第3章李雅普诺夫稳定性理论
控制系统最重要的特性是稳定性，一个不稳定的控制系统不但无法完成预期控制任务，而且还存在一定的潜在危险性。因此，如何判定一个控制系统是否稳定及怎样改善其稳定性是系统分析和设计的一个重要问题。稳定性指的是，如果一个系统在靠近其期望工作点的某处开始运动，且总是能保持在期望工作点附近运行，那么就称该系统是稳定的。通常用单摆的两个平衡点(垂直位置的顶端和底端)附近开始的运动来说明一个动态系统的不稳定性和稳定性。在经典控制理论中，对于传递函数描述的单输入单输出线性定常系统，可以应用劳斯(Routh)判据和赫尔维茨(Hurwitz)判据等代数方法判断系统的稳定性，且非常方便有效； 至于频域中的奈奎斯特(Nyquist)判据则是更为通用的方法，它不仅用于判定系统是否稳定，而且还能指明改善系统稳定性的方向。上述方法都是以分析系统的特征根在复平面上的分布为基础。但对于非线性系统和时变系统，这些稳定性判据就不适用了。早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性的问题归纳为两种方法(间接法和直接法)，这两种方法已成为研究非线性控制系统稳定性的最有效且较实用的方法。李雅普诺夫关于稳定性的开拓性著作在其发表后的几十年中，在俄国之外并没有引起足够的重视。直到20世纪60年代初，鲁里叶(Lur’e)、拉萨尔(La Salle)与莱夫谢茨(Lefschetz)合著的专著才使李雅普诺夫稳定性理论受到控制工程界的极大关注，并对李雅普诺夫稳定性方法提出了许多改进方法。另外，对于一些特殊的非线性系统，也可以应用小增益定理和绝对稳定性理论判断系统的稳定性。目前的李雅普诺夫稳定性理论已成为非线性系统分析和设计的最重要工具。同时，在现代控制理论的许多方面，如最优系统设计、智能控制、最优估计、自适应控制系统和滑动模态变结构控制系统设计等方面，李雅普诺夫稳定性理论都有广泛的应用。
本章主要阐述稳定性理论和分析方法，具体内容安排如下： 3.1节介绍非线性系统和平衡点的基本概念，3.2节描述各种稳定性的概念和关系以表征系统特性的不同方面，3.3节介绍李雅普诺夫间接法(近似线性化法)，3.4节描述直接法的基本原理和几个常用定理，3.5节介绍局部不变集和全局不变集定理，3.6节介绍巴巴拉特引理及应用巴巴拉特引理进行稳定性分析，3.7节为不稳定性定理，3.8节介绍线性系统的李雅普诺夫稳定性，3.9节为基于李雅普诺夫直接法的非线性系统分析与设计，最后对本章内容进行小结。
3.1非线性系统与平衡点
在深入讨论稳定性的定义和如何确定系统的稳定性之前，首先给出一些相关的概念及其定义。
3.1.1非线性系统
一个非线性动力学系统通常可以用下面的非线性微分方程描述： 

x·=f(x,t)(3.1)

式中，x=［x1,x2,…,xn］T∈Rn，为n×1维状态向量； f为与x同维的非线性矢量函数，其变量为x和时间t∈R。
状态向量的一个特定值称为一个点，因为它对应于状态空间的一个点。状态数n称为系统的阶。
根据微分方程理论可知，如果向量函数f(x,t)在Rn+1上的某个开邻域D内关于t连续，且在D中的任意有界闭集BD内对x满足局部利普希茨条件，即存在常数kBD>0，对于任意x(t1),x(t2)∈BDD，使得

‖f(x(t1),t)－f(x(t2),t)‖≤kBD‖x(t1)－x(t2)‖

那么，对于任意初始条件x(t0)=x0,(x0,t0)∈D，非线性系统（式(3.1)）的一个解x(t)=Φ(t,t0,x0)在［t0,∞)上有定义且是连续的。它对应于t从t0变化到无穷大时的一条曲线，就像当n=2时在相平面中看到的那样。这条曲线通常称为状态轨线或系统轨线。
需要强调的是，虽然式(3.1)并不明显地包含控制输入，但它可以直接用于反馈控制系统。只要把控制输入作为状态x和时间t的函数，它就不再在闭环动态方程中出现，因而式(3.1)可以代表一个反馈控制系统的闭环动态特性。具体来说，如果系统的动态方程为

x·=f(x,u,t)

而且所选择的控制律为

u=g(x,t)

那么闭环系统的动态方程为

x·=f［x,g(x,t),t］

它可以被改写为式(3.1)的形式。当然，式(3.1)也可以表示一个没有控制输入的动态系统，如自由摆动的单摆等。
一类特殊的非线性系统是线性系统，线性系统的动态方程具有下列形式： 

x·=A(t)x

式中，x=［x1,x2,…，xn］T∈Rn，为n×1维状态向量； A(t)为一个n×n矩阵。
3.1.2自治系统和非自治系统
根据系统矩阵A是否随时间变化，线性系统可分为时变系统和定常（时不变）系统。在非线性系统的研究中，定常和时变这两个概念通常被称为自治的和非自治的。
定义3.1如果非线性系统（式(3.1)）的f不显含时间t，即如果系统的状态方程可写为

x·=f(x)(3.2)

则该系统称为自治的； 否则，该系统称为非自治的。
显然，线性时不变(Linear time invariant,LTI)系统是自治的，线性时变(Linear timevarying，LTV)系统是非自治的。
严格地说，所有的物理系统都是非自治的，因为它们的动态特性不可能严格时不变。自治系统是一种理想化的概念，就像线性系统一样。但是，实际中许多系统特征变化常常是缓慢的，在某些情况下，可以忽略它们的时变特性而不会引起本质的差别。必须注意到，对于控制系统来说，上述定义是对闭环动态系统做出的。既然一个控制系统是由一个控制器和一个被控对象(包括传感器和执行机构的动态特性)组成的，那么一个控制系统的非自治特性可能是由被控对象或控制律的时变引起的。特别是当具有动态特性为

x·=f(x,u)

的一个定常的控制对象，如果选择了一个依赖时间t的控制器，即u=g(x,t)，则可以导致一个非自治的闭环系统的产生。例如，简单对象x·=－x+u的闭环系统，如果选择u为非线性和时变的(如u=－x2sint)，那么该系统就能构成非自治非线性系统。事实上，线性定常对象的自适应控制器就往往使闭环控制系统成为非自治非线性系统。
自治系统和非自治系统之间的基本区别是： 自治系统的状态与起始时间无关，而非自治系统通常不是这样。我们将会看到，这种区别要求我们在定义非自治系统的稳定性概念时明显地考虑起始时间，从而使得对非自治系统的分析要比自治系统困难得多。
3.1.3平衡点
定义3.2x(t)一旦处于某个状态xe，且在未来时间内状态永远停留在xe，那么状态xe称为系统的一个平衡状态(或平衡点)。
对于非自治非线性系统（式(3.1)），平衡状态xe由

f(xe,t)≡0，t≥t0(3.3)

来定义，求解式(3.3)可得平衡状态。
对于自治非线性系统（式(3.2)），平衡状态xe由

f(xe)≡0(3.4)

来定义，求解式(3.4)可得平衡状态。
对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的。例如，对于线性定常系统

x·=f(x)=Ax(3.5)

当A为非奇异矩阵时，满足Axe≡0的解xe=0是系统唯一存在的一个平衡状态； 但当A为奇异矩阵时，则系统将具有无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，通常可能有一个或多个平衡状态，它们是由式(3.3)或式(3.4)确定的常值解，下面给出两个例子。
例3.1系统

x·1=－x1


x·2=x1+x2－x32

就有三个平衡状态： 

xe1=0
0，xe2=0
－1，xe3=0
1


例3.2实际物理系统——单摆。
考虑图3.1所示的单摆，它的动态特性由下列自治非线性方程描述： 

ML2θ¨+bθ·+MgLsinθ=0(3.6)

式中，L为单摆长度； M为单摆质量； b为铰链的摩擦系数； g为重力加速度(常数)。
记x1=θ，x2=θ·，则相应的状态空间方程为

x·1=x2(3.7a)
x·2=－bML2x2－gLsinx1(3.7b)



图3.1单摆


于是，平衡状态满足

x2=0，sinx1=0


因此，平衡状态为(2kπ，0)和((2k+1)π，0),k=1,2,3,…。从物理意义上来讲，这些点分别对应于单摆垂直位置的顶端和底端。
在线性系统的分析和设计中，为了记号和分析的方便，常常将线性系统进行变换，使得其平衡点转换成状态空间原点。对非线性系统（式(3.2)），也可以针对某个特定的平衡点进行这样的变换，将某个特定的平衡点xe转换成状态空间原点来分析非线性系统在状态空间原点附近的特性。设我们感兴趣的平衡点为xe，引入新变量

y=x－xe

并将x=y+xe代入式(3.2)，即可得到关于变量y的方程

y·=f(y+xe)(3.8)


容易验证式(3.2)和式(3.8)的解一一对应，并且y=0对应于x=xe是式(3.8)的一个平衡点。因此，若要研究式(3.2)在平衡点xe附近的特性，只要研究式(3.8)在状态空间原点邻域的特性即可。
由于任意一个已知的平衡点都可以通过坐标变换将其移到状态空间原点xe=0处，因此今后将只讨论系统在状态空间原点处的稳定性。
需要注意的是，稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。线性定常系统由于只有唯一的一个平衡点，因此才笼统地讲系统稳定性问题； 非线性系统则由于可能存在多个平衡点，而不同平衡点可能表现出不同的稳定性，因此必须逐个地分别加以讨论。
3.1.4标称运动
在一些实际问题中，我们不是关心平衡点的稳定性，而是关心在某个标称运动附近的稳定性，即当系统的运动与它的原始(标称)运动轨线有一个小偏离时，它是否会保持与原始(预定或预期)轨线的接近。可以证明，这种运动稳定性问题可以转化为关于某个平衡点稳定问题。不过，这时的等价系统不是自治的。
设x*(t)为自治非线性系统（式(3.2)）的解，即对应于初始值x*(0)=x0的标称轨线。设初始值有一个扰动x(0)=x0+δx0，然后考察运动误差

e(t)=x(t)－x*(t)

的相应变化，如图3.2所示。


图3.2标称运动与受扰运动

因为x*(t)与x(t)均为式(3.2)的解，因此

x·*(t)=f(x*)，x*(0)=x0
x·(t)=f(x)，x(0)=x0+δx0

那么e(t)满足以下非自治微分方程： 

e·=f(x*+e,t)－f(x*,t)=g(e,t)(3.9)

初值为e(0)=δx0。由于g(0,t)=0，以e为状态用g代替f的新的动态系统以状态空间原点为它的一个平衡点，因此可以简单地通过考察系统（式(3.9)）的关于平衡点0在扰动下的稳定性来判断原系统x(t)对x*(t)的偏离。但要注意，由于扰动系统的右边包括标称轨线x*(t)，因此它是非自治的。一个自治系统对每一个特殊的标称运动的稳定性对应于一个等价的非自治系统关于平衡点的稳定性。
下面通过一个实际系统解释这个重要的变换。
例3.3考虑实际物理系统——质量弹簧阻尼系统： 

mx¨+k1x+k2x3=0

它包括反映弹簧硬效应的非线性特性。这里研究初值为x0的轨线x*(t)的运动稳定性。
设初值被扰动为x(0)=x0+δx0，相应的系统轨线记作x(t)。同理，可得到描述运动误差e的等价微分方程为

me¨+k1e+k2［e3+3e2x*(t)+3ex*2(t)］=0

显然它是一个非自治系统。
当然，对于一个非自治非线性系统，它对一个标称运动的稳定性也可以转化为一个等价非自治非线性系统关于e=0的稳定性问题。
最后，如果原系统是形如式(3.5)的自治线性系统，那么其等价系统仍然是自治的，它可以写成

e·=Ae

3.2稳定性的概念
在经典控制理论中，针对用传递函数描述的线性时不变系统，我们学习过外部稳定性； 在线性系统理论中，针对状态空间方程描述的线性系统，我们学习过内部稳定性。稳定性是控制系统最基本的要求。然而，由于非线性系统具有比线性系统更为复杂和奇特的特性，因此只用传统的稳定性理论不足以描述非线性系统运动的基本特征，而要使用许多更严密的稳定性概念，如李雅普诺夫意义下的稳定性、渐近稳定性、一致稳定性、指数稳定性、全局稳定性和不稳定性等。本节在回顾内部稳定性和外部稳定性的基础上，正式定义这些稳定性概念，并解释它们的实际意义。
3.2.1外部稳定性
对于初始状态为零的因果系统，其输入/输出描述可表示为

y(t)=∫t0G(t,τ)u(τ)dτ

式中，G(t,τ)为系统的相应脉冲函数矩阵。
在根据系统的输入/输出研究系统稳定性时，针对输入u(t)的不同性质可以引出系统的各种不同的稳定性定义。
定义3.3［有界输入有界输出（boundedinput boundedoutput,BIBO）稳定性］对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常数k及一个标量α，使得对于任意的t∈［t0,∞)，当系统的控制输入u(t)满足‖u(t)‖≤k时，所产生的输出y(t)满足‖y(t)‖≤αk，则该因果系统是外部稳定的，即有界输入有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。
这里必须指出，在讨论外部稳定性时是以系统的初始状态为零作为基本假设的，在这种假设下，系统的输入/输出描述是唯一的。线性系统BIBO稳定性可由输入/输出描述中的脉冲响应矩阵或传递函数矩阵进行判别。另外，在本章及以后的叙述中，如不做特别说明，p均表示拉普拉斯算子。
定理3.1（时变情况）对于零初始条件的线性时变系统，设G(t,τ)为其脉冲响应矩阵，该矩阵是m×n的，则系统为BIBO稳定的充要条件为存在一个有限常数k，使得对一切t∈［t0,∞)，G(t,τ)的每一个元gij(t,τ)(i=1,2,…,m； j=1,2,…,n)满足

∫tt0gij(t,τ)dτ≤k<∞(3.10)


证明为了方便，先证单输入单输出情况，然后推广到多输入多输出情况。在单输入单输出条件下，输入/输出满足关系

y(t)=∫tt0g(t,τ)u(τ)dτ(3.11)


先证充分性。已知式(3.10)成立，且对任意控制输入u(t)满足u(t)≤k1<∞,t∈［t0,∞），要证明输出y(t)有界。由式(3.11)可以方便得到

y(t)=∫tt0g(t,τ)u(τ)dτ≤∫tt0g(t,τ)u(τ)dτ

≤k1∫tt0g(t,τ)dτ≤kk1<∞

从而根据定义3.3知系统是BIBO稳定的。
再证必要性(采用反证法)。假设存在某个t1∈［t0,∞)，使得

∫t1t0g(t,τ)dτ=∞(3.12)

定义有界控制输入函数u(t)为

u(t)=sgn g(t1,t)=+1，g(t1,t)>0

0，g(t1,t)=0

－1，g(t1,t)<0

在上述控制输入激励下，系统的输出为

y(t1)=∫t1t0g(t,τ)u(τ)dτ=∫t1t0g(t1,τ)dτ=∞

这表明系统输出是无界的，同系统是BIBO稳定的相矛盾。因此，式(3.12)的假设不成立，即必定有

∫t1t0g(t1,τ)dτ≤k<∞，t1∈［t0,∞）


现在将上述结论推广到多输入多输出情况。考察系统输出y(t)的任一分量yi(t)：

yi(t)=∫tt0gi1(t,τ)u1(τ)dτ+…+∫tt0gin(t,τ)un(τ)dτ

≤∫tt0gi1(t,τ)u1(τ)dτ+…+∫tt0gin(t,τ)un(τ)dτ

≤∫tt0gi1(t,τ)u1(τ)dτ+…+∫tt0gin(t,τ)un(τ)dτ，

i=1,2,…,m


由于有限个有界函数之和仍为有界函数，利用单输入单输出系统的结果，即可证明定理3.1的结论。
证毕。
定理3.2对于零初始条件的线性定常系统，设初始时刻t0=0，单位脉冲响应矩阵为G(t)，传递函数矩阵为G(p)，则系统为BIBO稳定的充要条件为,存在一个有限常数k，使G(t)的每一个gij(t)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)满足

∫∞0gij(t)dt≤k<∞

或者G(p)为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递函数gij(p)的所有极点处在左半复平面。
证明定理3.2第一部分结论可直接由定理3.1得到，下面只证明定理3.2的第二部分。
由假设条件，gij(p)为真有理分式，则利用部分分式法可将其展开为有限项之和的形式，其中每一项均具有如下形式

βl(p－λl)αl,l=1,2,…,m(3.13)

式中，λl为gij(p)的极点； αl和βl为常数，也可为零，且α1+α2+…+αl=n。
式(3.13)对应的拉普拉斯反变换为

hltαl－1eλl t,l=1,2,…,m(3.14)


当αl=0时，式(3.14)为δ函数。因此，gij(p)取拉普拉斯反变换导出gij(t)是有限个形如式(3.14)的项之和，和式中也可能包含δ函数。容易证明，当且仅当λl(l=1,2,…,m)均处于左半复平面(具有负实部)时，tαl－1eλlt绝对可积，即gij(t)绝对可积。因此，当且仅当gij(s)的所有极点均具有负实部时，∫∞0gij(t)dt≤k<∞成立，系统是BIBO稳定的。
证毕。
3.2.2内部稳定性
下面讨论系统的内部稳定性。内部稳定性描述了系统状态自由运动的稳定性。考虑如下的线性时变系统： 

x·=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t0)=x0,t∈［t0,ta］

y=C(t)x(t)+D(t)u(t)


设系统的外部控制输入u(t)≡0，初始状态x0是有界的，则系统的状态解为

x(t)=Φ(t,t0)x0

式中，Φ(t,t0)为时变系统的状态转移矩阵。
如果由系统的初始状态x0引起的状态响应满足

limt→∞Φ(t,t0)x0=0(3.15)

则称系统是内部稳定或是渐近稳定的。
定理3.3对于线性定常系统来说，当且仅当A的特征值全部位于左半复平面时，系统是内部稳定的。
证明对于线性定常系统，Φ(t,t0)=eA(t－t0)，令t0=0，则有

x(t)=Φ(t,0)x0=eAtx0


假设系统矩阵A具有两两相异的特征值，则

eAt=￡-1［pI－A］－1

 =￡-1adj(pI－A)(p－λ1)(p－λ2)…(p－λn),λi为A的特征值

进一步可得

eAt=￡-1∑ni=1Qip－λi=∑ni=1Qieλit

式中，

Qi=(p－λi)adj(pI－A)(p－λ1)(p－λ2)…(p－λn)


显然，当矩阵A的一切特征值满足

Re［λi(A)］<0,i=1,2,…,n

时（其中λi(A)(i=1,2,…,n)表示A的特征值），式(3.15)成立。
证毕。
定义3.4非线性系统

x·=f(x,u)

是输入状态稳定(inputtostate stability，ISS)的，当且仅当对任意初始状态x(0)和在［0,∞)上连续有界的控制输入u(·)，系统在t≥0时的解存在且满足

x(t)≤βx(0),t+γsup0≤τ≤tu(τ),t≥0

其中，当ρ∈R+时，β(ρ,t)和γ(ρ)是关于ρ的严格增函数，且β(0,t)=0,γ(0)=0； 当ρ∈R+时，β(ρ,t)是关于t的递减函数，且limt→∞β(ρ,t)=0。
3.2.3外部稳定性和内部稳定性的关系
内部稳定性描述了系统状态自由运动的稳定性，这种运动必须满足渐近稳定条件，而外部稳定性是对系统输入量和输出量的约束，这两个稳定性之间的联系必然通过系统的内部状态表现出来。由上述论证可知，线性定常系统的一个内部稳定实现总会有一个满足条件式(3.10)的脉冲响应。也就是说，一个内部稳定的实现必定是外部稳定的。但该结论反过来就是错误的。这里仅就线性定常系统加以讨论。
定理3.4线性定常系统如果是内部稳定的，则系统一定是BIBO稳定的。
证明对于线性定常系统，其脉冲响应矩阵G(t)为

G(t)=Φ(t)B+Dδ(t)

式中，Φ(t)=eAt。
当系统满足内部稳定时，由式(3.15)可得

limt→∞Φ(t)=limt→∞eAt=0


这样，G(t)的每一个元gij(t) (i=1,2,…,q;j=1,2,…,p)均是由一些指数衰减项构成的，故满足

∫∞0gij(t)dt≤k<∞

式中，k为有限常数，说明系统是BIBO稳定的。
证毕。
定理3.5线性定常系统如果是BIBO稳定的，则系统未必是内部稳定的。
证明根据线性系统的结构分解可知，任意线性定常系统通过线性变换总可以分解为四个子系统，即能控能观子系统、能控不能观子系统、不能控能观子系统和不能控不能观子系统。系统的输入/输出特性仅能反映系统的能控能观部分，而无法反映系统的其余三个部分的运动状态。BIBO稳定仅意味着能控能观子系统是渐近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观子系统如果是发散的，则在BIBO稳定中并不能表现出来。因此定理的结论成立。
证毕。
定理3.6线性定常系统如果是完全能控能观的，则内部稳定性与外部稳定性是等价的，或者说线性定常系统内部稳定性与外部稳定性等价的充要条件是完全能控能观。
证明利用定理3.4和定理3.5易于推出该结论。定理3.4给出，由内部稳定性可推出外部稳定性； 由定理3.5，系统是外部稳定的，且系统是完全能控能观的，即系统是内部稳定的。
证毕。
例3.4设系统的状态空间表达式为

x·=－10
01x+1
1u
y=10x


试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。
解(1) 由矩阵A的特征方程

detλI－A=(λ+1)(λ－1)=0

可得特征值λ1=－1,λ2=1，故系统的状态不是渐近稳定的。
(2) 由系统的传递函数

W(p)=c(pI－A)－1b

=10p+10
0p-1－11
1=(p－1)(p+1)(p－1)=1p+1

可得传递函数的极点p=－1位于复平面的左半平面，故系统输出稳定。这里，具有正实部的特征值λ2=1被系统的零点p=1对消，所以在系统的输入/输出特性中没有被表现出来。只有当系统的传递函数不出现零、极点对消现象，且矩阵A的特征值与系统传递函数的极点相同时，内部稳定性和外部稳定性才等价，从而验证了定理3.6。
3.2.4李雅普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
若用‖x－xe‖表示状态矢量x与平衡状态xe的距离，用点集s(ε)表示以xe为中心、ε为半径的超球体，那么x∈s(ε)，则表示

‖x－xe‖≤ε

式中，‖x－xe‖为向量的2范数或欧几里得范数。
在n维状态空间中，有

‖x－xe‖=(x1－x1e)2+(x2－x2e)2+…+(xn－xne)21/2


当ε很小时，称s(ε)为xe的邻域。因此，若x0∈s(δ)，则意味着‖x0－xe‖≤δ。同理，若微分方程式(3.1)的解x=Φ(x0,t0,t)位于球域s(ε)内，则有

‖Φ(x0,t0,t)－xe‖≤ε,t≥t0(3.16)


式(3.16)表明齐次方程式(3.1)由初始状态x0或短暂扰动引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义分为下面几种情况。
1. 李雅普诺夫意义下的稳定性
如果式(3.1)描述的系统对于任意给定的实数ε>0，都对应存在另一实数δ(ε,t0)>0，使得当

‖x(t0)－xe‖≤δ(ε,t0)

时，从任意初始状态x(t0)出发的解x(t)=Φ(x(t0),t0,t)都满足

‖x(t)－xe‖≤ε,t0≤t<∞

则称平衡点xe是李雅普诺夫意义下稳定的，其中实数δ与ε有关，一般情况下也与t0有关。下面分别给出自治系统和非自治系统关于李雅普诺夫意义下稳定性的定义。
定义3.5(自治系统)如果对于任意给定的实数ε>0，都对应存在另一实数δ(ε)>0，使得

‖x(0)－xe‖≤δ(ε)‖x(t)－xe‖≤ε,0≤t<∞

成立，则称平衡点xe=0是李雅普诺夫意义下稳定的。
定义3.6(非自治系统)如果对于任意给定的实数ε>0，都对应存在另一实数δ(ε,t0)>0，使得

‖x(t0)－xe‖≤δ(ε,t0)‖x(t)－xe‖≤ε,t0≤t<∞

成立，则称平衡点xe=0在t0是李雅普诺夫意义下稳定的。
定义3.5表明，只要状态轨线是从一个半径为充分小的δ的球内出发的，就可以停留在