1. 设an ，bn ，cn 均为非负数列，且 lim an0 ， lim bn1， lim cn，则必有 ( )。 n n n A. an bn，对任意 n成立 B. bn cn，对任意 n成立 C. 极限 lim ac不存在 lim bc不存在 nn D.极限 nn n n 2. 从 lim f(x) 1不能推出 ( )。 xx 0 A. f(x0  0) 1 B. f(x0  0) 1 C. f(x0) 1 D. lim[ f(x) 1]  0 xx 0 3. lim f(x) 1是 lim f(x) 1的 ( )。 x2 x2 A. 必要条件 B.充分条件 C. 充要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 当 x 时， π arctan x( )。 A. 趋于 0 B.趋于  C.是有界变量 D. 是无界变量 5. 函数 f(x) xsin 1 在点 x＝0处 ( )。 A. 有定义且有极限 B.无定义但有极限 C. 有定义但无极限 D.无定义且无极限 6. 当 0 时，函数 ()  21 1 的极限是 ( )。 2 x 1 x x fx x 2 1 A.1 B. 1 C.0 D.不存在且不是无穷大 1 x 7. 当 x fx 21 1 的极限是 ( 时，函数 ()  )。 x 2 1 A.1 B. 1 C.0 D.不存在且不是无穷大 8. 若 f(x)  k, 其中 k是常数，当 xx0 时, ，则 lim fx。 0 ()  xx 0   9. 已知数列xn  222 2 ( n重根号)，则 lim x 。  n n     10. 函数 f(x)在点 x0 处左、右极限存在且相等是 f(x)在点 x0 处极限存在的条件。 二、计算题 1. 求 lim n2  4n 2 3 。 2.求 lim 5x23 3x 2 。 n x 2n 7x x5 3. 求 lim n2  2nn 。 4.求 lim 1 1 x  1 2 x2 。    n x1 x 5. 设 ()  ax b ,  0, 求 f(0 0) ， f(0 0) ; 若 lim f(x) 1 fx e,  xx≤0, x0, 求 b。  12 n 1 2  an aa 6. 求 lim  2n2  2n2  2n2  。 7.求 lim 1bb2 bn( 1)。 a 1, b n n 8. 求 lim x 22 3x 2 。 9.求 lim 2  x 2 。 x1 x 4x 3 x23x 3 3 10. 求 lim ( x2  x1  x2  x1) 。 x 11.若 lim  xx 2  11  ax b   0 ，求 a， b的值。 x  12. 当 x1 时，讨论函数 fx x1 () x1 的极限是否存在？ 三、证明题设 P(x)是多项式函数，且 lim P(x)2  x3  2, lim P(x) 1。证明 P(x) x3  2x2  x。 x x0 x x 一、选择与填空题 1. 当 x 0 时， xk与 xx2  x3 是等价无穷小，则 k ( )。 A.0 B.1 C.2 D.3 2. 若当x0  x，() 时，下列表示式中哪一个不一定是无 x时，() x都是无穷小，则当x x0 穷小 ( )。 A. () x () x B. 2()x2() C. 　 () x ()  D. 2() x ln 1  xx () x 3. 当 x0 时，函数 ex2 cos x是 x2 的 ( )。 A. 高阶无穷小 B.低阶无穷小 C. 同阶但不等价无穷小 D.等价无穷小 4. 函数 f(x)在点 x0 处有定义是 f(x)在点 x0 处连续的 ( )。 A. 必要但不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 5. 下列结论正确的是 ( )。 A. 若 f(x)在点 x0处有定义且极限存在，则 f(x)在 x0处必连续 B. 若 f(x)在点 0处连续， g(x) 在点 x0处不连续，则 f()xg() 在点 x0处必不连续 C. 若 f(x)与 g(x) 在点 x0处都不连续，则 f()xgx在点 x0 () 处必不连续 D. 若 f(x)在点 0处连续， g(x) 在点 x0处不连续，则 f()xg() 在点 x0处必不连续 xx xx sin 2 x 6. 函数 ()  x , x 0, 在分段点 x 0 处 ( )。 fx x 2, x 0  A. 有定义且极限存在 B.无定义且极限不存在 C. 极限存在且连续 D.极限存在但不连续 2 7. 函数 fx()  x 2  x 1  12 的无穷间断点的个数为 ( )。 x1 x A.0 B.1 C.2 D.3 8. lim 4 n3 cos n!  。 n 9n2015  11  9. lim  xsin  sin x 。 x0  xx  xcx 10. 若 lim   2 4 ，则 c 。 x xc 11.若 f(x)在 x1处连续，且 lim f(x  )  12 1，则 f(1) 。 x1 x 二、计算题 21 2 xsin 2 1. 求 lim x。 2.求 lim  x 2 1x 。 x0 sin 2 xx  x1 3. 求 lim tan xsin xx 。 4.求 lim(1 3tan2 x)cot x。 x0 x0 xarcsin x(e 1) 5. 求 lim n 21  21  21   。 n  n1 n 2 nn   1  6. 求 lim  2e 4 xx  sin x 。 x0  ||  x 1e   ln x 7. 求函数 f(x)  x2  5x  6 的间断点, 并判断间断点的类型。  12x 1 arcsin ax   , x  0,  x 2x 8. 已知函数 ()    2,  x  0 ，求 x在 x 0 fx  f ()处的左、右极限，并讨论要使函1cos ax ln(1 bx)  2  , x  0, xx  数 f ()在 x , x0 处连续, ab应取何值。 三、证明题已知函数 f(x) 在[0,2a] 上连续，且 f (0) f (2a) 。证明：在[0,a] 上至少存在一点 x，使 f (x) f (x  a) 。 1. f(x) 在 x0处可导是 f(x) 在 x0处连续的 ( )。 A. 必要非充分条件 B.充分非必要条件 C. 充分必要条件 D.无关条件 2. f(x) 在 x0处的左、右导数都存在且相等是 f(x) 在点 x0处可导的 ( )。 A. 必要非充分条件 B.充分非必要条件 C. 充分必要条件 D.无关条件 3. 设 f(x) 对任意 x满足等式 f (1x)  af (x) ，且有 f (0) b ，其中 a,b为非零常数，则 ( )。 A. f(x) 在 x 1处不可导 B. f(x) 在 x 1处可导，且 f (1)  a C. f(x) 在 x 1处可导，且 f (1)  b D. f(x) 在 x 1处可导，且 f (1)  ab 4. 在函数 f(x) 和 g(x)的定义域上的一点 x0，下述说法正确的是 ( )。 A. f(x) ，g(x)至少其一不可导，则 f (x) g(x) 不可导 B. f(x) ，g(x)均不可导时必有 f (x) g(x) 不可导 C. f(x) ，g(x)只有其一不可导，则 f(x)g(x) 必不可导 D. f(x) ，g(x)均不可导时， f(x)g(x) 有可能可导 5. 设 f(x), g(x) 均在 (,) 内可导，且 f(x)g(x)  1，则 ff  (( xx ))  gg  (( xx ))  ( )。 A.0 B.1 C. 1 D.不能确定 6. 设 f(x) 是可导函数，且 lim f (1)  f (1 x) 1，则曲线 y f (x) 在点 (1, f(1)) 处的切线斜 x02x 率为 ( )。 A.–1 B.–2 C.1 D.2 7. 设 f(x) 在 x0处可导，则 lim f (x0  h)  f (x0  h)  。 h0h 8. 曲线 y x  ln x 在点处具有水平切线。 9. 设 y  arctan(2 ) ln 3 ，则 。 xy 10. 已知 y (), () 为可导函数，则 y。 fx3fx 二、计算题 1. 求函数 f (x) xx 在 x 0 处的导数。 2. 设 f (x)  x(x 1)(x  2)(x  n) ，求 f (0)。 3. 设(x)在 x a 处连续， f (x) (x  a)(x) ，求 f (a) 。 4. 设 y x ln x  1 x ，求 dd yx 。 5.设 y 4xx ，求 y。 x1 6. 设 yxarctan xln aa xx , 求 y。 7.设 ysec 2 3x，求 y。 8. 设 yarcsin 2 x  3 ，求 y。 9.设 y(cot x)x，求 y。 10.设方程 exyy2 cos x确定 y是 x的函数，求 dy。 dx 11. 在下列各题中，设 f(u)为可导函数，求 ddyx。 (1) yf(sin 2 x) sin 2 fx 。 (2) x fx () yf(e)e () 。 12. 设 f(1 x)e x且 f(x)可导，求 f(x)。  x x 13. 求曲线 yt 13 t2, 在 t2 处的切线和法线方程。   三、证明题 1 x 1   证明：函数 ()  x , x0, 在点 x0 处连续，但不可导。 fx  0, x≤0 1. 设 f(x)在 (,) 内为奇函数且在 (0,) 内有 f(x) 0, f (x) 0 ，则 f(x)在 (,0) 内满足( )。 A. f(x) 0 且 f(x) 0 B. f(x) 0 且 f(x) 0 C. f(x) 0 且 f(x) 0 D. f(x) 0 且 f (x) 0 2. 已知函数 f() f()x x2 ，则当 n为大于 2 的正整数时 , x具有任意阶导数，且  f() f()() )。 n x( 1 12n 2n nfx nfx  fx !() A. () n B. ! ()n C. ()D. nfx  3. 设 yf(u) 是可微函数， u是 x的可微函数，则 dy( )。 A. ()dx B. fuu C. fux D. () d fuu  fuuu ()d ()d  4. f(x)在点 x0 处可导是 f(x)在点 x0 处可微的 ( )。 A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 5. 如果函数 yf(x) 在点 x0处可微，则 dy( )。 A. 与 x无关 B.为 x的线性函数 时是 的高阶无穷小x C. 当 x 0 x D.当 0 时是 x的等价无穷小 6. 设函数 f(x)在点 x0 处可微， x是自变量在 x0 处的改变量， y是函数相应的改变量，则当 x 0 )。 时，( A. ydy与 x是等价无穷小量 B. ydy与 x是同阶但非等价无穷小量 C. ydy是比 x较高阶的无穷小量 D. ydy是比 x较低阶的无穷小量 7. 设 yxnex，则 y(n1) (  )。 x xx A. (n1)! eB. (n1)! neC. e D.0 8. 设 ycos x2 ，则 dd yx ； d(d xy 2) ； ddx 2 y 2 。 二、计算题 1. 设 yln cosx，求 y。 2. 设 yecsc2 x，求 dy。 11  3. 设函数 yf(x) 可导，且 f(x)  2  ，求 df。 x 1 x  4. 已知 yxln(sin 3 ) ，求 dy。 x 5. 设函数 (3 1 ，求二阶导数 ddx2 y 2 。 yx 1) ax2  bx  c, x  0, 6. 函数 () ln(1 x), x ≥0 在点 x  0处有二阶导数，试确定参数 , 的值。 fx a,bc  7. 已知 y () ， f ()二阶可导，求 y， y。  fx2x  x  ln(1 t2), dy d2 y 8. 设 y y(x) 由参数方程  yt arctan t 所确定，求 d 及 dx2 。  x  9. 设 y f () 是由方程 x3  y3  6x  3y 0 x 所确定的隐函数，求 y及 y x 2 。 x 2 (24) 10. 设 y  e(x 1) ，求 y 。 11.计算 6 65的近似值。1. 设 y f(x)在 (a,b) 内可导， x,x Δx是 (a,b) 内的任意两点，则 ( )。 A. Δ ()Δ y fxx Δx yf  B. 在 x, x之间恰有一点，使 Δ  ()Δx Δx yf  C. 在 x, x之间至少存在一点，使 Δ  ()Δx Δx yf  D. 在 x, x之间的任一点，均有 Δ  ()Δx 2. 下列条件不能使 f(x)在[a,b]上应用拉格朗日中值定理的是 ( )。 A. 在[a,b]上连续，在 (a,b) 内可导 B.在[a,b]上可导 C. 在 (a,b) 内可导，且在 a点右连续，b点左连续 D.在(a,b) 内有连续的导数 3. y lnsinx在闭区间  π ,5π 上满足罗尔定理的全部条件，则使定理结论成立的 66   ( )。 π 2π 5ππ A. B. C. D. 2 366 4. 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( )。 A. f(x)  23  ，[1,1] B. f() xxex ，[0,1] 2x 1 x 2, x1, C. ()  1, x≥1, [1,1] D. f(x)| x| ，[1, 1] fx  5. 函数 f()x ln (1 x) ］上满足拉格朗日定理中的数值是 ( 在［0， e1 )。 A. e B. e1C. e2 D.1 6. 下列极限能用洛必达法则求出的是 ( )。 1 sin 4x1 x ln x x A. lim 2 B. lim C. lim D. x1 x 3x 4 x xln xx x20sin xeeelimxxxxxe 7. 设 () (x1)( x2)( x3) ，则方程 fx() 0 有__________个实根。 fx  二、计算题 1cos π 1. 求 lim xsin x。 2.求 lim  x。 x0 x3 x1 x2  2x1 3. 求 lim ln(1 3x 42) 。 4.求　lim x2 ln x。 x ln(3 x) x0 5. 求 lim ln x。 6.若 lim 1  a0 ，求数 a。 x0cot x x 20sin2exaxx 三、计算下列极限 πx  csc x cos 3 x 1. lim(1 x) tan 2 。 2. lim  4x  4xsin x  。 x1 x0   3. lim ex sin x21 。 4 lim (cot x)sin x。 x0 (arcsin x) x0 1 5. lim (cos x) x。 6. lim 2cosπxtan 。 x0 xx 2 四、证明题 1. 设 f(x)在[0,1]上连续，在 (0,1)内可导，且 f(0)  1， f(1) 1 。证明：存在 (0,1)，使 e 得 f()   e 。 2. 设 f(x)是[a,b]上的正值可微函数。证明：存在(a,b) ，使得 ln ff((ba ))  ff  (( )) (b a) 。 3. 设 f(x)在[, ab)，在( a, b)内可导。证明：存在一点 (,) ab]上连续(0  ab，使得 2[ () fb fa ( )]  (b2 af 2) () 。  