=m(b-a) b(b+m). 因为b>a>0，m>0，所以m(b-a) b(b+m)>0，所以a+m b+m>a b. 解法二(作商比较)：因为b>a>0，m>0，所以 bm>amab+bm>ab+am>0 所以ab+bm ab+am>1，即a+m b+m·b a>1a+m b+m>a b. 若a>0,b>0且a≠b，试比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 〖=TX1(〗10利用不等式的性质判断或证明不等式〖=〗 有关判断性命题，主要依据不等式的概念和性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据.一般来说，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果.应用不等式的基本性质解题时，需要注意，在解选择题时有时可用特值验证法，以提高解题的效率. 对于不等式的证明，多利用比较法或不等式的性质进行证明. 例2.3对于实数a,b,c，有下列命题：①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2；④若c>a>b>0，则a c-a>b c-b；⑤若a>b,1 a>1 b，则a>0,b<0.其中真命题的个数是(). A.2个B.3个C.4个D.5个 扫码看微课 分析判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系. ①中，c值的正负或是否为零未知，因而判断不等关系缺乏依据，故该命题是假命题；②中，由ac2>bc2，可知c2>0，则a>b，故该命题是真命题；③中，由aab，若同乘b(b<0)，可得ab>b2，易知a2>ab>b2成立，故该命题为真命题；④中，由 c>a>b>0,可知01 c-b>0，且a>b>0，由“同向同正可乘”性,可知a c-a>b c-b成立，故该命题为真命题；⑤中，由已知1 a>1 bb-a ab>0,因为b-a<0，故ab<0.又a>b,所以a>0,b<0，故该命题为真命题. 综上所述，②③④⑤都是真命题.故选C. 〖=2(〗准确记忆各性质成立的条件，是正确应用的前提.在不等式的判断中，特殊值法是非常有效的方法.〖=〗若x＞y，a＞b，则在①a-x＞b-y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x-b＞y-a，⑤a y＞b x这5个式子中，恒成立的所有不等式的序号是. 若a>b>0，ce (b－d)2. 〖=TX1(〗11利用不等式的性质求代数式的取值范围〖=〗 1.利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”，但这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次进行这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心、谨慎.同时要注意正确使用不等式的性质，避免误用不等式的性质致错. 2.利用不等式性质求范围的一般思路： （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解. 例2.4（1）已知1≤a－b≤2,2≤a+b≤4，求4a－2b的取值范围； （2）已知－10(<0,≥0,≤0)，其中a,b,c均为常数，且a≠0. 〖=yi(〗几个必备知识〖=〗 1.配方法：ax2+bx+c=ax+b 2a2+4ac－b2 4a； 2.十字相乘法：acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)； 3.求根公式：x1,2=－b±b2－4ac 2a； 4.根与系数关系（韦达定理）：x1+x2=－b a x1·x2=c a. 〖=yi(〗三个“二次”间的关系〖=〗 表21 一元 二次 方程 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x10)的图像 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与x轴的公共点 有两个公共点 (x1，0)，(x2，0) (x10)的零点 有两个零点 x1，x2(x10(a>0)的解集 {x|x>x2或x0)的解集 {x|x10)的解集 {x|x≥x2或x≤x1} R Rax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集 {x|x1≤x≤x2} －b 2a  〖=TX(〗12求解一元二次不等式〖=〗 （1）解一元二次不等式的方法和步骤： ①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式； ②判：计算对应的一元二次方程的判别式； ③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实数根； ④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集（或者结合函数图像写出解集）. （2）不等式的解集可以写成集合的形式，也可以写成区间的形式. （3）解含参数的一元二次不等式的步骤： ①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. ②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系. ③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 即：“先看开口、再看Δ、最后看两根大小”. （4）若已知一元二次方程的解集，可利用根与系数关系（即韦达定理）得出系数的值或者系数之间的关系. 〖=yi(〗解不含参数的一元二次不等式〖=〗 解法突破：解不含参数的一元二次不等式，按照“化、判、求、写”的步骤即可. 例2.5解下列不等式： (1)x2-7x+12>0； (2)-x2-2x+3≥0； (3)x2-2x+1<0； (4)x2-2x+2>0. (1)方程x2-7x+12=0的解为x1=3，x2=4. 而y=x2-7x+12的图像开口向上，可得原不等式x2-7x+12>0的解集是{x|x<3或x>4}. (2)不等式两边同乘-1，原不等式可化为x2+2x-3≤0. 方程x2+2x-3=0的解为x1=-3，x2=1. 而y=x2+2x-3的图像开口向上，可得原不等式-x2-2x+3≥0的解集为{x|-3≤x≤1}. (3)方程x2-2x+1=0有两个相等的解x1=x2=1，而y=x2-2x+1的图像开口向上，可得原不等式x2-2x+1<0的解集为. (4)因为Δ<0，所以方程x2-2x+2=0无实数解，而y=x2-2x+2的图像开口向上，可得原不等式x2-2x+2>0的解集为R. （2019天津10）设x∈R，使不等式3x2+x-2＜0成立的x的取值范围为. 〖=yi(〗解含参数的一元二次不等式〖=〗 解法突破：解含参数的一元二次不等式时，按照“先看开口、再看Δ、最后看两根大小”三个环节进行，最后写清综上所述即可. 例2.6解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R). 分析按照先看开口、再看Δ、最后看两根大小”三个环节进行求解. ①当k＝0时，原不等式即－2x<0，解得x＞0. ②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1，解不等式，得1－1－k2 k＜x＜1＋1－k2 k； 若Δ≤0，即k≥1，则不等式无解. ③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0，解不等式，得x＜1＋1－k2 k或x＞1－1－k2 k； 若Δ＜0，即k＜－1，则不等式的解集为R； 若Δ＝0，即k＝－1，解不等式，得x≠－1. 综上所述，当k≥1时，不等式的解集为； 当0＜k＜1时，不等式的解集为x1－1－k2 k＜x＜1＋1－k2 k； 当k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}； 当－1＜k＜0时，不等式的解集为xx＜1＋1－k2 k或x＞1－1－k2 k； 当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}； 当k＜－1时，不等式的解集为R.解关于x的不等式x2－a＋1 ax＋1<0(a≠0). 〖=yi(〗已知含参一元二次不等式的解集，求参数〖=〗 解法突破：若已知一元二次方程的解集，可利用根与系数关系（即韦达定理）得出系数的值或者系数之间的关系. 例2.7已知不等式x2+bx+c>0的解集为x|x>2或x<1. （1）求b和c的值； （2）求不等式cx2+bx+1≤0的解集. 分析（1）利用根与系数关系即可得出b，c的值；（2）根据（1）的结论得出具体一元二次不等式，求解即可. （1）由不等式的解集为x|x>2或x<1，可知2和1是一元二次方程x2+bx+c=0的两根，所以2+1=－b 2×1=c，即b=－3，c=2. （2）由（1）知所求不等式即为2x2－3x+1≤0. 方程式2x2－3x+1=0的两根分别是1和1 2， 所以所求不等式的解集为x1 2≤x≤1. 已知不等式x2-2x-3<0的解集为A，不等式x2+x-6<0的解集为B，不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B，则a+b=(). A.-3B.1C.-1D.3 〖=TX(〗13一元二次不等式恒成立问题〖=〗 1.一元二次不等式恒成立求参数范围问题常利用一元二次函数的图像、一元二次方程根的判别式求解. 2.已知参数范围的一元二次不等式恒成立，求x取值范围的问题通常变换主元，转化为一元一次函数图像问题. 〖=yi(〗一元二次不等式在R上恒成立问题〖=〗 解法突破：对x∈R的不等式恒成立确定参数的范围问题，可以结合二次函数的图像，利用判别式来求解，但需要格外注意的是二次项系数是否含有参数，若含有参数，还需对参数是否为零进行讨论. 例2.8若不等式2kx2＋kx－3 8<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为. 分析按照二次项系数是否为零进行分类讨论即可. （1）当k＝0时，显然成立； （2）当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－3 8<0对一切实数x都成立，则k<0 k2－4×2k×－3 8<0，解得－30恒成立类似讨论.〖=〗若不等式mx2-mx+2＞0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）. A.（0，8）B.\[0，8\] C.\[0，8）D.（0，8\] 〖=yi(〗一元二次不等式在给定区间上恒成立问题〖=〗 解法突破：对x∈\[a，b\]（也可以是(a,b),(a,b］,［a,b)）的一元二次不等式恒成立，确定参数的范围问题多结合二次函数的图像，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式参数的取值范围. 例2.9若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈\[m，m＋1\]都成立，则实数m的取值范围是. 分析利用数形结合的思想求解即可. 解法一：设函数f(x)=x2+mx－1，依题意有f(x)=x2+mx－1<0在［m,m+1］恒成立. 易知f(x)=x2+mx－1的图像为开口方向向上的抛物线，对称轴为x=－m 2，结合二次函数的图像可知有如下两种情形： ①当－m 2≤m+1 2，即m≥－1 3时，有f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)－1=2m2+3m<0，此时解得－1 3≤m<0. ②当－m 2>m+1 2，即m<－1 3时，有f(m)=m2+m2－1=2m2－1<0，此时解得－2 2”，则需分类讨论，并且还需数形结合，难度瞬间增大，读者不妨一试.〖=〗当－10 g(1)＝(x－2)＋x2－4x＋4>0 解得x<1或x>3. 故x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞). 求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0（|a|≤1）恒成立的x的取值范围. 〖=TX(〗14实际问题中的一元二次不等式〖=〗 在实际应用题中，若所列函数式可化为一元二次不等式求解，主体还是按照解应用题的基本步骤去求解，前提是抽象出函数模型（即建模），但核心部分则需要按照解一元二次不等式的步骤去写（即解模）.例2.11某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加8 5x成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y元，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围. 分析利用“营业额=售价×数量”进行求解. (1)由题意得y=1001－x 10·1001+8 5·x 10=20(10-x)(50+8x). 因为售价不能低于成本价，所以1001－x 10－80≥0，得x≤2. 所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为\[0，2\]. (2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0,解得1 2≤x≤13 4. 结合第（1）问，可得x的取值范围是1 2，2. 〖=2(〗本题只是涉及了营业额，若要保证利润不低于某个数值，该如何求解呢？读者请自行思考.〖=〗某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－2.5R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(). A.\[4，8\] B.\[6，10\] C.\[4%，8%\]D.\[6%，10%\]〖=TX(〗15简单的分式不等式〖=〗 解简单分式不等式，关键是将它变为整式不等式去解，其一般方法为： 分式不等式f(x) g(x)>0(或≥0)或f(x) g(x)<0(或≤0)运用以下同解原理来解： ①f(x) g(x)>0(或<0)与f(x)·g(x)>0(或<0)同解； ②f(x) g(x)≥0(或≤0)与不等式组f(x)·g(x)≥0 g(x)≠0或f(x)·g(x)≤0 g(x)≠0同解. 例2.12解下列不等式： (1)2-x x+4≥0；(2)x+1 2x-3<1. 分析将分式不等式化为整式不等式，对于(2)，将不等式右端的1移项到左边通分，化为右端为0的分式不等式. (1)原不等式可化为(2-x)(x+4)≥0 x+4≠0,即 (x-2)(x+4)≤0 x+4≠0. 故原不等式的解集为{x|-40. 故原不等式的解集为xx<3 2或x>4. 不等式x+1 (x－1)2>1的解集为. 请完成最有效训练题4