


第
3章

控制系统的结构分析


3.1线性系统的可控性与可观测性
经典控制理论中用传递函数描述系统的输入输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。�?偅i
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。状态方程描述输入u(t)引起状态x(t)的变化过程； 输出方程描述由状态变化所引起的输出y(t)的变化，可控性和可观性正是定性地分别描述输入u(t)对状态x(t)的控制能力，输出y(t)对状态x(t)的反映能力。

3.1.1可控性与可观测性的概念
控制系统通常由被控对象(或过程)和控制器所组成，如图31所示。如果被控对象的状态X(t)并不符合预期的要求，甚至还有不稳定现象，


图31控制系统框图

那么能否通过控制器向被控对象提供一合适的控制，以使被控对象的状态获得如期的要求，有一个满意的，甚至是最优的性能，且使这样的控制过程成为物理上可实现的，这时至少有两个问题需要解决。

(1) 由控制器所提供的控制作用是否必然能对系统的所有状态变量起到控制作用。能否使系统在有限的时间内，从任一初始状态转移到希望的状态。
(2) 控制器发出的控制，理所当然地应根据系统的实际状态来确定，但是系统的这些状态往往并不是都可以观测得到的。也就是说，当对系统进行一段时间的观测后，能否由系统的观测值来推断系统的初始状态。

前者便是即将讨论的所谓可控制问题，而后者则是所谓系统的可观测性问题，这是现代控制理论中的两个基础性概念。它从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面，揭示了控制系统的基本属性。现代控制理论中所研究的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以可控性和可观测性为存在条件的。只有状态完全可控的系统才具有最优控制规律。而且只有状态可观测的系统其状态变量才是最优估计的，虽然大多数实际的工程问题是可控的和可观测的，但如果处理不当，对应的数学模型，可能是不可控和不可观测的。因此在着手进行最优控制设计之前，应研究系统的可控性和可观测性。

粗略地讲，可控性是指控制输入影响每一状态变量的能力，而可观测性是指每一状态变量影响系统输出的能力。例如在图32所示的某加热系统中，C1和C2为混合加热槽的热容量，W为流量和比热的积，u1和u2为此热系统的输入控制量，流体的温度x1和x2是此系统的状态变量。从图中可以看出： 控制量u2不但影响x2，也影响x1，所以对u2来说，x1和x2都是可控的。由于u1的作用不能影响上流测的温度x2，故对u1来说，x2是不可控的。另外，由于温度x1与上流测的温度x2有关系，所以如果把x1 作为系统输出y，系统是完全可观测的。反过来若以x2 作为系统的输出y，则系统不是完全可观测的。下面将较深入地讨论线性定常情况下系统的可控性与可观测的问题。




图32加热系统 


(a) 示意图； (b) 控制系统







3.1.2线性定常系统的可控性判别准则
1. 可控性的定义

如果在有限时间区间t0＜t＜tf内，存在一个任意取值的控制u(t)，能使此系统从初始状态x(t0)转移到任何另一状态(例如目标状态或终止状态)，则称系统在t=t0是状态可控，如果在有限时间内，对于任何t0下的初态都可控，则称系统为状态完全可控。如果系统有一个或几个状态变量不可控，则称这一状态不可控，或状态不完全可控。从这个定义可知，系统的可控性问题是解决： 当对系统施加一定的控制作用时，能否使系统在有限的时间内，从任意初始状态转移到希望的状态。
对于线性定常系统来说，如果在某一有限时间内状态可控，那么以任意时刻为初始时刻的状态，在相应的有限时间内也必可控，这就是说，线性定常系统只要在某时间t=t0是状态可控，那么系统一定属状态完全可控，而且由初态转移到目标状态的时间间隔，也和初始时刻t0的选择无关。


图33电桥电路

可控性是系统的一种内在性质，是系统在输入作用下其内部状态转移能力的标志，它仅仅决定于系统矩阵A和B的形态。例如图33的电桥电路，其状态方程为

x·1

x·2=01

－a2－a1x1

x2+0

bu(t)

即x·1=x2

x·2=－a2x1－a1x2+bu(t)

而x1=ucx2=u·c=1cic

a1=L(ra+rb+rc+rd)D+C(rarbrc+rarbrd+rarcrd+rbrcrd)D

a2=rarc+rard+rbrc+rbrdD

b=rbrc－rardD

D=CL(rarb+rard+rbrc+rcrd)

式中，L、C 、ra 、rb 、rc 、rd分别是电路中的电感、电容和电阻； uc和ic分别是电容器的端电压和电流。

从上式可知，只有当电桥不平衡时，即rard≠rbrc(或b≠0)时，才是可控的。这时状态变量x1、x2才随控制u(t)的变化而变化。但若电桥处于平衡(rard=rbrc)，那么不管u(t)如何变化，系统的状态变量x1(t)、x2(t)并不受其影响，这显然是由于电路本身的缘故。由此可见，系统的可控与否是有条件的。

2. 线性定常系统的可控性判别准则
为了数学上处理方便，研究可控性的条件时，规定初始时刻t0=0，将系统终端状态作为状态空间的原点，即X(tf)=0，这些条件只需简单地进行坐标变换便可达到。其中tf为终端时间。
连续线性定常的状态方程为

X·(t)=AX(t)+Bu(t)

其解可由式(266)确定为

X(t)=eA(t－t0)X(t0)+∫tt0eA(t－τ)Bu(τ)dτ(31)

由前面可知，当t=tf时，X(tf)=0，所以式(31)可变为

eA(tf－t0)X(t0)+∫tft0eA(tf－τ)Bu(τ)dτ=0

两端左乘e－A(tf－t0)得：

X(t0)=－∫tft0eA(t0－τ)Bu(τ)dτ(32)


根据矩阵的余数定理，矩阵指数可表示成有限项之和，即：

eA(t0－τ)=∑n－1j=0aj(t0－τ)Aj

代入式(32)得：

X(t0)=－∑n－1j=0AjB∫tft0aj(t0－τ)u(τ)dτ(33)

令∫tft0aj(t0－τ)u(τ)dτ=βj(j=0，1，2，…，n－1)
代入式(33)得：


X(t0)=－∑n－1j=0AjBβj

=－［Bβ0+ABβ1+A2Bβ2+…+An－2Bβn－2+An－1Bβn－1］

=－B︙AB︙A2B︙…︙An－1Bβ0

β1

β2

︙

βn－1(34)


由此可以看出，上式是一个关于βj的非齐次线性方程组。如果n×n阶矩阵

θ=B︙AB︙A2B︙…︙An－1B

是满秩矩阵，即矩阵θ的秩为n或rankθ=n，则式(34)中βj有解，这意味着从式(33)中可找得u(t)，将此u(t)施加于系统，可使系统在(t0，tf)间隔内，由初始状态转移到终端状态，根据前面所述的定义，这样的系统是可控的，归纳上述推理，可将可控性判别准则叙述如下。

线性定常控制系统其状态完全可控的必要和充分条件是n×n阶矩阵

θ=B︙AB︙A2B︙…︙An－1B(35)

的秩序为n，即列矢量BAB…An－1B是线性独立的。
例3.1图32所示加热系统的状态方程为

x·1

x·2=－11

0－2x1

x2+1

0u1+0

2u1

试分析此系统的状态可控性。
解： 由状态方程可写出各系数矩阵

A=－11

0－2,B1=1

0,B2=0

2

由于AB1=－11

0－21

0=－1

0

θ=［B1︙AB1］=1－1

00

1－1

00=0,rankθ＜2

所以对于u1来说，系统状态是不完全可控的。另外，由于

AB2=－11

0－20

2=2

－4

θ=B2AB2=02

2－4

02

2－4≠0,rankθ=2

所以对于u2来说，系统的状态是完全可控的。
3.1.3线性定常系统可观测性判别准则
1. 可观测性定义

如果系统在初始时刻t=t0时的状态X(t0)，可在一个有限的时间间隔t0≤t≤tf内，通过输出变量的观测值y(t)来确定，则称系统在时刻t0的状态X(t0)为可观测的，如果系统在所讨论的时间区间上均为可观测的，则称系统为完全可观测。对于线性定常系统而言，如在某时刻t0时的状态X(t0)可观测，则系统一定可观测。
由此定义可以看出，系统的可观测性必然会与状态方程和输出方程两者都有关，而可控性却与状态方程有关。
在通常情况下，一个动力学系统往往不能满足性能上的要求，故需要引进适当的校正装置，使系统能在最优工作状态下进行。这种装置的校正信号，通常是系统状态变量的线性组合，因此有必要研究这些状态变量是否可观测。另外，在实际系统中，不是所有的状态变量都能测量到，因此要解决如何从某些便于测量的状态变量的观测中获得全部状态变量的信号，这种要求也需要我们去研究系统的可观测性。
2. 线性定常系统的可观测性判别准则
系统的状态方程和输出方程分别为


X·=AX+Bu

Y=CX


由式(266)可写出方程的解和系统的输出变量：

Y(t)=CX(t)=CeA(t－t0)X(t0)+C∫tt0eA(t－τ)Bu(τ)dτ(36)

根据可观测的定义知，系统是否是可观测的，决定于由式(36)确定的输出关系能否求出初始状态变量X(t0)。令

K(tf)=Y(t)－C∫tft0eA(t－τ)Bu(τ)dτ(37)

是观测值，减去一个已知值，故仍为已知值，将式(37)代入式(36)，并注意矩阵指数有限项和的表达式：

eA(t－t0)=∑n－1j=0ajAj

则可得到关于X(t0)的非齐次代数方程组：


K(t)=CeA(t－t0)X(t0)

=C∑n－1j=0ajAjX(t0)

=a0Ia1I…an－1IC

…

CA

…

CA2

︙

…

CAn－1x1(t0)

x2(t0)

x3(t0)

︙

xn(t0)


要由此非齐次代数方程解出X(t0)，必须要求矩阵

θ=C

…

CA

…

CA2

︙

…

CAn－1(38)

是满秩，即要求

rankθ=n

归纳上述推导，可将系统可观测性判别准则表述如下： 
如果系统的可观测性判别矩阵θ是满秩矩阵，则系统是可观测的。从上述分析可知，系统的输入不影响系统的可观测性。
例3.2试分析例3.1所示加热系统的可观测性。
解： 由加热系统的状态方程直接可写出其系统矩阵

A=－11

0－2

若以状态变量x1为输出变量y1(t)，则可写出：

y1(t)=x1(t)=10x1

x2=C1X

由此求出对应输出y1(t)的观测矩阵

C1=10

由于


C1A=10－11

0－2=－11

θ=C1

C1A=10

－11

10

－11=1≠0

rankθ=2


即系统的可观测性判别矩阵θ的秩为2，它是满秩矩阵，因此当以x1为输出时，此系统是状态完全可观测的。
若以x2(t)为输出y2(t)，则：


y2(t)=x2(t)=［01］x1
x2=C2X

C2=01

C2A=01－11

0－2=0－2

θ=C2

C2A=01

0－2

01

0－2=0

rankθ＜2


由此可知，若以x2(t)为输出时，系统的可观测性判别矩阵θ不是满秩的，因此系统状态是不完全可观测的。
3.1.4可控标准形与可观测标准形
1. 可控标准形

由于状态变量选择的非唯一性，故系统的状态空间描述也不是唯一的。一个系统通过变换成简单而典型的形式，对于揭示系统的本质特征是很有意义的，前面已经分析指出系统的可控性是非常重要的，所以有必要介绍系统的可控标准形。若系统的状态空间表达式是可控标准形，那么该系统的状态必是可控的； 若系统的状态是可控的，那么系统的状态空间表达式必能变换成可控标准形。
设单输入单输出系统


x·=Ax+bu

y=Cx


式中，C为1×n的任意常数阵，若系数矩阵A和b分别为

A-=01……0

00…0

︙︙︙︙

00……1

－a0－a1……－an－1,b-=0

0

︙

︙

1(39)

式中，a0，a1，…，an－1是系统特征方程式的各项系数。则由式(39)中A-和b-组成的状态方程为可控标准形。
要把系统的状态空间表达式变换成可控标准形，可按以下步骤进行： 
(1) 求系统的可控性矩阵Qc，并判断系统是否可控(系统可控一定可以变换成可控标准形)。
(2) 计算系统的特征多项式det(sI－A)=sn+an－1sn－1+…+a1s+a0。
(3) 计算变换矩阵P：

P=p1p2…pn－1

p1p2…pn=Qca1a2…an－11

a2

︙

an－10

1

(4) 计算A-、b-、C-：

A-=PAP－1，b-=Pb，C-=CP－1

(5) 得到系统的可控标准形：


x=A-

x-+b-u

y=C-x-


例3.3已知线性定常系统


x·=－110

0－10

00－2x+0

1

1u

y=110x


把它变换成可控标准形。
解： 可控性矩阵

Qc=bAbA2b=01－2

1－11

1－24

rankQc=3，系统可控。
特征方程式为

det(sI－A)=s+1－10

0s+10

00s+2=s3+4s2+5s+2

变换矩阵P为


p1p2p3=Qc541

410

100=210

231

121


P=p1p2p3－1=210

231

121－1=1－11

－12－2

1－34

A-=PAP－1=010

001

－2－5－4，b-=Pb=0

0

1，C-=CP－1=441


所以系统的可控标准形为


x=010

001

－2－5－4x-+0

0

1u

y=441x-


2. 可观测标准形
由于系统的可控标准形和可观测标准形对系统的分析和综合有着十分重要的意义，前面已经分析了系统的可控标准形，这里介绍系统的可观测标准形。若系统的状态是可观测的，那么系统的状态空间表达式必能变换成可观测标准形； 若系统的状态空间表达式是可观测标准形，那么该系统的状态必是可观测的。
设单输入单输出系统


x·=Ax+bu

y=Cx


是可观测的，则存在非奇异变换使其状态方程变为


x=A～x～+b～u

y=C～x～

其中

A～=00…0－a0

10……－a1

︙︙︙︙

00…︙

00…1－an－1，
b～=β0

β1

︙

︙

βn－1，C～=00…01(310)

式中，a0，a1，…，an－1是系统特征方程式的各项系数。则式(310)所示系统为可观测标准形。
要把系统的状态空间表达式变换成可观测标准形，可按以下步骤进行： 
(1) 求系统的可观测性矩阵Q0，并判断系统是否可观测(系统可观测一定可以变换成可观测标准形)。
(2) 计算变换矩阵T：

T=T1AT1…An－1T1

T1=Q－100

︙

︙

1

(3) 计算A～、b～、C～：

A～=T－1AT，b～=T－1b，C～=CT

(4) 得到系统的可观测标准形：

x=A～x～+b～u

y=C～x～

例3.4已知线性定常系统

x·=120

3－11

020x+2

1

1u

y=001x

把它变换成可观测标准形。
解： 可观测性矩阵

Qo=C

CA

CA2=001

020

6－22

rankQo=3，系统可观测。
变换矩阵T为


T1=Q－1o0

0

1=1/6

0

0

T=T1AT1A2T1=1/61/67/6

01/20

001

A～=T－1AT=00－2

109

010，b～=Tb=3

2

1，C～=CT－1=001


所以系统的可观测标准形为


x=00－2

109

010x～+3

2

1u

y=001x～