第一讲函数





知识点

1. 函数的定义： 映射f:DRn→R称为定义在D上的n元函数，记作u=f(x)，x∈D。
当n=1时，y=f(x),x∈DR称为一元函数； 当n=2时，z=f(x,y),(x,y)∈DR2称为二元函数。二元或二元以上的函数称为多元函数。
2.  函数的两要素为定义域与对应法则； 函数的表示方法主要有表格法、图形法和解析法。
3. 一元函数y=f(x),x∈D的图形是平面点集C={(x,y)|y=f(x),x∈D}D×f(D)，通常是一条平面曲线。二元函数z=f(x,y),(x,y)∈D的图形通常是一张空间的曲面。
4. 几个特殊类型的一元函数： 
（1） 绝对值函数： y=|x|=x,x≥0,


-x,x<0。
（2） 符号函数： y=sgnx=1,x>0,

0,x=0,

-1,x<0。
（3） 取整函数： y=［x］=n,n≤x<n+1,n=0,±1,±2,…，表示不超过x的最大整数。
（4） Dirichlet函数： y=D(x)=1,当x是有理数时,
0,当x是无理数时。
（5） 取最大值函数y=max{f(x),g(x)}，取最小值函数y=min{f(x),g(x)}。
5. 取整函数的性质： ［x］≤x<［x］+1或x-1<［x］≤x。
6. 设有函数f(x)(x∈A)和g(x)(x∈B)，且A∩B非空，分别定义它们的加（减）法f±g，乘法f·g和除法fg为

(f±g)(x)=f(x)±g(x),x∈A∩B，

(f·g)(x)=f(x)·g(x),x∈A∩B，

fg(x)=f(x)g(x),x∈A∩B-{x|g(x)=0}。

7. 一元复合函数： 设有函数链u=g(x),x∈DR及y=f(u),u∈D1R，若g(D)D1，称y=f［g(x)］(x∈D)为f与g确定的复合函数，记为fg，其中u称为中间变量。
8. 初等函数： 由基本初等函数与常值函数经过有限次四则运算或有限次复合运算得到的由一个统一的解析式表示的函数。
9. 一元函数的反函数： 若函数f:D→f(D)是单射，则存在逆映射f-1:f(D)→D，称此逆映射f-1为f的反函数，且有f-1(f(x))=x和f(f-1(x))=x。
10. 一元反函数f-1的定义域就是函数f的值域，一元反函数f-1的值域就是函数f的定义域，且函数y=f(x)和反函数y=f-1(x)的图形关于直线y=x对称。
11. 严格单调的一元函数必有反函数，且f严格单调递增（减）时，f-1也严格单调递增（减）。
12. 函数f(x)定义在对称区间(-l,l)上，如果x∈(-l,l)，有f(-x)=-f(x)，称f为(-l,l)上的奇函数，若f(-x)=f(x)，称f为(-l,l)上的偶函数。
13. 若f是奇函数，且存在反函数f-1，则f-1也是奇函数。
14. 函数f定义在R上，若T∈R，对x∈R，有f(x+T)=f(x)，称f为周期函数，T称为f的周期。
15. 若T是f的周期，则T的任意整数倍mT也是f的周期。
16. 若T1,T2是f的周期，则T1±T2也是f的周期。
17. 周期函数的和与差不一定是周期函数。
18. 任意周期函数不一定存在最小正周期，但非常数的连续周期函数存在最小正周期。
19. 常用恒等式： 
（1） arcsinx+arccosx=π2,x∈［-1,1］； 
（2） arctanx+arccotx=π2,x∈(-∞,+∞)； 
（3） arctanx+arctan1x=π2,x≠0。
20. 求解函数方程的常用方法： 
（1） 利用初等变换求函数表达式； 
（2） 利用函数的连续性求函数表达式； 
（3） 利用导数的概念和性质求函数表达式； 
（4） 利用不定积分和定积分的概念和性质求函数表达式； 
（5） 利用微分方程求函数表达式。
典型例题
一、 函数概念与性质


例1.1求函数f(x)=∑∞n=1nx2e-nx的定义域，并证明f(x)在定义域内有界。
【解】设an=nx2e-nx，当x<0时，limn→∞an=+∞，函数f(x)没有定义。当x>0时，有

limn→∞an+1an= limn→∞n+1x2e-(n+1)xnx2e-nx=e-x<1，

即当x>0时，f(x)=∑∞n=1nx2e-nx收敛，且f(0)=0，故函数f(x)的定义域为［0,+∞)。
当x≥0时，

enx>1+nx+12n2x2>12n2x2，

则x2enx<2n2，故an=nx2e-nx<2nn，因为∑∞n=12nn收敛，记∑∞n=12nn=M，所以

0≤f(x)=∑∞n=1nx2e-nx<∑∞n=12nn=M，

即f(x)在定义域内有界。
例1.2求函数y=∫x011-sin5tdt的定义域。

【解】被积函数11-sin5t的无穷间断点有t=…,-7π2,-3π2,π2,5π2,…，其中与t=0最靠近的两点是t=-3π2和t=π2。 对x∈-3π2,π2，y=∫x011-sin5tdt都是定积分，函数有定义。而

limt→π2-π2-t1-sin5t= limt→π2-15sin4tcost=+∞，

limt→-3π2+t--3π21-sin5t= limt→-3π2+1-5sin4tcost=+∞，

根据反常积分比较判别法，∫π2011-sin5tdt与∫0-3π211-sin5tdt发散，从而函数y= ∫x011-sin5tdt在x=-3π2和x=π2处没有定义。
又对x-3π2,π2，以0和x为端点的区间必包含-3π2或π2，反常积分∫x011-sin5tdt发散，所以函数y=∫x011-sin5tdt的定义域为-3π2,π2。
例1.3求函数y=x+［x］的反函数，其中［x］表示不超过x的最大整数。
【解】由y=x+［x］得x=y-［x］，而

［y］=［x+［x］］=［x］+［x］=2［x］，

故［x］=12［y］，则x=y-12［y］。
当n≤x<n+1时，［x］=n，2n≤y=x+［x］<2n+1，故函数y=x+［x］的反函数为

y=x-12［x］,2n≤x<2n+1,n∈Z。

例1.4设f(x)=x-［x］（即x的小数部分），g(x)=tanx，证明f(x)-g(x)不是周期函数。
【证】（反证法）若F(x)=f(x)-g(x)是以T为周期的周期函数，则对x∈R，满足

F(x+T)=F(x)。

令x=0，则F(T)=F(0)=0，即T-［T］=tanT。
再令x=-T，则F(-T)=F(0)=0，即

(-T)-［-T］=tan(-T)=-tanT=(-T)+［T］，

因此［T］+［-T］=0，此时T必为整数，从而tanT=T-［T］=0，则T=kπ(k∈Z)。
因为只有k=0时，kπ(k∈Z)为整数，所以T=0，故f(x)-g(x)不是周期函数。

例1.5设f(x)在(-∞,+∞)内连续，F(x)=∫x0arctanx-arctant-t1+t2f(t)dt，证明:
（1） 若f(x)具有奇偶性，则F(x)具有相同的奇偶性； 
（2） 若f(x)单调递增，则F(x)单调递减。
【证】（1） 不妨设f(x)为偶函数，即x∈(-∞,+∞)，有f(-x)=f(x)，令u= -t，则

F(-x)=∫-x0-arctanx-arctant-t1+t2f(t)dt
=-∫x0-arctanx+arctanu+u1+u2f(-u)du
=∫x0arctanx-arctanu-u1+u2f(u)du=F(x)，

所以F(x)也是偶函数。类似可证，若f(x)为奇函数，则F(x)也是奇函数。
（2） 因为f(x)在(-∞,+∞)内连续，则F(x)在(-∞,+∞)内可导，从而

F(x)=arctanx∫x0f(t)dt-∫x0arctant+t1+t2f(t)dt，

F′(x)=11+x2∫x0f(t)dt+f(x)·arctanx-f(x)·arctanx-xf(x)1+x2
=11+x2∫x0f(t)dt-xf(x)1+x2，

由积分中值定理和f(x)单调递增得，当x>0时，ξ∈［0,x］，使得∫x0f(t)dt=xf(ξ)，且f(ξ)≤f(x)，从而

F′(x)=x1+x2［f(ξ)-f(x)］≤0，

当x<0时，ξ∈［x,0］，使得∫x0f(t)dt=xf(ξ)，且f(ξ)≥f(x)，从而

F′(x)=x1+x2［f(ξ)-f(x)］≤0，

因此F(x)在(-∞,+∞)内单调递减。
二、 函数方程
例1.6已知在x=0有界的连续函数f(x)满足关系式f(x)+12fx2=x2，求f(x)的表达式。
【解】由题设的递推关系式f(x)=x2-12fx2，反复使用可得

f(x)=x2-12fx2=x2-12x22-12fx22
=x2-12x22+122fx22=x2-12x22+122x222-123fx23
=x21-123+126-…+(-1)n-1123(n-1)+(-1)n12nfx2n，

由题设知fx2n有界，因此limn→∞(-1)n12nfx2n=0，令n→∞，对f(x)的表达式两边同时取极限得

f(x)=x2limn→∞1-123+126-…+(-1)n-1123(n-1)+limn→∞(-1)n12nfx2n
=x21-123+126-…+(-1)n-1123(n-1)+…=x2·11+123=89x2。

例1.7设函数f(x)在R上连续，f(1)=2，对任意的x,y恒有等式f(x+y)=f(x)f(y)成立，证明f(x)=2x。
【证】由f(0)=f(0+0)=f2(0)得f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，则f(1)=0与已知f(1)=2矛盾，故f(0)=1。
先证对任意有理数x结论成立。对于正整数n，有

f(1)=f1n+1n+…+1nn=fn1n=2，则f1n=21n。

对正有理数mn（其中m,n为正整数），有

fmn=f1n+1n+…+1nm=fm1n=2mn，

即对任意正有理数x，f(x)=2x成立。若x为负有理数，则-x为正有理数，由

1=f(x-x)=f(x)f(-x)=2-xf(x)

得f(x)=2x，因此对任何有理数x结论都成立。
再证对任意无理数x结论成立。因x是无理数，则存在有理数列{rn}，使得limn→∞rn=x，由连续函数的性质知

f(x)= limn→∞f(rn)= limn→∞2rn=2x，

从而结论对所有实数都成立。
例1.8设α≥0,β≥0,α+β=1，对任意的x,y(x≠y)有f(y)-f(x)y-x=f′(αx+βy)，求可微函数f(x)。
【解】令x=u-βv,y=u+αv，则y-x=v,αx+βy=u，故

f(y)-f(x)=f(u+αv)-f(u-βv)=vf′(u)，

对v求导两次可得

α2f″(u+αv)=β2f″(u-βv)，

即α2f″(y)=β2f″(x)对一切x,y都成立。
（1） 若α≠β，则f″(x)=0，积分得所求函数为f(x)=C1x+C2，其中C1,C2为任意常数。
（2） 若α=β，则f″(x)=C，积分可得f(x)=D1x2+D2x+D3，其中D1,D2,D3为任意常数。
例1.9设f(x)处处可微且对所有xy≠1的实数x,y，都有f(x)+f(y)= fx+y1-xy，求所有满足条件的函数f(x)。
【解】对函数方程分别求关于x和y的偏导，得

f′(x)=1+y2(1-xy)2f′x+y1-xy，f′(y)=1+x2(1-xy)2f′x+y1-xy，

因此

(1+x2)f′(x)=(1+y2)f′(y)，

由于上式的左边仅依赖于x而右边仅依赖于y，故它们必为常数C，于是

f′(x)=C1+x2，

两边积分，得

f(x)=Carctanx+d，

又由f(0)=0得d=0，所以f(x)=Carctanx，其中C为任意常数。
例1.10设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，3f(x)-4f(4x)+f(16x)= 3x(x∈R)，求f(x)的表达式。
【解】将x换成x4k，则

3fx4k-4fx4k-1+fx4k-2=3·x4k，

令k=2,3,…,n+2，然后对所有等式求和，得

3fx4n+2-fx4n+1-3fx4+f(x)=3x421+14+…+14n，

令n→∞，由于f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，因此

-3fx4+f(x)=3x42·11-14=x4，

即f(x)-3fx4=x4。将x换成x4k，同时等式两端乘以3k，得

3kfx4k-3k+1fx4k+1=3kx4k+1，

令k=0,1,2,…,n，然后对所有等式求和，得

f(x)-3n+1fx4n+1=x41+34+…+3n4n，

令n→∞，得

f(x)-limn→∞3n+1fx4n+1=x4·11-34=x。

当x≠0时，将等式3f(x)-4f(4x)+f(16x)=3x两边同时除以x，再取x→0时的极限得

3limx→0f(x)x-16limx→0f(4x)4x+16limx→0f(16x)16x=3，

由函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，得limx→0f(x)x=1，因此

limn→∞3n+1fx4n+1= limn→∞3n+1x4n+1·fx4n+1x4n+1=xlimn→∞34n+1limn→∞fx4n+1x4n+1=0，

从而f(x)=x(x≠0)。又f(x)在x=0处连续，且f(0)=0，所以f(x)=x(x∈R)。
例1.11设函数f(x)在R上有定义，在任意闭区间［a,b］上可积，f(1)=23，若对任意实数x,y，满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)，求f(x)。
【解】记∫10f(t)dt=A，对任意固定的x，将已知等式两边在［0,1］上对y求积分得

∫10f(x+y)dy=f(x)+A+x3+x22。

令x+y=t，得∫10f(x+y)dy=∫x+1xf(t)dt，于是

∫x+1xf(t)dt=f(x)+A+x3+x22。

因为f(x)在［a,b］上可积，所以∫x+1xf(t)dt在［a,b］上连续，故f(x)=∫x+1xf(t)dt-A-x3-x22在［a,b］上连续，从而∫x+1xf(t)dt在［a,b］上可导，上式两端对x求导，得

f(x+1)-f(x)=f′(x)+x+13，

在已知条件f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)中，令x=y=0，得f(0)=0，令y=1，得

f(x+1)-f(x)=f(1)+x+x2，

从而

f′(x)=f(1)-13+x2=x2+13，

积分得

f(x)=13x+13x3+C。

由f(0)=0得C=0，于是

f(x)=13x+13x3,x∈R。

综合训练
1.  设f(x)的定义域为(0,1)，［x］表示不超过x的最大整数，求f［x］x的定义域。
2.  设区间(0,+∞)上的函数u(x)定义为u(x)=∫+∞0e-xt2dt，求u(x)的初等函数表达式。
3.  设f:R→R是严格单调递增函数，f-1是f的反函数，若x1是方程f(x)+x=a的根，x2是f-1(x)+x=a的根，求x1+x2的值。
4.  求函数y=x+1,x≥0,

x3,-1≤x<0,

-1-x,x<-1 的反函数及反函数的定义域。
5.  证明f(x)=xcosx不是周期函数。
6.  设函数f(x)满足f(x2)=f(x)，且在x=0和x=1处连续，证明f(x)≡C（常数）。
7.  设f(x)是连续函数，对任意x满足f(2x2-1)=xf(x)，且f(1)=0，证明对于-1≤x≤1，恒有f(x)=0。
8. 找出定义在(-∞,+∞)内的所有可微函数f:R→R, 使得对任意正整数n，恒有等式f′(x)=f(x+n)-f(x)n成立。
9.  对任意的x,y∈R有|f(x+y)-f(x-y)-y|≤y2，且f(0)=0，求函数f(x)的表达式。
10. 设函数f(x)在(0,+∞)内连续，且f(1)=3，对任意的x,y∈(0,+∞)，恒有等式

∫xy1f(t)dt=y∫x1f(t)dt+x∫y1f(t)dt

成立，求函数f(x)的表达式。


第二讲数列的极限





知识点
1. 确界的定义： 设E为实数集，β∈R，满足（1）x∈E，x≤β，（2）ε>0，x0∈E，使得x0>β-ε，则称β为数集E的上确界，记作β=supE，同理可以定义α为数集E的下确界，记作α=infE。
2. 连续性公理： 有上（下）界的数集一定存在上（下）确界。
3. 数列极限的定义： limn→∞an=aε>0，N∈N+，当n>N时，有|an-a|<ε。
4. 若数列{an}存在极限，则该数列的极限唯一。
5. 若数列{an}存在极限，则该数列一定有界，即M>0，使得|an|≤M(n=1,2,…)。

6. 若数列{an}存在极限a，且a>0(a<0)，则N∈N+，当n>N时，有an>0(an<0)。

7. 若极限limn→∞an=a，且an≥0(n=1,2,…)，则a≥0。

8. 若极限limn→∞an=a，且a≠0，则N∈N+，当n>N时，恒有|an|>|a|2。
9. 若limn→∞an=a，则limn→∞|an|=|a|，反之不一定成立。
10. limn→∞|an|=0limn→∞an=0。
11. 设an>0(n=1,2,…)，且limn→∞an=a>0，则limn→∞an=a。
12. 若数列{an}有界，又limn→∞bn=0，则limn→∞anbn=0。
13. 若数列{an}和{bn}存在极限，则{an±bn},{anbn}和anbn(limn→∞bn≠0)均存在极限，且
（1） limn→∞(an±bn)= limn→∞an±limn→∞bn； 
（2） limn→∞kan=klimn→∞an，其中k为常数； 
（3） limn→∞anbn= limn→∞an·limn→∞bn； 
（4） limn→∞anbn=limn→∞anlimn→∞bn(limn→∞bn≠0)。
14. 数列{an}收敛，{bn}发散，则{an+bn}必发散； 数列{an}，{bn}都发散，则数列{an+bn}和{anbn}可能收敛，也可能发散。
15.  几个重要的数列极限： 
（1） limn→∞na=1(a>0)。
（2） limn→∞nn=1。
（3） 当|q|<1时，limn→∞qn=0； 当|q|>1时，极限limn→∞qn不存在； limn→∞(-1)n不存在。
（4） limn→∞1+1nn=e。
（5） limn→∞1+12+13+…+1n-lnn=γ（欧拉常数）。
16.  夹逼准则： 对n∈N+，若bn≤an≤cn，且limn→∞bn= limn→∞cn=a，则limn→∞an=a。
17. 单调有界准则： 单调有界数列一定收敛。单调无界数列是确定符号的无穷大量。
18.  闭区间套定理： 对n∈N+，若闭区间序列［an,bn］满足an≤an+1≤bn+1≤bn，则存在ξ，使得an≤ξ≤bn。如果limn→∞|an-bn|=0，则存在唯一ξ，使得limn→∞an= limn→∞bn=ξ。
19. 凝聚定理（Weierstrass定理）： 有界数列必有收敛子列。
20. 若数列{an}收敛，则其任何子数列{ank}也收敛，且limk→∞ank= limn→∞an。
21. 拉链定理： limn→∞an=alimn→∞a2n= limn→∞a2n+1=a。
22. p拉链定理： limn→∞an=alimn→∞apn= limn→∞apn+1=…= limn→∞apn+(n-1)=a(p∈N+)。
23. 判定数列发散的方法： 对于一个数列{an}，如果能找到一个发散的子数列，则原数列发散； 如果能找到两个子数列收敛于不同的极限，则原数列也发散。
24. Cauchy收敛准则： limn→∞an=aε>0，N∈N+，对n,m>N，有|an-am|<ε。或limn→∞an=aε>0，N∈N+，对n>N和p∈N+，有|an+p-an|<ε。
25. Cauchy命题： 若limn→∞an=a，则limn→∞a1+a2+…+ann=a。
26. 设an>0，若limn→∞an+1an=a，则limn→∞nan=a。
27. 若limn→∞an=A，limn→∞bn=B，则limn→∞a1bn+a2bn-1+…+anb1n=AB。
28. *∞型的Stolz定理： 设{bn}为严格单调增加的数列，limn→∞bn=+∞，若limn→∞an-an-1bn-bn-1=A，则limn→∞anbn=A（A为有限数或±∞）。
29. 00型的Stolz定理： 设{bn}为严格单调减少的数列，limn→∞an= limn→∞bn=0，若