第3章电路的暂态分析
本章主要介绍动态电路的过渡过程和换路定律，并对一阶RC电路和RL电路的过渡过程进行了理论分析，同时对一阶电路的全响应和三要素分析法进行了介绍，最后对二阶电路进行了简要的介绍。
3．1过渡过程与换路定律
3．1．1过渡过程

第1、2章讨论的线性电路中，当电源电压(激励)为恒定值或做周期性变化时，电路中各部分电压或电流(响应)也是恒定的或按周期性规律变化的，即电路中响应与激励的变化规律完全相同，电路的这种工作状态称为稳定状态，简称稳态。但是，在实际电路中，经常遇到电路由一个稳态向另一个稳态的变化，在这个变化过程中，如果电路中含有电感、电容等储能元件时，这种状态的变化需要经历一个时间过程，这个时间过程称为过渡过程。
含有储能元件(也称为动态元件)L或C的电路称为动态电路。
电路产生过渡过程的原因既有外部因素也有内部因素，电路的接通或断开、电路参数或电源的变化、电路的改接等都是外因，能引起电路过渡过程的所有外因统称为换路； 而电路中含有的储能元件——电感或电容，是产生过渡过程的内因。动态电路的过渡过程实质是储能元件的充、放电过程。
3．1．2换路定律
为方便电路的分析，通常认为换路在瞬间完成，记为t=0时刻，并且用t=0-表示换路前的终止时刻，用t=0+表示换路后的初始时刻。由于电容内部的能量与其电压有关WC=12Cu2C，电感的能量与其电流有关WL=12Li2L，而能量是不能跃变的，即电容上的电压uC不能跃变，电感中的电流iL也不能跃变(假设电容电流iC和电感电压uL为有限值)，这个基本原则对换路前后的电路也适用。因此，可以得到

uC(0+)=uC(0－)


iL(0+)=iL(0－)(311)

式(311)称为换路定律。
换路定律说明，在换路前后，电容上的电压uC和电感中的电流iL不能跃变，其值具有连续性； 但对于电路中其他的电压、电流，在换路瞬间是可以突变的。




3．1．3过渡过程初始值的计算
通常将t=0+时刻的电压、电流值称为过渡过程的初始值，用f(0+)表示。一般可以按照如下步骤计算过渡过程的初始值。
(1) 先求t=0-时刻的uC(0-)或iL(0-)。这一步要用t=0-时刻的等效电路进行求解，此时电路尚处于稳态，若电路为直流电源激励，则电容开路，电感短路。
(2) 根据换路定律确定uC(0+)或iL(0+)。
(3) 以uC(0+)或iL(0+)为依据，应用欧姆定律、基尔霍夫定律以及直流电路的分析方法确定电路中其他电压、电流的初始值。这一步要用t=0+时刻的等效电路进行求解，此时电容等效为电压值是uC(0+)的电压源，电感等效为电流值是iL(0+)的电流源。
3．2一阶RC电路的暂态分析
仅含有一个独立动态元件的电路，描述其电压、电流的方程是一阶微分方程，称其为一阶动态电路。当电路中仅含有一个电容和一个电阻时，称为最简RC电路。如果不是最简，则可以把该动态元件以外的电阻电路进行等效变换，从而变换为最简RC电路。
3．2．1一阶RC电路的零输入响应


图321一阶RC电路的零输入响应

所谓零输入响应，是指换路后电路没有外加激励，仅由储能元件的初始储能引起的响应。
图321所示电路中，原先开关S打在1位，直流电源US通过电阻R1给电容C充电，充电完毕电路达到稳态时，电容C相当于开路； t=0时刻，开关S由1位打向2位进行换路，此时电容C通过电阻R放电，放电完毕后电路进入新的稳态。显然，换路后发生的是一阶RC电路的零输入响应。
1． 电压、电流的变化
图321所示电路中，换路后(即t≥0)电容电压uC的微分方程为

RCduCdt+uC=0(t≥0)

求得微分方程的解为

uC(t)=USe－1RCt(t≥0)(321)


从式(321)可以看出，换路后电容电压uC从初始值US开始，按照指数规律递减，直到最终uC→0，电路达到新的稳态。
2． 时间常数
式(321)中，令τ=RC，则τ称为RC电路的时间常数。当R的单位为Ω(欧姆)，C的单位为F(法拉)时，τ的单位为s(秒)。于是，式(321)可写为

uC(t)=uC(0+)e－tτ(t≥0)(322)

式(322)为一阶RC动态电路零输入响应时电容电压uC变化规律的通式。
时间常数τ是表征动态电路过渡过程进行快慢的物理量。τ越大，过渡过程进行得越慢； 反之，τ越小，过渡过程进行得越快。由表达式τ=RC可以看出，RC电路的时间常数τ仅由电路的参数R和C决定，R是指换路后电容两端的等效电阻。当R越大时，电路中放电电流越小，放电时间就越长，过渡过程进行得就越慢； 当C越大时，电容储存的电场能量越多，放电时间也就越长。需要注意的是，在电子设备中，RC电路的时间常数τ很小，放电过程经历不过几十毫秒甚至几微秒； 但在电力系统中，高压电力电容器放电时间比较长，可达几十分钟，因此，在检修具有大电容的高压设备时，一定要让电容充分放电以保证安全。
3．2．2一阶RC电路的零状态响应
所谓零状态响应，是指电路在零初始状态下(动态元件的初始储能为零)仅由外部施加的激励所产生的响应。
图322所示电路中，电容C原来未充电，即电容为零初始状态。t=0时开关S闭合，RC串联电路与电源US连接，电源US通过电阻R对电容C充电，直到最终充电完毕，电路达到新的稳态。这便是一阶RC电路的零状态响应。零状态响应的实质是储能元件的充电过程。


图322一阶RC电路的零状态响应

以电容电压uC为变量，可以列出换路后电路的微分方程为

RCduCdt+uC=US(t≥0)

求得微分方程的解为

uC(t)=US1－e－1RCt(t≥0)(323)


式(323)中的US是换路后电路达到新稳态时uC的值，即uC(∞)=US，于是式(323)可写为

uC(t)=uC(∞)1－e－1RCt(t≥0)(324)

式(324)即为一阶RC动态电路零状态响应时电容电压uC变化规律的通式。
3．3一阶RL电路的暂态分析
当电路中仅含有一个电感和一个电阻时，称为最简RL电路。如果不是最简，则可以把该动态元件以外的电阻电路进行等效变换，从而变换为最简RL电路。
3．3．1一阶RL电路的零输入响应
图331所示电路中，开关S打在1位时，电路已达到稳态，电感中电流等于电流源电流IS，电感中储存能量WL=12LI2S。t=0时，开关S由1位打向2位进行换路，电流源被短路，电感L与电阻R构成串联回路，电感L通过电阻R释放其中的磁场能量，直到全部释放完毕，电路达到新的稳态。显然，换路后电路的过渡过程属于RL电路的零输入响应。


图331一阶RL电路的

零输入响应

以电感电流iL为变量，列出换路后电路的微分方程： 

LRdiLdt+iL=0(t≥0)

求得微分方程的解为

iL(t)=ISe－RLt=iL(0+)e－tτ(t≥0)(331)

式(331)即为一阶RL电路零输入响应时电感电流iL的变化通式。其中，τ=L/R称为RL电路的时间常数，单位是s(秒)。
有了电感电流iL(t)的解析式，可以进一步求出电感电压uL的解析式，即

uL(t)=LdiL(t)dt=－RISe－RLt=－RISe－tτ

3．3．2一阶RL电路的零状态响应
图332所示电路中，开关S转换前，电感电流为零，即iL(0-)=0，电感为零初始状态。开关S由1打向2后，电流源与电感接通，电感内部开始储能，直至储能完毕，电路进入新的稳态，电感相当于短路。显然，换路后电路发生的过渡过程是RL电路的零状态响应。


图332一阶RL电路的
零状态响应

以电感电流iL为变量，列出换路后电路的微分方程： 

LRdiLdt+iL=IS(t≥0)

求得微分方程的解为

iL(t)=IS1－e－RLt=iL(∞)1－e－tτ(t≥0)
(332)

式(332)即为一阶RL电路零状态响应时电感电流iL的变化通式。以此为依据，可进一步求出电路中其他电压、电流的变化规律(即解析式)。
3．4一阶电路的全响应及三要素法
3．4．1一阶电路的全响应



图341一般RC电路的全响应


换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应称为全响应。图341所示电路中，开关S接在1位时已达到稳定状态，uC(0-)=US1，电容为非零初始状态； t=0时开关S打向2位进行换路，换路后继续有电源US2作为RC串联回路的激励，因此，t≥0时电路发生的过渡过程是全响应。
利用求解微分方程的方法可以求得电容电压uC全响应的变化通式为

uC(t)=uC(0+)e－tτ+uC(∞)1－e－tτ(t≥0)
(341)

式(341)还可写为

uC(t)=uC(∞)+uC(0+)－uC(∞)e－tτ(t≥0)(342)


可见，全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，或稳态响应与暂态响应的叠加。

3．4．2一阶电路的三要素法
由前面的分析可知，只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路，无论电路是简单还是复杂，无论电路属于哪种类型，电路响应都可由暂态分量和稳态分量叠加而成，其一般表达式为

f(t)=f(∞)+Ae－tτ

式中： f(t)是暂态响应电流或电压； f(∞)是稳态分量(即稳态值)； τ是电路的时间常数； A是待定系数，由初始条件决定。若已知初始条件f(0+)，将其代入一般表达式，则 

A=f(0+)－f(∞)

那么

f(t)=f(∞)+f(0+)－f(∞)e－tτ(343)


这说明，不论组成一阶电路的元件和结构形式如何，只要确定了电路的初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ这三个要素，则应用式(343)就可求出电路的稳态响应。这种由f(0+)、f(∞)和τ三个要素直接得到电路响应的方法称为三要素法。三要素法的一般步骤如下。
(1) 确定初始值f(0+)。
(2) 确定稳态值f(∞)，一般根据换路后的直流电路求得。
(3) 确定时间常数τ，对RC电路，τ=RC，对RL电路，τ=L/R。
注意： 式中的R是指断开储能元件(L或C)所形成的二端网络，除去电源作用(理想电压源短路，理想电流源开路)后，从输入端看进去的等效电阻。
(4) 根据三要素法通式(343)，求得电路的暂态响应。
【例341】电路如图342所示，开关S断开时已处于稳定状态，在t=0时将开关S合上，试用三要素法求t≥0时的i(t)、uR(t)和uL(t)。


图342例341电路

【解答】开关S闭合前，电路电流i为零，电感L上没有储存能量。在输入信号电压源US的激励下，电路从开关S断开时稳定状态过渡到开关S闭合后另一种稳定状态，电路响应属于零状态响应。
(1) 确定初始值： 

i(0+)=i(0-)=0，uR(0+)=0，uL(0+)=US


(2) 确定稳态值： 

i(∞)=US/R，uR(∞)=Ri(∞)=US，uL(∞)=0


(3) 确定时间常数： 

τ=L/R


(4) 根据三要素法通式求电路响应： 

i(t)=i(∞)+i(0+)－i(∞)e－tτ=USR1－e－RtL
uR(t)=uR(∞)+uR(0+)－uR(∞)e－tτ=US1－e－RtL
uL(t)=uL(∞)+uL(0+)－uL(∞)e－tτ=USe－RtL


注意： 三要素法是求解暂态响应iL(t)和uC(t)最方便快捷的方法，但并不是求解所有暂态响应的最简方法。在求解出iL(t)或uC(t)后，电感可视为电流源，定值电流iS=iL(t)，电容可视为电压源，定值电压uS=uC(t)，然后利用第2章线性电路的基本分析方法可求解出iC(t)、uL(t)、iR(t)和uR(t)。
3．5二阶电路的暂态分析
在一阶电路中，仅包含一个独立的动态元件，它可以吸收独立源提供的能量加以储存，它储存的能量也可以通过电阻回路进行释放。
在二阶电路中，由于存在两个独立的动态元件，两者均可以一定的形式储存能量和释放能量，但两者在动态过渡过程中存在能量交互的现象，即两个动态元件交互地释放和吸收能量，在响应信号波形上体现为一定的振荡现象。二阶电路的能量交互现象所遵循的规律取决于具体电路结构和元件参数的配置。
在数学上，二阶电路的输入—输出方程表现为二阶线性微分方程； 在物理结构上，二阶电路包含两个独立的动态元件，可以是一个电感与一个电容、两个电感或两个电容。需要注意的是，电路是否为二阶电路不能仅根据包含动态元件的数量来判断。若电路中包含一个电感与一个电容，则电路必为二阶电路； 若电路中包含多个电容或多个电感，则需根据相互之间连接关系来判断，若经串、并联后可合并为一个电容或电感，则电路为一阶电路； 若经串、并联简化为最简形式后仍存在两个独立的电容或电感，则电路为二阶电路； 若独立电容或电感数大于两个，则电路为高阶电路。
包含一个电容元件与一个电感元件的RLC串联电路和RLC并联电路是最基本的二阶电路。任意RLC串联电路由一对串联的电感、电容与一个含源电阻网络组成，其电路模型如图351(a)所示； 将含源电阻网络经戴维南定理等效，可以得到RLC串联电路的通用模型，如图351(b)。而任意RLC并联电路由一对并联的电感、电容与一个含源电阻网络组成，其电路模型如图352(a)所示； 将含源电阻网络经诺顿等效，可以得到RLC并联电路的通用模型，如图352(b)所示。


图351RLC串联电路的一般模型



图352RLC并联电路的一般模型


二阶电路暂态过程的分析方法与一阶电路没有差别，但二阶电路的时域分析只能采用微分方程来分析。
对图351(b)所示的RLC串联电路，根据KVL列出电路方程： 

uR(t)+uC(t)+uL(t)=uS(t)(351)



由于i(t)=CduC(t)dt，所以uR(t)=i(t)R=RCduC(t)dt，uL(t)=Ldi(t)dt=LCd2uC(t)dt2。
将上述关系代入式(351)并整理，得到RLC串联电路的输入—输出方程： 

LCd2uC(t)dt2+RCduC(t)dt+uC(t)=uS(t)(352)


对图352(b)所示的RLC并联电路，根据KCL列出电路方程： 

iR(t)+iC(t)+iL(t)=iS(t)(353)



由于u(t)=LdiL(t)dt，所以iR(t)=u(t)R=LRdiL(t)dt，iC(t)=Cdu(t)dt=LCd2iL(t)dt2。
将上述关系代入式(353)并整理，得到RLC并联电路的输入—输出方程： 

LCd2iL(t)dt2+LRdiL(t)dt+iL(t)=iS(t)(354)


在式(352)和式(354)二阶微分方程的基础上，根据初始条件和激励信号即可求解RLC串联电路和RLC并联电路的零输入响应和零状态响应。
【例351】二阶电路如图353所示，uC(0-)=15V，iL(0-)=0，求uC(t)和iL(t)。


图353例351图

分析： 要求出uC(t)和iL(t)，必须建立关于uC(t)和iL(t)的微分方程，确定uC(0+)、duC(0+)/dt
和iL(0+)、
diL(0-)/dt。
【解答】
uC(0+)
和iL(0+)的确定与一阶电路相同。而duC(0+)/dt和diL(0-)/dt可以用下式确定： 

duCdtt=0+=iC(0+)C，diLdtt=0+=uL(0+)L


由于uC(0+)=uC(0-)=15V，iL(0+)=iL(0-)=0，所以在t=0时刻，电感用iL(0+)的电流源替代，在此电流源为零，相当于开路； 电容可以用15V的电压源替代，因此iC(0+)=0，uL(0+)=-5V，故 

duCdtt=0+=0，diLdtt=0+=－10


由图353所示的二阶电路，由KVL得到关于uC的微分方程： 

d2uC(t)dt2+20duC(t)dt+19uC(t)=190

uC(0+)=15V


初始条件duCdtt=0+=0，得微分方程的两个特征根： 

s1=－10+100－19=－1和s2=－10－100－19=－19


根据“全解=通解+特解”可得

uC(t)=(k1e－t+k2e－19t)+10


由初始条件确定： k1=95/18，k2=-5/18，所以有

uC(t)=9518e－t－518e－19t+10


同样思路可得

iL(t)=－9518e－t+9518e－19t

3．6一阶RC电路的Multisim仿真实例
动态电路是指至少包含一个储能元件(电感或电容)的集中参数电路。当动态电路的结构或参数发生变化时，会产生过渡过程，使电路改变原来的工作状态，转变到另一种工作状态。动态电路任意时刻的响应与激励与全部过去状态有关。
下面利用Multisim 10软件，进行一阶RC电路的仿真实验。
1. 仿真目的
一阶RC电路在零输入响应下输出波形的观察和测量。
一阶RC电路在零状态响应下输出波形的观察和测量。
2. 仿真过程
（1） 利用Multisim 10软件绘制图361所示的一阶RC仿真电路图。


图361一阶RC仿真电路图


（2） 设置电容C1=1μF，电阻R1=1kΩ，为了方便观测，
并能同时模拟出零输入和零状态响应，选用频率为100Hz、占空比为50%、幅值为2V的方波信号作为激励源V1； 示波器XSC1的A通道测量电容C1两端电压的波形，B通道测量电阻R1两端电压的波形。
（3） 为了便于观测示波器上的不同曲线，可将B通道连线改为另一种颜色，具体操作方法如下： 右击对应的连接导线，在弹出的快捷菜单中选择Segment Color命令，在弹出的对话框中选择需要的颜色即可。
（4） 电路搭建完成后单击“仿真”按钮，此时双击示波器，在弹出的OscilloscopeXSC1对话框中分别修改显示时基（Timebase）及通道A（Channel A）、通道B（Channel B）的数据，直至曲线显示清晰、便于观察，如图362所示。


图362示波器波形显示


由图362可见，测量线1测量的是零状态响应下某时刻电容C1和电阻R1两端的电压值，而测量线2测量的是零输入响应下某时刻电容C1和电阻R1两端的电压值。
习题3
31电路如题31图所示，t=0时开关S闭合，试写出电路的时间常数τ的表达式。
32电路如题32图所示，已知US=20V，R1=R2=1kΩ，C=0．5μF，开关S闭合时电路处于稳态。t=0时开关S打开，求S打开后，uC和i的变化规律(即解析式)。
33一个RL串联电路，已知L=0．5H，R=10Ω，通过的稳定电流为2A。当RL支路短接后，求iL下降到初始值的一半时所需要的时间。



题31图




题32图


34电路如题34图所示，已知US1=3V，US2=5V，R1=R2=5Ω，L=0．05H，开关S打在1时，电路处于稳态。t=0时，S由1打向2后，求iL(t)、i1(t)和uL(t)。
35电路如题35图所示，已知US1=5V，US2=4V，R1=20Ω，R2=10Ω，R3=10Ω，L=20mH，开关S打在1时，电路处于稳态。t=0时，S由1打向2，求iL(t)和i1(t)。



题34图




题35图


36电路如题36图所示，已知US=12V，R1=3kΩ，R2=6kΩ，R3=2kΩ，C=5μF，开关S打开已久，t=0时，S闭合。试用三要素法求开关闭合后uC、iC、i1和i2的变化规律(即解析式)。
37电路如题37图所示，开关转换前电路已处于稳态，t=0时，开关S由1位接至2位，求t≥0时(即换路后)iL、i2、i3和电感电压uL的解析式。



题36图




题37图


38电路如题38图所示，设开关S闭合前已处于稳定状态，在t=0时将开关S闭合，试求t=0瞬间uC、i1、i2、i3、i4的初始值。
39电路如题39图所示，试确定在开关S由位置1合向位置2后的电压uR、uL、uC和电流iR、iL、iC的初始值。设开关S由1合向2前电路已处于稳态。



题38图




题39图


310电路如题310图所示，开关S在位置1时电路处于稳定状态，在t=0时将开关S置于位置2，试求t=0瞬间的i1、i2、iL的初始值。
311电路如题311图所示，已知开关S断开时电路已处于稳定状态，US=5V，IS=1A，C=40μF，R1=R2=50Ω，在t=0时将开关S闭合，试求t≥0时的i(t)和uC(t)。