第一章集合与常用逻辑用语〖=Z(〗一集合与常用逻辑用语〖=〗〖=jie(〗第一节集合〖=〗 1.重点关注 集合是数学的基础，它不但提供了工具性的应用，还提供了重要的思想方法.在本节中，集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容.无论是解基础题还是提高题，对集合与元素的正确认识均为一把关键的钥匙. 2.从基础到提高 (1)难度的跨越 题目从具体集合过渡到抽象集合、含参集合，需对集合及元素有更深入的理解与分析转化能力；集合新定义型问题将集合问题拓展放在一个新情境中，是对理解能力、知识迁移能力的一次提升. (2)思想的提升 a.补集思想:当难以从正面入手时,将思路调整,从所求问题的反面入手,求其补集.补集思想具有转换研究对象的功能,是转化与化归思想的一种体现. b.数形结合思想:当题目关系较复杂时，需借助韦恩图分析，将集合间的关系用图形来表示，这是数形结合思想在集合中的体现与应用. c.分类讨论思想:当集合中的元素含有参数，或解集含参数需要进行相关求解时，都避免不了分类讨论；另外，集合是否为空集也需提前考虑. (3)核心素养的实现 利用韦恩图解决实际问题，通过将各种信息表达于韦恩图上，借助图形优势，综合应用方程等工具，用数学的思维分析问题以实现核心素养的训练. 〖=TX(〗1集合的基本概念〖=〗 (1)求解集合问题，首先要注意识别集合中元素的属性：是数集还是点集，是数集则需要化简，是点集则需要解方程. (2)根据元素限制条件得出结果后,要注意检验是否满足集合元素的互异性. 〖=yi(〗认识集合与元素〖=〗 解法突破：解决集合概念问题必须首先透彻理解集合的定义，集合中元素的确定性、互异性与无序性，其次对于元素的属性，应明确是数集还是点集，是函数的定义域还是函数的值域等. 例1.1(多选题)下列命题正确的是(). A．很大的实数可以构成集合 B．自然数集N中最小的数是1 C．集合{y|y=x2－1}与集合{(x，y)|y=x2－1}不是同一个集合 D．{sin30°,sin45°,cos60°，1}是一个集合 E．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点可以构成集合． 分析集合中的元素有确定性、无序性、互异性，以此来判断. A中很大的实数不具有确定性，所以A错； B中自然数中最小的数是0，所以B错； C中两个集合一个是数集，另一个是点集，所以不是同一个集合，所以C正确； D中元素不满足互异性，不能构成集合,所以D错； E中元素满足集合元素的三个特性，可以构成集合，所以E正确．故选C，E. 已知集合M={y|y=x2+1,x∈R}， N={x|y=9-x2}，则M∩N=(). A.{x|1＜x≤3}B.{x|1≤x＜3} C.{x|1≤x≤3}D.{x|1＜x＜4} 〖=yi(〗利用集合中元素的特征解题〖=〗 解法突破：利用集合中元素的特性解题，要注意集合中元素的互异性，一方面利用集合中元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，检验集合中元素是否满足互异性可确保答案正确. 例1.2设a,b∈R，集合A={1,a+b,a}，集合B={x｜x(ax-b)(x-b)=0},若A=B，则a=,b=. 分析首先表示出集合B中的元素，再根据两集合相等及元素的互异性求值. 当a=0,b=0时，可得集合A≠B，不符合题意； 当a=0,b≠0时，可得集合A≠B，不符合题意. 所以a≠0，则集合B=0,b a,b. 由题意知，0∈{1,a+b,a}，又a≠0，故a+b=0,得b a=-1，则集合{1,0,a}={0,-1,b}，可得a=-1,b=1. 〖=2(〗留意观察元素满足什么限制条件，找准“关键元素”突破，若本题没有发现分母a≠0，则需要进行讨论.〖=〗若集合{x,xy,lg(xy)}={0,|x|,y},则x=，y=. 〖=yi(〗元素的个数问题〖=〗 解法突破：理解集合与元素问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题中的条件，设法进行套用，在方法上采用枚举法或分析法，特别要注意元素的互异性. 例1.3已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为(). A．9B．8C．5D．4 分析采用枚举法列举出集合A中的元素. 由题知，集合A中的元素是圆x2+y2=3及其内部的整数点，有0,1，0,－1，1,0，－1,0，1,1，1,－1，－1,1，－1,－1，0,0，共9个.故选A. 扫码看微课已知集合A={1，2,3,4,5}，B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为(). A.3B.6C.8D.10 〖=TX(〗2集合间的基本关系〖=〗 (1)判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化简集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是发挥合情推理的思维，用列举法表示各集合，从元素中寻找关系. (2)在研究集合的关系问题时一定要先讨论空集的情况. 〖=yi(〗集合关系中的含参问题〖=〗 解法突破：已知两集合的关系求参数，关键是将两集合的关系转化为元素的关系. (1)元素是离散型，即可列举的，常转化为方程(组)求解，要注意检验集合元素的互异性； (2)元素是连续型，如表示不等式的解集，常借助数轴分析转化为不等式(组)求解.端点值的取舍为一大难点，可直接将端点值代入检验再取舍. 例1.4已知集合A={1,3,m}，B={1，m}，A∪B=A,则m=(). A.0或3B.0或3C.1或3D.1或3 分析由A∪B=A，转化为BA，即将集合的并集转化为集合的关系. 由A∪B=A，得BA,故m=3或m=m，且m≠1，所以m=0或3.故选B. 〖=2(〗本题中的元素是离散型，要注意检验元素的互异性，否则容易出错.〖=〗(多选题)已知集合A={1,2},B={x|mx－2=0}，若A∩B=B，则满足集合A和B间的关系的实数m的取值有(). A．2B．1 C．0D．-1 〖=yi(〗集合关系中的子集个数的问题〖=〗 解法突破：若有限集合A中元素个数为n(n∈N*)，则：①A的子集个数是2n；②A的真子集个数是2n-1；③A的非空子集的个数是2n-1；④A的非空真子集的个数是2n-2. 例1.5已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0＜x＜5,x∈N},则满足条件ACB的集合C的个数为(). A.1B.2C.3D.4 分析由题意知，集合C的个数即为集合{3,4}的子集的个数. 由A={1,2}，B={1，2，3，4},且ACB，得集合C是集合{1,2}与集合{3,4}的任一子集的并集，求出集合{3，4}的子集的个数为22=4.故选D. 集合A=｛x∈N|x2-(m+3)x+2(m+1)＜0(m＞2)｝的真子集的个数为15，则实数m的取值范围是(). A.B.｛6｝C.(5,6］D.(6,7］ 例1.6同时满足条件：①M{1,2,3,4,5}；②若a∈M，则6-a∈M.这样的非空集合M有个. 分析根据题意，将集合{1,2,3,4,5}中的元素划分为三类:1，5；2，4；3.把求非空集合M的个数问题转化为求解非空子集的问题. 由a∈M，6-a∈M，得元素1，5或者同时在集合M中，或者同时不在；同理元素2，4也是如此；元素3可以在集合M中，也可以不在.故三组元素1，5；2，4；3可以看作三个元素，M是含有三个元素的集合的子集，但不是空集，故集合M的个数为23-1=7. 〖=2(〗这类思考问题的方式是“捆绑法”.〖=〗已知M是集合{1,2,3,…,2k-1}(k∈N*,k≥2)的非空子集，且当x∈M时，2k-x∈M.记满足条件的集合M的个数为f(k),则f(2)=,f(k)=. 〖=TX(〗3集合的运算〖=〗 集合的运算包括集合的交、并、补，解决此类运算问题一般应注意以下几点：一是看元素的构成，集合是由元素组成的，明确集合中元素的构成是解决运算问题的前提；二是对集合进行化简，利用化简，可使问题变得简单明了，易于解决；三是注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图. 〖=yi(〗集合运算中的含参问题〖=〗 解法突破：凡是遇到集合的运算问题，尤其是含参问题，一定要注意数形结合，借助数轴与韦恩图来求解，一般而言，离散型数集或抽象集合间的运算，借助韦恩图；而连续型数集的运算，借助数轴；点集的运算，借助图像. 借助数轴解题时，作图可先从常系数的集合(或表达式)入手，然后根据条件放置参数即可.需要注意的是要检验参数与边界点重合时是否符合题意. 例1.7设常数a∈R，集合A={x|(x-1)(x-a)≥0}，B＝｛x|x≥a-1｝，若A∪B=R，则a的取值范围为(). A.(-∞,2)B.(-∞,2］ C.(2,+∞)D.［2,+∞) 分析利用分类讨论思想化简集合A,借助数轴来求解集合运算. 解法一：当a＞1时，A={x|x≤1或x≥a}，若A∪B=R,则有a-1≤1，得1＜a≤2. 当a=1时，A=R，显然A∪B=R成立. 当a＜1时，A={x|x≤a或x≥1}，A∪B=R也成立. 综上所述，a的取值范围是(-∞,2］.故选B. 解法二(赋值法＋排除法)：显然，当a=1时，A=R，满足A∪B=R.故排除选项C,D. 当a=2时,A={x|x≥2或x≤1}，B={x|x≥1}，满足A∪B=R，因此a=2满足题设要求. 故选B. 集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋mx－1}，B＝{(x，y)|y＝3－x，0≤x≤3}，若A∩B是只有一个元素的集合，求实数m的取值范围． 〖=yi(〗韦恩图在解题中的应用〖=〗 解法突破:对于离散和抽象的集合运算问题，常使用韦恩图辅助运算. 类型一利用韦恩图解决抽象集合问题 例1.8如图1〖JSS;《1》:P1+1〗所示，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(). 图1〖JSS;《2》:P1+1〗 A.(A∩B)∩CB.(A∩瘙綂IB)∩C C.(A∩B)∩瘙綂ICD.(瘙綂IB∪A)∩C 分析本题考查对利用韦恩图表述集合关系的理解. 图1〖JSS;《1》〗中的阴影部分为A∩C中去掉属于B的那部分元素后剩余元素组成的集合，即(A∩C)∩(瘙綂IB)=(A∩瘙綂IB)∩C.故选B. 〖=2(〗(1)对于韦恩图表述的集合应做如下理解：阴影部分涉及谁就交谁，不涉及谁就交其补集. 如图1〖JSS;《1》:J〗分别表示：(a)A∩B∩C；(b)A∩B∩(瘙綂IC)；(c)(瘙綂IA)∩(瘙綂IB)∩C或瘙綂I(A∪B)∩C. 图1〖JSS;《2》:J〗 (2)用类似的画韦恩图的方法还可以证明集合中的一些运算律，如： ①集合运算中的结合律与分配律 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C； A∩(B∩C)=(A∩B)∩C. 分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)； A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C). ②反演律(德摩根定律) 瘙綂I(A∩B)=(瘙綂IA)∪(瘙綂IB)(交之补等于补之并)； 瘙綂I(A∪B)=(瘙綂IA)∩(瘙綂IB)(并之补等于补之交).〖=〗〖=2A(〗③容斥原理 用Card(A)表示集合A中的元素个数(有资料中用|A|或其他符号表示)，则通过韦恩图可理解其具备的二维运算性质：Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∩B).〖=〗已知全集U，集合M，N是U的子集，且N瘙綂UM，则必有(). A.M瘙綂UNB.M瘙綂UN C.瘙綂UN=瘙綂UMD.M=N 类型二利用韦恩图解决离散集合问题 例1.9(多选题)记全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={1,2,3,5},B={2,4,6},则以下选项属于图1〖JSS;《1》:J〗中阴影部分所表示的集合中的元素的为(). 图1〖JSS;《2》:J〗 A．4 B．6 C．7 D．8 分析根据题意画出韦恩图，阴影部分所表示的集合为瘙綂U(A∪B)，看哪些元素在它里面. 由韦恩图可知，图中阴影部分可表示为瘙綂U(A∪B).且A∪B={1,2,3,4,5,6},所以瘙綂U(A∪B)={7,8}.故选C，D． 设全集U=x|0＜x≤9,x∈N*，若A∩B={3}，A∩瘙綂UB={1,5,7}，瘙綂UA∩瘙綂UB={9}，求A，B． 类型三利用韦恩图解决实际问题 例1.10某班级共有30人，其中15人喜爱篮球，8人喜爱足球，两项都不喜爱的有8人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有人. 分析离散型的集合运算，用韦恩图能直观求解，降低思维难度. 解法一:作出韦恩图,如图1〖JSS;《1》:J〗所示，设所求为x人，则喜爱篮球又喜爱足球的有(15-x)人，喜爱足球但不喜爱篮球的有8-(15-x)=（x-7）人,故有x+(15-x)+(x-7)+8=30，即x=14. 图1〖JSS；《2》:J〗 解法二:因为30-15-8-8=-1，说明两项都喜爱的只有1人，因此喜爱篮球但不喜欢足球的有15-1=14人. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是(). A．5B．6C．7D．8 〖=TX(〗4集合中的新定义型试题〖=〗 解法突破:先认真理解题意，关键是把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,再将新定义应用于具体情境中，转化为熟知的问题，进行解答. 例1.11已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}，B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}，定义集合AB={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}，则AB中元素的个数为(). A.77B.49C.45D.30 分析理解题意，先列举出集合AB的部分元素，再归纳出元素的一般特征，再求解出符合条件的集合元素的个数. 如图1〖JSS;《1》:J〗所示，集合A表示所有圆点“”组成的集合，集合B表示如图1〖JSS;《1》〗所示的所有圆点“”与所有圆点“”组成的集合，集合AB显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点(-3，-3)，(-3,3)，(3，-3)，(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图1〖JSS;《1》〗所示的所有圆点“”和所有圆点“”以及所有圆点“”，共45个.故AB中元素的个数为45.故选C. 图1〖JSS;《2》:J〗 〖=2（〗解决集合创新型问题的方法. (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.〖=〗在如图1〖JSS;《1》:J〗所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若x,y∈R，A={x|y=2x-x2}，B={y|y=3x,x＞0}，则A#B为(). 图1〖JSS;《2》:J〗A.{x|0＜x＜2} B.{x|1＜x≤2} C.{x|0≤x≤1或x≥2} D.{x|0≤x≤1或x＞2} （2020浙江10）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T； ②对于任意x，y∈T，若x0； p2：存在x∈R，x2+x+1<0； p3：任意x∈R，sinx<2x； p4：存在x∈R，cosx>x2+x+1. 其中的真命题有(). A.p1B.p2C.p3D.p4 分析按照解法突破中的方法逐一分析判断命题的真假，注意“存在”与“任意”的不同. 对于x∈R，2x>0，p1为真命题； x2+x+1=x+1 22+3 4>0，p2为假命题； sin-3π 2=1>2-3π 2，p3为假命题； x=-1 2时，cosx>cosπ 6=3 2>x2+x+1，p4为真命题.故选A,D. (多选题)已知命题p:x∈R,x2-x+1 4＜0；命题q:x∈R,sinx+cosx=2.则下列判断正确的是(). A.p是真命题B.q是假命题 C.p是假命题D.q是真命题 〖=yi(〗全称量词命题与存在量词命题的否定〖=〗 解法突破：(1)清楚命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的前提； (2)命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”，“存在”变“任意”)，再否定结论； (3)当瘙綈p的真假不易判断时，可转化为判断p的真假. 例1.17(2015浙江4)命题“n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(). A.n∈N*,f(n)N*且f(n)>n B.n∈N*,f(n)N*或f(n)>n C.n0∈N*,f(n0)N*且f(n0)>n0 D.n0∈N*,f(n0)N*或f(n0)>n0 分析命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”，“存在”变“任意”)，再否定结论. 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，“且”的否定是“或”.故选D. 〖=2（〗命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及其否定如表11所示. 表11 正面词语 否定 正面词语 否定等于(=) 不等于(≠) 至少有一个 一个也没有大于(＞) 不大于(≤) 任意 存在小于(＜) 不小于(≥) 所有 某个(些)是 不是 至多有n个 至少有n+1个都是 不都是 任意两个 某两个至多有一个 至少有两个 特别地，联结词“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”. “p且q”的否定是“瘙綈p或瘙綈q”，“p或q”的否定是“瘙綈p且瘙綈q”，即瘙綈(p∧q)=(瘙綈p)∨(瘙綈q),瘙綈(p∨q)=(瘙綈p)∧(瘙綈q),可与集合的德摩根法则类比记忆.〖=〗已知命题p:x>0,总有(x+1)ex>1,则瘙綈p为(). A.x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B.x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 C.x>0,总有(x+1)ex≤1 D.x≤0,总有(x+1)ex≤1 〖=TX1(〗9根据命题真假求参数取值范围问题〖=〗 解法突破：注意运用分类讨论思想. (1)推出每一个命题的真假; (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)如果是复合命题，根据命题的真假情况，求出复合命题的参数的取值范围. 例1.18命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0，对一切x∈R恒成立；命题q:指数函数f(x)=(3-2a)x是增函数.已知p与q中有且只有一个为真，求实数a的取值范围. 分析思路1：p与q中有且只有一个为真，则分为两种情况：p真q假和p假q真，分别求出a的范围取并集. 思路2:p与q有且只有一个为真，是从它们所对应的集合P∪Q中去掉P∩Q的部分，可用数轴直观求出. 解法一：依题意，p与q中有且只有一个为真. ①若p真q假，p真则不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，故Δ＜0,即4a2-16＜0，得-2＜a＜2;q假得0<3-2a<1,故11得a<1,即q对应的集合为Q={a|a＜1}. 如图1〖JSS;《1》:J〗所示，则瘙綂P∪Q(P∩Q)=aa≤-2或1＜a＜3 2.所以实数a的取值范围为aa≤-2或10，设命题p：函数y=ax在R上单调递减，q：函数y=2x-2a,x≥2a 2a,x<2a，且y>1恒成立，已知p与q中一真一假，求a的取值范围. 请完成最有效训练题2第二章一元二次函数、方程和不等式〖=Z(〗二一元二次函数、方程和不等式〖=〗〖=jie(〗第一节不等式的性质〖=〗 1.重点关注 在高考中几乎不会单独考查不等式的性质，但不等式的性质几乎可以渗透到每一个考点，是进行不等式变形、证明及解不等式的重要依据. 2.从基础到提高 （1）难度的跨越 题目从直接应用不等式的性质逐渐过渡到结合函数单调性来利用不等式性质，体现了知识间的迁移与不等式性质的工具作用.由简单实际问题提炼出不等式过渡到用不等式解释生活中的现象，体现了数学的应用性. （2）思想的提升 a.函数思想:不等式的性质在题目中多数是以工具作用体现的，因此构造函数是解决很多不等式问题的关键.构造函数，利用函数的性质结合不等式的性质使问题得以解决. b.转化与化归思想:生活中实际问题转化为不等式问题，或单独用不等式性质无法解决，转化为函数性质结合不等式性质问题，体现了转化与化归思想. c.特殊化思想:当逐一判断不等式是否成立时，有时利用不等式性质进行推理时间较长，可以借助取特值的思想方法求解. （3）核心素养的实现 利用构造函数解决不等式问题，体现了数学抽象与逻辑推理核心素养；从实际问题抽象出不等式并解决问题体现了数学抽象、数学建模与逻辑推理核心素养. 〖=TX(〗10不等式的性质的应用〖=〗 〖=yi(〗利用不等式的性质进行判断或证明〖=〗 解法突破：有关判断性命题，主要依据不等式的概念和性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据．一般来说，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果．应用不等式的基本性质解题时需要注意，解选择题有时可用特值验证法，以提高解题的效率． 例2.1(多选题)对于实数a,b,c，有下列命题,其中真命题为(). A.若a>b，则acbc2，则a>b C.若aab>b2 D.若c>a>b>0，则a c-a>b c-b E.若a>b,1 a>1 b，则a＞0,b＜0 分析判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系. A中,c值的正负或是否为零未知，因而判断不等关系缺乏依据，故该命题是假命题； B中，由ac2>bc2，可知c2>0，则a>b，故该命题是真命题； C中，由aab，若同乘b(b<0)，可得ab>b2，易知a2>ab>b2成立，故该命题为真命题； D中，由c>a>b>0,可知01 c-b>0，又因a>b>0，由“同向同正可乘”性,可知a c-a>b c-b成立，故该命题为真命题； E中，由已知1 a>1 bb-a ab>0,因为b-a<0，所以ab<0.又a>b,所以a>0,b<0，故该命题为真命题. 综上所述，B,C,D,E都是真命题.故选B,C,D,E. 〖=2（〗准确记忆各性质成立的条件，是正确应用的前提.在不等式的判断中，特殊值法是非常有效的方法.〖=〗(多选题)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是(). A.ad＞bc B.a d＋b c＜0 C.a－c＞b－d D.a(d－c)＞b(d－c) 〖=yi(〗利用不等式的性质求取值范围〖=〗 解法突破:在利用不等式的性质和运算法则求某些代数式取值范围时，若题目中出现的两个变量是相互制约的，不能分割开来，而应建立待求式整体与已知代数式的线性关系，然后根据不等式的性质求待求式整体的范围，以免使其范围扩大．由a＜f(x,y)＜b，c＜g(x,y)＜d，求h(x,y)的取值范围时，可利用待定系数法设h(x,y)=λf(x,y)+μg(x,y)，根据恒等变换解出λ，μ，再利用不等式的性质求得h(x,y)的取值范围．例如,已知－1＜x+y＜1，1＜x－y＜5，则可用上面的方法得出1＜3x－y＜11． 例2.2若－1＜a+b＜3，2＜a－b＜4，则2a+3b的取值范围是． 设2a+3b=x(a+b)+y(a－b)，则x+y=2 x－y=3，解得x=5 2 y=－1 2． 由已知得－5 2＜5 2(a+b)＜15 2，－2＜－1 2(a－b)＜－1，所以－9 2＜5 2(a+b)－1 2(a－b)＜13 2．即－9 2＜2a+3b＜13 2.故填－9 2，13 2． 已知二次函数y＝f(x)的图像过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是． 〖=TX(〗11比较数(式)的大小〖=〗 比较数(式)的大小，常见的方法有作差法、作商法、利用函数的单调性与中间值、直接应用不等式的有关性质或基本不等式、构造函数等．解题时应结合数与式的特征选用不同的方法进行比较. 〖=yi(〗作差法与作商法比较大小〖=〗 解法突破：利用作差法与作商法比较大小，变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解、配方等等，变形要彻底，要有利于与0或1比较大小，同时注意每一步变形必须是等价变形． 例2.3若a＝ln2 2，b＝ln3 3，比较a与b的大小． 分析本题方法较多，作差、作商、构造函数等均可解决． 解法一(作商法)：因为a＝ln2 2＞0，b＝ln3 3＞0，所以b a＝ln3 3×2 ln2＝2ln3 3ln2＝ln9 ln8＝log8 9＞1，所以b＞a. 解法二(作差法)：因为b－a=ln3 3－ln2 2=2ln3－3ln2 6=ln9－ln8 6=ln9 8 6＞0，所以b＞a. 解法三(函数性质法)：因为a=ln2 2=ln21 2，b=ln3 3=ln31 3，而21 2＞0，31 3＞0，且21 26=23=8，31 36=32=9，所以21 2＜31 3. 再由y=lnx单调递增，可知b＞a. 解法四(构造函数法)：构造函数f(x)=lnx x(x＞0)，则f′(x)=1－lnx x2. 令f′(x)＞0，则0＜x＜e；令f′(x)＜0，则x＞e. 所以f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减. 又因为ln2 2=ln4 4，所以f(3)＞f(4)=f(2)，即b＞a. (1)已知a,b,m均为正实数，且aa b； (2)已知a,b均为正实数，比较aabb与abba的大小. 〖=yi(〗利用函数性质比较大小〖=〗 解法突破：可根据待比较数与式的特征，抓住其共同的函数(指数函数、对数函数、幂函数)作为突破口，常常借助中间值“0”或“1”帮助比较.对于不在同一单调区间的值可利用对称性、周期性将自变量转化至同一单调区间后再进行比较. 例2.4已知x=lnπ,y=log52，z=e-1 2,则(). A.x1,y=log52∈(0,1),z=e-1 2=1 e>1 2,且y=log52＜log55=1 2，z=e-1 2＜1，所以x>z>y. 故选D. 在锐角三角形ABC中，若函数y=f(x)在［0,1］上单调递减，则下列命题中正确的是(). A.f(cosA)>f(cosB) B.f(sinA)>f(sinB) C.f(sinA)>f(cosB) D.f(sinA)0),则f′(x)=1-lnx x2,当x∈(0,e)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(0,e)上单调递增; 当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(e,+∞)上单调递减. 又ln2 2=ln4 4,e<π<4,则f(e)>f(π)>f(4),即1 e>lnπ π>ln2. (2017全国Ⅰ)设x,y,z是正实数，且2x=3y=5z,则(). A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z 〖=TX1(〗12从实际问题中提取不等关系并进行比较或证明〖=〗 建立不等式模型解决实际问题的一般步骤是： (1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)； (2)建立相应的不等量关系，把实际问题抽象为数学问题； (3)解决数学问题； (4)回归实际问题，写出准确答案． 上述步骤可用图2〖JSS;《3》:P1+1〗简单表示： 审题建模解模验模结论 图2〖JSS;《4》:P1+1〗 例2.6已知b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若在这些糖水中再添加m克糖(m＞0)，则糖水会变甜(即糖水的浓度会变大)．根据这个事实： (1)提炼一个不等式； (2)用数学知识解释这一现象． 分析本题是不等式的实际应用问题，关键是比较加入m克糖后糖水的浓度与未加糖之前糖水的浓度的大小． (1)根据已知事实，提炼不等式为a+m b+m＞a b(b＞a＞0，m＞0). (2)原来糖水浓度为a b，添加m克糖后糖水浓度变为a+m b+m． 因为a+m b+m－a b=b(a+m)－a(b+m) b(b+m)=m(b－a) b(b+m)， 由已知b＞a＞0，m＞0得b－a＞0，b+m＞0，所以m(b－a) b(b+m)＞0，即a+m b+m＞a b． 所以糖水浓度变大了，糖水会变甜． 〖=2（〗(1)本题所提炼出来的不等式称为“糖水不等式”，反映的就是“糖越加越甜”这种生活小常识． (2)由本题我们可以得到下列结论：一个真分数的分子和分母同时加上一个正数后，其分数值随之增大，一个真分数的分子和分母同时减去一个小于分母的正数后，其分数值随之减小． (3)要证明a+m b+m＞a b，即证明a+m b+m＞a+0 b+0，我们可以抓住这两个分式结构上“不变”与“变”的地方，构造函数f(x)=a+x b+x(b＞a＞0)，通过证明该函数在［0,+∞)上是增函数，从而得出f(m)＞f(0)，即a+m b+m＞a b．〖=〗 一般情况下，建筑民用住宅时，民用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好．若同时增加相等的窗户面积和占地面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？为什么？ 某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案，如表21所示，其中p＞q＞0． 表21 次数 方案 第一次提价百分比 第二次提价百分比甲 p% q%乙 q% p%丙 p+q 2% p+q 2%经过两次提价后，哪种方案的提价幅度最大？为什么？ 请完成最有效训练题3〖=jie(〗第二节三个“二次”的关系〖=〗 1.重点关注 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间有着千丝万缕的联系，同时三者也经常以工具形式出现在高中数学的各个知识中，因此三个“二次”是学好高中数学的基础，也是高考数学获得高分的基石，同学们务必理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性. 2.从基础到提高 （1）难度的跨越 从求解简单一元二次不等式（包括含参形式）过渡到含参不等式问题；从不等式恒成立问题扩充到存在性问题；从解简单分式不等式迁移到解高次不等式，引入“数轴标根法”.每一个扩充与迁移，都是难度的升级. （2）思想的提升 a.函数思想与转化思想:一元二次函数、方程、不等式三者之间融会贯通，不等式中参数讨论、方程解个数等问题均可结合函数求解，体现了函数思想与转化思想. b.数形结合思想:对于参数问题一筹莫展时，不妨转化为函数问题，结合函数图像，利用数形结合思想求解. （3）核心素养的实现 从实际问题抽象出一元二次不等式并解决问题，体现了数学抽象、数学建模与逻辑推理核心素养；用函数的观点解决方程与不等式的问题，体会知识间的联系，体现了函数的重要性，重点提升学生数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养. 〖=TX(〗13含参一元二次不等式的相关问题〖=〗 解含参一元二次不等式时，往往需要比较相应方程根的大小，根据参数情况进行分类讨论. 〖=yi(〗解含参一元二次不等式〖=〗 解法突破:解含参数的一元二次不等式时，按照“先看开口、再看Δ、最后看两根大小”三个环节进行，具体步骤如下： ①若二次项系数含有参数，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，当二次项系数不为0时，将不等式转化为二次项系数为正的形式． ②判断相应一元二次方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． ③当相应一元二次方程无根或有两个相同实根时，可直接写出解集，当方程有两个不同实根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 例2.7解下列关于x的不等式： (1)12x2－ax＞a2(a∈R)； (2)ax2+(a+2)x+1>0. (1)因为12x2－ax＞a2，所以12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a 4，x2＝a 3. ①当a＞0时，－a 4＜a 3，解集为xx＜－a 4或x＞a 3； ②当a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R，且x≠0}； ③当a＜0时，－a 4＞a 3，解集为xx＜a 3或x＞－a 4. (2)当a=0时，不等式为2x+1>0，解集为xx>-1 2.当a≠0时，因为Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0，解得方程ax2+(a+2)x+1=0的两根x1=-a-2-a2+4 2a，x2=-a-2+a2+4 2a. 所以当a>0时，原不等式的解集为 xx>-a-2+a2+4 2a或x<-a-2-a2+4 2a； 当a<0时，原不等式的解集为 x-a-2+a2+4 2a-1 2，求关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集. 分析思路一：由不等式ax2+bx+c<0的解集得到a，b，c之间的关系，从而求出不等式ax2-bx+c>0的解集.思路二：挖掘方程ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0根之间的关系. 解法一：由关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为xx<-2或x>-1 2，得a<0，且方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-2,x2=-1 2,由根与系数关系有x1+x2=-b a=-5 2，x1x2=c a=1，则b a=5 2 c a=1，得b=5a 2，c=a(a<0).于是关于x的不等式ax2-bx+c>0可变形为ax2-5a 2x+a>0，即2x2-5x+2<0，故解集为x1 2-1 2，则a<0，且方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-2,x2=-1 2，因此方程ax2-bx+c=0的两根为x1′=2,x2′=1 2，所以不等式ax2-bx+c>0的解集为x1 20的解集. 〖=TX1(〗14一元二次不等式恒成立问题(含参)〖=〗 形如f(x)≥0(f(x)≤0)的恒成立问题常利用判别式法、数形结合法、分离参数法、变换主元法求解． (1)判别式法：若所求问题可转化为“类一元二次不等式”恒成立问题，则可考虑应用判别式法求解．例如，若不等式ax2+bx+c＞0恒成立，则需考虑如下两种情况：①a=0 b=0，c＞0；②a＞0 Δ=b2－4ac＜0．不等式ax2+bx+c＜0(≥0)(≤0)恒成立可类似讨论． (2)数形结合法：f(x)＞g(x)函数f(x)的图像恒在函数g(x)的图像的上方；f(x)＜g(x)函数f(x)的图像恒在函数g(x)的图像的下方． (3)分离参数法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两边，则问题可转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.这种方法本质还是求最值，但思路更清晰，操作性更强，一般有两种方法：①f(x)＞g(a)(a为参数)恒成立f(x)min＞g(a)；②f(x)＜g(a)(a为参数)恒成立f(x)max＜g(a)． (4)变换主元法：处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时地将主元变量和参数进行“换位”，往往会使问题简化． 〖=yi(〗在R上的恒成立问题〖=〗 解法突破：对x∈R的一元二次不等式恒成立确定参数的范围问题，常结合二次函数的图像，利用判别式来求解，但需要格外注意二次项系数是否含有参数，若含有参数，还需对参数是否为零进行讨论． 例2.9若不等式2kx2＋kx－3 8＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为． 分析 按照二次项系数是否为零进行分类讨论即可． (1)当k＝0时，显然成立； (2)当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－3 8＜0对一切实数x都成立，则k＜0 k2－4·2k·－3 8＜0，解得－3＜k＜0. 综上所述，满足不等式2kx2＋kx－3 8＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3，0］． 〖=2（〗若不等式ax2+bx+c＜0对一切实数x恒成立，则需考虑如下两种情况： ①a=0 b=0，c＜0；②a＜0 Δ=b2－4ac＜0． 不等式ax2+bx+c＞0恒成立可类似讨论．〖=〗(2017天津8)已知函数f(x)=x2-x+3,x≤1 x+2 x,x>1，设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥x 2+a在R上恒成立，则a的取值范围是(). A.-47 16,2B.-47 16,39 16 C.［-23,2］D.-23,39 16 〖=yi(〗在给定区间上的恒成立问题〖=〗 解法突破：对x∈［a，b］的一元二次不等式恒成立确定参数的范围问题，常采用数形结合的方法，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式参数的取值范围． 例2.10(2014江苏)已知函数f(x)=x2+mx-1，若对于任意x∈［m,m+1］，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是. 扫码看微课 分析若f(x)<0，x∈［m,m+1］，则f(x)max<0，于是转化为求解f(x)的最大值，可结合二次函数图像求解. 依题意，函数f(x)=x2+mx-1，x∈［m,m+1］，其图像为开口方向向上的抛物线，在闭区间上的最大值一定会在端点处取得，因此满足f(m)<0 f(m+1)<0，即2m2-1<0 (m+1)2+m(m+1)-1<0，解得-2 20的解集为. 分析不等式一边为商式，一边为0，可用数轴标根法来解. 化原不等式为(x+2)(x+1)3x(x-1)2>0，如图2〖JSS;《3》:J〗所示，在数轴上标出各个根，然后画出曲线从右向左依次经过各个根.x1=-2，x2=-1，x3=0为奇次根，曲线需穿过，x4=1为偶次根，曲线不穿过，可知所求不等式的解集为{x|-21}. 图2〖JSS;《4》:J〗 （2020浙江9）已知a,b∈R且ab≠0，若(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0在x≥0上恒成立，则（）. A.a<0B. a>0C. b<0D. b>0 请完成最有效训练题4