第11章恒定磁场
磁场是广泛存在的，地球、恒星、行星，以及星际空间，都存在着磁场。甚至在人体内，伴随着生命活动，一些组织和器官内也会产生微弱的磁场。在如今高度发达的现代文明社会中，人们常会不自觉地与磁现象打交道。当你在计算机上完成工作，通过硬盘存储数据； 当你用微波炉热一杯牛奶； 当你乘磁悬浮列车旅游； 当你用手机接收和发送各种信息； 当你打开音响聆听音乐……所有这一切，都与磁现象有关。实际上，一切磁现象本质上都是由运动电荷间相互作用而产生的。前两章我们讨论静止电荷间相互作用的规律，本章将讨论运动电荷间相互作用的规律。首先介绍常见的运动电荷系统，即电流的规律，然后说明运动电荷间相互作用的磁力，并引入磁场的概念，研究恒定磁场的性质和规律，恒定磁场对电流和单个运动电荷的作用，



以及磁场与介质的相互作用。主要介绍描述磁场性质的重要物理量——磁感应强度，毕奥萨伐尔定律，磁场中的高斯定理和安培环路定理，安培定律公式和洛伦兹力公式，以及磁介质的磁化现象。
汉斯·克里斯蒂安·奥斯特(Hans Christian Oersted,
1777—1851)，丹麦物理学家、化学家。奥斯特早在读大学时就深受康德哲学思想的影响，认为各种自然力都来自同一根源，可以相互转化。他一直坚信电和磁之间一定有某种关系，电一定可以转化为磁。奥斯特通过实验发现了电流磁效应，揭开了物理学史上的一个新纪元，促进了19世纪中叶电磁理论的统一和发展。
*11.1恒定电流电源电动势
研究静电场我们是从产生电场的电荷开始逐步展开的。尽管恒定磁场与静电场的性质、规律不尽相同，但是它们在研究方法上却有类似之处。研究恒定磁场，我们也从产生恒定磁场的恒定电流以及产生恒定电流的电源开始。
11.1.1电流和电流密度
静电场中，当导体达到静电平衡时，导体内部的场强处处为零，整个导体是个等势体，导体内部的电荷由于没有电场力的作用不能继续作定向移动。但是，如果我们设法使导体内部维持一定的电场分布或存在一定的电势差，则在导体内部就会形成大量电荷的定向移动。我们把电荷的定向运动称为电流。形成电流的带电粒子统称为载流子。载流子可以是金属中带负电的自由电子，电解质中的正、负离子或半导体材料中带正电的“空穴”等。
电流的强弱用电流［强度］来描述，用符号I表示，定义为单位时间内通过导体某一横截面积的电量。若在dt时间内，通过导体某一截面S的电量为dq，则通过该截面的电流为

I=dqdt(111)

在国际单位制中，电流的单位为A（安［培］），1A=1C·s－1。常用的还有mA(毫安)和μA(微安)。

1A=103mA=106μA 






电流是标量，但有方向性，其方向规定为沿着电场方向，从高电势处流向低电势处。
常见的电流是沿着一根导线流动的电流。实际上还常常遇到在大块导体中产生的电流，整个导体内各处的电流形成一个“电流场”，电流的分布一般是不均匀的。如闪电产生的通过大气的电流，地质勘探中利用的大地中的电流等。在这些情况下为了描述导体中各处电荷定向运动的情况，必须引入电流密度的概念。 


图111电流与电流密度矢量

电流密度用符号j表示，它是个矢量，导体内某处电流密度的大小等于在该点附近垂直于载流子运动方向的单位面积的电流，其方向就是该点处正电荷运动的方向。如图111所示，若已知导体内某处的面元dS与电流密度j的方向间夹角为θ，流过dS的电流为dI，则由这个定义可得该点处的电流密度的大小为

j=dIdS⊥=dIdScosθ(112)

式中dS⊥=dScosθ为面元dS在垂直于电流密度方向的投影。在国际单位制中，电流密度的单位为A·m－2(安每平方米)。
式(112)可写成

dI=jdScosθ=j·dS(113)

而通过导体任一有限截面S的电流则为

I=∫Sj·dS(114)


根据电流形成的微观图像，我们还可以进一步得出导体中电流和电流密度与载流子的微观运动量的关系。以金属导体为例，在没有外电场作用时，金属中的自由电子不停地与正离子组成的晶格碰撞作无规则运动，其平均速度为零，不会形成电流。在外电场作用下，每个电子在无规则运动的基础上叠加了一个与外电场相反方向的定向运动，定向运动的平均速度又称为漂移速度，用符号vd表示。正是由于这个漂移速度的存在，才在导体中形成宏观的电流。在导体内取一与vd方向垂直的面元dS，如图112所示，设金属导体中自由电子数密度为n，每个电子的漂移速度均为vd，考虑到每个电子的电量的绝对值为e，故在dt时间内，通过面元dS的电量dq=envddtdS，由式(111)可得面元dS处的电流dI和电流密度j的大小分别为

dI=envddS(115)
j=envd(116)

上两式表明，金属导体中的电流和电流密度均与自由电子数密度和漂移速度成正比。


图112电流与载流子微观运动量的关系

式(115)和式(116)对一般导体或半导体也可适用，只要把式中自由电子的电量e换成载流子的电量q，漂移速度vd换成载流子的平均定向运动速度v-即可。
金属导体内部的自由电子的漂移速度大约只有10－4m·s－1的数量级，原因是自由电子与晶格正离子的碰撞非常频繁，只能在碰撞间隙被电场加速，而每次碰撞又会减速，宏观上表现为导体具有一定的电阻。由此可见，漂移速度不但跟外加电场有关还与导体材料的性质有关。因而，导体中各点的电流密度与导体中的电场强度分布以及导体材料性质有关。可以证明，通过导体中任一点的电流密度j与该点的电场强度E 成正比，两者方向相同。即

j=γE (117)

式中比例系数γ与导体材料性质有关，称为金属导体的电导率，反映了其导电性能。电导率γ是电阻率ρ的倒数。上式是欧姆定律的微分形式。 
11.1.2电源和电动势
若导体内各处电流密度不随时间改变，即导体中的电流I为常量，则这种电流称为恒定电流，又称为直流电。由式(117)可知，要维持恒定电流，必须在导体内建立一个不随时间变化的恒定电场。电源的作用就是使与之连接的导体的两端保持恒定的电势差，从而在导体内建立恒定电场，维持恒定电流。


图113电源电动势

电源是如何工作的呢？在10.5节静电场的能量中我们提到过充电后的电容器可以存储静电能，将充电后的电容器通过导线与灯泡连接，你会发现灯泡发光并瞬间熄灭。这说明，电容器与灯泡连接时将静电能转换成了灯泡发光的光能。在这一放电过程中，电容器正极板上的正电荷通过灯泡流入负极板与其上的负电荷中和，这样两极板上的电荷逐渐减少，极板间的电势差也逐渐下降，电流很快也就消失了。要想维持灯泡持续发光，必须设法使到达负极板的正电荷沿电容器内部重新移到正极板，使得两个极板始终保持一定的电荷量，两极板间才能保持恒定电势差，电路中才有恒定电流。显然，对于只能提供静电力的电容器是无法实现这一点的。必须依靠除静电力以外的力，这种力称为非静电力。电源就是一种提供非静电力的装置。电源也有正、负极板，其内部存在非静电场，正是这种非静电场提供的非静电力使正电荷从负极沿电源内电路克服静电力做功重新回到正极，从而维持稳定的电流。如图113所示，电池(电源)、灯泡、检流计和导线组成了一个闭合电路。电路接通后，你将会看到灯泡始终亮着，检流计的示值也始终不变，说明电路中始终保持恒定电流。
当电流流经电路时，灯泡会发光发热，这表明闭合电路中有能量消耗。而恒定电场是保守场，电荷绕电路一周静电力做的功应为零，显然不可能提供电路中消耗的能量。实际上，是电源通过非静电力做功将其他形式的能量(如电池通过消耗内部的化学能)来转化为电能以提供电路中的能量消耗的。为了表述不同电源转化电能的能力，我们引入电动势这一物理量，用符号ε表示。电源的电动势等于把单位正电荷从负极板经电源内部移到正极板时非静电力所做的功。若我们类比静电场强度E定义电源内部产生的非静电场场强，用符号Ek表示(其物理意义是单位正电荷所受的非静电力)，则电源的电动势表示为

ε=∫LEk·dl(118)

式中L为单位电荷在电路中的非静电场区经过的路径。
与电流一样，电动势是标量，且有规定的方向。我们规定，从电源负极经电源内部到正极的方向(电势升高的方向)为电动势的方向。
在国际单位制中，电动势的单位为V(伏［特］)。虽然其单位与电势差的单位相同，但物理意义完全不同。电动势的大小反映电源中非静电场力做功的本领，只取决于电源本身性质，与外电路性质无关。
11.2磁场的描述
11.2.1磁现象与电荷运动的关系

人类发现磁现象远比发现电现象要早得多。中国在战国时期已经发现了天然磁铁矿石吸引铁的现象。磁铁能吸引铁、钴、镍等物质的性质称为磁性。磁铁总是存在两个磁性最强的区域，称为磁极。如果将条形磁铁悬挂起来，使它能够在水平面内自由转动，当它静止时，两个磁极总是大致沿着地理的南北方向，指向北方的磁极称为磁北极(N极)，指向南方的磁极称为磁南极(S极)。两块磁铁的磁极之间存在相互作用力，同名磁极互相排斥，异名磁极互相吸引。
除了磁铁之间存在相互作用力外，1820年4月，丹麦物理学家奥斯特在一次讲座上做演示实验时，偶然发现小磁针在通电导线周围会发生偏转，如图114所示，实验说明电流对磁针有作用力。紧接着法国物理学家安培通过实验发现，磁铁对电流有作用力，电流与电流之间也存在作用力，如图115所示。这些作用力统称为磁力。这些实验现象都表明磁现象与电荷的运动之间有着密切的联系。



图114奥斯特实验






图115磁相互作用



1821年安培为了解释磁铁间的相互磁作用(即磁铁的磁性)，提出了分子电流假说，他认为： 磁性的根源在于电流。磁性物质的分子中存在着回路电流，称为分子电流，每个分子电流都相当于一个基元磁体，当物质中的所有分子电流有规则排列时，就对外呈现出磁性。现代科学理论表明，分子电流是原子中的电子绕原子核的轨道运动以及电子本身的自旋运动所形成的等效电流。而导线中的电流则是由于电荷的定向运动形成的，因此我们可以说，一切磁现象本质上都源于运动电荷。磁相互作用就是运动电荷与运动电荷间的作用。
11.2.2磁场和磁感应强度
磁相互作用是如何达成的呢？1851年，法拉第提出了磁场的概念，指出磁体和电流都会在其周围激发磁场，处在磁场中的其他磁体和电流会受到磁场力的作用。就本质而言，就是运动电荷在空间激发了磁场，处在磁场中的其他运动电荷会受到磁场力的作用。因此，与静止电荷间的相互作用一样，运动电荷间的相互作用也是通过场来传递的，其相互作用可表示为




恒定电流周围激发的磁场不会随时间发生变化，称为恒定磁场，本章将着重讨论恒定磁场的基本性质和规律。而变化的电流会激发随时间变化的磁场，我们将在下一章进行讨论。
与电场一样，磁场也是客观存在的特殊形态的物质，它有两个重要的特性： 
(1)  磁场对进入场中的运动电荷或载流导体会产生磁力的作用； 
(2)  磁场会对在场中运动的载流导体做功，磁场力能够做功表明磁场具有能量。
我们曾经用电场强度E来描述电场的力学性质，同理，我们引入一个磁感应强度B来描述磁场的力学性质，B的大小反映磁场的强弱，方向代表磁场的方向。
我们通过观察磁场对单个运动电荷的作用，来定义磁感应强度B。 如图116所示，在磁场空间引入一个速度为v的带正电的试验电荷q0，观察试验电荷在磁场中的受力情况，实验结果如下： 
(1) 试验电荷q0受到的磁场力F不仅与试验电荷q0所在场点的性质有关，还与其电量q0以及速度v有关，说明磁场力F不能完全体现磁场本身的性质。 
(2) 在场中的任一定点，当试验电荷q0沿某一特定方向运动时，q0不受磁场力作用，即F=0； 当q0沿与该特定方向垂直的方向运动时，q0受到的磁场力为最大值Fmax。
(3) 最大磁场力Fmax与试验电荷的电量q0和速率v成正比，但比值Fmax/q0v与运动电荷无关，仅与场点的性质有关，该比值反映该点磁场的强弱。
因此，我们定义磁场中某点的磁感强度B的大小为

B=Fmaxqv(119)

规定空间某一场点B的方向(即该处的磁场方向)，由在该点的小磁针静止时N极的指向表示。实验表明，该方向也是运动试验电荷q0所受磁场力F=0时的运动方向。
在国际单位制中，磁感强度的单位为T（特［斯拉］），1T=1N·A－1·m－1。


图116定义磁感应强度实验


11.2.3磁感应线
与静电场类似，除了用磁感应强度描述磁场外，我们还用磁感应线来形象地描绘磁场的空间分布。通常规定磁感应线上每一点的切线方向与该点的磁场方向一致，且使通过与磁场方向相垂直的单位面积的磁感应线条数(即磁感应线密度)与这一点的磁感强度大小成正比。也就是说，磁感应线的疏密程度反映磁场强弱。
磁场的磁感应线可以用实验方法显示。在磁场中放置一块玻璃板，在玻璃板上均匀地撒一些铁粉，铁粉在磁场中被磁化后相当于小磁针，轻敲玻璃板，铁粉就会按照磁场方向排列起来，显示出磁感应线的形状，如图117所示。还可以用计算机模拟磁场的磁感应线，如图118所示。



图117铁粉显示的条形磁铁周围磁场的磁感应线




图118计算机模拟演示地球的磁场


图119是几种典型恒定磁场的磁感应线分布示意图。图(a)是载流直导线周围的磁感应线分布图； 图(b)是载流圆环周围的磁感应线分布图； 图(c)是载流螺线管周围的磁感应线分布图。


图119几种典型恒定磁场的磁感应线分布示意图


总结上面几种电流的磁感应线分布情况，可以得出磁感应线的下列特征： 
(1) 磁感应线永不相交； 
(2) 磁感应线是闭合曲线，没有起点，也没有终点； 
(3) 磁感线的回转方向与电流的方向成右手螺旋关系。
11.3毕奥萨伐尔定律及其应用
11.3.1毕奥萨伐尔定律

1820年奥斯特发现了电流的磁效应，那么，电流在其周围产生的磁场的分布有什么规律？除了用铁粉显示磁感线的形状来定性观察电流磁场分布外，最先对电流磁场分布进行定量描述的是法国两位物理学家毕奥和萨伐尔。他们通过长直和弯折载流导线对磁极作用力的实验，得出了作用力与距离和弯折角的关系。后来在法国数学家和物理学家拉普拉斯的帮助下，通过科学抽象得到了电流元对磁极作用力的规律，并总结为电流元产生的磁感应强度定律——毕奥萨伐尔定律。
如图1110所示，在任意形状的载流导线中通有电流I，在导线上任意点取线元矢量dl，其方向与该点的电流的流向一致，我们将矢量Idl称为电流元，则毕奥萨伐尔定律表述为： 在真空中，电流元Idl在某点P处产生的磁感应强度dB的大小与电流元Idl的大小成正比，与从电流元到P点的位矢r和电流元方向的夹角θ的正弦成正比，与电流元到P点的距离r的平方成反比，即

dB=kIdlsinθr2(1110)



图1110毕奥萨伐尔定律

式中，比例系数k=μ04π。其中μ0=4π×10－7N·A－2，称为真空磁导率。dB的方向总是垂直于Idl和r所构成的平面，并沿着由Idl经小于180°的角转向r时的右手螺旋前进方向(图1110)。因此可把毕奥萨伐尔定律公式写成矢量形式

dB=μ04πIdl×err2(1111)

式中，er为位矢r的单位矢量。
11.3.2毕奥萨伐尔定律的应用
毕奥萨伐尔定律是一个微分定律，是对电流元所产生的磁场的计算，那么如何应用毕奥萨伐尔定律计算一段载流导线的磁场分布呢？
实验证明，磁感应强度可以满足叠加原理，因此在计算载流导线的磁场分布时，我们也可以将载流导线看作由许多电流元组成，根据毕奥萨伐尔定律公式算出电流元Idl产生的磁感应强度dB，则整段载流导线产生的磁感应强度B为所有电流元产生的dB的叠加，即

B=∫ldB=∫lμ04πIdl×err2(1112)


下面举例说明如何运用上式求解载流导线所产生的磁场。


图1111载流长直导线产生的磁场

例11.1载流长直导线的磁场。用毕奥萨伐尔定律计算载流长直导线附近任意一点P的磁感应强度。设载流长直导线通电电流为I，长度为L，P点到导线的垂直距离为x。
解： 如图1111所示，从P点作直导线的垂线PO，则PO=x。在载流长直导线上距离O点为l的位置处取一电流元Idl，设Idl到P点的位置矢量为r，Idl与r的夹角为θ，根据毕奥萨伐尔定律，电流元Idl在P点产生的磁感应强度方向垂直于纸面向里。由于导线上所有电流元产生的磁感应强度方向均相同，由式(1112)可得P点磁感应强度大小为

B=∫LdB=∫Lμ04πIdlsinθr2

方向垂直于纸面向里。上式中r、θ和l都是变量，因此在积分以前我们首先要统一变量。由几何关系得

l=xtan(π－θ)=－xtanθ
dl=xsin2θdθ，r=xsin(π－θ)=xsinθ

则

B=∫θ2θ1μ0I4πxsinθdθ=μ0I4πxcosθ1－cosθ2(1113)

其中θ1和θ2分别是载流直导线的起点和末点处的电流元与该处r矢量之间的夹角。
(1) 当xL时，导线可视为“无限长”，这时θ1=0，θ2=π，P点磁感应强度为

B=μ0I2πx(1114)


可见，“无限长”载流直导线周围的磁感应强度B与场点到直导线的垂直距离x成反比，其磁场分布具有轴对称分布特点，磁感线应是垂直于导线的平面内以导线为中心的一系列同心圆，如图119(a)所示。
(2) 对于在长直导线某一端附近与其垂直距离为x的点，导线可视为“半无限长”，这时θ1=π/2，θ2=π，P点磁感应强度为

B=μ0I4πx(1115)


例11.2圆电流(载流圆形线圈)的磁场。用毕奥萨伐尔定律计算圆电流轴线上任意一点P的磁感应强度。设圆电流通有电流I，其半径为R，P点到圆心O 的距离为x。
解: 如图1112所示，在圆电流上任意位置取电流元Idl，Idl矢量与电流元到P点的位矢r的夹角为90°，因此根据毕奥萨伐尔定律，电流元在P点产生的磁感应强度dB的大小为

dB=μ04πIdlr2



图1112圆电流轴线上的磁场

dB的方向垂直于Idl与r构成的平面。不同位置的电流元在P点产生的磁感应强度dB的方向不同，应将dB分解成与x轴平行和垂直的两个分量，有

dB∥=dBsinθ，dB⊥=dBcosθ

其中，θ角也等于矢径r与x轴之间的夹角。考虑到对称性，所有电流元产生的分量dB⊥互相抵消，而分量dB∥相互加强，因此整个圆电流在P点的总磁感应强度B的方向与x轴方向相同，其大小为

B=∮ldB∥=∮lμ04πIdlr2sinθ

对于轴线上确定的点P而言，r、θ是积分不变量，因此

B=μ04πIsinθr2∮ldl=μ04πIsinθr2×2πR=μ0IR2r2sinθ

由图1112中的几何关系可知sinθ=R/r，r=R2+x2，故有

B=μ0IR22R2+x23/2(1116)


对上式讨论，可见： 
(1) 在圆电流的圆心O处，x=0，磁感应强度的大小为

BO=μ0I2R(1117)


(2) 在远离圆电流处，xR，磁感应强度的大小为

B=μ0IR22x3=μ0IS2πx3(1118)

式中S=πR2，为圆电流的面积。规定面积S的正法线方向与圆电流的流向成右手螺旋关系，其单位矢量用en表示。定义圆电流的磁矩为

m=ISen(1119)



图1113分子电流的磁矩

考虑到磁感应强度的方向，式(1117)可写为

B=μ0m2πx3 (1120)

上式表明，当场点离圆电流很远，或当圆电流面积很小时，圆电流激发的磁场与其圆面垂直，B的大小与其磁矩m成正比。此时，可以将圆电流视为磁偶极子，如图1113所示。这就是安培分子电流假说中磁体内部的每个分子电流都相当于一个基元磁体，可以产生磁场的原因。
11.4磁通量与磁场的高斯定理
在静电场中，我们曾经利用电场线以及电通量的概念，将场源电荷与它们的电场分布的关系用高斯定理表示出来。静电场的高斯定理告诉我们静电场是有源场，那么，磁场的高斯定理又是怎样的，磁场是有源场还是无源场呢？本节，我们将利用磁感应线的概念，推出磁场的高斯定理，讨论磁场的性质。在介绍高斯定理之前，我们先引入磁通量的概念。
11.4.1磁通量
与电通量的定义类似，我们将通过磁场中某一曲面的磁感应线条数叫作通过该曲面的磁感应强度通量，简称磁通量，用符号Φm表示。


图1114任意曲面的磁通量

设空间磁场分布如图1114所示，在曲面S上任意一点处取面元dS，dS的方向与该点处的磁感应强度B方向的夹角为θ。若规定磁场中某点处垂直于磁场方向的单位面积上通过的磁感应线条数(即磁感应线密度)等于该点的磁感强度大小，则根据磁通量的定义，通过面元dS的磁通量为

dΦm=BdScosθ=B·dS (1121)

对上式求积分即得通过整个曲面S的磁通量，即

Φm=∫SdΦm=∫SB·dS(1122)


在国际单位制中，磁通量的单位为Wb(韦伯)。


图1115矩形线圈平面的磁通量

例11.3如图1115所示，在通电电流为I的“无限长”载流直导线旁，平行放置一个长为l1、宽为l2的矩形线圈。若矩形线圈左边与直导线距离为a，试求通过该矩形线圈的磁通量。
解: 建立坐标系如图1115所示。由式(1114)可知，在距离长直导线为x处的场点的磁感应强度大小为

B=μ0I2πx

方向垂直纸面向里。在矩形线圈平面上距离长直导线为x处取面元dS=l2dx，取顺时针方向为矩形线圈回路的正方向，则dS的方向垂直纸面向里，与该处的B的方向相同，故通过该面元的磁通量为

dΦm=B·dS=BdS=μ0I2πxl2dx

积分得通过矩形平面的总磁通量为