第一部分问题之理解











曰： 遂古之初，谁传道之？
上下未形，何由考之？
冥昭瞢暗，谁能极之？
冯翼惟像，何以识之？
明明暗暗，惟时何为？
阴阳三合，何本何化？
圜则九重，孰营度之？
惟兹何功，孰初作之？
斡维焉系？天极焉加？
八柱何当？东南何亏？
九天之际，安放安属？
隅隈多有，谁知其数？
——屈原《天问》

一连串天地之问，展现了诗人非凡的胸襟和品格。一个人终极关怀的问题往往决定着其最终的层次和品格。



南宋绘画大师梁楷的《太白行吟图》





第1章





一元二次方程配方求解

问题是一门学问的核心。好的问题往往能孕育出新理论、新方法、新工具。解方程就是一个很好的数学问题，它孕育了复数，由此建立了强大的复变函数理论及分析工具； 更孕育出现代数学的开端——群论。下面就来看看解方程是如何孕育出群论的。
不妨以一元二次方程的求解为例： 
ax2+bx+c=0,a≠0（1.1）
这里a、b、c为有理数。我们知道，为了解此方程，需要将此方程左边配方成如下形式： 
ax2+bax+b2a2－b24a+c=ax+b2a2－b2－4ac4a（1.2）
令
y=x+b2a（1.3）



s=b2-4ac4a2（1.4）

伽罗瓦群论之美——高次方程不可根式求解证明赏析
第1章一元二次方程配方求解



上面方程（1.2）便变为如下一元二次常数方程： 
y2=s（1.5）
这样y便可用根式表达出来
y=±s（1.6）
进而原方程的两个根便可求出
x1,x2=－b±b2－4ac2a（1.7）
上述是大家都熟知的一元二次方程配方求解方法。下面要考虑的是： 这种方法能否用于求解一元三次、一元四次，乃至任意次一元多项式方程呢？











空山新雨后，天气晚来秋。
明月松间照，清泉石上流。
竹喧归浣女，莲动下渔舟。
随意春芳歇，王孙自可留。
——王维 《山居秋暝》

仿佛一幅画。点明了画中最让人愉悦的亮点，并用语言极其传神地表达出来——“明月松间照，清泉石上流”。




北宋画家范宽的《溪山行旅图》






第2章





一元三次方程置换求解


不妨先看下面的一元三次方程： 
ax3+bx2+cx+d=0,a≠0（2.1）
按照第1章求解一元二次方程的配方方法，我们需要通过配方将方程（2.1）变成如下形式的三次常数方程： 
y3=s，s是一个常数（2.2）
但我们发现直接仿照一元二次方程的配方方法，是不能将方程（2.1）变成方程（2.2）形式的，除非一元三次方程（2.1）的系数a、b、c满足一定条件。
现在我们换个角度看第1章一元二次方程的求解。不妨将配方法看成是通过引入如下变换： 
y=x+b2a（2.3）
伽罗瓦群论之美——高次方程不可根式求解证明赏析
第2章一元三次方程置换求解

将一般一元二次方程变成了一个一元二次常数方程。按照这个角度去看一元三次方程求解，我们的问题就变成： 是否可以找到一个变换y=f(x)，能将一般一元三次方程变成一元三次常数方程？
下面的关键就是找到这个变换。在对新问题没有清晰思路的情况下，不妨回到与此相关的老问题上。为此，对一元二次方程求解公式再做一点分析，看看能否找到思路。很显然，一元二次方程的根表达式中的根号项很重要，因为从某种意义上说，它是将一般一元二次方程转化成一元二次常数方程（形如x2=s)所要进行的变换。为了看清楚此变换，将方程（1.7）写成
x1,x2=12－ba±ba2－4ca（2.4）
根据韦达定理，有
x1+x2=-ba

x1x2=ca（2.5）
可以知道根号部分实际上就是±(x1－x2)。也就是说，经过变换式y1=x1-x2和y2=x2-x1而得的y1和y2满足一元二次常数方程。由此可见，变换式是方程两个根的线性组合，组合系数是1和-1。这组组合系数1和-1恰巧是二次单位根。两个具体变换式正是这组组合系数——两个二次单位根交换位置而成： 变换式y1是单位根1作为x1的