第3章空间力系 本 章 提 要 【要求】 (1) 能熟练计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴的矩； (2) 掌握空间力对点之矩和力偶矩矢的性质； (3) 基本掌握空间任意力系的简化； (4) 能较熟练地应用平衡条件求解空间力系的平衡问题。 【重点】 (1) 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴的矩，掌握力偶的性质； (2) 空间力系平衡方程的应用； (3) 各种常见的空间约束及约束反力的表示方法。 【难点】 (1) 力在空间直角坐标轴上的投影、力对轴之矩的计算； (2) 空间任意力系的主矢、主矩简化结果与分析； (3) 利用空间结构、结构中几何关系的分析与空间立体图的识别对空间任意力系平衡问题的求解。 在工程实际中，经常会遇到物体所受各力的作用线不在同一个平面内，而呈现空间任意分布的情况，将这种力系称为空间任意力系，简称空间力系。空间力系是物体所受力系中最一般的情况，平面问题中的各种力系都可以看作空间力系的一种特殊情形。同平面任意力系一样，对于空间力系也将主要解决两个问题： 第一个是力系的简化与合成问题； 第二个是平衡条件及其应用问题。空间力系的研究和分析方法与平面任意力系的完全相同。与平面力系一样，空间力系也分为空间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系和空间任意力系。 31空间汇交力系 各力的作用线汇交于一点的空间力系，称为空间汇交力系。同平面汇交力系一样，需要在力在坐标轴上投影的基础之上研究力的合成和平衡问题。 1. 力在空间直角坐标轴上的投影与分解 1) 力在空间直角坐标轴上的投影 如图31（a）所示，假设力F与三个直角坐标轴的夹角分别为α、β、γ，则F在各坐标轴上的投影可由F的大小与该坐标轴的夹角余弦的乘积来计算，即 Fx=Fcosα Fy=Fcosβ Fz=Fcosγ(31) 利用式(31)计算投影的方法称为直接投影法。但在实际问题中，有时很难确定力F与三个坐标轴之间的夹角，一般容易知道力F与某一个坐标轴的夹角。例如，F与Oz轴的夹角γ已知，这时可先将力F投影到xOy平面上，得到F在平面上的投影Fxy，然后再将Fxy投影到Ox、Oy轴上。如图31（b）所示，当已知γ和φ角时，力在坐标轴上的投影可按下式计算： Fx=Fsinγcosφ Fy=Fsinγsinφ Fz=Fcosγ(32) 图31 利用式(32)计算投影的方法称为二次投影法，也叫作间接投影法。需要注意，力在坐标轴上的投影是代数量，而力在一个平面上的投影应是一个矢量，这是因为在平面上的投影不能简单地由坐标轴的正负来确定其方向。  2) 力沿坐标轴的正交分解 图32 假设力F在三个坐标轴上的正交分量为Fx、Fy、Fz，F在三个坐标轴上的投影为Fx、Fy、Fz，i、j、k分别表示三个坐标轴方向的单位矢量，如图32所示。则有 F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk(33) 如果已知力F在直角坐标系中的三个投影，则力F的大小和方向余弦分别为 F=F2x+F2y+F2z cosα=FxF,cosβ=FyF,cosγ=FzF(34) 【例31】F1、F2、F3、F4各力在空间的位置如图33所示。已知四个力的大小相等，数值为10kN。求各力在三个坐标轴上的投影。 图33 解： (1) F1x=F1y=0 F1z=F1=10kN (2) F2x=F2=10kN F2y=F2z=0 (3) F3x=－F3sin30°=－5kN F3y=F3cos30°=8.66kN F3z=0 (4) 由于F4与x轴和y轴的夹角不容易确定，不宜直接按照式(31)来求解。这时，应该按照式(32)的二次投影法，于是得到 F4x=F4cos30°×sin30°=4.33kN F4y=－F4cos30°×cos30°=－7.5kN F4z=－F4sin30°=－5kN 2. 空间汇交力系的合成与平衡 1) 空间汇交力系的合成 力系中每个力的作用线都汇交于一点的空间力系，称为空间汇交力系。由于空间汇交力系的复杂性，对于空间汇交力系的合成一般不采用几何法，只采用解析法。将平面汇交力系的合成法则推广到空间就得到： 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。合力矢量为 FR=F1+F2+…+Fn=∑Fi(35) 将式(33)代入式(35)可得 FR=FRxi+FRyj+FRzk=∑Fxi+∑Fyj+∑Fzk(36) 式中，FRx、FRy、FRz是合力FR在三个坐标轴上的投影，并且 FRx=∑Fx,FRy=∑Fy,FRz=∑Fz(37) 式(37)表明： 合力在某一轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上的投影的代数和。这就是空间的合力投影定理。 合力的大小和方向余弦分别为 F=F2Rx+F2Ry+F2Rz=∑Fx2+∑Fy2+∑Fz2 cosα=∑FxFR,cosβ=∑FyFR,cosγ=∑FzFR(38) 2) 空间汇交力系的平衡 一般由于空间汇交力系可以合成为一个合力，因此，空间汇交力系平衡的必要和充分条件是： 力系的合力等于零，即 FR=F1+F2+…+Fn=∑Fi=0(39) 式(39)的等价解析式为 FRx=∑Fx=0 FRy=∑Fy=0 FRz=∑Fz=0(310) 式(310)就是空间汇交力系的平衡方程，即空间汇交力系平衡的必要和充分条件为： 该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。 应用解析法求解空间汇交力系的平衡问题的步骤，与求解平面汇交力系问题的相同，需列出三个平衡方程，可求解三个未知量。 【例32】挂物架如图34所示，三根杆子用铰链连接于O点。平面BOC是水平面，且OB=OC，平面OAE是铅垂面，其他角度如图所示。如果O点悬挂重物的重量为P=1kN，不计三根杆子的重量，求三根杆子所受的力。 图34 解： (1) 研究对象： 挂物架。 (2) 受力分析。因为不计杆子的重量，所以杆子都是二力杆，力系是一个空间汇交力系，可以写出三个独立的平衡方程。其受力图如图34所示。 (3) 平衡方程。取坐标系Oxyz如图34所示，Ox、Oy轴位于水平面BOC内，且Ox轴平行于BC，Oy轴垂直于BC，Oz轴铅垂向上。 ∑Fx=0,FBcos5°－FCcos45°=0 ∑Fy=0,－FBsin45°－FCsin45°－FAsin45°=0 ∑Fz=0,－FAcos45°－P=0 (4) 求解。联立求解上面三个方程得FA=－1.414kN，负号表示FA的实际方向与图中所假设方向相反，即OA杆实际是受压力作用。FB=FC=0.707kN，FB、FC实际方向与图中所假设方向相同，即这两个杆实际是受拉力作用。 讨论： 本题中先求出了FA为负值，因为在平衡方程中力的投影是根据受力图中假设的力的方向计算出来的，所以在把FA数值代入其他方程运算时，要用其代数值代入，不能用其绝对值代入。 32力对点的矩与力对轴的矩 在平面力系中，讨论力矩概念时曾指出，力对点的矩是该力使刚体绕矩心转动效应的度量，力对点的矩可用代数量来表示。在空间问题中也会遇到同样的问题，同时为了度量力使刚体绕某轴转动的效应，还将引入力对轴的矩的概念。 1. 力对点的矩 1) 力对点的矩的矢量形式 对于平面力系，只需用一代数量即可表示出力对点的矩的全部要素，即大小和转向，这是因为力矩的作用面是一固定平面。但在空间力系中， 图35 力系中各力与矩心可能构成方位不同的各个平面。这时，力对点的矩取决于力与矩心所构成的平面的方位、力矩在该平面内的转向及力矩大小三个要素。而用一个代数量是无法将这三个要素表示出来的，这三个要素可以用一个矢量来表示： 矢量的模表示力对点的矩的大小，矢量的方位与该力和矩心所在平面的法线方位相同，矢量的指向由力矩的转向按右手螺旋法则确定，这个矢量称为力对点的矩矢，简称为力矩矢，记作MO(F)，如图35所示，力矩矢的大小为 |MO(F)|=F·h=2S△OAB 式中，S△OAB是△OAB的面积。 如果以r表示力作用点A的矢径，则矢量积r×F的模等于△OAB面积的2倍，其方向与力矩矢MO(F)一致。因此可得 MO(F)=r×F(311) 式(311)即为力对点的矩的矢量积表达式，力对点的力矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。 注意： 由于力矩矢的大小和方向均与矩心的位置有关，故力矩矢的矢端必须在矩心而不可任意移动。所以，力矩矢是一个定位矢量。 2) 力对点的矩的解析表达式 如果以矩心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图35所示，则矢径r和力F分别用解析式表示为 r=xi+yj+zk,F=Fxi+Fyj+Fzk 将上式代入式(311)，并采用行列式形式，即得到力矩矢的解析表达式为 MO（F）=r×F=ijk xyz FxFyFz(312) 3) 空间合力矩定理 如果空间力系(F1、F2、…、Fn)可以合成为一个合力FR，那么就意味着这个力系的作用完全可以用这个合力代替，那么合力使物体绕任一点O的转动效应就应该等同于该力系使物体绕点O的转动效应，而力的转动效应是由力矩完全度量的，所以有 MO(FR)=∑MO(Fi)(313) 即力系的合力对任一点的矩等于力系中每一个力对同一点的矩的矢量和，这就是空间合力矩定理。 2. 力对轴的矩 1) 力对轴的矩的定义 工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力对绕定轴转动刚体的作用效果，必须分析力对轴的矩。如图36（a）所示，计算作用在斜齿轮上的力F对转轴z的力矩。现将力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于z轴的分力Fxy(此力即为力F在垂直于z轴的平面xOy上的投影)。根据经验可知，分力Fz不能使静止的齿轮绕z轴转动，所以分力Fz对z轴的矩为零； 只有分力Fxy才能使静止的齿轮绕z轴转动。因此，力F对z轴的矩就是分力Fxy对z轴的矩，或者说是分力Fxy对点O的矩，如图36（b）所示。 Mz(F)=Mz(Fxy)=MO(Fxy)=±Fxy·h=±2S△OA1B1(314) 式中，点O是平面xOy与z轴的交点； h是点O到力Fxy作用线的距离。 图36 于是，可得力对轴的矩的定义如下： 力对轴的矩是度量力使刚体绕该轴转动效果的量。力对轴的矩是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影Fxy对于这个平面与该轴交点O的矩的大小。其正负号按如下形式确定： 从轴正向来看，若力矩使物体绕该轴按逆时针方向转动，则取正号，反之取负号。也可按右手螺旋规则确定其正负号，如图36（c）所示，拇指指向与z轴一致为正，反之为负。 力对轴的矩的单位是N·m或kN·m。 注意，当力与某一轴平行或相交时，或者说力与轴在同一平面内时，力对该轴的矩为零。 2) 力对轴的矩的解析表达式 力对轴的矩也可用解析式表示。假设力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx、Fy、Fz。力作 图37 用点A的坐标为x、y、z，如图37所示。根据合力矩定理得到 Mz(F)=MO(Fxy)=MO(Fx)+MO(Fy) =xFy－yFx 同理可得其余两个坐标轴的力矩，将此三式合写为 Mx(F)=yFz－zFy My(F)=zFx－xFz Mz(F)=xFy－yFx(315) 以上三式就是计算力对轴的矩的解析表达式。 3) 力对轴的矩的合力矩定理 根据空间合力矩定理，可以得出力对轴的矩的合力矩定理： Mz(FR)=∑Mz(Fi)(316) 即力系的合力对任一轴的矩等于力系中每一个力对同一轴的矩的代数和。 3. 力对点的矩与力对通过该点的轴的矩之间的关系 将式(312)的行列式展开，并与式(315)进行比较，可以看出 ［MO(F)］x=Mx(F) ［MO(F)］y=My(F) ［MO(F)］z=Mz(F)(317) 式(317)表明： 力对一点的矩的力矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于力对该轴的矩。它建立了力对点的矩与力对通过该点的轴的矩之间的关系。因为在理论分析时用力对点的力矩矢较简便，而在实际计算中常用力对轴的矩，所以建立它们二者之间的关系是很有必要的。 【例33】已知力F=1000N，作用位置及几何尺寸如图38所示，求力对z轴的力矩。 图38 解： (1) 力在x、y坐标轴上的投影分别为 Fx=1000×10502+302+102 =1000×135=169（N） Fy=1000×30502+302+102 =1000×335=507（N） (2) 力的作用点的坐标为 x=－150mm,y=150mm (3) 由式(315)得力对z轴的矩为 Mz(F)=xFy－yFx=－101.4N·m 33空间力偶系 我们已经知道，力和力偶是两个基本的力学量。在本节中将讨论空间力偶的基本性质以及空间力偶系的合成和平衡问题。 1. 空间力偶矩矢量 由平面力偶理论知道，只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它的作用面内任意移动； 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，也可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，却不改变力偶对刚体的作用。实践经验还告诉我们，力偶的作用面也可以平移。例如，用螺钉旋具拧螺钉时，只要力偶矩的大小和力偶的转向保持不变，长螺钉旋具或短螺钉旋具的效果是一样的。即力偶的作用面可以垂直于螺钉旋具的轴线平行移动，而并不影响拧螺钉的效果。由此可知，空间力偶的作用面可以平行移动，而不改变力偶对刚体的作用效果。反之，如果两个力偶的作用面不相互平行(即作用面的法线不相互平行)，即使它们的力偶矩大小相等，这两个力偶对物体的作用效果也不同。 如图39所示的三个力偶，分别作用在三个同样的物块上，力偶矩都等于200N·m。因为前两个力偶的转向相同，作用面又相互平行，因此这两个力偶对物块的作用效果相同(图39（a）、（b）)。第三个力偶作用在平面Ⅱ上(图39（c）)，虽然力偶矩的大小相同，但是它与前两个力偶对物块的作用效果不同，前两者使物块绕平行于x轴的轴转动，而后者则使物块绕平行于y轴的轴转动。 图39 综上所述，空间力偶对刚体的作用除了与力偶矩大小有关外，还与其作用面的方位及力偶的转向有关。 由此可知，空间力偶对刚体的作用效果取决于下列三个要素： （1) 力偶矩的大小； （2) 力偶作用面的方位； （3) 力偶的转向。 空间力偶的这三个要素可以用一个矢量来表示，矢量的长度表示力偶矩的大小，其数值为|M|=F·d(式中，F是构成力偶的 图310 力的大小； d是力偶的力偶臂)。矢量的方位与力偶作用面的法线方位相同，矢量的指向与力偶转向的关系服从右手螺旋规则。即如力偶的转向为右手螺旋的转动方向，则螺旋前进的方向即为矢量的指向(图310（a）)； 或从矢量的末端看去，应看到力偶的转向是逆时针转向(图310（b）)。因此，这样的一个矢量就完全包括了上述三个要素，将这样的一个矢量称为力偶矩矢，记作M。由此可知，力偶对刚体的作用效果完全由力偶矩矢决定。 2. 空间力偶的等效条件 由于力偶可以在同平面内任意移动，并可搬移到平行平面内，而不改变它对刚体的作用效果，所以力偶矩矢可以平行搬移，而无需确定矢量的初端位置，所以力偶矩矢是自由矢量。与平面力偶一样，可以证明： 力偶对空间任一点的矩矢都等于力偶矩矢，与矩心位置无关。 综上所述，力偶的等效条件可以叙述为： 作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果力偶矩矢相等(即： 力偶矩大小相等、转向相同，且作用面平行)，则它们彼此等效。这就是空间力偶的等效定理。 空间力偶的等效定理表明： 空间力偶可以平行移动到与其作用面平行的任何一个平面上而不改变力偶对刚体的作用效果； 也可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小或将力偶在其作用面内任意移动，只要力偶矩矢的大小、方向不变，其作用效果就不变。所以，力偶矩矢是衡量空间力偶作用效果的唯一量。 3. 空间力偶系的合成与平衡 1) 空间力偶系的合成 将空间力偶系中每一个力偶都用力偶矩矢来表示，它们都是自由矢量，所以可将空间力偶系中的各力偶矩矢简化为相交于一点的矢量系，按照矢量合成的几何法则可以知道，这个矢量系最终可以合成为一个合矢量，即合力偶矩矢。所以，空间力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和，即 M=M1+M2+…+Mn=∑Mi(318) 式(318)的投影形式为 Mx=M1x+M2x+…+Mnx=∑Mix My=M1y+M2y+…+Mny=∑Miy Mz=M1z+M2z+…+Mnz=∑Miz(319) 即合力偶矩矢在x、y、z轴上的投影等于各分力偶矩矢在相应轴上投影的代数和。 2) 空间力偶系的平衡 由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间力偶系平衡的必要和充分条件是： 该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即 M=∑Mi=0(320) 将其写成投影形式，则 Mx=∑Mix=0 My=∑Miy=0 Mz=∑Miz=0(321) 即空间力偶系平衡的必要和充分条件为： 力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。式(321)称为空间力偶系的平衡方程。 通过上述三个独立的平衡方程可求解三个未知量。 34空间任意力系的简化 如图311（a）所示，设有一个空间任意力系F1、F2、…、Fn分别作用在刚体上A1、A2、…、An点。在刚体上取任意点O为简化中心，根据力的平移定理，把各力分别向O点平移，于是得到一个作用在O点的空间汇交力系F′1、F′2、…、F′n及空间力偶系M1、M2、…、Mn(图311（b）)。 F′i=Fi,Mi=MO（Fi）（i=1,2,…,n） 图311 上述空间汇交力系可以进一步合成为作用在O点的一个力FR，即 FR=∑F′i=∑Fi=F′R(322) 空间力偶系也可以进一步合成为一个合力偶，其力偶矩为 M=∑Mi=∑MO（Fi）=MO(323) 力系中各力的矢量和F′R=∑Fi称为该力系的主矢，同平面问题一样，空间任意力系的主矢与简化中心位置无关，是一个纯粹的自由矢量。力系中各力对简化中心O点的力矩的矢量和MO=∑MO（Fi）称为该力系对简化中心的主矩，且与平面问题相同，主矩一般与简化中心的位置有关。所以，说到主矩时一般必须指出是力系对哪一点的主矩。因此，空间任意力系向任意一点简化，可以得到一个力FR和一个力偶M(图311（c）)(也可以说成空间任意力系与一个力和一个力偶等效)，该力的作用点在简化中心，大小和方向与该力系的主矢相同，即FR=F′R； 该力偶的力偶矩为力系对简化中心的主矩，即M=MO。 在实际计算时，一般采用解析法来进行，即先求出各个矢量在三个正交坐标轴上的投影，然后求出矢量的大小和方向。具体计算公式如下： F′Rx=∑Fix,F′Ry=∑Fiy,F′Rz=∑Fiz(324) F′R=F′2Rx+F′2Ry+F′2Rz(325) cos(F′R,i)=F′RxF′R,cos(F′R,j)=F′RyF′R,cos(F′R,k)=F′RzF′R(326) MOx=∑Mx（Fi）,MOy=∑My（Fi）,MOz=∑Mz（Fi）(327)