第3章圆锥曲线 弦长速记小妙招 直线与椭圆交于P，Q两点，x2a2+y2b2=1, Ax+By+C=0,则 |PQ|=2a2b2(A2+B2)(A2a2+B2b2-C2)A2a2+B2b2。 口诀： 小方积，大方和，成对去减C平方，减完平方去下方。 3.1椭圆 核心笔记 1. 椭圆的标准方程有两种形式： (1) 焦点落在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，焦点为F1 (-c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，且a2=b2+c2，如图31所示； 图31 (2) 焦点落在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)，焦点为F1 (0，-c)，F2 (0，c)，焦距为2c，且a2=b2+c2，如图32所示。 【注】(1) 椭圆方程中，a表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助于图33记忆。正数a，b，c恰好构成一个直角三角形，其中a是斜边，所以a＞b，a＞c且a2=b2+c2，其中c是焦距的一半。对于图32中的椭圆，关系式a＞b，a＞c且a2=b2+c2也始终成立。 图32 高考是一个实现人生的省力杠杆，此时是你撬动它的最佳时机，并且以后你的人生会呈弧线上升。（推荐人： @冯志跃（山西）） 图33 (2) 焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大，焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”。 2. 椭圆x2a2+y2b2=1，y2a2+x2b2=1(a>b>0)的几何性质比较 标准方程x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)y2a2+x2b2=1(a＞b＞0) 图形 范围-a≤x≤a， -b≤y≤b-b≤x≤b， -a≤y≤a 对称性对称轴： x轴、y轴； 对称中心： 原点 焦点左焦点F1 (-c，0)，右焦点F2 (c，0)下焦点F1 (0，-c)，上焦点F2 (0，c) 顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0) 轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴； 长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，长半轴长为a，短半轴长为b 离心率ee=2c2a=ca(00，则点P的轨迹是()。 A. 圆B. 线段C. 椭圆D. 不存在 【答案】BC 【解析】因为F10,-3，F20,3，所以F1F2=6。 又a>0，则PF1+PF2=a+9a≥2a·9a=6，当且仅当a=9a，即a=3时等号成立。 当a+9a=6时，即PF1+PF2=F1F2，此时点P的轨迹是线段F1F2。 当a+9a>6时，即PF1+PF2>F1F2，此时点P的轨迹是椭圆。故选BC。 椭圆的定义 集合语言： P=M||MF1|+|MF2|=2a，F1F2=2c。 (1) 若a>c，则集合P为椭圆； (2) 若a=c，则集合P为线段； (3) 若ab>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()。 A. 圆B. 椭圆 C. 双曲线D. 抛物线 题型训练·悟其神 1.4()已知动圆P过定点A(-3,0)，且在定圆B： (x-3)2+y2=64的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹方程为。 1.5()一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，则动圆圆心M的轨迹方程为。 1.6()设M是圆P： x2+y+22=36上的一动点，定点Q0,2，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为()。 A. x29+y25=1B. x25+y29=1 C. x236+y232=1D. x232+y236=1 核心例题2与椭圆定义有关的性质 ()已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=PF2，那么动点Q的轨迹是()。 A. 圆B. 椭圆 C. 双曲线的一支D. 抛物线 【答案】A 【解析】注意到QF1=|PQ|+PF1=PF2+PF1为定值，则动点Q的轨迹是以Q为圆心、以椭圆的长轴长为半径的圆。故选A。 1. 设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1-C,0,F2C,0,MN为过点F2且不与长轴重合的弦，则有下列结论： (1) MF1+MF2=NF1+NF2=2a； (2) △MF1F2的周长为2a+2c，△MNF1的周长为4a。 2. 设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1-C,0,F2C,0,MN为过椭圆中心O的弦，则有下列结论： (1) 当弦MN不与长轴重合时，四边形MF1NF2为平行四边形，周长为4a； (2) MF1+MF2=NF1+NF2=MF1+NF1=MF2+NF2=2a； (3) MNmax=2aMN为长轴，MNmin=2bMN为短轴。 越努力，越幸运； 越简单，越快乐； 越低调，越奢华。（推荐人： @冯德凤老师（安徽）） 题型训练·练其形 2.1()已知椭圆x225+y29=1的左右焦点为F1,F2，点P在椭圆上，则PF1·PF2的最大值是()。 A. 9B. 16C. 25D. 27 2.2()如图34所示，把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F+P2F+…+P7F=。 图34 2.3()已知F1,F2是椭圆x216+y29=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于点A，B,若|AB|=5,则AF1+BF1=()。 A. 11B. 10C. 9D. 16 题型训练·悟其神 2.4()已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝。 2.5()已知椭圆C： x29+y24=1，点M与C的焦点不重合。若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=。 2.6()点P是以F1，F2为焦点的椭圆上的一点，过焦点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M点，如图35所示，则点M的轨迹是() 图35 A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 圆 祝你成功，成功之路始于脚下。（推荐人： @朱家豪（湖北）） 核心例题3椭圆标准方程基本量 ()已知椭圆x24+y2=1，则该椭圆的焦距为()。 A. 3B. 23C. 5D. 25 【答案】B 【解析】由x24+y2=1可得a2=4，b2=1，所以c2=a2-b2=3， 即c=3，所以该椭圆的焦距为2c=23。故选B。 1. 标准方程 (1) 焦点在x轴上： 设椭圆上一点P(x,y)，F1(-c,0)，F2(c,0)，设距离和PF1+PF2=2a，则椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，其中a>b>0,b2=a2-c2； (2) 焦点在y轴上： 设椭圆上一点P(x,y)，F1(-c,0)，F2(c,0)，设距离和PF1+PF2=2a，则椭圆的标准方程为： y2a2+x2b2=1，其中a>b>0,b2=a2-c2。 即焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大。 2. 椭圆的基本量 以焦点在x轴的椭圆为例： x2a2+y2b2=1(a>b>0)。 a： 与长轴的顶点有关： A1(-a,0),A2(a,0)，A1A2=2a称为长轴长； b： 与短轴的顶点有关： B1(0,-b),B2(0,b)，B1B2=2b称为短轴长； c： 与焦点有关： F1(-c,0),F2(c,0)，F1F2=2c称为焦距。 题型训练·练其形 3.1()椭圆x29+y24=1的离心率是()。 A. 133B. 53C. 23D. 59 3.2()椭圆x29+y216=1的一个焦点坐标为()。 A. (5,0)B. (0,5) C. (7,0)D. (0,7) 3.3()椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分别为()。 A. 2,3B. 3,2 C. 4,23D. 23,4 题型训练·悟其神 3.4(，多选题)已知椭圆C： 16x2+4y2=1，则下列结论正确的是()。 A. 长轴长为12 B. 焦距为34 C. 焦点坐标为0，±34 D. 离心率为32 3.5()椭圆2x2-my2=1的一个焦点坐标为(0,-2)，则实数m=()。 A. 23B. 25C. -23D. -25 3.6()已知椭圆C1： x2a2+y2b2=1(a>b>0)和椭圆C2： x2c2+y2d2=1(c>d>0)的离心率相同，则()。 A. ab=cdB. ac=bd C. ad=bcD. a2-b2=c2-d2 说穿了，其实提高成绩并不难，就看你是不是肯下功夫积累——多做题，多总结。（推荐人： @向凯（浙江）） 核心例题4椭圆标准方程拓展 () “m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()。 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当m>n>00<1m<1n时，方程mx2+ny2=1x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆； 反之当方程mx2+ny2=1x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆时，0<1m<1nm>n>0。故选C。 1. 椭圆的标准方程 中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)； 中心在坐标原点、焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)。 2. 对椭圆的标准方程的理解 对于方程x2m+y2n=1，有： (1) 表示焦点在x轴上的椭圆m>0,n>0且m>n； (2) 表示焦点在y轴上的椭圆m>0,n>0且m0,n>0且m≠n。 题型训练·练其形 4.1()方程mx2+y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()。 A. (1,+∞)B. (0,+∞) C. (0,1)D. (0,2) 4.2()若方程x220+a+y24-a=1表示椭圆，则实数a的取值范围是()。 A. (-20,4) B. (-20,-8)∪(-8,4) C. (-∞,-20)∪(4,+∞) D. (-∞,-20)∪(-8,+∞) 4.3()已知方程x2m-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是。 题型训练·悟其神 4.4()已知曲线C的方程为x2a-y2b=1，则“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的()。 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.5(，多选题)已知曲线C： mx2+ny2=1，以下命题正确的是()。 A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上 C. 若m=n>0，则C是圆，其半径为n D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 人生中有许多选择，每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫，做出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗，胜利就在前方。（推荐人： @王禹邯（江苏）） 4.6()设A,B是椭圆C： x23+y2m=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=2π3，则m的取值范围是()。 A. 0,1∪9,+∞B. 0,3∪9,+∞ C. 0,1∪4,+∞D. 0,3∪4,+∞ 核心例题5椭圆标准方程的求法 ()求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 长轴长是短轴长的3倍，且过点(3,-1)； (2) 椭圆过点(3,0)，离心率e=63； (3) 长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； (4) 经过点M(-3,2)，且与椭圆x29+y24=1有相同的焦点。 【答案】(1) x218+y22=1或x2829+y282=1； (2) x29+y23=1或x29+y227=1； (3) x225+y216=1或y225+x216=1； (4) x29+y23=1或y227+x29=1 【解析】(1) ①当椭圆的焦点在x轴上时，由题意设其方程为x29a2+y2a2=1(a>0)。 因为点(3,-1)在椭圆上，所以99a2+1a2=1，解得a2=2，则椭圆的方程为x218+y22=1。 ② 当椭圆的焦点在y轴上时，由题意设其方程为y29a2+x2a2=1(a>0)， 因为点(3,-1)在椭圆上，所以19a2+9a2=1，解得a2=829，则椭圆的方程为x2829+y282=1。 综上，椭圆的方程为x218+y22=1或x2829+y282=1。 (2) ①当椭圆的焦点在x轴上时，由题意设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)。 因为椭圆过点(3,0)，所以a=3。 又e=ca=63，则c=6，则b2=a2-c2=3，故椭圆的方程为x29+y23=1。 ② 当椭圆的焦点在y轴上时，由题意设其方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)， 因为椭圆过点(3,0)，所以b=3。又e=ca=63，则c=63a， 则b2=a2-c2=a2-2a23=a23=9，故a2=27，则椭圆的方程为x29+y227=1。 综上可得椭圆的标准方程为x29+y23=1或x29+y227=1。 (3) 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题意可知2a+2b=18， 2c=6，结合a2=b2+c2可解得a＝5，b＝4，c＝3。 因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为x225+y216=1或y225+x216=1。 (4) 设所求椭圆的方程为x29-k+y24-k=1(k<4)，将点M的坐标代入可得99-k+44-k=1，解得k=-6(k=6舍去)，故所求椭圆的标准方程为x215+y210=1。 学如逆水行舟，不进则退； 心似平原走马，易放难收。（推荐人： @李匡帝（河南）） 1. 求椭圆方程的两种方法 (1) 定义法： 根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程； (2) 待定系数法： 这种方法是求椭圆方程的常用方法，一般步骤是： 第一步，作判断。根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能(这时需要分类讨论)。 第二步，设方程。根据上述判断设方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)或x2b2+y2a2=1(a>b>0)。 第三步，找关系。根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组(注意椭圆中固有的等式关系c2=a2-b2)。 第四步，得椭圆方程。解方程组，将解代入所设方程，即所求。 注： 当椭圆焦点位置不明确时，可设为x2m+y2n=1(m>0,n>0,m≠n)，也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B)。 2. (1) 与椭圆x2a2+y2b2=1有相同焦点的椭圆方程可设为x2a2-k+y2b2-k=1kb>0)有相同离心率的椭圆方程可设为x2a2+y2b2=m(m>0，焦点在x轴上)或y2a2+x2b2=n(n>0，焦点在y轴上)。 题型训练·练其形 5.1()过点(3,-5)，且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为()。 A. x220+y24=1B. x225+y24=1 C. y220+x24=1D. x24+y225=1 5.2()阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a,b，则椭圆的面积公式为S=πab。若椭圆C的离心率为32，面积为8π，则椭圆的C的标准方程为()。 A. x216+y24=1或y216+x24=1 B. x216+y212=1或y216+x212=1 C. x212+y24=1或y212+x24=1 D. x216+y29=1或x29+y216=1 5.3()已知椭圆C： x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F1的直线交C于A，B两点，若△AF2B的周长为43，则C的方程为()。 A. x23+y22=1B. x23+y2=1 C. x212+y28=1D. x212+y24=1 总想赢者必输，不怕输者必赢。试试就能行，争争就能赢。（推荐人： @尚苏月（陕西）） 题型训练·悟其神 5.4()设F1，F2为椭圆C： x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为43的等边三角形，则椭圆C的方程为。 5.5()设F1,F2分别是椭圆E： x2+y2b2=1(0b>0)的两个焦点分别为F1,F2，|F1F2|=22，P是C上一点，若PF1-PF2=a，且sin∠PF1F2=13，则椭圆C的方程为()。 A. x24+y23=1B. x26+y23=1 C. x26+y24=1D. x24+y22=1 核心例题6椭圆中的线段最值问题 ()直线2ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点(其中a,b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点Pa,b与点0,1之间距离的最大值为()。 A. 2+1B. 2 C. 2D. 2-1 【答案】A 【解析】圆x2+y2=1的圆心到直线2ax+by=1的距离为12a2+b2=22，则2a2+b2=2， 即a2+b22=1。因此所求距离为椭圆a2+b22=1上点Pa,b到焦点0,1的距离，其最大值为2+1。故选A。 1. 焦半径公式： 称P到焦点的距离为椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的焦半径。 (1) 设椭圆上一点Px0,y0，则PF1=a+ex0，PF2=a-ex0(可记为“左加右减”)； (2) 焦半径的最值： 由焦半径公式可得焦半径的最大值为a+c，最小值为a-c。 2. 焦点弦： 椭圆中过焦点的弦称为焦点弦。焦点弦长的最小值为通经，此时为过焦点且与长轴垂直的弦|PQ|=2b2a。 题型训练·练其形 6.1()以椭圆C： x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形，且椭圆C上的点到焦点的最短距离为1，则椭圆C的标准方程为()。 A. x24+y23=1B. x24+y22=1 C. x24+y2=1D. x28+y24=1 6.2()已知椭圆x216+y2m2=1(0b>0)的两个焦点F1，F2与短轴的两个端点B1，B2都在圆x2+y2=1上，P是C上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的平分线交C的长轴于点M，则MB1+MB2的取值范围为()。 A. ［2,5)B. ［2,6) C. ［2,7)D. ［2,22) 核心例题7椭圆中线段和差最值 ()设P是椭圆x29+y25=1上一点，M,N分别是两圆C1： x+22+y2=1和C2： x-22+y2=1上的点，则PM+PN的取值范围为()。 A. 4,8B. 2,6 C. 6,8D. 8,12 【答案】A 【解析】根据题意作图如图36所示，其中F1,F2是椭圆的左、右焦点。 图36 在△PMF1中可得PF1-1≤PM≤PF1+1①，当且仅当P,M,F1三点共线时，等号成立。在△PNF2中可得PF2-1≤PN≤PF2+1②，当且仅当P,N,F2三点共线时，等号成立。由①+②得PF1+PF2-1-1≤PM+PN≤PF1+