3
向量空
间


3.1　本章要点
一、内容小结

本章首先给出向量的概念、运算及其运算法则;然后研究了向量组的线性相关性;接下
来给出了向量组的最(极)大线性无关组及秩的概念及其求法;最后给出了向量空间的定义、
基与维数的定义、基变换与坐标变换公式。本章的核心内容是研究向量组的线性相关性。
具体要求包括:了解向量的概念,掌握向量的加法和数乘运算法则;理解向量的线性组合与
线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及
判别方法;理解向量组的极大线性无关组的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩;理解
向量组等价的概念;理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系;理解向量空间的概
念,掌握向量空间基的求法,掌握向量空间不同基之间过渡矩阵的求法。了解内积的概念,理
解标准正交基、正交矩阵的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。

二、知识框架



54 第3章 向量空间
三、知识要点
1.n 维向量的概念 
由n 个有序的数a1,a2,…,an 所组成的有序数组α =(a1,a2,…,an )或α =(a1, 
a2,…,an)T称为n 维行或列向量。数a1,a2,…,an 称做向量α 的分量(或坐标)。
2.向量组的线性组合和线性表示
设α1,α2,…,αm ,β 为n 维向量组,若存在实数k1,k2,…,km ,使得
β=k1α1+k2α2+ … +kmαm , 
则称β 为α1,α2,…,αm 的线性组合,或称β 可由α1,α2,…,αm 线性表示。
3.向量组线性相关与线性无关的概念
对于n 维向量组α1,α2,…,αm ,如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km ,使得等式
k1α1+k2α2+ … +kmαm=0 
成立,则称向量组α1,α2,…,αm 线性相关;否则,称向量组线性无关。
4.极(最)大线性无关组
对于向量组T 中的一个部分组α1,α2,…,αr,若满足: 
(1)α1,α2,…,αr线性无关; 
(2)T 中任一向量α 都可以由α1,α2,…,αr线性表示,则称α1,α2,…,αr是向量组T 的
一个极(最)大线性无关组,简称极大无关组或最大无关组。
5.等价向量组
若向量组A :α1,α2,…,αr中的每个向量αi(i=1,2,…,r)都能用向量组B:β1,β2,…, 
βs中的向量线性表示,则称向量组A 能由向量组B 线性表示。若两个向量组A 和B 能相
互线性表示,则称向量组A 与向量组B 等价。
6.向量组的秩
(1)向量组的极大线性无关组中所含向量个数称为这个向量组的秩; 
(2)向量组线性无关的充要条件是它所含向量的个数等于向量组的秩。
7.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
矩阵A 的秩r(A)等于A 的行向量组的秩,也等于A 的列向量组的秩。
8.有关向量组线性表示的基本性质
(1)m (m ≥2)个向量组成的向量组线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向
量可由其余m -1个向量线性表示; 
(2)设向量组α1,α2,…,αm 线性无关,则向量组α1,α2,…,αm ,β线性相关的充要条件
是:β能由α1,α2,…,αm 线性表示,且表示式是唯一的; 
(3)设向量组A 的秩为r1,向量组B 的秩为r2,若A 能由B 线性表示,则r1≤r2。
9.有关向量组线性相关性的结论
(1)对于一个向量组,若某个部分组线性相关,则整体线性相关;若整体线性无关,则任
一部分组线性无关;

3.1 本章要点 55 
(2)若向量组α1,α2,…,αm 线性无关,则每个向量添加分量后的向量组仍然线性无关; 
或一组向量线性相关,则每个向量去掉一些分量后的向量组仍线性相关; 
(3)n 维向量组α1,α2,…,αm 线性无关的充分必要条件是: 
A=(α1,α2,…,αm )至少有一个m 阶子式不等于0; 
(4)设A 为m ×n 矩阵,若A 中某个r 阶子式Dr≠0,则A 的包含Dr 的r 个行(列)向
量线性无关;若A 中任意r 阶子式等于0,则A 的任意r 个行(列)向量线性相关。
10.设r(Am×n)=r,则r(Am×n)与A 的行、列向量组的线性相关性的关系为: 
(1)若r(Am ×n)=r=m ,则A 的行向量组的线性无关; 
(2)若r(Am ×n)=r<m ,则A 的行向量组的线性相关; 
(3)若r(Am ×n)=r=n,则A 的列向量组的线性无关; 
(4)若r(Am ×n)=r<n,则A 的列向量组的线性相关。
11.向量空间的概念
若n 维向量组成的非空集合V ,满足:对任意α∈V ,β∈V ,k∈R,都有α+β∈V , 
kα∈V ,则称V 为向量空间。
12.向量空间的基及维数
(1)向量空间V 作为一个向量组,其秩就是向量空间的维数,其任一极大无关组就
是向量空间的基。
(2)若α1,α2,…,αr是向量空间V 的一个基,则
V ={k1α1+k2α2+ … +krαr|ki ∈ R}; 
(3)任何n 个线性无关的n 维向量α1,α2,…,αn 都是Rn 的一个基。
13.基变换公式与过渡矩阵
若A :α1,α2,…,αr和B:β1,β2…,βr均为向量空间V 的基,且
(β1,β2,…,βr)=(α1,α2,…,αr)C, 
则称上式为由基A 变为基B 的基变换公式,C 为由基A 变为基B 的过渡矩阵。
14.坐标变换公式
设A :α1,α2,…,αr和B:β1,β2,…,βr均为向量空间V 的基,且从A 到B 的过渡矩
阵为C,若对于α∈V ,有
α =(α1,α2,…,αr)
x1 
x2 
. 
xr 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
, α =(β1,β2,…,βr)
y1 
y2 
. 
yr 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
, 
则称
x1 
x2 
. 
xr 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷ 
=C 
y1 
y2 
. 
yr 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
, 或 
y1 
y2 
. 
yr 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷ 
=C-1 
x1 
x2 
. 
xr 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷

56
第3章向量空间

为向量
α 
在两个基下的坐标变换公式。

15. 
内积
设
α 
=()T,b2,…,)T,则定义
α 
与
β 
的内积为:<

αTβ 
=a1b2+…+ab。<α,也可以记作
α 
·β。若αT0, 
β 
正交。向

a1,an β 
=b1,bn 
,
β 
>= 
b1+a2a2,…,
nn 
(
β> 
β 
=称
α 
与
α 

α 
,= n

量α的长度为:‖α‖= <
α 
>a1+a2+…+a,其中长度的记号也可以简记为
α 

222 

①<
β 
>β,; ②
α 
=
=
α,=
α<
>
+<
γ 
>。
α,


α,α,

③<β+
γ 
>
β 
>

。内积的性质
:
α,=<0.<
α 
>0;


16. 
施密特正交化方法
α2,…,中的一组线性无关向量,

设α1,αs为Rn 
令

,β1>β-,βs1>
则β1,βs相互正交
β1
。
,β1>β1s1

β2,…,

α1,α2-<α2,β1> β1,…,s=αs-
α,β1-…-<sβs-
s-1, 

<sβ1> α,1>
β1=β2=<β<<
β


17. 
规范正交基与正交矩阵
设α1,αn 
为Rn 
的一组基,先将其正交化得β1,βn 
再将其单位化得:

α2,…,β2,…,, 

β1 β2 βn 

‖β2‖,…,则η1,满足:<0,.i≠j;

‖β1‖,‖βη2,…,ηi,=

η1= η2= ηn 
= 
n 
‖, ηn 
ηj>

i=2,…,。称其为Rη1,ηn 
), 
QTQ=QQT=E,称
Q 
为正交矩阵。对于正交矩阵
Q 
有: 
①QT=Q-1;②|Q|=±1;③若Q1,Q2 均为正交矩阵,则Q1Q2 仍为正交矩阵。

‖ηi‖=1,1,nn 
的一组规范正交基。令Q=(η2,…,则

3.2　典型例题
题型
1 
向量组线性相关性的判
定
解题思
路


(2)利用矩阵的秩判别:设有
m 
个
n 
维列向量α1,记A=(), 
则可用矩阵
A 
的秩判别向量组α2,…,的线性相关性。
αm 
, α1,αm 
α1,αm 

(1)利用定义判别:这是判别向量组线性相关性的基本方法,既适用于分量没有具体
给出的抽象向量组,也适用于分量已具体给出的向量组
α。
2,…,α2,…,
当R(=
m 
时, α2,…,

① A)向量组α1,αm 
线性无关; 
α1,αn 

当R(A)<
m 
时, α2,…,
α1,αn 
, α1,αn

(3)利用行列式判别:设有
n 
个
n 
维列向量α2,…,记A=(α2,…,),
A 
为
方阵,则可用
A 
的行列式值判别向量组α2,…,的线性相关性。
② 向量组α1,αm 
线性相关。
①当|A|≠0 时,向量组α1,αn 
线性无关;
α2,…,

1,1),1,3),1,t)。

当|A|0时, α2,…
,
例
1 
设α1=(1,α2=(2,α3=(3,


② =向量组α1,αn 
线性相关。
向量组α1,α3线性相关;

(1)问
t 
为何值时, α2,
向量组α1,α3线性无关;

(2)问
t 
为何值时, α2,

3.2 典型例题 57 
(3)当向量组线性相关时,将α3表示为α1,α2的线性组合。
解法1 
α1 
α2 
α3 
= 
1 1 1 
1 2 3 
1 3 t 
=t-5,故: 
(1)当t=5时,向量组α1,α2,α3线性相关; 
(2)当t≠5时,向量组α1,α2,α3线性无关; 
(3)当t=5时,设α3=x1α1+x2α2,即有
x1 +x2 =1, 
x1 +2x2 =3, 
x1 +3x2 =5, 
ì
.
í
.. 
.. 
解得 x1 =-1, 
{x2 =2。
所以α3=-α1+2α2。□ 
解法2 记A= 
α1 
α2 
α3 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
= 
1 1 1 
1 2 3 
1 3 t 
.
è
... 
.
.
÷÷÷ 
r3-r1 r2-r1→
1 1 1 
0 1 2 
0 2 t-1 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
r3-2r2→ 
1 1 1 
0 1 2 
0 0 t-5 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
。
(1)当t=5时,R(A)=2,所以向量组α1,α2,α3线性相关。
(2)当t≠5时,R(A)=3,所以向量组α1,α2,α3线性无关。
(3)与解法1相同。□ 
例2 设a1,a2,…,ar(r≤n)是互不相同的数,αi=(1,ai,a2i ,…,an-1 i )(i=1,2,…, 
r),试说明向量组α1,α2,…,αr的线性相关性。
解 记
A =(α1T,α2T,…,αrT)= 
1 1 … 1 
a1 a2 … ar 
. . . 
ar1-1 ar2-1 … arr-1 
. . . 
an1-1 an2-1 … arn-1 
.
è
........ 
.
.
÷÷÷÷÷÷÷÷ 
, 
An×r的r 阶子式为范德蒙行列式
V(a1,a2,…,ar)= 
1 1 … 1 
a1 a2 … ar 
. . . . 
ar1-1 ar2-1 … arr-1 
=1≤iΠ<j≤r(aj -ai)≠0, 
故r(A)=r,即α1,α2,…,αr线性无关。□ 
例3 设A 为n 阶矩阵,α为n 维列向量(n≥2),且已知Aα≠0,A2α =0。证明:向量
组α ,Aα线性无关。
证 设有
k1α+k2Aα =0, ① 
为利用已知条件A2α =0,用A 左乘①式两边,有A(k1α +k2Aα )=A0=0,即
k1Aα+k2A2α =0。② 
由于A2α =0,故②式化为k1Aα =0,而Aα ≠0,则必有k1=0。

58 第3章 向量空间
将k1=0代入①式,得到k2Aα =0,再由Aα≠0推出k2=0。
从而仅当k1=k2=0时①才能成立,因此α ,Aα线性无关。□ 
题型2 有关向量组之间线性相关性的命题
解题思路 (1)设向量组A :α1,α2,…,αm ,向量组B:β1,β2,…,βt是与A 有关的另一
向量组,若向量组A 线性无关,则讨论向量组B 的线性相关性可采用如下方法: 
① 利用定义讨论; ② 利用矩阵的秩判别; ③ 利用向量组的等价证明。
(2)设给定向量β和向量组A :α1,α2,…,αm ,讨论β是否可用向量组A 线性表示,可采
用如下方法: 
① 若α1,α2,…,αm 线性无关,而α1,α2,…,αm ,β线性相关,则β可用向量组A 线性表示。
② 利用矩阵A 与矩阵(A,β )的秩进行判定。
③ 反证法。
例4 已知向量组α1,α2,…,αn 线性无关,而向量组β1,β2,…,βn 满足: 
(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)P, 
其中P 为n 阶方阵。求证: 
β1,β2,…,βn 线性相关.|P|=0;β1,β2,…,βn 线性无关.|P|≠0。
证法1 考虑方程
x1β1+x2β2+ … +xnβn=0。(*) 
该方程可改写为.(β1,β2,…,βn)
x1 
x2 
. 
xn 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
=0.(α1,α2,…,αn)P 
x1 
x2 
. 
xn 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
=0。
注意到α1,α2,…,αn 线性无关,所以上式又等价于P 
x1 
x2 
. 
xn 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
=0。因此
β1,β2,…,βn 线性相关.方程(*)有非零解.P 
x1 
x2 
. 
xn 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
=0有非零解.|P|=0。
同理,β1,β2,…,βn 线性无关.方程(*)只有零解.P 
x1 
x2 
. 
xn 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
=0只有零解.|P|≠0。□ 
证法2 记矩阵A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn),则条件(β1,β2,…,βn)=(α1, 
α2,…,αn)P 可以简化为B=AP。
因为α1,α2,…,αn 线性无关,所以R(A)=R(α1,α2,…,αn)=n。
若|P|≠0,则P 可逆,进而R(β1,β2,…,βn)=R(B)=R(AP)=R(A)=n。
这就意味着β1,β2,…,βn 线性无关。
若β1,β2,…,βn 线性无关,则R(P)≥R(AP)=R(B)=R(β1,β2,…,βn)=n, 
注意到P 为n 阶方阵,所以R(P)≤n,结合上式可得R(P)=n,即|P|≠0。

3.2 典型例题 59 
综上β1,β2,…,βn 线性无关.|P|≠0。
同理可得β1,β2,…,βn 线性相关.|P|=0。□ 
注 本题非常有代表性,在考试中经常出现,考题可能会把向量的个数n 和方阵P 赋
予具体数值。以下的两个例题都属于这种情况,如果题目要求写出严谨的推导过程,则可以
仿照本题的证法;如果题目是填空选择题,则可以借用本题结论,这样比较快捷。
例5 已知α1,α2,α3线性无关,而α1+aα2,α1+2α2+α3,aα1-α3线性相关,求a。
解法1 考虑方程
x1(α1+aα2)+x2(α1+2α2+α3)+x3(aα1-α3)=0。(*) 
因为α1+aα2,α1+2α2+α3,aα1-α3线性相关,所以方程(*)有非零解,而方程(*)等价于
(x1 +x2 +ax3)α1+ (ax1 +2x2)α2+ (x2 -x3)α3=0。(**) 
故α1+aα2,α1+2α2+α3,aα1-α3线性相关可以推出方程(**)有非零解。
注意到α1,α2,α3线性无关,所以方程(**)等价于
x1 +x2 +ax3 =0, 
ax1 +2x2 =0, 
x2 -x3 =0。
ì
.
í
.. 
..
(***) 
所以方程(**)有非零解.方程(***)有非零解.系数行列式
1 1 a 
a 2 0 
0 1 -1 
=0,即-2+a+ 
a2=0,从而a=-2或a=1。□ 
解法2 因为α1+aα2,α1+2α2+α3,aα1-α3线性相关,所以
r(α1+aα2,α1+2α2+α3,aα1-α3)<3,而
(α1+aα2,α1+2α2+α3,aα1-α3)=(α1,α2,α3)
1 1 a 
a 2 0 
0 1 -1 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, 
其中α1,α2,α3线性无关,故r(α1,α2,α3)=3。
若
1 1 a 
a 2 0 
0 1 -1 
≠0,则
1 1 a 
a 2 0 
0 1 -1 
.
è
... 
.
.
÷÷÷满秩即秩为3,这会导致r(α1+aα2,α1+2α2+α3, 
aα1-α3)=3,与已有结论r(α1+aα2,α1+2α2+α3,aα1-α3)<3矛盾。故
1 1 a 
a 2 0 
0 1 -1 
= 
0,即-2+a+a2=0,从而a=-2或a=1。□ 
例6 已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则下面成立的是( )。
A.α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1 线性无关
B.α1-α2,α2-α3,α3-α4,α4-α1 线性无关
C.α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4-α1 线性无关
D.α1+α2,α2+α3,α3-α4,α4-α1 线性无关
解 本题是选择题,不要求写出最严谨的推导过程,所以可直接使用例4的结论。

60 第3章 向量空间
(α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1)=(α1,α2,α3,α4)
1 0 0 1 
1 1 0 0 
0 1 1 0 
0 0 1 1 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
, 
而
1 0 0 1 
1 1 0 0 
0 1 1 0 
0 0 1 1 
=0,由例4结论得,α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1线性相关,故A 错。
同理可知,B,D也错。
(α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4-α1)=(α1,α2,α3,α4)
1 0 0 -1 
1 1 0 0 
0 1 1 0 
0 0 1 1 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
。
而
1 0 0 -1 
1 1 0 0 
0 1 1 0 
0 0 1 1 
=2≠0,由例4结论得,α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1线性无关,故C 
正确,选C。□ 
例7 试证:向量组α1,α2,…,αr线性无关的充要条件是向量组α1,α1+α2,…,α1+ 
α2+…+αr线性无关。
证 因为由
β1=α1, 
β2=α1+α2, 
. 
βr=α1+α2+ … +αr, 
ì
.
í
... 
... 
可得 
α1=β1, 
α2=β2-β1, 
. 
αr=βr-βr-1, 
ì
.
í
... 
... 
即α1,α2,…,αr与β1,β2,…,βr等价,故Rβ( 1,β2,…,βr ) =R(α1,α2,…,αr ) ,从而 
α1,α2,…,αr线性无关.R(α1,α2,…,αr)=r=R(β1,β2,…,βr) 
.β1,β2,…,βr线性无关。□ 
注 证明R(β1,β2,…,βr)=R(α1,α2,…,αr)也可以采用如下的方法: 
β( 1,β2,…,βr ) = (α1,α2,…,αr ) 
1 1 … 1 
0 1 … 1 
. . . . 
0 0 … 1 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
, 而
1 1 … 1 
0 1 … 1 
. . . . 
0 0 … 1 
=1≠0, 
即
1 1 … 1 
0 1 … 1 
. . . . 
0 0 … 1 
.
è
....
. 
.
.
÷÷÷÷
÷ 
可逆,所以R(β1,β2,…,βr)=R(α1,α2,…,αr)。
例8 设向量组B:β1,β2,…,βr能由向量组A :α1,α2,…,αs线性表示为

3.2 典型例题 61 
β1 
β2 
. 
βr 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
=K 
α1 
α2 
. 
αs 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
,其中K 为r×s 矩阵,且向量组A 线性无关,证明:向量组B 线性无关
的充分必要条件为R(K)=r。
证 必要性:已知R(K)=r,要证β1,β2,…,βr 线性无关。
反证法 若β1,β2,…,βr线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,…,λr 使λ1β1+ 
λ2β2+…+λrβr=0,即
(λ1,λ2,…,λr)K 
α1 
α2 
. 
αs 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
=0。 
因为α1,α2,…,αs线性无关,所以(λ1,λ2,…,λr)K=0,即
(λ1,λ2,…,λr)
k1 
k2 
. 
kr 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
=0。
从而k1,k2,…,kr 线性相关,则R(K)≠r,这与R(K)=r 矛盾,故β1,β2,…,βr线性无关。
充分性:已知β1,β2,…,βr线性无关,要证R(K)=r。
若R(K)≠r,则K 的r 个s 维行向量线性相关。所以存在λ1,λ2,…,λr 不全为零,使
(λ1,λ2,…,λr)K=0,所以
(λ1,λ2,…,λr)K 
α1 
α2 
. 
αs 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
=0.(λ1,λ2,…,λr)
β1 
β2 
. 
βr 
.
è
..... 
.
.
÷÷÷÷÷
=0, 
故β1,β2,…,βr 线性相关,与已知矛盾。所以R(K)=r。□ 
例9 设向量组α1,α2,…,αr线性无关,且可由向量组β1,β2,…,βr线性表示,证明:β1, 
β2,…,βr也线性无关。
证 因为α1,α2,…,αr可由β1,β2,…,βr线性表出,所以
R(β1,β2,…,βr)≥ R(α1,α2,…,αr)。
又因为向量组α1,α2,…,αr线性无关,所以R(α1,α2,…,αr)=r,进而R(β1,β2,…,βr)≥r。
由于R(β1,β2,…,βr)≤r,所以R(β1,β2,…,βr)=r。从而β1,β2,…,βr也线性无关。
□ 
例10 已知两组向量(1)α1= 
12 
-3 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
,α2= 
301 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
,α3= 
96 
-7 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
;(2)β1= 
01 
-1 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
,β2= 
a21 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, 
β3= 
b10 .
è
... 
.
.
÷÷÷
。两向量组的秩相同,且β3可由(1)组线性表示,求a,b。

62 第3章 向量空间
解 (α1,α2,α3 β1,β2,β3 
.. 
)= 
1 3 9 0 a b 
2 0 6 1 2 1 
-3 1 -7 -1 1 0 
........ 
.
è
... 
.
.
÷÷÷ 
r3+r2→ 
1 3 9 0 a b 
2 0 6 1 2 1 
-1 1 -1 0 3 1 
........ 
.
è
... 
.
.
÷÷÷ 
r1+r3 
r2+2r3 →
0 4 8 0 a+3 b+1 
0 2 4 1 8 3 
-1 1 -1 0 3 1 
........ 
.
è
... 
.
.
÷÷÷ 
r1-2r2→ 
0 0 0 -2 a-13 b-5 
0 2 4 1 8 3 
-1 1 -1 0 3 1 
........ 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, 
故r(α1,α2,α3)=2。
由β3可由向量组(1)线性表示,必有b=5。
由r(β1,β2,β3)=2知, 
-2 a -13 0 
1 8 3 
0 3 1 
.
è
... 
.
.
÷÷÷ 
r1 +2r2→ 
0 a +3 6 
1 8 3 
0 3 1 
.
è
... 
.
.
÷÷÷ 
c2 -8c1 
c3 -3c1 →
0 a +3 6 
1 0 0 
0 3 1 
.
è
... 
.
.
÷÷÷ 
r1.r2 
r2.r3 r3 -6r2 →
1 0 0 
0 3 1 
0 a -15 0 
.
è
... 
.
.
÷÷÷
, 
故a=15。□ 
例11 设向量β 可由向量组α1,α2,…,αr线性表示,但不能由α1,α2,…,αr-1线性表
示,试证:(1)αr不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示;(2)αr能由α1,α2,…,αr-1,β 线
性表示。
证 (1)反证法。若αr可由α1,α2,…,αr-1线性表示,设
αr=k1α1+k2α2+ … +kr-1αr-1。
又β 可由向量组α1,α2,…,αr线性表示,设β =l1α1+l2α2+…+lrαr,将上述前一式代入后
一式中,可知β 可由α1,α2,…,αr-1线性表示,矛盾。故αr不能由α1,α2,…,αr-1线性表示。
(2)因β 可由向量组α1,α2,…,αr线性表示,可设
β=l1α1+l2α2+ … +lrαr。
由β 不能由α1,α2,…,αr-1线性表示知必有lr≠0,故有
αr=-
l1 
lr
α1-
l2 
lr
α2- … -
lr-1 
lr 
αr-1+ 1 lrβ , 
即αr可由α1,α2,…,αr-1,β 线性表示。□ 
题型3 求向量组的极大线性无关组与秩
解题思路 (1)初等行变换法
① 将向量组中的各向量作为矩阵A 的各列; 
② 对A 进行初等行变换,注意仅作初等行变换;