第3章平面传输线 平面传输线是20世纪60年代发展起来的一种微波传输线，随着微波集成电路（Microwave Integrated Circuits，MIC）的发展，这种体积小、重量轻、易于集成的平面传输线得到广泛应用。平面传输线还具有频带宽、成本低、可靠性高等优点。缺点是损耗较大、功率容量较低，适用于中、小功率。 平面传输线不仅在微波集成电路中充当连接各元件和器件的传输线，还可以用来构成电感、电容、谐振器、滤波器、功分器、耦合器等无源器件。 平面传输线有多种结构形式，如微带线、带状线、共面波导、槽线、基片集成波导等。这种平面结构通过调节平面上的二维尺寸即可控制其传输特性。微带传输线一般传输的是TEM波，因此用等效电路来分析，但是其等效电路比较复杂，要用到复变函数的保角变换。在需要考虑传输线中的高次模时，用规则波导的场理论。 本章主要讨论带状线和微带线的主要特性和设计方法，介绍共面带状线、共面波导、槽线、基片集成波导等在平面集成电路中常用的平面传输线。 3.1带状线 带状线（stripline），也叫带线，如图31所示，由上、下两块接地板和中间一条导体带条组成。中心导带一般位于上、下接地板的对称面上，其余部分填充均匀介质，一般介质的相对磁导率μr=1，相对介电常数为εr。上、下接地板间距b，导体带宽度和厚度分别为W、t，导体带宽度W远小于工作波长。 图31带状线结构 带状传输线可以看成是由同轴线演变而来的，如图32所示。带状线的主模也是TEM模，所以是宽带传输线。图33是带状线TEM模的场结构，与同轴线的类似，电力线由金属导体带指向接地板，磁力线环绕导体带。 图32同轴线向带状线的演化 图33带状线的场结构 3.1.1特性阻抗、传播常数和波导波长 与同轴线相同，描述带状线的特性参量有特性阻抗、相速度和波导波长等。 带状线所传输的主模是TEM模。在无耗情况下，其相速度 vp=1LC（31） 式中，L、C分别为带状线单位长度上的分布电感和分布电容。相速度也可用式（32）表示，即 vp=cεrμr（32） 式中，c=3×108m/s，是电磁波在真空中的光速。因此，带状线的传播常数为 β=ωvp=ωμ0μrε0εr（33） 带状线的特性阻抗 Zc=LC（34） 或 Zc=1vpC（35） 因此，只要求出带状线的等效电容C，就可以确定其特性阻抗Zc。 用保角变换法可以得到带状线的单位长度分布电容，然而求解公式中含有复杂的特殊函数，为了应用方便起见，通过对于精确解的曲线拟合得到了简单的公式。下面分薄导体带和厚导体带两种情况进行讨论。 当导体带厚度很薄，即t→0时，带状线特性阻抗计算公式为 Zc=30πεrbWe+0.441b（36） 式中，We是带状线的有效宽度，根据宽度的不同，分两种情况计算： Web=Wb-0，Wb>0.35 (0.35-W/b)2，Wb<0.35（37） 当金属导带厚度t不能忽略，即t≠0时，导体带的宽度W对分布电容影响较大，因此分为宽导体带和窄导体带两种情况考虑。特性阻抗的具体计算公式比较烦琐，这里从略。根据公式绘制的特性阻抗曲线如图34所示。需要注意的是纵坐标是εrZc，横坐标是W/b。图中还画出了t=0的特性阻抗曲线。 图34带状线的特性阻抗曲线 带状线的主模是TEM模，所以它的波导波长就是TEM模的波导波长，即 λg=λ0εr（38） 例31工作频率4GHz，用相对介电常数εr为2.25、厚度为3.6mm的介质基板。若t=0，设计特性阻抗为50Ω的带状线，并求带状线上的波导波长λg和相速度vp。 解： 工作波长λ0＝c/f＝7.5cm，εrZc＝1.5×50＝75（Ω）。 查图34中t/b=0的曲线，得W/b＝0.8，所以W＝3.6×0.8=2.88(mm)。则 λg=λ0/εr＝5cm vp=c/εr＝2×1010cm/s 3.1.2特性阻抗的数值解 带状线特性阻抗不能得到解析解，需要用数值方法求解。基本思路是首先利用单位长度上的电荷分布求得电容，再由式（35）得到其特性阻抗。下面介绍带状线特性阻抗的数值解法。 观察图33中带状线的场结构，可以看出电力线集中在中心导体带附近，因此可以在横向限定一个范围，如在导体带两侧|x|=a/2位置处放置两个金属壁。建立图35所示的数值求解模型，导体带厚度很薄，可忽略； 且ba，使围绕导体带的场不受侧壁干扰。这样，在这一有限区域，电势满足拉普拉斯方程 2tΦ(x，y)=0，-a/2≤x≤a/2，0≤y≤b(39) 图35带状线特性阻抗数值求解模型 及边界条件 Φ(x，y)=0，x=±a/2 Φ(x，y)=0，y=0，b(310) 用分离变量法求解该齐次方程。中心导体带在y=b/2处有面电荷密度D=-ε0εrtΦ，D在y=b/2处是不连续的，因此在两个区域的通解分别为 Φ(x，y)=∑2n-1n=1Ancosnπxasinhnπya，0≤y≤b/2 ∑2n-1n=1Bncosnπxasinhnπ(b-y)a，b/2≤y≤b(311) 这个解是x的偶函数，因此只有奇次项，并且满足边界条件式(310)。 电势在y=b/2处必须连续，因此若式(311)中 An=Bn，则 An可通过求解导体带上的电荷密度得到。因为Ey=-Φ/y，所以有(312) Ey=-∑2n-1n=1Annπacosnπxacoshnπya，0≤y≤b/2 ∑2n-1n=1Annπacosnπxacoshnπ(b-y)a，b/2≤y≤b(313) y=b/2处导体带上的面电荷密度为 ρS=Dy(x，y=b/2+)-Dy(x，y=b/2-) =ε0εr［Ey(x，y=b/2+)-Ey(x，y=b/2-)］ =2ε0εr∑2n-1n=1Annπacosnπxacoshnπba (314) 导体带上的面电荷密度近似为常数 ρS=1，|x|W/2(315) 由式(314)、式(315)，以及函数cos(nπx/a)的正交性，得到常数An为 An=2asin(nπW/2a)(nπ)2ε0εrcosh(nπb/2a)(316) 中心导体带上的电压为 V=-∫b/20Ey(x=0，y)dy=∑2n-1n=1Ansinhnπb2a(317) 中心导体带上单位长度的总电荷为 Q=-∫W/2-W/2ρS(x)dx=W（C/m）(318) 因此，带状线上单位长度电容为 C=QV=W∑2n-1n=12asin(nπW/2a)sinh(nπb/2a)(nπ)2ε0εrcosh(nπb/2a)（F/m）(319) 于是，特性阻抗为 Zc=LC=1vpC=εrcC(320) 例32计算带状线特性阻抗Zc。图35中，a=100b，εr=2.55，W/b=0.25～5.0，比较数值法和近似公式法的计算结果。 解： 编写计算机程序计算特性阻抗的数值解式（320），式(319)中的级数截断到500项。根据不同的W/b，用近似公式(36)计算带状线的特性阻抗，结果列于表31中。 表31例32用表 W/bZc数值解/ΩZc近似公式解/Ω 0.2598.886.6 0.573.362.7 1.049.041.0 2.028.424.2 3.516.815.0 5.011.810.8 可以看出，数值解与近似公式解比较一致，特别是对于导体带较宽的带状线。为了提高数值解的精度，可以采用更为精确的面电荷密度ρS的估计值。 3.1.3损耗和功率容量 带状线中有导体损耗、介质损耗和导体带的辐射损耗，一般导体带的宽度远小于接地板的宽度，而且接地板的间距b比工作波长小很多，所以将辐射损耗忽略不计。那么就只有导体损耗和介质损耗，用损耗常数表示为 α=αc+αd（321） 根据传输线理论，由式（120）得 αc=12RZc（322） αd=12GZc（323） 式中，R为带状线单位长度上的电阻； G为带状线单位长度上的漏电导； Zc为特性阻抗。 因为带状线的场分布是不均匀的，具体计算电流和αc比较烦琐，这里略去中间过程，只给出结果供参考。 对于宽导体带，即W/(b-t)≥0.35 αc=2.02×10-6fZcεrb×11-tb+2W/b(1-t/b)2+1π1+t/b(1-t/b)2ln11-t/b+111-t/b-1（dB/m）（324） 式中，f以GHz计。 对于窄导体带，即W/(b-t)<0.35。在t/b≤0.25和t/W ≤0.11条件下 αc=0.011402fεrεrZcb× 1+bd0.5+0.669tW-0.255tW2+12πln4Wωt（dB/m）（325） 式中，f同样以GHz计。d为窄导体带的等效圆柱形导体截面的直径，d的值可查有关微波手册。 这组式中αc是铜导体的衰减常数，若导体为其他材料，其αc值可由式（326）得到，即 αcαCu=RSRCu（326） 式中，αCu为铜的衰减常数； RS为其他导体材料的表面电阻率； RCu为铜导体的表面电阻率。 根据传输线理论，介质衰减常数αd为 αd=12GLC=12GωCωLC=πεrλ0tanδ（NP/m） =27.3εrλ0tanδ（dB/m） （327） 式中，λ0为自由空间波长； tanδ=GωC为介质损耗角的正切。 带状线传输的功率容量主要受两个因素的制约： 一是介质本身的击穿强度(与峰值功率相对应)； 二是介质本身所能承受的最高温升(与平均功率相对应)。这两点决定了带状线难以传输比较大的功率，尤其是中心导体带的棱角处最易发生电击穿。若把棱角改为光滑圆角，则其功率容量会有所提高。 3.1.4带状线的设计 带状线传输主模为TEM模，但若尺寸选择不当，或制作精度低等原因造成结构上的不均匀，则会产生高次模TE和TM。在选择尺寸时，应尽量避免高次模的出现。 带状线中TE模的最低次模是TE10模，其场结构如图36所示。沿导带宽度W有半个驻波，沿介质的厚度方向场不变化。其截止波长为 (λc)TE10≈2Wεr（328） 图36带状线中TE10模的横截面场结构 TM模的最低次模是TM10模。它的场沿导带宽度方向没有变化，沿介质厚度方向有半个驻波的分布。其介质波长为 (λc)TM01≈2bεr（329） 考虑所传输电磁波向两侧泄漏，上、下接地板的宽度不小于3W~6W。以上公式是在介质基板厚度远小于工作波长的情况下近似推导出来的。综上所述，带状线的尺寸选择为 λmin>2Wεr λmin>2bεr Wg=(3~6)W bλ0/2（330） 3.1.5耦合带状线 如果在带状线中再加一个中心导体带，而且两个导体带相距很近，则它们之间将有电磁能量的耦合，这就构成了耦合带状线，如图37（a）所示。金属导体带距离为s，其他几何参数同带状线。根据这两个导体带位置的不同，耦合带状线有多种形式。这里仅分析导带关于上、下接地板对称，且两个导体带宽度相等的耦合带状线的情况。 图37耦合带状线 耦合带状线上的主模是TEM模，用奇、偶模理论分析耦合带状线。图37（b）是偶模电场结构，图37（c）是奇模电场结构。下面给出Cohn计算奇模与偶模特性阻抗的公式，公式的近似条件是t/b<0.1、W/b>0.35。 εrZco=30π(b-t)W+bC2πAo（331） εrZce=30π(b-t)W+bC2πAe（332） 其中， Ao=1+ln(1+cothθ)0.6932，Ae=1+ln(1+tanhθ)0.6932 θ=πs2b，C=2ln2b-tb-t-tblnt(2b-t)(b-t)2 式中，tanh（·）和coth（·）分别是双曲正切函数和双曲余切函数。 若已知奇模特性阻抗和偶模特性阻抗，需要设计耦合带状线时，用以下一组公式： Wb=2πarctanh（koke）（333） sb=2πarctanh1-ko1-kekeko（334） 式中，arctanh（·）是反双曲正切函数。其中参量ko、ke的表示式为 ko，e=1-exp(πxo，e)-2exp(πxo，e)+241/2 =exp(π/xo，e)-2exp(π/xo，e)+22，0≤xo，e≤∞ xo，e=Zco，eεr30π 耦合带状线中的奇模和偶模，虽然场分布不同，但主模都是TEM模，而且它们又同时在均匀介质中传播，所以它们的传播速度，即相速度是相同的，即 vpo=vpe=vp=v0/εr（335） 同样，两者的波导波长也相等，即 λg=λ0/εr（336） 耦合带状线可以用来制作定向耦合器、带通滤波器、带阻滤波器、移相器等微波元件，以及其他用途的耦合电路。 3.2微带线 微带线是应用最多的一种传输线，其几何结构如图38所示。这是一种非对称的双导体平面传输系统，W是金属导体带宽度，t是厚度； εr和h分别是介质基片的相对介电常数和厚度； 介质基片和接地板宽度均为D。这种结构便于与其他传输线连接，也便于外接微波固体器件，以构成各种微波有源电路，其加工非常简单。 图38微带线结构 3.2.1微带线的主模 微带线可以看成是由平行双导线演变而来的，图39是其演化过程。在图39（a）所示的双导线的对称面上放置极薄金属板，这样就不会影响其场结构，然后抽去下方导线，并将上方导线压扁，在导体板之间再填充介质基片，即构成微带线。介质基片应采用损耗小、黏附性强、均匀性和热传导性好的材料，并且要求介质的相对介电常数随频率和温度变化也较小。 图39双导线向微带线的演变 图39（c）、（d）中画出了微带线的电力线和磁力线分布，其形状大体上是双导线场结构的一半。但由于金属导带处于空气和介质基片组成的“混合”介质之间，场分量除了满足金属边界条件之外，还要满足不同介质分界面上的边界条件。因而电磁场可能存在纵向分量Ez和Hz，所以也可能传输TE模或TM模。不过可以证明在基片厚度hλ的条件下，场纵向分量很小，可以近似地看成是TEM波，人们把微带线中传输的主模叫作“准TEM波”。 3.2.2特性阻抗、传播常数和波导波长 微带线的介质包括空气和介质基片，因此相对介电常数不能只用空气的或者基片的，这里引入等效相对介电常数的概念。等效相对介电常数用εre表示，定义为实际微带线的单位长度等效电容C1与相同结构的只填充空气的单位长度微带线的等效电容C0之比，即 εre=C1C0（337） 其意义可用图310予以说明。若金属导体带周围介质均为空气，εr=1，则传输系统传输TEM波，相速度就是电磁波在空气中的传播速度，vp=c，且特性阻抗为 Z0c=L0C0=1cC0（338） 图310微带线的有效相对介电常数 若金属导带周围介质均为相对介电常数为εr的介质，则传输系统仍传输TEM波，且相速度和特性阻抗分别为 v′p=cεr（339） Z′c=1cεrC0（340） 所以实际微带线的相速度应介于c与c/εr之间，实际的特性阻抗介于Z0c和Z′c之间。由此，可以将实际微带线看作在金属导体带周围填充单一的、均匀的、相对介电常数为εre的介质，如图310(c)所示。相速度和特性阻抗分别为 vp=cεre（341） Zc=1cεreC0=Z0cεre（342） 同时，其波导波长为 λg=λ0εre（343） 3.2.3特性阻抗的近似公式 只要求得微带线的有效相对介电常数εre，然后求出同样结构的填充空气的单位长度分布电容C0或者特性阻抗Z0c，便可由式（337）、式（338）和式（342）计算微带线的特性阻抗。其中等效电容可由保角变换法得到，具体步骤从略。下面直接给出特性阻抗值的近似公式。 在导体带厚度趋于0，即t≈0，且0.051的介质的填充程度。当q=0，εre=1时，表示导体带周围全部填充空气； 当q=1时，εre=εr时，表示导体带周围全部填充相对介电常数为εr的介质。通常01时（t≈0） Zc=120πεre1Wh+2.42-0.44hW+1-hW6（348） 当Wh时（t≈0） Zc=60π2εre11+πW2h+ln1+πW2h（349） 或用更精确的公式 Zc=60πεre1W2h+1hln2πeW2h+0.94 （350） 从这些近似公式可以定性地看出，随着W/h的增大，有效相对介电常数逐渐增大，特性阻抗Zc逐渐减小。 有时已知参数εr和所需微带线的特性阻抗，要求尺寸比值W/h。这时用到另一组公式。首先计算中间参量A和B： A=Zc60εr+1212+εr-1εr+10.23+0.11εr（351） B=377πc2Zcεr（352） 对于A≤1.52，有 Wh=8eAe2A-2（353） 对于A>1.52，有 Wh=2πB-1-ln(2B-1)+εr-12εrln(B-1)+0.39-0.61εr（354） 当导体带厚度不趋于0，即t≠0时，相当于导体带的边缘电容增加了，等效为导体带宽度增加了ΔW，只要导体带宽度加上ΔW，用W+ΔW代替W，以上计算公式均可用。ΔW的计算公式为 ΔW=tπln4πWt+1，W/h<12π tπln2ht+1，W/h≥12π（355） 以上公式的运用比较烦琐，首先要判断用哪一个公式，然后用相应公式计算。为了避免烦琐的重复计算，将Wheeler公式的计算结果绘成图或制成表以供查用，这里从略。 图解法和查表法在微带线发展初期曾起过重要作用。随着数值计算方法的不断改进和计算机技术的提高，专用软件成为微波电路设计的一般方法，专用软件使用方便、精度高，成为工程设计和科学研究的有力工具。下面介绍一种较为精确的计算微带线特性阻抗的数值方法。 3.2.4特性阻抗的近似静电解 与上一节带状线分析的处理方法类似，微带线接地板宽度为a，建立如图311所示的直角坐标系，在|x|=a/2处放置导电壁，y向趋于无穷远。由于ah，所以x=±a/2处电力线分布对微带线影响很小，可以忽略不计。两侧壁之间区域的拉普拉斯方程为 2tΦ(x，y)=0，-a/2≤x≤a/2，0≤y<∞(356) 图311建立直角坐标系 边界条件为 Φ(x，y)=0，x=±a/2 Φ(x，y)=0，y=0，∞(357) 因为存在空气介质分界面，在导体带上有电荷不连续性，所以在这些区域分别有Φ(x，y)的表达式。用分离变量法求解该齐次方程，并利用以上边界条件，得到这两个区域的通解为 Φ(x，y)=∑2n-1n=1Ancosnπxasinhnπya，0≤y≤h ∑2n-1n=1Bncosnπxae-nπy/a，d≤y<∞(358) 电势在y=h处必须连续，因此式(358)中 Ansinhnπha=Bne-nπh/a(359) An通过求解导体带上的电荷密度得到。 首先计算Ey=-Φ/y，然后求得在y=h处的电荷密度为 ρS=Dy(x，y=h+)-Dy(x，y=h-) =ε0［Ey(x，y=h+)-Ey(x，y=h-)］ =ε0∑2n-1n=1Annπacosnπxasinhnπha+εrcoshnπha(360) 导体带上的面电荷密度近似为常数 ρS=1，|x|W/2(361) 令式(360)和式(361)相等，并利用函数cos(nπx/a)的正交性，得到常数An为 An=4asin(nπW/2a)(nπ)2ε0［sinh(nπd/2a)+εrcosh(nπd/2a)］(362) 导体带与接地面之间的电压为 U=-∫d0Ey(x=0，y)dy=∑2n-1n=1Ansinhnπh2a(363) 中心导体带上单位长度的总电荷为 Q=∫W/2-W/2ρS(x)dx=W（C/m）(364) 因此，带状线上单位长度电容为 C=QU=W∑2n-1n=14asin(nπW/2a)sinh(nπh/a)(nπ)2ε0［sinh(nπh/a)+εrcosh(nπh/a)］（F/m）(365) 令C0表示填充空气（εr=1）的微带线的单位长度电容； C表示填充相对介电常数为εr的微带线的单位长度电容，则由式（337）可得有效相对介电常数，由式（342）计算特性阻抗。 例33计算微带线的特性阻抗Zc。图311中，a=100b，εr=2.55，W/h=0.25～10.0，比较近似数值解和近似公式解的计算结果。 解： 编写计算机程序计算特性阻抗的数值解式。分别将εr=1和εr=2.55代入式（365）计算C0和C1，由式（337）计算有效相对介电常数εre，由式(342)计算特性阻抗。式（365）中的级数截断到50项，计算结果列于表32中。 表32例33表 W/h 数值解近似公式解 εreZc/ΩεreZc/Ω 0.51.977100.91.938119.8 1.01.98994.91.99089.9 2.02.03675.82.06862.2 4.02.17945.02.16339.3 7.02.28729.52.24525.6 10.02.35121.72.19819.1 数值解与近似公式解比较一致，采用更为精确的面电荷密度ρS的估计值，可以提高数值解的精度。 3.2.5损耗 微带线的损耗主要包括导体损耗、介质损耗和辐射损耗，其衰减常数分别为αc、αd和αr。若微带线的尺寸选择得当，当频率不很高时，辐射损耗很小，可以忽略不计。微带线的损耗主要表现为导体损耗和介质损耗，其衰减常数为 α=αc+αd（366） 1. 导体损耗 微带线中高频电流沿导体带及接地板周界是非均匀分布的，精确的闭合解析式很难得到。在特殊情况下，可用数值方法求解，实践证明，工程上可以用以下近似公式计算。 当W/h≤12π时 αcZchRS=8.682π1-We4h21+hWe+hπWeln4πWt+tW（367） 当12π2时 αcZchRS=8.68Weh+2πln2πe×pWe2h+0.942Weh+We/πhWe2h+0.94× 1+hWe+hπWeln2ht-th（369） 其中，We=ΔW+W,将这些公式的计算结果绘成曲线，图312画出了3条不同t/h值时，αcZch/RS随W/h的变化曲线。可见随着微带线宽度W的增加，其特性阻抗Zc是减小的，导体损耗αc也是减小的。 图312微带线中导体损耗随W/h的变化曲线 2. 介质损耗 设电磁场全部处于介质基片中，介质的介电常数为ε，磁导率为μ0，电导率为σ。根据坡印廷矢量，通过功率为 P=∫s12Re(E×H*)·ds＝12η∫s|E|2·ds（370） 式中，η为TEM波的波阻抗。单位长度中的损耗功率为 (PL)d=∫v12σE·E*·dvL=12σ∫s|E|2·ds（371） 由式（2100），介质损耗常数为 αd=(PL)d2P=σ2μ0ε=σ2ωε(ωμ0ε)=tanδ2k（372） 式中，tanδ=σ/(ωε)是介质损耗角正切； k=2πλg，为TEM波的传播常数，其中λg=λ0/εr为介质中的波导波长，简称介质波长。若采用cm为单位，则 αd=27.31λgtanδ（373） 实际上，微带线中的场并非全部集中在介质内，因此αd的值要比式（373）的近似值略小，可以证明介质衰减常数为 αd=27.3qεrεretanδλg（374） 式中，q=(εe-1)/(εr-1)叫作填充因子，αd的单位为dB/cm。 αc和αd主要由介质基板的材料决定，还与工作频率等因素有关。 3.2.6微带线的色散 上面分析的结论都是基于基片厚度hλ的条件下微带线传输TEM波而得到的，在频率较低时是正确的。当频率较高时，微带线中的TE模和TM模所组成的混合模是不能忽略的，微带线的波导波长λg、相速度vp和特性阻抗Zc会随频率而变化，即必须考虑色散效应。这些参数的变化主要通过有效相对介电常数εre体现出来。 对于给定的微带线，存在一个临界频率fc，低于这一频率时色散现象可以忽略。临界频率的近似计算公式是 fc=0.95(εr-1)1/4Zch(GHz)（375） 式中，介质基片厚度h的单位以mm计。例如，对于特性阻抗为50Ω、介质相对介电常数为9、厚度为1mm的微带线，按式（375）计算得到fc=4GHz。 当微带线的工作频率高于这一临界频率时，必须考虑色散效应。根据近似理论和近似方法的不同，有多种结论和公式可供参考，这里介绍其中的一种。 当微带线的几何尺寸W和h不小于1/4波长或半波长时，准TEM波将有明显的色散特性。色散特性可用有效相对介电常数εre随频率的变化来表示。在f≤100GHz，2<εr<16，0.06≤W/h≤16条件下，修正公式为 εre(f)=εr-εre1+4F-1.5+εre2（376） 式中， F=4hεr-1λ00.5+1+2ln1+Wh2 εre是不考虑色散效应的有效相对介电常数。相应的特性阻抗修正公式为 Zc(f)=Zcεre(f)-1εre-1+εreεre(f)（377） 3.2.7微带线的高次模和微带线的设计 如果微带线的工作频率比较高，其工作波长与尺寸可比拟时，微带线中就会出现高次模。微带线中的高次模有两种： 波导模和表面波模，为了实现主模TEM模传输，就必须抑制波导模和表面波模。 1. 波导模 波导模存在于导体带与接地板之间所填充的介质中，这时导体带与接地板之间实际构成了宽W、高h、填充相对介电常数为εr的平行板波导，有TE模和TM模。最低次模为TE10模，其截止波长为 (λc)TE10=2Wεr，t=0 (2W+0.8h)εr，t≠0（378） TE10模的场结构如图313所示。场沿x方向是半个驻波，电场Ey在x=W/2处为0，在x=0处，W相对于开路，是波腹点； 沿y方向没有变化，呈均匀分布。 图313TE10模的场结构 微带线中TM模的最低模是TM01模，其场结构如图314所示。场沿x方向均匀分布，沿y方向呈半驻波分布，电场Ey在y=0，h是波腹点，y=h/2是波节点。TM01模的截止波长为 (λc)TM01=2hεr（379） 图314TM01模的场结构 为了抑制波导模，微带线的最小工作波长应该满足 λmin>max［(λc)TE10，(λc)TM01］（380） 已知工作波长，由式（378）~式（380）确定微带线的几何尺寸W和h。 2. 表面波模 表面波大部分分布在靠近接地板的填充介质中，并且沿着接地板表面传播，也分TE模和TM模。TE模没有纵向（z向）电场分量，横向电场只有Ex分量，磁场有Hy和Hz分量； TM模没有纵向磁场分量，横向磁场只有Hx分量，电场有Ey、Ez分量。对于表面波模来说，可以假定所有的场分量在x方向无变化，而只在y方向有变化，因此只用一个表示y方向的下标即可，如TE0、TE1、TE2、…、TM0、TM1、TM2等。下标0表示在微带线横截面内，场量沿y方向的完整的“半个驻波”数为0，不足一个，但有一个最大值； 下标1表示在微带线横截面内，场量沿y方向的完整的“半个驻波”数为1，有2个最大值； 以此类推。 表面波中TE模的最低次模为TE0模，其截止波长为 λc=4hεr-1（381） 表面波中TM模的最低次模为TM0模，其截止波长为 λc=∞（382） 可见，对于TE0模，用设计尺寸的办法容易抑制，只要工作波长大于截止波长。但是TM0模不易抑制。实际上在微带线中，只有当表面波的相速度与准TEM波的相速度相同时，这两种模才会发生强耦合，使准TEM波不能正常传播。因此只要避免这两种情况即可。 TE模与准TEM模的相速度相同，两者之间发生强耦合的频率为 fTE=32c8hεr-1（383） TM模与准TEM模的相速度相同，两者之间发生强耦合的频率为 fTM≈2c4hεr-1（384） 式中,c为自由空间电磁波的传播速度。在微带线的设计中，为了避免准TEM模与高次模发生强耦合，工作频率应低于fTE和fTM两者中的较低者； 若工作频率较高，可采用εr和h较小的介质基片，借以提高fTE和fTM，从而达到避免强耦合的目的。 综上所述，抑制TE、TM波导模和TE表面波模，可以采用选择合适尺寸的方法。最小工作波长满足以下公式： λmin>2Wεr 2hεr 4hεr-1（385） 抑制TM表面波和TE表面波模最好的方法是使TEM波不与之发生强耦合，即工作频率不要选择式（383）和式（384）所确定的频率。 3.2.8耦合微带线 在微带线旁边再加一条导体带即构成耦合微带线，如图315所示。耦合微带线的间距为S，其他几何参量意义同微带线。耦合微带线被广泛应用于定向耦合器、滤波器、阻抗匹配网络及移相器中。 图315耦合微带线 对于这样的三导体系统，精确计算其传输参量将更为复杂。常用的方法与微带线一样，是准静态场法，即把耦合微带线中传输的模看作准TEM模，采用奇模激励和偶模激励两种状态对它进行分析，其他激励状态可以看作是这两种状态的叠加。 所谓奇模激励，就是在耦合线的两个中心导体带上加幅度相等、相位相反的电压，其场结构如图316所示。耦合线对称面上电场强度的切向分量为0，此对称面称为电壁。偶模激励，就是在耦合线的两个中心导体带上加幅度相等、相位相同的电压，其场结构如图317所示。耦合线对称面上磁场强度的切向分量为0，此对称面称为磁壁。用保角变换法可分别求出相应于奇模激励和偶模激励的电容、有效相对介电常数、相速度、特性阻抗及波导波长。下面给出的是导体带厚度t→0时耦合微带线特性参数。 图316对称微带线奇模激励的电场分布 图317对称微带线偶模激励的电场分布 若耦合微带线填充的完全是空气介质，单根导体带对接地板的奇模电容为Co(1)，偶模电容为Ce(1)； 若耦合微带线填充的完全是相对介电常数为εr的介质，单根导体带对接地板的奇模电容为Co(εr)，偶模电容为Ce(εr)。那么耦合微带线的奇模和偶模有效相对介电常数分别为 εeo=Co(εr)Co(1)=1+qo(εr-1)（386） εee=Ce(εr)Ce(1)=1+qe(εr-1)（387） 式中,qo和qe分别是奇、偶模的填充系数。由此奇模相速度和偶模相速度的表示式为 vpo=cεeo（388） vpe=cεee（389） c为自由空间电磁波的传播速度。奇模和偶模特性阻抗的表示式分别为 Zco=1vpoCo(εr)=Zco(1)εeo（390） Zce=1vpeCe(εr)=Zce(1)εee（391） 根据这些公式的计算结果绘制成曲线，可粗略估计有效相对介电常数和特性阻抗。在W/h、S/h相同的情况下偶模特性阻抗总是大于奇模特性阻抗。目前有很多商业软件可以方便而精确地计算奇、偶模有效介电常数和特性阻抗。 奇模和偶模的波导波长分别为 λge=λ0εee（392） λgo=λ0εeo（393） 耦合微带线损耗主要是导体损耗和介质损耗，导体衰减常数和介质衰减常数近似公式如下。 对于奇模 (αc)o≈27.3RSWZco（394） (αd)o≈27.3qoεrεeo（395） 对于偶模 (αc)e≈27.3RSWZce（396） (αd)e≈27.3qeεrεee（397） 衰减常数的单位dB/cm。 3.3其他平面传输线 除了以上介绍的微带线、带状线及其耦合结构，目前还出现了许多适用于微波集成电路的平面传输线，如共面波导、共面带状线、槽线等。有专门的分析设计软件对这些传输线特性进行分析，或者反过来，根据需要设计传输线的几何尺寸，使用非常方便。下面对这些常用平面传输线及其特性作简要介绍，而略去复杂的公式推导。 3.3.1共面波导 共面波导结构如图318所示。介质基片一面是导体面，在导体面上，中间是导体带，宽度W，两侧是接地板，中间有两条缝隙，宽度均为G； 另一面可以是介质面［图318（a）］，也可以是接地面［图318（b）］； 介质厚度h。这种金属导体带和接地面位于同一平面的结构适合用于集成电路，可免去通孔。 图318共面波导结构 图319是用商业软件计算的不同导体带宽度W下，共面波导的特性阻抗随缝隙G的变化趋势图，其中介质基片相对介电常数εr=2.65，厚度0.8mm，中心频率10GHz。由图可见，相同结构尺寸情况下，背面不接地共面波导的特性阻抗受G和W尺寸影响很大，而背面接地共面波导的特性阻抗Zc在G>0.5mm后变化很小； 而且在结构尺寸相同时，前者的特性阻抗Zc比后者的要大。一般情况下，G、W、h的尺寸小于1/4波导波长。 图319共面波导特性阻抗与几何参量的关系 （εr=2.65，h=0.8mm） 在具体应用中，根据不同要求选择不同特性的共面波导形式和介质基片，并设计结构尺寸。 3.3.2共面带线 共面带线是共面波导的互补结构，如图320所示，背面一般是介质面。共面带线是比较实用的单面传输线，它的平衡对称结构适合应用在滤波器、平面印制偶极子天线的馈线、平面混频器等。 图320共面带线及其场结构 若有效相对介电常数为εre。共面带线的特性阻抗计算公式为 Zc=120πεre+12πln21+k′1-k′（398） 其中， k′=1-SS+2W2(399) 例如，介质板厚度h=0.8mm，相对介电常数εr=2.65，损耗角正切为0.001。共面带线的几何尺寸设计为S=0.4mm，W=0.8mm，由式（398）计算得到共面带线的特性阻抗为160Ω。 3.3.3槽线 在介质基片敷有导体层的一面上开出一个槽，便是槽线，如图321所示。介质厚度h，相对介电常数εr，槽宽G，另一面没有导体。为了使电磁场更集中于槽附近，并减少电磁能量的辐射，一般采用高介电常数的基片。 图321槽线结构 槽线中传输的既不是TEM波，也不是准TEM波，而是一种波导模，它没有截止频率，但是具有色散性质，因此，其相速度和特性阻抗均随频率而变。由于槽线的接地板与槽处于同一面，因此易于与二极管、三极管等有源器件集成。图322是用软件计算的两种介质基片上槽线的特性阻抗随槽缝隙G的变化趋势，工作频率10GHz,介质厚度均为0.8mm。可见Zc随G的增大而增大。G和h的尺寸一般小于1/4波导波长。 图322槽线特性阻抗Zc与槽缝隙G的关系 3.3.4基片集成波导 前面介绍的带状线、微带线、共面波导、共面带线等平面传输线，具有重量轻、易共形、造价低、易与射频集成电路（RFIC）和其他平面电路集成等优点，在各类通信系统的发射、中继和接收射频前端得到广泛应用。但是这类平面传输线在毫米波段损耗大，一般只适用于工作频率在30GHz以下的微波器件和系统。2002年吴柯等提出的基片集成波导（Substrate Integrated Waveguide，SIW），既保留了平面传输线的优点，又具有金属波导损耗小的优点，在现有加工技术条件下工作频率可达F波段（110GHz）。 1. 基片集成波导结构和特性 基片集成波导就是在上下表面敷有金属的介质板上开两排金属通孔，如图323所示。介质板厚度为h，两排金属通孔之间的间距为w，形成了一个类似矩形波导的结构，电磁波在两排金属通孔之间的介质中传播。 图323基片集成波导结构 介质板的相对介电常数为εr，金属通孔的直径和间距分别为d和s，两排金属通孔的圆心之间的距离w称作基片集成波导的宽度。通过实验曲线拟合推导出基片集成波导等效宽度关系式： weff=w－d20.95s（3100） 将这个等效宽度weff作为矩形波导的实际宽度a，便可用矩形波导的截止频率计算公式（285）来分析基片集成波导中的传播模式和频率。后来又得到更为精确的等效宽度weff计算式： weff=w－1.08d2s+0.1d2w（3101） 对于基片集成波导结构，由于一般情况下介质基板的高度h远小于工作波长，所以式（285）中的n取0，那么可以得到其近似截止频率： fc=cm2weffμrεr（3102） 其中，c是自由空间电磁波的传播速度，m是波导宽度上半驻波的数目。如果利用基片集成波导等效宽度近似式（3100），则其类TE10模的截止频率： fc(TE10)=c2μrεrw-d20.95s-1（3103） 用实验曲线拟合得到类TE20模的截止频率： fc(TE20)=c0μrεrw－d21.1s－d36.6s－1（3104） 基片集成波导的两排金属通孔造成侧壁的不连续性。通孔间的缝隙切割电流而产生辐射，在侧壁上不能形成稳定的连续电流。因此，基片集成波导中不存在类TMmn模。 基片集成波导的损耗除了导体损耗、介质损耗和表面波辐射损耗之外，还有由金属通孔引起的漏波损耗和反射损耗，这里不再详述。 2. 基片集成波导设计 一般来说，基片集成波导的介质基板厚度小于工作波长和其宽度，即h<λ，hW2时，哪一个带状线的特性阻抗大?为什么？ （2） 当b1=b2，t1=t2，W1=W2，εr1<εr2时，哪一个带状线的特性阻抗大?为什么？ 38已知带状线厚度b=3.16mm，相对介电常数εr=2.20，计算特性阻抗为100Ω带状线的导体带宽度，并求4.0GHz时此线的波导波长。 39带状线的相速度与电磁波在自由空间的相速度是什么关系？波长之间又是什么关系？对于微带线（准TEM波），上述各量间又是什么关系？ 310计算微带线的宽度和长度，要求在2.5GHz有50Ω特性阻抗和90°相移。基片厚度h=1.27mm，有效相对介电常数εr=2.20。 311已知某微带线的导体宽带为W=2mm，厚度t→0，介质基片厚度h=1mm，相对介电常数εr=9，求此微带线的有效填充因子q、有效介电常数εe及特性阻抗Z0 (设空气微带特性阻抗Za0=88Ω)。 312已知某耦合微带线，介质为空气时，奇、偶特性阻抗分别为Za0o=40Ω，Za0e=100Ω，实际介质εr=10时，奇、偶模填充因子分别为qo=0.4，qe=0.6，工作频率f=10GHz。试求介质填充耦合微带线的奇、偶模特性阻抗、相速度和波导波长各为多少？ 313一微带线特性阻抗Z0=50Ω，基板介电常数εr=4.3，厚度为h=0.8mm，中心频率f0=1.8GHz。试求微带线的有效介电常数εe、传播波长λg及相位速度vp。 314已知某微带线的导带宽度W=2mm、厚度t=0.01mm，介质基片厚度h=0.8mm，相对介电常数εr=9.6，求： 此微带的有效介电常数εe和特性阻抗Zc； 若微带中传输信号的频率为6GHz，求相速度和波导长度。 315已知微带线的特性阻抗为50Ω，介质是相对介电常数为εr=9.6的氧化铝陶瓷。设损耗角正切tanδ=0.0002，工作频率f=10GHz，求介质衰减常数αd。 316设介质基片的厚度h=1.58mm，介质相对介电常数εr=2.55。设计特性阻抗为100Ω的微带线，并计算此线在4.0GHz工作频率时的波导波长。 317什么是介质波导？按其结构形式分为哪几类？ 318比较背面无接地面和有接地面的共面波导的特性阻抗特性，各自的几何尺寸对特性阻抗有何影响？ 319共面波导与槽线中所传输的模式是什么？针对二者应用举例说明。