第
3章
恒定电场的基本原理

本章提示
本章讨论恒定电场。电荷有规则运动形成电流，据此定义电流和电流密度。根据维持恒定电流的条件，引出电源的电动势和局外电场强度概念； 介绍欧姆定律的微分形式，由电荷守恒原理导出恒定电场的电流连续性定理，从而得到恒定电场流的基本方程和辅助方程。根据基本方程的积分形式导出恒定电场的导电媒质分界面衔接条件。最后介绍恒定电流场边值问题。本章重点掌握电流密度的定义和恒定电流场的基本性质； 学会将恒定电流场表述为边值问题。
3．1电流密度与欧姆定律微分形式
1． 电流与电流密度

电荷的有规则运动形成电流。导电媒质中的电流称为传导电流。不导电空间电荷运动形成的电流(如真空器件和粒子加速器中的电流)称为运流电流。不随时间变化的电流是恒定电流。维持恒定电流的电场称为恒定电场。
将单位时间内穿过某个面积S的电荷量定义为穿过该面积的电流，用I表示： 

I=limΔt→0ΔqΔt=dqdt(311)

电流的单位是A(安［培］)。1A＝1C/s。
假如电荷在体积中运动，形成体电流，密度为ρ的体电荷以速度v运动形成体电流密度J，定义J=ρv。如图311 所示，dS0=db0dh0，它是垂直于v方向的面积元，显然

J=ρv=ρdldt=ρdS0dldtdS0=ρdVdtdS0=dqdtdS0=dIdS0(312)

式中，dI是穿过dS0的电流。因此，体电流密度就是垂直于电荷运动方向单位面积上通过的电流,其方向与体电荷运动方向一致。


图311体电流密度

计算模型 

如图312所示，体积中穿过某个截面S的电流I可由下式计算：

I=SJdS0=SJcosαdS=SJ·endS=SJ·dS(313) 

式中，en是S法线方向的单位矢量。
穿过面积S的电流就是电流密度J在该面积上的通量。


如果体积的厚度可以忽略，可以认为电荷在面上运动，形成面电流。密度为σ的面电荷以速度v运动，形成面电流密度K，定义K=σv。如图313所示，db0是垂直于v方向的线段元，显然

K=σv=σdldt=σdb0dldtdb0=σdSdtdb0=dqdtdb0=dIdb0(314)

式中，dI为穿过db0的电流。因此，面电流密度就是垂直于电荷运动方向单位宽度上通过的电流,其方向与面电荷运动方向一致。


◆
工程电磁场（第3版）






第3章恒定电场的基本原理

◆

如图314所示，面上横穿某一线段b的电流I可由下式计算：

I=∫bKdb0=∫bKcosβdb

=∫bK·endb(315)

式中，en是与db垂直方向的单位矢量。 



图312体电流计算模型




图313面电流密度计算模型




图314面电流计算模型


如果面的宽度可以忽略，则可以认为电流在线上运动，形成线电流。线上的电流，其运动方向由线的走向完全限定，因此只需要确定其大小，密度为τ的线电荷以速度v沿线运动形成线电流I，定义I=τv。如图315所示，有

I=τv=τdldt=τdldt=dqdt (316)

线电流就是线的截面上通过的电流，这里线的截面积忽略不计。


图315线电流计算模型

以上通过运动电荷定义了电流，对应体电荷、面电荷和线电荷，抽象出了体电流、面电流和线电流模型。
从宏观角度考虑，体电流具有普遍性。面电流和线电流是体电流在几何上的极限情况。体电流密度是恒定电场的基本场矢量之一。
2． 电流密度与电场强度的关系
在普通导电媒质中，只有存在电场力的作用，电荷才能作有规则的运动。例如在金属导体中正离子点阵之间充满自由电子。正离子只能围绕各自点阵振动。自由电子作定向运动时会受到正离子点阵的阻碍。因此要维持自由电子的规则运动形成传导电流，必须有电场力作用于自由电子上，以克服其在运动中受到的阻力。也就是说，要维持恒定电流，导电媒质中必须有电场强度。电场强度也是恒定电场的基本场矢量。
根据有关导电理论和实验，对于大多数导电媒质，其中的电流密度与电场强度的关系可表示为

J=γE(317)

式中，γ称为导电媒质的电导率，单位是S/m(西［门子］/米)。如果γ≠0，式（317）也可表示为

E=1γJ=ρRJ(318)

式中，ρR称为导电媒质的电阻率，单位是Ω·m(欧［姆］·米)。可见γ与ρR互为倒数。式(317)称为欧姆定律的微分形式，是导电媒质中恒定电场的辅助方程。
如果γ不随电场强度方向改变而变化，则称导电媒质为各向同性媒质。若γ不随电场强度和电流密度量值改变而变化，则称导电媒质为线性媒质。若媒质中γ处处相等，则称导电媒质为均匀媒质。表311给出了部分材料的电导率。
许多导电媒质的电导率和电阻率随温度改变而变化。如金属导体的电导率γ随温度降低而增大，有些金属或化合物在温度降到某一临界数值后，γ→∞，变为超导体，这时式(317)不再适用。电导率为无穷大是超导体的特性之一，超导体同时还具有其他特殊的电磁性质。


表311部分材料的电导率(室温下)



材料名称
电导率γ/(S/m)
材料名称
电导率γ/(S/m)
银
6．17×107

碳钢
0．6×107
铜
5．80×107
不锈钢
0．11×107
金
4．10×107
石墨
7×104
铝
3．82×107
黏土
5×10－3
黄铜
1．5×107
砂土
10－5
铁
1．03×107
石蜡
10－15
3．2恒定电场的基本方程
1． 局外场

要维持导电媒质中的恒定电流，就必须有恒定的电场强度。
在电场的作用下，正电荷沿电场强度方向运动(或负电荷沿电场强度相反方向运动)。由电荷产生的电场称为库仑电场。在一个闭合回路中库仑电场的电场强度EC的闭合线积分为零。电荷在整个闭合回路中运动所受库仑电场的作用力做功有正有负，代数和为0。考虑到运动电荷在导电媒质中运动受到的阻力(超导体除外)，仅靠电荷产生的库仑电场就不能维持恒定的电流。因此，要维持恒定电流，电荷在沿闭合回路运动时，还必须受到局外力的作用。作用在电荷上的局外力等效为电场力，叫作局外电场力，记为fe。把作用于单位电荷上的局外电场力定义为局外电场强度，记为Ee,即

Ee=limqt→0feqt(321)

式中，qt为试验电荷的电荷量。
提供局外力的装置就是电源。在电源中，其他形式的能量(如化学能、机械能和光能等)转换为电能，形成局外电场。在整个闭合回路中，电能又转换为别的形式的能量。
2． 电动势
图321 是一个典型的导电回路，灰色部分为导电媒质，白色部分为电源。


图321导电回路中的恒定电场

为了衡量电源将其他能量转换为电能的能力，我们把单位正电荷从电源负极运动到正极时局外力所做的功定义为电源的电动势，用e表示，即

e=∫abEe·dl(322)


在电源中，除局外电场外，也存在库仑电场,总的电场强度ET=EC+Ee。在电源以外的其他区域，只存在库仑电场,总的电场强度ET=EC。
沿整个回路对总的电场强度ET进行闭合线积分，若l为经过电源的闭合曲线，则

∮lET·dl=∮lEC·dl+∮lEe·dl=∫abEe·dl=e(323)

可见如果积分路径经过电源，则电场强度的闭合线积分等于电源的电动势。
只考虑电源以外的空间，则只存在库仑电场，ET=EC，若l为不经过电源的闭合曲线，则

∮lET·dl=∮lEC·dl=0(324)

这是恒定电场的基本方程之一，应用斯托克斯定理，可得其微分形式为

×E=0(325)

即电源以外的恒定电场是无旋场。
3． 电流连续性
根据电荷守恒原理，自然界中电荷量是守恒的。给定任意闭合面，设闭合面内的电荷量为q，空间的电流密度为J，则

SJ·dS=－qt(326)

等式左边是单位时间从闭合面流出的电荷量，等式右侧为单位时间闭合面内减少的电荷量。式（326）为电流连续性方程的积分形式。
应用散度定理

SJ·dS=V·JdV(327)

考虑电荷体密度为ρ，有

q=VρdV(328)

电流连续性方程可表述为

V·JdV=－tVρdV=－VρtdV(329)

式（329）对任意体积V都成立，因此必有

·J=－ρt(3210)

这就是电流连续性方程的微分形式。
对于恒定电场，电荷的分布不随时间变化，即ρt=0,qt=0。由此得恒定电场的电流连续性方程

·J=0(3211)
SJ·dS=0(3212)


上式适合于电源和电源以外恒定电场的任何导电媒质区域。电流连续即电流密度的散度为零，说明恒定电流场是无散场，场内任一点不产生电流密度线，也不终止电流密度线。电流密度线处处连续。
4． 恒定电场的基本方程及辅助方程
综上所述，在电源以外的导电媒质中，恒定电场的基本方程的微分形式为

·J=0，×E=0(3213)

积分形式为 

SJ·dS=0，∮lE·dl=0(3214)

辅助方程为

J=γE(3215)


顺便指出，辅助方程在电源内部也成立，这时ET=EC+Ee，J=γEC+Ee。
根据电源以外恒定电场的无旋性，可由E=－φ定义标量电位φ，代入基本方程和辅助方程，得

－·γφ=0(3216)

在均匀媒质中，得电位的基本方程

－γ2φ=0(3217)

电源以外空间恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
电源以外空间(包括导电媒质)的恒定电场是由电荷产生的库仑电场，空间电场也应满足高斯通量定理和相关辅助方程

SD·dS=q，·D=ρ，D=εE(3218)

5． 不均匀导电媒质内部积累电荷
在恒定电场建立过程中，当导电媒质不均匀时，其内部积累自由电荷。达到恒定状态时，设电荷体密度为ρ，由·J=·γE=γ·E+γ·E=0,得

·E=－γ·Eγ(3219)
ρ=·D=·εE=ε·E+ε·E=－εγγ·E+ε·E

=ε－εγγ·E=εγ－εγγ2·γE=εγ·J(3220)


式（3220）说明积累自由电荷的体密度与ε/γ的空间变化有关。对于均匀导电媒质，ε和γ都是空间的常数，因此，ρ=0。
例321在均匀恒定电流场中，电流密度为1，沿x方向。在x从0到1的区域，媒质的电导率从1均匀增加到2，介电常数保持ε0不变，试求自由电荷体密度。
解根据电流连续性，整个区域电流密度不随x变化，由E=1γJ，γ=1+x，得E=11+xex，D=ε01+xex。计算自由电荷体密度： 

ρ=·D=xε01+x=－ε0(1+x)2


图322画出了电位移矢量分布情况，随着x的增大，电位移矢量数值变小，说明有负值的自由体电荷。


图322不均匀导电媒质中的电位移矢量


6． 利用电流连续性定理积分形式解对称恒定电场
结构具有球对称、无限长轴对称和无穷大平面对称的恒定电流场，可以利用电流连续性定理的积分形式直接求解。
例如，深埋地下的球形接地极，流入土壤的电流分布近似(近似程度与电极埋的深度有关)具有球对称性质； 浅埋地表的半球形接地极在地面以下部分也具有球对称性质。


图323深埋球形接地体



深埋于地下的接地体，计算土壤内电流分布时可不考虑地面的作用。如图323所示深埋于地下、半径为a的球形接地体，由于接地体为球对称形状，流入大地的电流也按球对称分布。在接地体之外，作一个球心与接地体球心重合、半径为r的球面，根据电流连续性，从接地线进入接地体的电流应等于接地体表面流入大地的电流，也就是穿过上述球面的电流。设穿过球面的体电流密度为J，则J=Jer，有

SJ·dS=4πr2J=I(3221)
J=Jer=I4πr2er(3222)

土壤的电导率为γ，得电场强度

E=Jγ=I4πγr2er(3223)

从而得电位

φ=∫∞rE·dl=∫∞rI4πγr2dr=I4πγr(3224)


例322已知内外导体电位差为U， 绝缘材料的电导率为γ，求截面如图324所示的同轴电缆的漏电流密度、电场强度、电位。 


图324同轴电缆截面

解设从内导体流出经过绝缘材料流入外导体的漏电流为I，半径为r处的电流密度为

J(r)=I2πrl

电场强度为

E(r)=I2πγrl


电流密度和电场强度方向都与半径方向一致。
内外导体之间的电压

U=∫R2R1Edr=I2πγllnR2R1

得

I=2πγlUlnR2－lnR1

求得

φ(r)=∫R2rEdr=UlnR2－lnrlnR2－lnR1

3．3导电媒质分界面衔接条件
1． 媒质分界面衔接条件

在不同导电媒质的分界面上，存在自由面电荷，也可能存在束缚面电荷，这造成分界面两侧场矢量不连续。这种场矢量的不连续性虽然不会影响积分形式基本方程的应用，却使微分形式的基本方程在不同导电媒质分界面处遇到困难。因此必须研究场矢量的分界面衔接条件。下面根据积分形式的基本方程推导出不同导电媒质分界面处电场强度和电流密度应满足的分界面衔接条件。
首先讨论电场强度E应满足的分界面衔接条件。


图331切向分界面条件计算模型


如图331所示，设分界面法线方向en与坐标轴方向ez一致，以分界面上一点P为起点作两个小矩形闭合曲线l1+l2+l3+l4+l5+l6和l7+l8+l9+l10+l11+l12。将电场强度分量进行泰勒级数展开，最高取到一阶项，根据静电场环量定理积分形式∮lE·dl=0，可以列出如下两个方程： 

－E1zΔz+E1y－E1yzΔzΔy+E1z+E1zyΔyΔz+

E2z+E2zyΔyΔz－E2y+E2yzΔzΔy－E2zΔz=0(331)
E2zΔz+E2x+E2xzΔzΔx－E2z+E2zxΔxΔz-

E1z+E1zxΔxΔz－E1x－E1xzΔzΔx+E1zΔz=0(332)

把抵消的项去掉，再把高阶无穷小项消掉，得

E1yΔy－E2yΔy=0(333)
E2xΔx－E1xΔx=0(334)

因 Δx、Δy均不为零，得

－(E2y－E1y)=0(335)
E2x－E1x=0(336)

过分界面即切向分量连续，即

E2t=E1t(337)

用矢量表示为

 en×E2－E1=0(338)


以上是电场强度应满足的分界面切向衔接条件。电场强度的切向分量连续。式(337)是标量表达形式，式(338)是矢量表达形式。标量形式概念清晰且直观，矢量形式间接但表达严格。注意，这里 en×E1并不是E1t的矢量表达式，而是一个与E1t对应矢量模相同但方向垂直的切向矢量；  en×E2也不是E2t的矢量表达式，而是一个与E2t对应矢量模相同但方向垂直的切向矢量。在一般三维场中，分界面法向比较容易确定，适合用矢量形式。在二维场中，分界面切向也不难确定，推荐用标量形式。
恒定电场电场强度与静电场电场强度满足同样的方程，所以分界面切向衔接条件相同。
接下来讨论电流密度J应满足的分界面衔接条件。


图332法向分界面条件计算模型


如图332所示，设分界面法线方向en与坐标轴方向ez一致，以分界面上一点M为起点作小长方体，长方体表面被分界面分割成10个长方形面，分别是S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7、S8、S9、S10。将电流密度分量进行泰勒级数展开，最高取到一阶项，根据电流连续性定理积分形式SJ·dS=0，可以列出如下方程： 

J2x+J2xxΔxΔyΔz+J2y+J2yyΔyΔzΔx－J2xΔyΔz－J2yΔzΔx+

J1x+J1xxΔxΔyΔz+J1y+J1yyΔyΔzΔx－J1xΔyΔz－J1yΔzΔx+

J2z+J2zzΔzΔxΔy－J1z－J1zzΔzΔxΔy=0(339)

消去抵消部分和高阶无穷小部分，得

J2zΔxΔy－J1zΔxΔy=0(3310)

因ΔxΔy不为零，所以

J2z－J1z=0(3311)

即

J2n－J1n=0(3312)

矢量表示为

en·J2－J1=0(3313)


式(3312)和式(3313)就是电流密度应满足的分界面法向衔接条件。电流密度的法向分量连续。这里矢量形式和标量形式容易理解，不作多余解释。
最后将E=－φ,J=γE代入上述分界面条件，得到电位应满足的分界面衔接条件

φ2=φ1

γ2φ2n=γ1φ1n(3314)


电源以外空间(包括导电媒质)的恒定电场是由电荷产生的库仑电场，空间电场的电位移矢量也应满足相应的分界面衔接条件

en·(D2－D1)=σ(3315)


注意，恒定电场中导电媒质中电场强度不恒为零，这一点与静电场中导体的性质不同。
2．  媒质分界面附近恒定电场分布图
为了更深入理解导电媒质分界面的衔接条件，通过仿真作场图，如图333和图334所示。图中圆形区域内媒质的电导率为圆形区域外媒质电导率的2倍。其中图333表示电场强度，观察可知，跨过分界面电场强度的切向分量保持连续(圆周的左右两点)。从电导率小的媒质到电导率大的媒质跨过分界面，电场强度法向分量由大变小(圆周的上下两点)，反之结论相反。图334表示电流密度矢量，观察可知，跨过分界面电流密度的法向分量保持连续(圆周的上下两点)。从电导率小的媒质到电导率大的媒质跨过分界面，电流密度切向分量由小变大(圆周的左右两点)，反之结论相反。



图333媒质分界面附近电场强度




图334媒质分界面附近电流密度


3． 导电媒质分界面积累自由面电荷
在恒定电场建立过程中，导电媒质分界面上积累自由面电荷。当达到恒定状态时，根据电流连续性，在两种媒质分界面上，有J2n=J1n=Jn。同时还要满足D2n－D1n=σ，即

σ=D2n－D1n(3316)
σ=ε2E2n－ε1E1n=ε2J2nγ2－ε1J1nγ1=ε2γ2－ε1γ1Jn (3317)


若Jn≠0, 只有满足ε2/γ2=ε1/γ1,媒质分界面上才没有自由面电荷。一般情况下不