a	a
11 	12
1. 若 
2 ，则 
a	a
21 	22 
第 1章作业题
a 	03a
12 11 
的值为 ( )。
a 	03a
22 21 
8 2 6 
A. 18     	B. 12  C. 12   D. 0 102 
2. 已知 x31 
的余子式M12 0 ，则代数余子式 A21 ( )。 4 x 2 
A. –4 B. 4 C. 2 D. –2 
3. 排列 4365721的逆序数为	。 

4. 在三阶行列式中展开式aaa的符号为	。

7. 已知齐次线性方程组  3yz 	


13  31  22 
1  2  3  4  
5. 设  fx( )   1 1  x 2  x 3  4 4  ，则方程  ( )fx 0 的根为 。  
1  2  3  x  

1  0  1  2  
6. 若 1 1D 1 1  1 0  0 3  
1  2  5  4  

  0, 有非零解，则。y z 0
x
103 100 204 二、计算行列式199 200 395 
。
301 	300 600
，则 A41 A42 3 44
 A 。 xyz  0, 
0	1 2
 1 1 102 
三、已知行列式D
96 14 21 10 
，求 A31 2A32 A33 。
四、计算行列式Dn 
a0	1 1  1 
1 a10  0 
10 a2  0 
，其中aaa0 。
01 n1 
    100 
an1 

线性代数练习册五、求下面的：（1） 1 1 3 1 0 0 1     ； （2） 4 6 5   2 4 3   5 9 7     0 。 六、求 n阶行列式 D=  1 1 1 1 0   1 1 1 0 1   1 1 0 1 1       1 0 1 1 1   0 1 1 1 1  。 成绩_____________  
七、设平面上二次曲线 2 0 1 2 ya axax过三点(1,2), (2,3), (3,5)，请用克莱姆法则证明此曲线是唯一的，并求 0a。 

1. 设有矩阵A34, B33 , C43 和D31，则下列运算中没有意义的是 ( )。
 
 T TT
A. ACDD B.  C. AB 2 D. BAC
ACDD C 
2. 设 A, B均为n阶矩阵，k,l为不等于 0的常数，则下列等式正确的是 ( )。 
T1T1T T TT
A. (kA lB)  A B B. (kA lB) kA lB
kl 
T TT TT 2T
C. (kAB) kAB D. (A ) (A ) 
3. 设 A, B均为n阶方阵，且满足等式 AB0 ，则必有 ( )。 
A. A0 或B 0 B. AB0 C. 
A 0 或 
B 0 D. 
A 

B 
0 
11 n

4．设 
A00，则 A2 ， A3 ， A 。  


5. 如果 A 2 2，B12  ，则AB ，BA 。 


11  2
1 
1 00 


6. 已知 A210 ，则 。
3A

0 21
 
11 1 1 23 二、设 A11 1 ，B1 24，求 AT B 2E。
 
1 11  0 51 

 
三、已知 f(x) x2 3x 5 ， A a 0 b 0 ，求 f ()
A。
1201  2021 2022 
四、若 A34，P10，求P AP。  

T 100

五、已知矩阵C123 ，B11/2 1/3 。又 A BC，求 A。
六、设 ,B是对称矩阵的充分必要条件是 BBA。AB都是n阶对称矩阵，证明 AA 
七、某石油公司所属的三个炼油厂 A1, A2, A3在 2015 年和 2016 年生产的 4种油品B1, B2, B3, B4的产量如下表（单位：万 t）。 
炼油厂  2015年  2016年 
B1  B2  B3  B4  B1  B2  B3  B4  
A1  97  38  27  9  87  67  23  7  
A2  74  31  14  6  90  23  56  8  
A3  89  45  23  7  92  43  39  4  

（1）作矩阵 A和B分别表示三个炼油厂 2015年和 2016年各种油品的产量；

（2）计算 A B与A B，并说明其经济意义。


3434

1. 设n阶方阵 A的伴随矩阵为 A，且 
a 0 ，则
A 
A
( )。 
1n1	n
A. a B.   C. a 	D. a 
2. 设 A, B均为n阶矩阵下列运算正确的是 ( )。，a
kk
A. (AB)k 	AB  B. 

A 
A 
C. A2 B2   ABA B   D.若 A可逆，k0 kA k1 A1
，则1 
3. 	设n阶矩阵 A与B等价，则必有 ( )。 A时，||   B.当|| ( B a
A. 当|| aa( 0) B a Aaa0) 时，|| 

C. 当||0 B 0 A B 	0


A 时，|| 	  D.当||0 时，|| 
4. 设 A为 n阶非零矩阵，E为 n阶单位矩阵，若 A3 0，则 ( )。 

A. E A不可逆，E A不可逆  B. E A不可逆，E A可逆 

C. 	E A可逆，E A可逆  D. E A可逆，E A不可逆 
100 




5. 	设 A, P均为三阶矩阵，PT 为 P的转置矩阵，且 PTAP 020。若 P (,1 2, 3), 


003

Q (, ,), 则 QTAQ ( )。
1 22	3 
100110320220  
 

   A. 02	0     B. 130     C. 220     D. 230
 
 
003 003 003 00	3
 
1 
3A 2A
6. 设矩阵A为三阶可逆矩阵，且 A 2 ，则 。
12 a	1 a 2 
二、已知a是常数，矩阵 A13 0 可经初等变换化为矩阵B011 ，求a以及  
27 a 	11 1  
A的秩r( )

A。
21 	111
	
1 11 12 
三、求矩阵	 72 24 a的秩，并化为行最简形，其中 a为常数。
	
7 11 58
	 
111 四、用伴随矩阵法求矩阵 A 2 11 的逆矩阵。
120
 

120  14 五、已知 A  010  ，B  25  。（1）求 A1；（2）解矩阵方程 AXB。
 002   1 3  1 
00

5

 六、设三阶方阵 A,B满足 A1BA  6A  BA，且 A  010 ，求B。
6

1

00

 7 

七、若方阵 A满足 A2 2A  4E 0 ，试证 A  E可逆，并求 A  E1。
1. 向量1, 2,, m (m 2) 线性无关的充分条件是 ( )。 

A. 1, 2,, m 均不是零向量 

B. 1, 2,, m 中任意两个向量都不成比例 

C. 1, 2,, m 中任意一个向量均不能由其余m 1 个向量线性表示 

D. 1, 2,, m 中有一个部分组线性无关 



2. 设A为n阶方阵，且 


A 0 ，则 ( )。 
A. A中必有两行（列）的对应元素成比例 

B. A中任意一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合 

C. A中必有一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合 

D. A中至少有一行（列）向量为零向量 


3. 设向量组（1）： 1 2,3 	：1 2 等价，则必有 (
, 与向量组（2）,	 )。 
A. 向量组（1）线性相关 B.向量组（2）线性无关 

C. 向量组（1）线性无关 D.向量组（2）线性相关 


4.	 设向量组1 (1,0,0) T, (0,0,1) T ，下列向量中可以由1, 线性表出的是( )。 T

A. (2,0,0)T B. ,2,4)T C. (1,1, 0)T D. 1, 0) (32(0,2

5. 设向量组, 线性无关，线性相关，则向量组 , 的秩是 	.


,, 	, 
12 123 	123 
二、设 1 (1,2,1), 2 (2,0,1), 3 (0,1,0) 。1  223 （2）请判断向量组 1, 2, 3 （1）求 ；的线性相关性。
三、已知向量组1 (1, 2, 1,1), 2  t 3 (0, 4,5, 2) 
 (2,0, ,0),  的秩为 2，求t。
11 a
     
四、已知向量组1 1 ，2 3 ，3 0 线性相关，求a。


121
   

五、设1(1,1,1), 2 (1,2,3), 3 (1,3,t)。
（1）问t为何值时，向量组1, 2, 3 线性相关；

（2）问t为何值时，向量组1, 2, 3 线性无关；

（3）当向量组线性相关时，将3 表示为1, 2 的线性组合。



六、已知向量组, 线性无关，证明向量组2, 3, 2线性无关。
, 
123 12 31 

七、设向量组 , 线性无关，k k 。证明：如果k1 0 ，则向量组, 也线性
12 1122 2 
无关。一、选择与填空题 

TT
1. 	在3中，与向量1 (1,1,1) , 2 (1, 2,1) 都正交的单位向量是 ( )。 1 T T1T

(1, 0,1) 22 

21 1  
 

A. (1, 0,1)T 	B. 
 
(1, 0,1) C. 1) D.
 	(1, 0, 

3 	
218 
  
2. 设矩阵 Aab 
4 为正交矩阵，则a ，b 。 18
  
2 	11  
 
3 218 
 
3. 设与是正交的两个n维非零列向量，记n阶矩阵 A T ，则 A2 	。 

4. 	设向量(1,1,1)T，则它的模为，其单位化向量为。  TTT 生成的向量空间的维数

5. 设 1 (1, 2, 1,0) , 2 (1,1,0,2) , 3 (2,1,1, a) ，若由 1, 2,3 


为 2, 则 a 	。
二、求向量(2,1,3,2)T , (1,2 , 2 ,1) T 的夹角。
T TT
三、设有向量空间3中的向量组1 (1,0,1) , 2 (0,1, 1) , 3 (1, 2,0)。（1）证明此向量组为3的一个基；(1,2,1)T 在此基下的坐标。
（2）求向量
T	T
(2,5) , (2,1) , 
四、已知2中两个基	12 (1,3) T 及12 (3,7) T. 求由1,2 到1, 2 的过渡矩阵。

五、设向量组 TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3aaa, T44,4,4,4a。
（1）a为何值时 1, 2,3, 4 a 0 时, 求其一个极大线性无关组，并
线性相关?（2）当 
将其余向量用该极大线性无关组线性表出。


六、已知向量组 
170 32
    
   
030 11
1 ，2 ，3   ，4   ，5 。
    
  
301 13 
00 2 20
    

求：（1）向量组的秩；（2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量用该极大线性无
关组线性表示。七、设 A, B为正交矩阵，证明：

（1） 
A 1或 
A
1；（2）AB也是正交矩阵。

八、设, 为三维列向量，矩阵 AT T ，其中T, T 分别为, 的转置。证明：
（1）r(A)2；（2）若, 线性相关，则 r(A) < 2。