01 |从定性到定量 1 01|从定性到定量 高中物理和初中物理有一个非常大的不同:在初中很多物理问 题只要你做定性的分析,到了高中就要你做定量的计算。 从定性分析到定量计算是一步非常大的跨越。 在初中,我们只需要定性地分析那些热学、光学、力学、电磁 学的现象。分析水为什么会变成冰和水蒸气?为什么会听到回声? 什么是高中物理 2 为什么苹果往下落,水往低处流?为什么磁铁会同性相斥、异性相 吸?为什么筷子在水里会“折断”?这种定性的分析跟日常生活联 系得非常紧密。我们每学一点物理知识,就仿佛揭开了大自然某处 的面纱,好奇心和求知欲在这个过程中得到了极大的满足。 这种初见物理时的朦胧美,一如初见的恋人。人生若只如初见, 那谁都可以跟物理谈恋爱。恋爱期间我们可以靠对电、磁、力、热、 光等领域的新鲜感来维持关系;但婚后就要靠对柴米油盐酱醋茶、房 贷、车贷的精打细算来维系生活。 于是,进入高中,我们就要在力学、电磁学等领域进行精确的 定量计算了。 在初中,我们只需要知道为什么苹果会往下落;在高中,就要 能算出苹果1s下落了多少,2s后的速度是多少。在初中,我们只需 要知道电荷同性相斥、异性相吸;在高中,我们就要知道两个相距 1m的电荷,它们之间的吸引力和排斥力到底有多大。在初中,我们 只需要知道电荷在电场中会加速运动;在高中,我们就要算出电荷运 动的具体轨迹。 这样,大家明白从初中物理到高中物理到底发生了什么吗? 是的,从恋人变成了夫妻。话题从以前的梦想环游世界,变成 了计算下个月的房贷、车贷有多少,计算年终奖发多少可以去欧洲 旅游。 现在你知道为什么很多人初中喜欢物理,到了高中就突然不喜 欢物理了吧。没错,跟很多人想一直谈恋爱不想结婚是一个道理。 但是,物理学是研究一切物质的运动形式和规律的学科,我们 当然不能只满足于对物理现象做一些定性分析。我们从自然界总结 出了各种物理定律,再利用这些定律去改造自然。这可是一丁点儿 差错都不能有的,必须要进行精确的定量计算。 那么,做定量计算就不简单也不美了吗? 如果我们可以算出每个物体的运动情况,对宇宙中所有物体的 运动规律都了如指掌。这种宇宙万物尽在我心中的感觉,绝不是那 种初见的朦胧感能比的。 如果你把物理图像都看清楚了,把物理框架构建起来了,就会 发现高中物理的定量计算其实一点儿也不难。 好,接下来,我们就回到物理学的起点,再重新认识一次物理。 02|为什么会运动? 宇宙万物都在运动和变化之中,物理学就是要研究它们的运动 变化规律,研究它们为什么会运动、怎样运动。 我们能看见物体,是因为光子跑到眼睛里来了;我们能听见声 音,是因为声波通过空气传入了耳朵;我们能接听电话,是因为有电 磁波在给我们传递信息;至于苹果熟了会下落,推一下椅子,椅子会 动就更不用说了。 如果没有运动,世界将是一片死寂,那也没物理学啥事了。 运动是如此普遍和显然,可物体为什么会运动呢?乍一看,这 个问题好像很好笑,但仔细一想,你会发现它远没有想象的那么简 单和理所当然。 为什么苹果往下落,热气球却往天上飞?我推一下椅子,椅子 就往前走,一松手椅子就停了,难道有外力物体才会动?一个铁球 比一根羽毛落得更快,是因为铁球更重一些吗?这些问题是如此平 常,但回答起来却异常困难。古希腊时期很多自然哲学家都思考过 这些问题,但答案都不太令人满意。 比如,你看,我推椅子,椅子就动了。这个好理解——通过接 触传递力,也很容易接受。但是,苹果下落时,并没有东西跟它接 触啊,为什么它还会运动呢?热气球上升时,也没有东西跟它接触, 为什么它也运动呢?而且,为什么苹果往下运动,热气球却往上运 动呢?难道说重物都往下落,轻物都往天上飞? 看到这里,有些同学肯定想说:苹果下落是因为受到了向下的 引力,热气球上浮是因为受到了向上的浮力。很多家长在回答孩子 的问题时,也喜欢直接这样甩答案。这答案虽然没错,但它过于从 天而降。孩子们通过这种答案只能获得一个零碎的知识点,无法了 解背后的知识体系,也无法体会科学是如何建立起来的。 古希腊人对自然界进行了细致的分析和深入的哲学思考,最后 形成了一套自洽的自然哲学体系。 在这个过程中,出力最多、处于核心地位的是亚里士多德,我 们姑且把这一整套看待世界的观点称为“亚里士多德世界观”。这套 观点认为:地球是宇宙的中心,日月星辰都围着地球转。地球上的物 质由水、火、土、气四种基本元素组成。土元素天然会向宇宙中心 运动(所以石头会掉下来);水元素也天然向宇宙中心运动,但这一 趋势比土元素弱(所以水也会往下运动,但在土的上面);气元素天 然向水和土以上运动(所以水里的气泡会往上面冒);火元素有一种 天然远离宇宙中心的趋势(所以火在空气中向上燃烧)。一个物体如 果趋于静止,要么是组成这个物体的元素已经达到了它在宇宙中的 自然位置(比如水和土到了地球中心),要么是被其他东西(如地球 表面)挡住了。 一个静止的物体会一直保持静止,除非它有其他的运动来源(要 么是自己趋于宇宙自然位置的运动,要么是外界给了力,比如我推 桌子)。 其他观点我就不一一列举了,大家看了之后有什么感想?你有 没有感觉,虽然这些观点在今天看起来很“幼稚”,但它却是一套自 洽的体系。它能把自己的话圆回来,不会自相矛盾;它也能解释为什 么物体会运动,能比较好地解释古人看到的各种现象。甚至,对小 孩子来说,这一套理论更符合“常识”,更容易被理解和接受。 但是,这并不是科学,而是自然哲学,真正的科学当时还没有 诞生。亚里士多德世界观还要统治欧洲近2000年,一直到伽利略的 出现。 03|伽利略的发现 伽利略认为,不能只对运动做定性的分析,还要做定量的计算。 应该用数学定量地描述物体的运动,再用实验去验证,而不是仅仅 讨论诸如物体的目的、本性这种形而上学、无法量化的东西。 这就意味着,伽利略放弃了古希腊以来的自然哲学传统,正式 创立了以数学和实验为根基、以“描述自然现象”为任务,而不是 尝试去“解释自然现象本质”的现代科学。 重物会下落,那就看看它是怎么下落的,第1秒下落了多少, 第2秒下落了多少,找找规律。人们说物体越重下落得越快,那就 来做实验,看看一个重铁球和一个轻铁球比是不是如此。人们说所 有的物体达到它的自然位置之后就会趋于静止,那就来做实验看看 到底是不是这么回事。 做了一堆实验之后,伽利略大惊失色,他发现事情根本不是原 来想的那样。感觉靠不住,得用实验说话。 首先,伽利略从一系列斜坡实验中发现:一个物体是否运动, 跟它有没有受力没有直接关系,运动不需要外力来维持。 他设计了一个光滑的斜坡,发现不管从左边多高的地方放下小 球,小球基本上都能达到右边相同高度的地方。 ................ 光滑斜面的小球会回到原来的高度 接下来,减小右边的坡度,让右边越来越平。那么,为了达到 同样的高度,小球就得运动更远的距离。 (a)(b) (c) 伽利略斜面实验 最后,把右边的斜坡完全放平,那右边就变成了一个平面,高 度永远不变了。这样,无论小球运动多久,运动多远,都不可能再 达到与左边相同的高度。永远达不到左边相同高度的意思是:小球会 一直匀速直线运动下去(假设地面绝对光滑)。 这就像在溜冰场,地面越光滑,人就能一次性滑得越远。如果 地面绝对光滑,人就会永远停不下来,直到碰到其他障碍物。 通过这个实验,伽利略发现运动本身并不需要力来维持,物体 不受任何外力作用时也能保持匀速直线运动的状态。那么,力的作 用到底是什么呢?用力推椅子,椅子的状态确实改变了,也确实好 像是用的力气越大,椅子运动的速度就越大。 伽利略针对这些问题做了进一步研究,最后发现:力不是维持 物体运动的原因,而是改变物体运动状态的原因。也就是说,维持 物体的运动不需要力,但改变物体的运动就需要力了,力还是非常 有用的。小钢球在绝对光滑的地面上能一直做匀速直线运动,速度 的大小和方向都不变。但如果用力推小球,小球的速度就会改变。 伽利略的工作非常重要,他不仅开创了现代意义上的科学,指 明了科学研究的基本方法,还身体力行,发现了大量物体运动的基 本规律,给后人指明了方向。 04|牛顿力学 接下来,牛顿在这些工作的基础上,建立了一整套描述物体运 动的理论。这就是大名鼎鼎的牛顿力学,也是高中物理的核心。 牛顿力学有三大运动定律,理解了伽利略的发现,你就会觉得 这些定律非常自然。然后你会发现:通过这些定律,我们竟然真的可 以描述物体的各种运动。 所谓定律,就是科学家通过做各种实验,从实验现象里总结出 来的规律,它的正确性由实验保证。定律是无法通过数学公式“推导” 或者“证明”出来的,那些证明出来的叫定理。数学家会预设一些 最基本的公理(比如欧式几何的5条几何公理),然后从这些公理出 发,通过逻辑演绎证明各种定理,构建起一座座坚固的数学大厦。 因为数学并不用对现实世界负责,所以公理的选择具有相对的任意 性。你可以选这几条作为公理,推出一套数学体系;也可以选那几条 作为公理,推出另一套数学体系。只要体系内部不自相矛盾,都是 可以的。就像欧式几何和非欧几何虽然在第五公设针锋相对,但它 们却可以和谐共存。 但是,物理学是要对现实世界负责的,所以根基不能随便选。 它一定要符合实验,符合从自然界观测的结果。而定律就是从各种 实验现象里总结出来的规律。因此,有些物理学家就以定律为根基, 建立理论体系,比如牛顿力学。还有一些物理学家以原理为根基建 立理论体系,比如爱因斯坦的相对论。甚至,整个物理学都可以从 最小作用量原理推导出来。 原理并不是从某个具体实验中总结出来的具体定律,而是大家 从大量物理规律中总结出来的一些普遍成立的东西。这些原理对物 理定律的形式有非常严格的限制,成了“管定律的定律”。 这样说,大家就明白牛顿的三大运动定律是什么地位了吧?它 们是牛顿力学的根基,决定了牛顿力学的基本骨架。 下面,我们就来看看这三大定律到底都说了什么。 05|牛顿第一定律 牛顿第一定律:物体在不受力,或者受到的合外力为0时,它 将保持静止或者匀速直线运动(即速度的大小和方向都不变)。 牛顿第一定律也叫惯性定律,它告诉我们“运动并不需要力来 维持”。如果物体受到的合外力为0,那它之前是什么速度,之后就 依然是什么速度。 为什么它还有一个名字叫“惯性定律”呢?惯性在英文里跟惰 性是同义词,就是懒的意思。所以,惯性定律就是说所有的物体都 很“懒”,像懒猪一样,都不愿意主动改变自己的运动状态。 如果我现在没动,那就一直不动,除非你用力推我;如果我现 在有一个速度,那就一直以这个速度前进,除非有力拦着我。 喜欢科幻电影的朋友肯定对这个画面不陌生:一个宇航员在外 太空不小心弄断了连接飞船的绳子,然后大家就只能眼睁睁地看着 这个宇航员以一定速度飘向太空深处。因为太空中没有其他外力拦 住他,所以他就只能遵守惯性定律“懒”下去,一直以同一速度飘 走(虽然他是如此地不愿意)。 这也说明:没有力,宇航员照样可以运动,力的确不是维持物 体运动的原因。那么,力的作用到底是什么呢?伽利略在后半句里 说了:力是改变物体运动状态的原因。也就是说,虽然运动本身不需 要力来维持,但是,如果想改变运动状态,比如宇航员不想飘向太 空深处,想回到飞船,这就需要一个外力来拉一把。 好,知道力可以改变物体的运动状态之后,我给你一定的力, 你的速度能改变多少呢?想要把这个账定量地算清楚,我们就需要 牛顿第二定律。 06|牛顿第二定律 怎么算呢? 首先,既然力可以改变物体的速度,那首先就得找一个物理量 来描述物体速度的变化。比如,汽车现在的速度是2m/s,1s后变成 了4m/s,那它的速度就在1s之内变化了(4–2)m/s=2m/s。 为什么汽车的速度会变化呢?当然是发动机的牵引力让汽车的 速度发生了改变,换成马车就是马的拉力让车的速度改变了。既然 速度发生了改变,那肯定就有什么力作用在它身上。 那么,力的大小跟速度的变化有什么关系呢?是力越大,速度 的变化就越大吗?乍一看好像没问题。用两匹马拉车,1s内可以 让马车加速2m/s;如果有四匹马拉车,或许1s内就能让马车加速 4m/s。但是,就算只有一匹马,如果时间给够,比如60s,那马车 完全有可能增加更多的速度。所以,光比速度的变化量是不公平的, 还要限定时间:在一定的时间内(比如1s)让物体的速度变化越大(也 就是速度变化得越快),才能说明受到的力越大。 因此,有理由相信:合外力越大,物体的速度变化得越快。而 单位时间内物体速度的变化量,正是加速度的定义。也就是说,我 们用加速度这个物理量来描述物体速度变化快慢的程度。如果物 体的速度不变,那它的加速度等于0;如果物体的速度在1s内从 2m/s增加到了4m/s,那它的加速度就是2m/s2;如果物体的速度在 2s内从1m/s增加到了7m/s,那么它的加速度就应该是 (7–1)m/s2s= 3m/s2。 好,现在我们知道了:物体受到的合外力越大,那它的速度就 变化得越快,加速度越大。 那么,还有其他影响加速度的因素吗?同样是一匹马,一个拉 自行车,一个拉大卡车,你觉得它们的加速度会一样吗?很显然, 物体的加速度不仅跟合外力有关,还跟质量有关:质量越大,同等合 外力下获得的加速度越小,反之越大。有了这样的铺垫,牛顿第二 定律就呼之欲出了。 牛顿第二定律:物体的加速度a跟物体受到的合外力F成正比, 跟物体的质量m成反比,写成公式就是F=ma。于是,我们就引出 了牛顿力学里最重要的一个公式,整个高中物理都可以说是在学习 F=ma在各种情况下的应用。 牛顿第二定律也让我们有了一个全新的视角来审视“质量”这 个概念。 惯性定律不是说“万物都很懒”吗?没有外力推动,一个个都 不愿改变自己的运动状态。但是,虽然大家都很“懒”,可“懒”也 分三六九等。有的物体是轻微的懒,轻轻一推就改变了运动状态;有 的是极度的懒,用八抬大轿都抬不动。 那么,如何判断一个物体是一点点懒,还是非常懒呢?答:根 据质量。因为牛顿第二定律告诉我们,一个物体的质量越大,同等 外力下产生的加速度就越小,即运动状态变化得越慢,这不就是更 懒的意思吗?所以,质量就成了一个衡量物体运动状态改变难易程 度的物理量。质量越大,越胖,就越不想动,想想好像真的很有道理。 从这个角度,大家再来感受一下牛顿第二定律F=ma:外力(F) 想改变物体的运动状态(a),但质量(m)越大,物体越懒,越坚持 自我,越难被外力(F)所改变。所以,内心越强大,就越难被外界 的诱惑所改变;质量越巨大,就越难被外力的驱动所改变。 最后,再顺带看一下牛顿第三定律。 牛顿第三定律:相互作用的两个物体作用力和反作用力大小相 等,方向相反(牛顿的原话是“每一个作用都有一个相等的反作用”, 并没有提到“力”。但因为我们在讨论牛顿力学,所以教材里就直接 用作用力和反作用力来表述,方便理解)。这很好理解,比如我用力 推一下墙,就会感觉墙也用力推了一下我,这两个力大小相等,方 向相反。 好,理解了牛顿的三大运动定律,就理解了牛顿力学的根基, 然后就可以分析万物的运动情况了。 07|物体如何运动? 宇宙万物到底是如何运动的?隐藏在运动背后的规律又是什 么?之前有很多人回答过这些问题,但答案都不太令人满意。 现在,牛顿同学递交了他的答卷,一份令人非常满意的答卷。 答卷的主体就是牛顿三大运动定律,它的核心思想是:如果物体不受 外力(或者合外力为0),它将一直保持原来的速度;如果合外力不 为0,它的速度就会改变,即具有一定的加速度。想知道加速度到底 是多少,就用牛顿第二定律F=ma去计算。 例如,为什么茶杯在桌子上静止不动?因为茶杯受到了一个向 下的重力和一个来自桌面的向上的支持力,这两个力大小相等方向 相反。因此,茶杯受到的合外力为0,所以茶杯就静止不动。 为什么我推一下椅子,椅子就动了呢?因为我推椅子时,椅子 在水平方向上受到了一个推力,合外力不为0。根据牛顿第二定律 F=ma,这个合外力会让椅子产生一个加速度,于是椅子就动起来了。 为什么松手之后,椅子会慢慢停下来呢?因为松手之后,推力没有 了,椅子在水平方向上受到的合外力就只有来自地面的摩擦力(摩 擦力一直都在,但之前比推力小)。摩擦力与椅子运动的方向相反, 因此会产生一个让椅子减速的加速度,于是椅子就慢慢停了下来。 为什么苹果熟了会往下落呢?因为苹果没熟时,受到一个向下 的重力和一个树枝向上的拉力,这两个力大小相等方向相反。所以, 苹果受到的合外力为0,于是保持静止。苹果熟了以后,树枝承受不 了苹果的重量,就跟苹果分离了。于是,苹果受到的合外力就只有 向下的重力。根据F=ma,苹果会有一个向下的加速度,因此苹果会 加速往地面掉落。 为什么月亮会围着地球转呢?因为地球和月亮之间有一个万有 引力,月亮受到的合外力就是这个引力。根据F=ma,月亮会有一个 加速度,这个加速度不断改变速度的方向,让月亮围着地球转。 为什么电荷在电场中会运动呢?因为电荷在电场中会受到一个 电场力,此时电荷受到的合外力就是这个电场力。根据F=ma,电荷 会有一个加速度,于是电荷开始加速运动。 这些例子我可以给你无限列举下去,但是你发现没有,我用来 解释物体为何这样运动的“套路”都是一样的:都是先看物体受到了 什么力,把合外力F找出来,再利用F=ma求出物体的加速度a,最 后根据加速度分析物体的运动情况。 来来去去就这“三板斧”,一套“组合拳”打天下,这就是牛顿 力学。 08|从运动到受力 大家现在明白为什么牛顿第二定律F=ma这么重要了吧?因为 这个公式的左边代表了物体的受力情况(合外力F),右边代表了物 体的运动情况(加速度a),F=ma则把物体的受力情况和运动情况 紧密地联系在了一起。 物理学要研究万事万物的运动情况,牛顿第二定律告诉你:想 知道物体是怎么运动的吗?那就去看看它受到了什么力吧。我传你 一套“祖传秘籍”:F=ma,只要你告诉我它受到了什么力,我就能 告诉你它将如何运动。 有了牛顿第二定律的帮助,我们研究万事万物如何运动的宏伟 目标,就变成了研究万事万物都受到了什么力。 那么,世界上都有些什么力呢?面对各种各样的力,我们又要 如何研究呢?答案是:先分类,再各个击破。 我们先对所有的力逐一盘问:“你导致物体的运动状态发生了怎 样的改变?”“你是什么力?”就像提着一袋垃圾走向分类垃圾桶时, 经常也会收到的问候一样:“你是什么垃圾?” 然后,我们就坐在力的分类桶前开始审查:你让苹果加速下落, 是引力,去1号桶;你让月亮围着地球转,还是引力,也去1号桶; 你让杯子无法穿透桌面掉下去,是支持力,本质上是电磁力,去2 号桶;你让原子核里的质子、中子没有因为电磁斥力散架,是强力, 去3号桶……科学家就这样对各种运动现象逐一考察,找出它们背 后的力,然后对这些力进行分类。 最后,你猜结果怎么着?大家惊奇地发现:只要4个桶,不用 成百上千,也不要十个八个,只要4个桶就能把人类迄今为止发现 的所有力都装进去。 什么意思?意思就是我们对各种力进行分类,发现力的数量虽 然多,但种类却很少,只有区区4种(不过科学家还是觉得多,他 们巴不得只有1种才好),这4种力分别是:引力、电磁力、强力、 弱力。 这就非常耐人寻味了。你看,牛顿第二定律告诉我们:如果你想 研究物体的运动情况,就去分析它的受力情况。知道了受力情况,就 能通过F=ma求出它的加速度,进而知道它的运动情况。一开始看到 这段话,很多人可能觉得这是在转移矛盾,觉得这无非就是把问题从 运动情况转移到受力情况这边来了,并没有实质性地解决问题。 但是,我现在告诉你:虽然物体的运动情况很复杂,但决定物 体运动的力,却只有屈指可数的4种。这样,问题的性质就从根本 上发生了变化:如果总共只有4种力,那我完全可以把它们一个个弄 清楚啊,毕竟4种又不多。深入研究4种力,回报是掌握一切物体 的运动情况,这买卖,太值了! 当然,你可能会疑惑:真的只要4种力就能搞定一切?有那么 便宜?科普人不打诳语,不仅如此,我还有一个更好的消息:虽然我 们说有4种力,即引力、电磁力、强力、弱力,但是,强力和弱力 只在原子核级别才有显著作用,日常生活中一般感觉不到它们的存 在,高中物理也不会讲。于是,你在高中会碰到的所有力,就只有 引力和电磁力两种。怎么样?4种变2种,有没有“双十一五折大 甩卖”的感觉? 接下来,我们就来仔细看看这两种力,看看为什么说日常生活 中只能感觉到引力和电磁力。 09|什么是引力? 引力,又叫万有引力。“万有”的意思很明显,就是说这种力是 普遍存在的,任何两个有质量的物体之间都有这样一种力,谁也跑 不掉(在牛顿力学里先这样理解,以后学了广义相对论,你会对引 力有更加深刻的认识)。这个意思很直白,就是说万物之间都会相互 吸引。 你可能会疑惑:不会吧,万物之间都有吸引力?我和同学、课 桌、教室之间也有?为什么从来没感觉到?引力的确是万有的,不 要说跟你同学,就是跟看“长尾公众号”的手机、跟绣花针之间都 有引力。只不过这些力都太小,人们察觉不到。 为什么引力小呢?当然是因为质量小。你的体重在引力眼里不 值一提,想感受引力,就得选个质量大的。比如,你可以选择教学楼, 你和一栋楼之间的引力就比两个人之间的大多了(想想教学楼的质 量是你同学的多少倍)。不过,这个引力还是太小,依然感觉不到。 那再大一点,选择喜马拉雅山。很可惜,还是太小。你可能要发飙了, 我和这么大一座山之间的引力还小?你怕不是来忽悠我的吧。还嫌 质量小,那我把整个地球选给你好不好?好,那我就不客气地签收 了!这次你选对了。 引力虽然是万有的,但是它非常微弱,我们需要地球这个级别 的物体才能直观感受到它的存在。 地球和我们之间的引力深深影响着每个人的生活,它给了我们 安全感,也给了我们恐惧感;它让地球不会分崩离析,也俘获了月亮 的心…… 你可以想一想,为什么你每次跳起来之后都会落回地面?你可 能觉得这理所当然,或者从来就没想过,似乎“每个物体都会往下落” 是天经地义的事情(就像亚里士多德说的“××天然有向地球中心 运动的趋势”一样)。 但是,你想想惯性定律,万物都是“懒”的,人也一样。如果 没有外力影响,物体会一直保持原来的运动状态。原来是静止的, 后面就一直静止;原来有一个速度,后面就一直以这个速度匀速直线 运动。 我们跳起来时,速度是指向天上的,跳起来后慢慢减速,到了 最高点速度为0,然后开始反向加速下落。整个过程中,速度的大小 和方向都发生了明显的变化,这就表明跳跃时肯定受到了其他外力 的影响,这个力让我们的速度发生了改变。但是,我们跳起来后明 明没有跟任何东西接触,那这能是什么力呢?答案是引力,是我们 和地球之间的万有引力。 任何两个物体之间都有引力,地球和地面上的物体之间当然也 是。你可以把地球想象成一个巨大的吸铁石,它对地面上的任何东 西都有强大的吸引力,所以高处的物体总会往低处走。于是,你跳 起来,又会被吸回来;苹果会被吸到地面;高处的水会被吸到低处; 你提着一袋东西觉得重,那是因为地球想把这袋东西吸过去,但你 “死死拽着”不放,你在跟地球拔河;月亮一直围着地球转,也是因 为被地球吸住了,想跑跑不掉……这些,都是地球引力干的,它吸 引着一切,感知极强。 因为我们生活在地球,从小就感受着来自地球的引力,所以早 已见怪不怪。但是,如果哪天你到了月球,因为月球的引力比地球 小很多,你可能轻松一跳就是两层楼高;如果在外太空,可能轻轻一 跳,就永远下不来了。 长尾君当年学习引力时,还解开了一个困惑我多年的谜题,内 心倍感舒畅,这里也分享一下。 从小我就知道人类生活在地球表面,那么问题就来了:我住在 地球“上面”,头朝上,那住在地球另一面的人岂不是脚朝上?为什 么他们没有掉下去?直到学了万有引力,我才恍然大悟:原来大家都 是被地球吸住的!根本就没有什么绝对的上下,也不是上面的东西 天生就要往下落,而是大家都被地球吸得往地心方向跑而已。 好,到这里,相信大家对引力已经有一个概念了。但这还远远 不够,虽然知道了苹果下落、月亮围着地球转都是引力造成的,那 引力具体是怎么影响它们的呢?这个地球引力到底会使苹果以多大 的加速度下落?1s后苹果的速度是多大?2s后会下落几米?它会使 月亮以多长的周期围着地球转? 如果不把这些细节搞清楚,我们也不好意思说弄懂了它们的运 动情况。说白了,我们必须能定量算出两个物体间引力的大小,然 后才能用牛顿第二定律F=ma算出具体的加速度,进而分析物体的 运动细节。 10|万有引力定律 引力的规律要如何找呢? 前面说了,引力非常微弱,地面物体之间的引力非常小。想通 过观测它们来总结引力的规律,怕是行不通。所以,我们把目光转 向了天上。月亮围着地球转,地球和其他行星围着太阳转,一些大 的行星(比如木星和土星)还有一堆卫星围着它们转,这些肉眼可 见的天文现象可都是引力主导的啊。 于是我们夜观星象,把星体的运动轨迹都记录下来(一个叫第 谷的人在这方面做得极好)。然后分析它们的运动轨迹,从中找出一 些星体的运动规律(第谷的学生开普勒发现了行星运动的三大定律)。 最后根据这些定律,利用数学和物理知识反推出让星体这样运动的 力应该具有什么样的性质。 这一步,很多科学家都在走,但牛顿凭借他卓越的数学和物理 才华(唯一一个同时稳居数学、物理前三名的人),第一个走出了迷 宫,给出了描述引力的精确定律,并用它成功解释了当时一切跟引 力相关的运动现象。这一仗,牛顿大获成功,这个能精确描述引力 的定律,被称为万有引力定律。 牛顿是如何得到这个定律的,这里不细说。我们先来直观地感 受一下,来猜一猜这个定律应该长什么样。毕竟它号称能精确描述 万有引力,我们看看它的描述跟我们的直观感受是否冲突。 大家知道,任何两个物体之间都有引力,而且质量越大,引力 越大。那么,引力就只跟质量有关吗?太阳的质量比地球大得多, 为什么我们没有被太阳吸走?答案当然是:因为地球距离我们更近。 所谓强龙压不过地头蛇,我的地盘我做主,任何势力都有它的 范围,引力亦然。所以,除了质量外,引力还应该跟距离有关。而 且容易想象,引力跟质量、距离的关系,一定是质量越大,引力越大; 距离越大,引力越小。 这不是什么问题,真正的问题是:它们之间定量的关系到底是 怎样的?把质量增大到原来的2倍,引力会增大多少?把距离扩大 为原来的2倍,引力又会减小多少?只有把这个关系搞清楚了,才 能精确地计算引力,才算搞定了引力。 先来看引力和质量的关系。 假设有两个1kg的铁球,它们之间有一定的引力。那么,如果 其中一个铁球的质量从1kg增加为2kg,你觉得引力会变成多少?是 原来的2倍(1×2)、3倍(1+2),还是其他什么的?理论上来说, 应该是2倍,也就是说质量之间应该是乘法关系。因为我可以把2kg 的铁球看成两个1kg的铁球,那每个1kg铁球的引力就和原来的一 样,新的引力自然就是原来的2倍。所以,两个物体之间的引力F 应该和这两个物体的质量m1、m2的乘积成正比。其中任何一个物 体的质量增加为原来的多少倍,它们之间的引力就增加为原来的多 少倍。 引力和质量的关系还好说,真正困难的是和距离的关系。 假设两个小球相距1m,现在它们之间的距离扩大为2m。那么, 它们之间的引力会减小为原来的多少呢?是原来的1/2、1/4,还是 1/8呢? 有人说你可以去做实验啊,看看把两个小球之间的距离增加一 倍以后,它们之间的引力会缩小为原来的几分之一。但是,引力的 实验不好做啊。因为引力非常微弱,地面上两个物体之间的引力很 难测量。而且,引力是万有的,我们很难屏蔽其他物体对实验的影响。 引力有显著作用的地方,还是在天上。开普勒就是从星体运动 的轨道数据里发现了行星运动三大定律,牛顿从这里打开了思路, 最终发现(其实胡克、哈雷等人也发现了)引力跟距离的平方成反比。 也就是说,如果两个物体之间的距离变为原来的2倍,它们之间的 引力就减小为原来的1/4;距离变为3倍,引力就减小为原来的1/9。 其实,平方反比定律在自然界非常常见。 大家想想圆的周长公式C=2πr,周长跟半径(即半径的1次方) 成正比。圆的面积公式S=πr2,球体的表面积公式S=4πr2,面积跟 半径的平方(2次方)成正比。圆球的体积公式V=4πr3/3,体积跟 半径的立方(3次方)成正比。发现没有,周长跟半径的1次方成正 比,面积跟半径的2次方成正比,体积跟半径的3次方成正比。 现实世界是三维的。这就意味着,如果有个东西爆炸了,它释 放出来的能量就会以球面的形式向外扩散。比如,某个爆炸产生的 冲击波1s传播1km,那么,2s后这个冲击波就会向空间各方向传播 2km,组成一个半径为2km的二维球面。 Sd2d3d 能量以球面的形式向外扩散 球的表面积公式是S=4πr2,于是,我们可以粗略地认为:爆炸 源的能量每时每刻都被平均分给了4πr2个部分,它跟半径r的平方 有关。 这就是各种平方反比定律更深层次的来源。 同样,如果我们的空间是四维的,你就会看到各种立方(3 次方)反比定律,这也是科学家们检验是否存在高维空间的一种 办法。 好,理解了这些,引力跟距离的平方成反比就非常正常了。于是, 我们就知道了:两个物体之间的引力F跟两个物体的质量m1、m2成 正比,跟它们之间距离r的平方成反比。写成公式就是: F1= F2 = GF2F1m1×m2r2m1m2 这就是大名鼎鼎的万有引力定律,是牛顿力学里描述引力的公 式。下图中F表示引力,因为引力是相互的,你吸引我,我也吸引 你,而且这种吸引力大小相等、方向相反,图里就用F1、F2分别 表示。因为质量越大,引力越大,所以分子就是两个物体质量m1 和m2的乘积。因为空间是三维的,所以引力的大小跟距离的平方 成反比,于是分母是r2。最外面的G是万有引力常数,数值大概是 6.67×10–11N·m2/kg2。 F1= F2 = GF2F1m1×m2r2m1m2 万有引力定律 有了这个公式,理论上,只要我们知道两个物体的质量和它 们之间的距离,就能算出引力。知道了引力F,根据牛顿第二定律 F=ma就能求出物体的加速度a,进而知道物体的运动情况。 于是,一个完美的引力闭环就形成了。我们终于可以同时掌握上 游的引力计算、中游的引力转加速度以及下游的用加速度分析运动了。 既然任督二脉已经打通,内循环也转了起来,要不,我们用牛 刀杀一只鸡试试? 11|下落的苹果 很多人在了解万有引力时,都会听到牛顿被苹果砸到的故事。 这里我们不讨论故事的真伪,就单纯地分析一下苹果下落这个过程。 苹果为什么会下落?当然是因为受到了地球的引力,它是被地 球“吸”向地心的。到了这里,相信大家对这个已经没什么异议了。 跟以前不同的是,我们现在已经知道了万有引力定律。我们不 仅知道苹果下落是由地球引力造成的,还能把这个引力的大小算出 来。求出引力后,秉着“力是改变物体运动状态(速度)”的想法, 用牛顿第二定律F=ma把苹果下落的加速度a算出来,再根据加速 度分析苹果的下落情况。 简单来说就是三步走:第一,找到让苹果下落的力(这里就是 地球和苹果之间的引力,用万有引力定律来求);第二,找到合外力 后,用牛顿第二定律F=ma求苹果的加速度a;第三,利用加速度分 析苹果下落的运动情况。 整个思路是如此简单而清晰,我们一步步走。 第一步,找到苹果和地球之间的引力,这当然要求助于刚刚发 现的万有引力定律: 从定律的形式来看,想知道苹果和地球之间的引力,就必须知 道苹果的质量、地球的质量以及苹果与地球之间的距离r(G是个常 数,不用管它),我们分别来看一看。 苹果的质量好说,你的苹果是半斤还是六两,称一称就知道了。 不过,我们这里并不限定苹果的质量,大小随你挑,因为你很快就 会发现苹果的下落情况跟苹果的质量根本没有关系。 这是一个让人非常吃惊的“巧合”,爱因斯坦就是从这里打开了 通向广义相对论的大门。小时候我们学过一篇《两个铁球同时着地》 的文章,说的也是这个事。让一轻一重两个铁球同时下落,大家原 以为重铁球会先着地,轻铁球后着地,结果发现它们居然是同时着 地的。 所以,苹果的质量,我们先记作m就好了。地球的质量也是一 个固定的数值,可以去查。因为地球的质量比较大,我们暂且记为 大写的M。 那么,剩下的就只有苹果和地球之间的距离r了。这个距离要 怎么算呢?假设一个苹果从3m高的树上掉落,那苹果和地球的距离 是多少呢?是3m,还是地球的半径加上3m? 如果两个物体都很小(相对它们的距离很小,可以当作质点), 那它们的距离就是这两点连线的长度,这个好理解。但是,如果物 体很大,大到不能当作一个质点呢?比如地球,地球上每一块土壤 对苹果都有吸引力,地球作为一个整体对苹果的吸引力应该是地球 上所有物质对苹果吸引力的总和。当然,你可以把地球切成无数小块, 利用万有引力定律算出每一小块与苹果之间的引力,再把所有的引 力加起来。但是,这明摆着要用微积分啊,而当时并没有微积分。 于是,牛顿说:“你们等我一下。”然后跑回去轻而易举地发明 了微积分,再回来把问题解决了,一旁的胡克只能干瞪眼(想了解 微积分的中学生可以看我另一篇文章《你也能懂的微积分》)。这样, 你就知道一个数学厉害的物理学家有多可怕了吧? 牛顿拿起微积分一通计算,发现地球上所有物体对苹果引力的 和,等价于把地球的质量全部集中在地心对苹果的引力。也就是说, 我们可以直接把苹果到地心的距离当作苹果和地球之间的距离r。地 球的半径R大概是6371km,苹果树高3m,这个树高在地球半径面 前当然可以忽略。也就是说,苹果到地球的距离,实际上就等于地 球的半径R。 于是,苹果的质量m、地球的质量M、苹果和地球之间的距离 (地球的半径R)就都知道了,代入万有引力定律公式就能算出苹果 和地球之间的引力。 FGRMm2= 到这里,三步走的第一步,也就是算出让苹果下落的地球引力 的大小,就正式完成了。 算出了合外力F的大小,接下来就进入第二步,也就是利用牛 顿第二定律F=ma计算苹果下落的加速度a。 这一步太简单了,把质量m移到左边,直接让合外力F除以质 量m就能得到苹果的加速度a。而这个合外力F就是上面的引力, 代入化简一下就有: GRMmamFmRGM22=== 得到的加速度a很有意思。你会发现牛顿第二定律F=ma里苹 果的质量m,刚好跟万有引力定律里苹果的质量m约去了。 于是,苹果下落的加速度a,最后就只跟地球的质量M、地球 的半径R,以及万有引力常数G有关,反而跟苹果自己的质量m无关。 这是什么意思?意思就是说,苹果下落时,不管苹果的质量是 多少,它下落的加速度都一样,因为这个加速度只跟地球的质量和 半径有关。加速度一样,如果苹果的初始状态也一样(比如都是静 止的,初速度为0),那苹果在下落过程中每一分每一秒增加的速度 都会一样,导致的结果就是两个苹果的运动状态完全一样。 这下子,你知道为什么两个不同质量的苹果(铁球)会同时着 地了吧?因为苹果下落的加速度a只跟地球质量M、地球半径R以 及万有引力常数G有关,而它们都是确定值。我们把数据代进去, 最后发现苹果下落的加速度大致等于9.8m/s2。也就是说,苹果下 落时,它的速度会每秒增加9.8m/s。如果苹果一开始是静止的,1s 后它的速度将增加到9.8m/s,2s后达到19.6m/s,依此类推……而 且,可以想象,这个规律不仅对苹果适用,对铁球、对石头、对羽 毛、对地面附近任何只受到引力下落的物体都是适用的,因为这个 9.8m/s2只跟地球的半径和质量有关。 为什么要一直强调地面附近呢?因为只有在地面附近,我们才 能忽略物体到地面的高度,认为物体到地心的距离等于地球半径。 如果物体飞得太高,到地心的距离不能再用地球半径(还得加上物 体距地面的高度)表示,那加速度就自然不再是9.8m/s2。另外,因 为地面有空气,任何物体下落时都会受到空气阻力的影响。所以, 如果物体的重力比空气阻力大很多,比如铁球、苹果,那我们就可 以忽略空气阻力,认为下落的加速度还是9.8m/s2。但是,对于羽 毛这种非常轻的物体,重力很小,空气阻力无法忽略。所以,我们 放下羽毛时,就会觉得羽毛没有苹果落得快,并不会1s后加速到 9.8m/s。如果在没有空气阻力的地方同时放下羽毛和苹果,你就会发 现它们的下落速度是完全一样的。 9.8m/s2,是所有物体在地球表面由于地球引力带来的加速度, 我们称之为重力加速度,用专门的符号g来表示(以区别于一般的 加速度a)。 当然,地球并不是一个绝对球体,它本身也在缓慢自转。因此, 地球表面不同地方(比如赤道和南极)的重力加速度也存在微小差异。 不过,一般情况下我们并不用考虑它们,甚至,为了计算方便,题 目中一般取重力加速度g为10m/s2。 我们知道了苹果在地面附近大约以10m/s2的加速度下落,我们 就知道了苹果下落的一切运动信息。比如,如果苹果从静止开始下落, 1s后它的速度是10m/s,下落高度是5m(想想为什么);2s后速度 是20m/s,下落高度为20m……我们可以知道苹果在任意时刻的速度 和下落高度,这才叫掌握了苹果的一切运动情况。 怎么样?有了万有引力定律,我们果然可以从物体的受力情况 出发,算出它的加速度,再精确分析它的运动情况。 你告诉我物体如何受力,我果然能告诉你物体如何运动,牛顿 诚不我欺也! 12|从苹果到高中物理 到这里,我们就完成了一个最典型运动过程的分析:一个物体 在某种力(重力或者其他力)的作用下开始改变运动状态,这个改 变就体现在它具有一定的加速度a上。而加速度a可以通过牛顿第 二定律F=ma得到,然后我们就可以通过加速度分析物体的运动情 况了。 基本上,这就是高中物理要学的一切,是高中物理的主干,也 是整个牛顿力学的主干。 好,如果牛顿力学的核心就是这么点东西,但你要出题,要给 千万考生出题,而且,出的题一方面不能超纲(比如不准用微积分), 另一方面还得有区分度,怎么办? 你看啊,牛顿力学的核心框架就是通过分析物体的受力来分析 物体的运动。于是,牛顿第二定律F=ma就把所有问题都切割成了 两部分:受力部分和运动部分。那么出题也就有了一个基本的思路: 可以已知物体的受力情况,求物体的运动情况;或者反过来,已知物 体的运动情况,求物体的受力情况。 前面我们分析了苹果在引力作用下的运动情况,那么也可以把 这个过程颠倒过来:告诉你苹果是怎么运动的,让你求苹果的受力情 况。然后,引力的问题基本上讲就算完了。 那么,如果还想把问题弄复杂一点,怎么办?能怎么办,引力 算过了,那就再换一种力呗。一开始我就跟大家说了,我们目前已 知的所有力,归结起来就是引力、电磁力、强力和弱力。但是,强 力和弱力在日常生活中一般感觉不到,高中也不学,先不管。那么, 引力之外,就只有电磁力了。 13|电磁力 一看到电磁力这个名字,很多人就觉得这是不是只有在电线、 磁铁出现的地方才存在的力?但是,按照前面的说法,似乎日常生 活中除了引力,其他现象都应该是电磁力主导的。 受引力影响的现象还是很好判断的,大抵就是被地球吸引着往 下落的现象。但是,日常生活中明显还有很多不是引力主导的现象, 比如推桌子、拉物体、桌面托住茶杯、压缩弹簧、摩擦地面等。 在日常生活中,这些力都有一些比较形象的名字:推力、拉力、 支持力、弹力、摩擦力。它们肯定不是引力,按照上面的说法,不 是引力似乎就应该是电磁力了。但是,这些现象里没有电线和磁铁, 好像又不是电磁力。 那么,它们到底是不是电磁力呢?元芳,你怎么看? 元芳:“大人,按照文章的推理,应该是电磁力;按照我们的直 觉,似乎不是电磁力。此文乃长尾君所写的科普文,科学应该重推理, 轻直觉。因此,属下断定,它们必然都是电磁力!” 随后,长尾君给元芳点了个赞。 什么原因呢?你看啊,不管是推力、拉力、支持力、弹力还是 摩擦力,它们都是“接触力”,都是两个物体非常靠近之后产生的一 种力。但是,你想过没有,为什么两个物体一靠近、一接触就会产 生一种力呢?为什么我去推桌子,桌子就会受到一种力而运动?你 可能觉得这个问题很蠢。去推桌子,桌子当然会受到一个力啊,天 经地义,这还用问为什么? 其实,这个问题并没有那么显而易见。你再想一下,人在推桌 子时,到底发生了什么?我们知道,人和桌子都由无数分子组成, 宏观上我的手通过“接触”桌子推动了桌子,微观上则是组成手的 分子不断靠近组成桌子的分子。而分子是由原子组成的,原子是由 带正电的原子核和带负电的电子组成的。这样,当这些分子、原子 相互靠近时,它们之间就会产生一种电磁力,这就是分子间作用力, 也叫范德华力。大量分子间的范德华力,就形成了我们宏观上感觉 到的推力、拉力、支持力、弹力、摩擦力…… 分子间作用力有引力也有斥力,这个细节现在先不管。我们看 看下图,大致知道它是怎么变化的就行了: FF.. F.. F.. O 分子间作用力与距离的关系 图中纵轴表示分子间作用力,横轴表示分子间的距离。虚线表 示斥力随距离的变化,实线表示引力随距离的变化,粗线表示引力 与斥力的合力,也就是综合的分子间作用力的变化。可以看到,不 管是引力还是斥力,都是距离越远就越小,距离越近就越大。但是, 由于两者变化趋势不同,最后总的分子间作用力就是粗线这样的变 化规律。 大体上,当两个分子间距离很远时,分子间以引力为主;当距 离小到一定程度时,斥力急剧增大,成为主导。 所以,为什么你能推动桌子?因为当你的手接近桌子时,手分 子和桌子分子间的距离在急剧减小,它们之间斥力就急剧增大。于是, 桌子就在这个斥力的作用下开始加速运动。而这个斥力,也就是宏 观上说的推力,就是分子间作用力,是一种电磁力。 其他的拉力、支持力、弹力、摩擦力也是类似的,这样你就能 明白为什么说日常生活中除了引力就是电磁力了吧?你要是不放心, 可以再想想生活中的其他现象,看看有没有用引力和电磁力都无法 解释的。 手和桌子之间的推力是大量分子间电磁相互作用的结果,因为 分子数量巨大,所以这个过程非常复杂。我们研究问题当然都从最 简单的入手,简单问题搞清楚了,再去处理复杂问题。一堆分子间 的电磁力太过复杂,我们就先来看看最简单的情况:两个电荷之间的 电磁力。