第1章随机事件及其概率 概率论与数理统计是从数量化的角度研究随机现象及其统计规律性的一门应用数学学科，在自然科学和社会科学中都有着广泛的应用。 本章主要介绍概率论中的基本概念，即随机事件与随机事件的概率，并进一步讨论随机事件的关系与运算以及概率的性质与计算方法。 1.1随机事件及其运算 1.1.1随机试验 自然界与人类的社会活动中的现象一般来说可分为两类： 一类是必然现象，或称确定性现象； 另一类是随机现象，或称不确定性现象。 必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象。只要试验条件不变，试验结果在试验之前是可以预知的。例如，在标准大气压下，将水加热到100℃ ，水必然沸腾； 一枚硬币向上抛起后必然会落地； 直角三角形的斜边边长的平方是两个直角边边长的平方和； 等等，这些现象都是必然现象。 随机现象是指在相同条件下重复试验，所得结果不一定相同的现象，即试验结果是不确定的现象。对这种现象来说，每次试验之前发生哪一种结果是无法预知的。例如，将一枚硬币向上抛起，着地时可能正面向上，也可能反面向上； 向一目标进行射击，可能命中目标，也可能未命中目标； 从一批次品率为10%的产品中随机抽检一件产品，可能是合格品，也可能是次品； 等等，这些现象都是随机现象。 人们经过长期的反复实践，发现随机现象虽然就每次试验来说其结果具有不确定性，但大量重复试验，所得结果却呈现出某种规律性。例如， 掷一枚质量均匀的硬币，当投掷次数很大时，正面和反面出现的次数几乎各占一半； 对一目标进行射击，当射击次数非常多时，就会发现弹孔的分布呈现一定的规律性，即弹孔关于目标的分布略呈对称性，且越靠近目标的弹孔越密集，越远离目标的弹孔越稀疏。 从上述各例可以看到，随机现象也有规律性，其规律性可以在相同条件下的大量重复试验或观察中呈现出来，这种规律性称为随机现象的统计规律性。 1.1.2随机事件 为了研究随机现象的统计规律性，要对随机现象进行试验和观察。 例1.1.1一袋中装有编号为1、2、3、4、5、6的六个球，从袋中任取一个球，观察其编号。 例1.1.2记录一段时间内某城市110接到的报警次数。 例1.1.3从一批灯泡中抽取一个灯泡，测试它的寿命。 上面三个试验有着共同的特点： (1) 试验可以在相同的条件下重复进行； (2) 试验的所有可能出现的结果不止一个，而且试验前是已知的； (3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现。 在概率论中，称具有上述三个特点的试验为随机试验，简称试验，用字母 E表示。 要研究一个随机试验，首先要弄清楚这个试验所有可能的结果，每一个不能再分解的可能出现的结果称为随机试验的基本事件(或称为样本点)，用字母 e表示。 在例1.1.1中，所有可能出现的结果为取出编号分别为1，2，3，4，5，6的球，设 ei={取出i号球}(i=1,2,3,4,5,6)，则基本事件为e1,e2,e3,e4,e5,e6。 在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果(事情)称为试验E的随机事件，简称事件，一般用字母A,B,C,…表示。 显然，基本事件是特殊的随机事件。 在例1.1.1中，设A={所取球的号码大于3}，则A为随机事件，它包含了三个基本事件。 在随机试验中，如果出现随机事件 A中所包含的某个基本事件，那么就称事件 A发生； 否则，称事件A不发生。 1.1.3样本空间 由全体基本事件(样本点)构成的集合称为样本空间，用字母 S表示。 换句话说，样本空间是试验的所有可能出现的结果所组成的集合，这个集合中的元素就是样本点。 在例1.1.1中，样本空间为S={e1，e2，e3，e4，e5，e6 }，也可以写为S={1,2,3,4,5,6}。 在例1.1.2中，样本空间为S={0,1,2,3,…}。 在例1.1.3中，样本空间为S={t|t≥0}。 从以上例子中可以看到，样本空间可以是数集，也可以不是数集； 样本空间可以是有限集，也可以是无限集。 样本空间S是其自身的一个子集，因而也是一个事件。由于样本空间S 包含所有的样本点，因此每次试验必定有S 中的一个样本点出现，即S 必然发生，称S 为必然事件。空集 永远是样本空间的一个子集，因而也是一个事件。由于空集 不包含任意一个样本点，因此每次试验后 必定不发生，称  为不可能事件。必然事件S 和不可能事件  是两个特殊的随机事件。 为了更好地解决问题，往往需要在同一个试验中同时研究几个事件以及它们之间的联系。通过对简单事件的研究来把握复杂事件的规律性，能够更深入地认识事件的本质。下面介绍事件的关系与运算。 在以后的叙述中，为直观起见，用平面的一个矩形域表示样本空间S ，矩形内的每一点表示样本点(基本事件)，并用矩形内的两个圆分别表示事件A 和事件B 。 1.1.4事件的关系与运算 1. 事件的包含与相等 定义1.1.1如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A ，或称事件 A 包含于事件 B ，记作BA 或AB 。 这种关系如图1.1所示。 在例1.1.1中，设A={所取球的号码大于3}，B={所取球的号码大于等于3}，故 AB 。 对任一事件A ，有AS 。 若AB 且BA ，则称A 与B 相等，记作A=B 。 2. 事件的积(或交) 定义1.1.2“事件A 与事件B 同时发生”的事件，称为事件A 与事件B 的积(或积事件)，记作AB 或A∩B 。 A与B 的积如图1.2中的阴影部分所示。 在例1.1.1中，设A={所取球的号码大于3}，B={所取球的号码大于等于3}，C={所取球的号码小于5}，有AB=A， AC={4}。 一般地，称“事件A1，A2,…，An 同时发生”的事件为 A1，A2,…，An 的积，记作A1A2…An 或 ∩ni=1Ai。 3. 事件的和(或并) 定义1.1.3“事件A 与事件B 中至少有一个发生”的事件，称为事件A 与事件B 的和(或和事件)，记作A∪B 。 A与B 的和如图1.3中的阴影部分所示。 在例1.1.1中，设A={所取球的号码大于3}，B={所取球的号码大于等于3}，C={所取球的号码小于5}，有 A∪B，A∪C=S。 一般地，称“事件A1，A2，…，An 中至少有一个发生”的事件为A1，A2，…，An 的和，记作A1∪A2∪…∪An或 ∪ni=1Ai。 图1.1AB 图1.2A∩B 图1.3A∪B 4. 事件的差 定义1.1.4“事件A 发生而事件B 不发生”的事件，称为事件A 与事件B 的差，记作A-B 。 A与 B 的差如图1.4中的阴影部分所示。 在例1.1.1中，设A={所取球的号码大于3}，B={所取球的号码大于等于3}， A-B=，B-A={3}。 对任意事件A ，A-A= ，A-=A ，A-S=。 5. 互不相容事件 定义1.1.5如果事件A 与事件B 不能同时发生，即AB= ，则称事件A 与事件B 为互不相容事件(或互斥事件)。 A与B互不相容，如图1.5所示。 在例1.1.1中，设A={所取球的号码大于3}，D={所取球的号码小于2}，则A与D为互不相容事件。 如果A1,A2,…,An 中的任意两个事件是互不相容的，则称A1，A2，…，An 是两两互不相容(两两互斥)的。 6. 对立事件 定义1.1.6如果事件A 与事件B 必有一个发生且仅有一个发生，即A∪B=S ，AB= ，则称事件A 与事件B 互为对立事件(或称A 与B互逆)，记作A= 或B=。 A的对立事件 如图1.6中的阴影部分所示。 图1.4A-B 图1.5AB= 图1.6 在例1.1.1中，设A={所取球的号码大于3}，则 ={所取球的号码小于等于3}。 此外，显然有 =A，A-B=A。 随机事件可以看作样本空间S 的子集，事件之间的关系与运算和集合论中集合之间的关系与运算是完全一致的，因此事件之间的关系与运算具有下列性质。 1.1.5事件的运算规律 1. 交换律 A∪B=B∪A； AB=BA。 2. 结合律 A∪(B∪C)=(A∪B)∪C； A(BC)=(AB)C 。 3. 分配律 A（B∪C）=AB∪AC； A∪（BC）=（A∪B）（A∪C）。 4. 对偶律 A∪B=； AB=∪ 。 对偶律(又称德摩根法则)在事件的运算中经常用到，可以推广到多个事件的情况，即对于 n 个事件 Ai(i=1，2，…，n) 有 A1∪A2∪…∪An=12…n； A1A2…An=1∪2∪…∪n。 例1.1.4从一批产品中每次取出一件产品进行检验(每次取出的产品不放回)，事件Ai 表示第i 次取到合格品（i=1，2，3） 。试用事件的运算表示下列事件： (1) 三次都取到合格品； (2) 三次中至少有一次取到合格品； (3) 三次中恰有两次取到合格品； (4) 三次中最多有一次取到合格品； (5) 三次取到的都是不合格品； (6) 三次取到的不都是合格品。 解(1) {三次都取到合格品}=A1A2A3； (2) {三次中至少有一次取到合格品}=A1∪A2∪A3 ； (3) {三次中恰有两次取到合格品}= 1A2A3∪ A12A3∪A1A23； (4) {三次中最多有一次取到合格品}= 12∪13∪23； (5) {三次取到的都是不合格品}=123 ； (6) {三次取到的不都是合格品}= A1A2A3 。 1.2频率与概率 研究随机试验，不仅要知道它在一定条件下可能出现的结果，更重要的是要知道各种结果发生的可能性大小。表示随机事件发生可能性大小的度量，是下面要研究的事件的频率与概率，它反映了随机现象的统计规律性。 1.2.1事件的频率 定义1.2.1设随机事件A 在相同条件下的n 次试验中发生了m 次，则称比值 mn 为这n 次试验中事件A 发生的频率，记作 fn(A)=mn 。 由定义易见频率具有以下性质： (1) 0≤fn(A)≤1； (2) fn(S)=1； (3) 若n 个事件A1，A2，…，An 两两互不相容，则 fn(A1∪A2∪…∪An)=fn(A1)+fn(A2)+…+fn(An) 。 人们经过长期的实践发现，虽然一个随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，但是在大量重复试验中这个事件发生的频率却具有稳定性。例如，历史上有很多人做“上抛一枚均匀硬币”的随机试验，并得到了许多数据，表1.1列出了其中四组。 表1.1 试验者试验次数n出现正面的次数m 出现正面的频率fn(A) 蒲丰404020480.5069 K.皮尔逊1200060190.5016 K.皮尔逊24000120120.5005 维尼30000149940.4998 从这四组数据可以看出，当试验次数n 较大时，频率fn(A) 的值在0.5附近，并且随着n 的增大它逐渐稳定到0.5这个数值上。因而，数值0.5的确表示了抛起一枚均匀硬币时出现正面这一事件发生的可能性的大小。 频率的这种稳定性就是对随机事件统计规律性的反映。 1.2.2概率的统计定义 定义1.2.2在一个随机试验中，如果随着随机试验次数 n的增大，事件A 出现的频率fn(A) 在某个常数p 附近摆动并逐渐稳定于p ，则称p为事件A的概率，记为 P(A)=p 。这个定义称为概率的统计定义。 由概率的统计定义和频率的性质，可得到概率的性质： (1) 对于任意一个事件A，0≤P(A)≤1； (2) P(S)=1； (3) 若n 个事件A1，A2，…，An 两两互不相容，则 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P（An） 。 1.2.3概率的公理化定义 概率的统计定义显然更适合一般情况，但是在进行理论研究时，不可能对每一个事件都通过做大量的试验来找出频率的稳定性。因此，为了理论分析和实际计算的需要，采用抽象化的方法给出概率的公理化定义。 定义1.2.3设 E 是一项随机试验， S 是它的样本空间，对于E 的任意一个事件A ，有一个实数P(A) 与之对应，如果P(A) 满足以下三个条件： (1) 非负性，对于任意一个事件A，0≤P(A)≤1； (2) 规范性，P(S)=1； (3) 可列可加性，当可列无限个事件A1，A2，… 两两互不相容时， P（A1∪A2∪…）=P（A1）+P（A2）+…， 则称P（A）为事件A的概率。 下面从定义1.2.3出发，推导概率的一些重要性质。 性质1P（）=0。 证令Ai=(i=1，2，…） ，则∪∞i=1Ai=， 且AiAj=(i≠j，i，j=1，2，…) 。由可列可加性得 P（）=P∪∞i=1Ai =∑∞i=1P(Ai)= ∑∞i=1P() 。 由非负性知，P()≥0 ，因此，要使上式成立，必有P()=0。 性质2(有限可加性)设n 个事件A1，A2，…，An 两两互不相容，则 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 。 证令Ai=(i=n+1，n+2，…)，由可列可加性及性质1可得： P（A1∪A2∪…∪An）=P(A1∪A2∪…∪An∪∪…) =P(A1)+P(A2)+…+P(An)+P()+… =P(A1)+P(A2)+…+P(An)。 性质3(逆事件的概率)对于任意一个事件A ，有 p()=1-P(A)。 证因A, 互不相容，由性质2得 P(A∪)=P(A)+P() 。 又因A∪=S ，故P(A∪)=1 ，于是可得 P()=1-P(A)。 性质4若AB ，则P（A）≤P（B） ，且有 P（B-A）=P（B）-P（A）。 证因AB ，故 B=A+（B-A）， 其中，A 与B-A 互不相容(见图1.7)，由性质2得 P（B）=P（A）+P（B-A）。 故得 P（B-A）=P（B）-P（A）。 因为P（B-A）≥0 ，所以由上式可得 P（A）≤P（B） 。 推论设A，B为任意两个事件，则 P（A-B）=P（A）-P（AB）。 性质5(加法公式)对于任意两个事件A，B有 P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）。 证因A∪B=A∪(B-AB)，A 与(B-AB) 互不相容(见图1.8)，由性质2得 P(A∪B)=P(A)+P(B-AB)。 又因ABB ，故由性质4得 P(B-AB)=P(B)-P(AB)， 从而得到 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 。 图1.7 图1.8 性质5可以推广到任意n个事件上。 当n=3时，有 P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1A2）-P（A1A3） -P（A2A3）+P（A1A2A3）。 一般地，设A1，A2，…，An 为n 个事件，则 P（A1∪A2∪…∪An)= ∑ni=1P(Ai)- ∑1≤i