第3章多维随机变量及其分布

由于在实际问题中，有些随机试验的结果需要同时用两个或更多个随机变量来描述，并且这些随机变量往往并非是彼此孤立的，要研究这些随机变量以及彼此之间的关系，我们需要将它们作为一个整体来考虑，为此我们引进多维随机变量的概念。本章我们将重点介绍二维随机变量及其分布，二维随机变量是随机变量的延伸，而多维随机变量的研究可由二维随机变量研究适当地推广得到。
在本章，我们首先介绍二维随机变量以及二维随机变量的分布函数，分布函数决定了二维随机变量的一切性质，研究二维随机变量就是研究分布函数，对二维随机变量的概念进行推广得到多维随机变量的概念。本章中，我们只介绍两类重要的二维随机变量： 二维离散型随机变量和二维连续型随机变量。
本章要用到的准备知识： 概率计算公式，定积分与二重积分计算。
通过本章的学习可以解决如下问题。

问题1用某一型号导弹攻击一固定目标，每枚导弹的弹着点的位置需要由纵坐标和横坐标两个变量确定，如果导弹的杀伤半径为r，确定导弹摧毁目标的概率。
问题2在研究某一地区学龄儿童的发育情况过程中，仅研究儿童身高的分布或体重的分布是不够的，需要同时考虑身高和体重。求儿童身高和体重落在固定范围内的概率。

3.1二维随机变量的分布函数及其性质
定义3.1.1设S为随机试验E的样本空间，X和Y是定义在S上的随机变量，称它们构成的向量(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量，称二元函数

F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y}





图31对应分布函数值F(x,y)，(X,Y)能够落在的区域(阴影部分)

为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数，其中x和y为任意实数。
如果将二维随机变量(X,Y)视为xOy平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)在点(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)
落在平面上以点(x,y)为顶点且位于该点左下方的无界矩形区域内的概率(见图31)。
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)具有以下性质。
性质1F(x,y)对于x和y都是单调非减函数，即如果固定x不变，当y1<y2时，有F(x,y1)≤F(x,y2)； 如果固定y不变，当x1<x2时，有F(x1,y)≤F(x2,y)。




性质20≤F(x,y)≤1，并且



F(-∞,y)=0,F(x,-∞)=0,
F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1。



性质3F(x,y)关于x右连续，关于y右连续，即



F(x,y)=F(x+0,y)及F(x,y)=F(x,y+0)。



性质4对于任意的x1<x2，y1<y2，有



P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0。


需要指出的是，二维随机变量的分布函数必须具有上述四条性质。如果一个函数F(x,y)不满足其中的某一条，则它就不是随机变量的分布函数。反之，如果一个函数满足了上述四条性质，则该函数一定可以作为某个二维随机变量的分布函数。
例3.1.1设F(x,y)=1,x+2y≥1，



0,x+2y<1。容易验证F(x,y)具备性质1、2、3，由于P{0<X≤1,0<Y≤1}=F(1,1)-F(1,0)-F(0,1)+F(0,0)=-1<0，即性质4不满足,所以F(x,y)不能作为二维随机变量的分布函数。
例3.1.2设二维随机变量(X,Y)的分布函数为
F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)(-∞<x,y<+∞)，

确定常数A，B，C。
解由分布函数的性质，有



limx→+∞
y→+∞F(x,y)= limx→+∞
y→+∞A(B+arctanx)(C+arctany)

=AB+π2C+π2=1,
limx→-∞
y→+∞F(x,y)= limx→-∞
y→+∞A(B+arctanx)(C+arctany)
=AB-π2C+π2=0，
limy→-∞
x→+∞F(x,y)= limy→-∞
x→+∞A(B+arctanx)(C+arctany)
=AB+π2C-π2=0。


联立以上三个结果,解得


A=1π2,B=π2,C=π2。


从而(X,Y)的分布函数为



F(x,y)=1π2π2+arctanxπ2+arctany。


由例3.1.2可以知道，利用联合分布函数的性质2可以确定分布函数中未知的常数。在联合分布函数部分，还有利用定义及性质求概率的相关题目。
例3.1.3试用(X,Y)的分布函数F(x,y)表示概率Pa≤X≤b,Y<c。
解Pa≤X≤b,Y<c=F(X≤b,Y<c)-F(X<a,Y<c)
=F(b,c-0)-F(a-0,c-0)。

此处F(b,c-0)表示固定x=b时，函数的F(b,y)在y=c处的左极限。
在本节的最后，我们将二维随机变量及分布函数的概念推广到n维随机变量的情形。
定义3.1.2设S为随机试验E的样本空间，X1,X2,…,Xn是定义在S上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,…,Xn)为n维随机变量或n维随机向量，称n元函数



F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}



为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数，或称为X1,X2,…,Xn的联合分布函数，其中x1,x2,…,xn为任意实数。
n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数具有与二维随机变量分布函数相类似的性质。
3.2二维离散型随机变量
3.2.1二维离散型随机变量的分布律与边缘分布律

定义3.2.1若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为有限对或可列无限多对时，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。
显然，当且仅当X和Y都是离散型随机变量时，(X,Y)为二维离散型随机变量。
定义3.2.2设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)，并且

P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…，

则称上式为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或称为随机变量X和Y的联合分布律。
容易验证，(X,Y)的分布律满足下列性质。
性质1(非负性)pij≥0，i,j=1,2,…； 
性质2(规范性)∑+∞i=1∑+∞j=1pij=1。
二维随机变量(X,Y)的分布律还可以用表格的形式表示，称其为二维离散型随机变量的联合概率分布表： 






Y
Xy1y2…yj…

x1p11p12…p1j…
x2p21p22…p2j…

xipi1pi2…pij…
……


由于随机变量X和Y都是一维离散型随机变量，因此X和Y也有各自的分布律，我们称其为X，Y的边缘分布律，且X和Y的边缘分布律可由(X,Y)的分布律得到，X和Y的边缘分布律分别为



PX=xi=PX=xi,Y<+∞=∑+∞j=1pij=pi·，i=1,2,…； 
PY=yj=PY=yj,X<+∞=∑+∞i=1pij=p·j，j=1,2,…。


实际上，二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律pi·是由联合概率分布表中pij按行求和得到的，关于Y的边缘分布律p·j是pij按列求和得到的。对应的pi·和p·j也可以放在联合概率分布表中，形成如下的表格，仍称为联合概率分布表： 









X


Y


y1y2…yj…

P{X=xi}=pi·

x1p11p12…p1j…∑jp1j

x2p21p22…p2j…∑jp2j


xipi1pi2…pij…∑jp1j

P{Y=yj}=p·j∑ipi1∑ipi2…∑ipij…∑i=1∑j=1pij=1

例3.2.1口袋中装有10个球，其中4个白球、6个红球，从口袋中任取两次，每次取一个球。定义随机变量X=0表示第一次取到的是白球，X=1表示第一次取到的是红球； Y=0表示第二次取到的是白球，Y=1表示第二次取到的是红球。试分别在有放回和无放回两种情况下，求(X,Y)的分布律、边缘分布律以及分布函数。
解不放回的情况下，由于



P{X=0,Y=0}=410×39=215,P{X=0,Y=1}=410×69=415,
P{X=1,Y=0}=610×49=415,P{X=1,Y=1}=610×59=515，


所以，(X,Y)的分布律为





Y
X01

0215415
1415515

由边缘分布律的定义，得(X,Y)的边缘分布律为









X01

pk2535











Y01
pk2535



由分布函数的定义得(X,Y)的分布函数为



F(x,y)=0,x<0或y<0,
215,0≤x<1,0≤y<1,
615,0≤x<1,y≥1或x≥1,0≤y<1,
1,x≥1,y≥1。



有放回的情况下，由于



P{X=0,Y=0}=410×410=425,P{X=0,Y=1}=410×610=625,
P{X=1,Y=0}=610×410=625,P{X=1,Y=1}=610×610=925，


所以，(X,Y)的分布律为






Y
X01

0425625
1625925
由边缘分布律的定义得(X,Y)的边缘分布律为









X01
pk2535








Y01
pk2535



由分布函数的定义得(X,Y)的分布函数为



F(x,y)=0,x<0或y<0,
425,0≤x<1,0≤y<1,
25,0≤x<1,y≥1或x≥1,0≤y<1,
1,x≥1,y≥1。



由例3.2.1可以看出，在两种不同的取球方式下，(X,Y)具有不同的分布律，但它们相应的边缘分布律是相同的。这一事实表明虽然二维随机变量的分布律决定了它们的边缘分布律，可是边缘分布律却不能决定联合分布律。另外，两种方式下边缘分布律相同再一次证明了第1章中提到的抽签的公平性，即有放回和不放回抽样，不影响球被抽中的概率。
例3.2.2设X等可能地从1,2,3,4中取一个数值，Y等可能地在1到X之间取一个数值，求(X,Y)的分布律。
解(X,Y)的所有可能取值为{(i,j)|i,j∈{1,2,3,4}}，则



P{X=i,Y=j}=P{Y=j|X=i}P{X=i}=14·1i，i=1,2,3,4； j=1,…,i。
0,j>i


因此(X,Y)的分布律为









Y
X1234

114000
214×1214×1200
314×1314×1314×130
414×1414×1414×1414×14

例3.2.3设随机变量U服从区间［-2，2］上的均匀分布，随机变量X和Y的定义如下:



X=-1,U≤-1,



1,U>-1,
Y=-1,U≤1,



1,U>1。


求(X,Y)的分布律以及P{X+Y=0}。
解(X,Y)的所有可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)。



P{X=-1,Y=-1}=P{U≤-1,U≤1}=P{U≤-1}=14，
P{X=-1,Y=1}=P{U≤-1,U>1}=0，
P{X=1,Y=-1}=P{U>-1,U≤1}=P{-1<U≤1}=12，
P{X=1,Y=1}=P{U>-1,U>1}=P{1<U}=14。


因此(X,Y)的分布律为






Y
X-11

-1140
11214


所以P{X+Y=0}=P{X=-1,Y=1}+P{X=1,Y=-1}=12。
3.2.2二维离散型随机变量的独立性
在例3.2.1中“有放回”抽样和“不放回”抽样并不影响(X,Y)的边缘分布律，特别是在有放回的情况下，X的取值并不影响Y的取值。一般情况下(X,Y)的两个分量X,Y的取值如果互不影响，我们就认为X与Y是相互独立的。
定义3.2.3若二维随机变量(X,Y)的分布律与边缘分布律满足



pij=pi··p·j，i,j=1,2,…，


则称随机变量X与Y是相互独立的。
如前所述，一般情况下，边缘分布律不能决定联合分布律，但在X,Y满足相互独立的条件下，根据定义3.2.3可以验证(X,Y)的分布律与它的两个边缘分布律是可以相互确定的。
根据定义3.2.3可以验证在例3.2.1中“有放回”取球的情况下，X与Y是相互独立； 而“不放回”情形下，随机变量X与Y是不相互独立的。例3.2.2和例3.2.3中的X与Y都是不相互独立的。
由相互独立的定义可知，离散型随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是： 对于任意的i,j均有pij=pi··p·j成立。并且在X与Y相互独立的条件下必有： (X,Y)分布律表中任意的两行(列)对应成比例。读者可以根据定义自己推导此结论。
例3.2.4设(X,Y)是二维离散型随机变量，X和Y的边缘分布律如下： 







X-101

p141214









Y01
p1212



已知X和Y相互独立，求随机变量X和Y的联合分布律。
解设


pij=P{X=xi,Y=xj}(i=1,2;j=1,2,3)。


由于X和Y相互独立，故存在正数k,使得p1j=kp2j(j=1,2,3)。由Y边缘分布律得


p11+p12+p13=p21+p22+p23=12。


而


p11+p12+p13+p21+p22+p23=1，


所以，k=1。再由X边缘分布律得(X,Y)的分布律为






X
Y-101

0181418
1181418



例3.2.5设(X,Y)是二维离散型随机变量，X和Y的联合分布律如下： 








Y
X123

11619118
213αβ


如果X与Y相互独立，求α，β。
解由X与Y相互独立，根据上述结论可知



1613=19α，1613=118β。



所以α=29,β=19。
3.2.3二维离散型随机变量的条件分布律
在第1章中，我们给出了随机事件条件概率的概念，即在事件A发生条件下事件B发生的概率为



P(BA)=P(AB)P(A)，P（A）>0。



现在我们有了离散型随机变量X和Y的联合分布律和边缘分布律的概念，很自然地想到在二维离散型随机变量(X,Y)中某个分量X(或Y)的取值会影响到另外一个分量取值的概率，这就是二维随机变量(X,Y)的条件分布问题。
定义3.2.4设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为



P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…。



(X,Y)关于X和Y的边缘分布律分别为



P{X=xi}=pi·,i=1,2,…，
P{Y=yj}=p·j,j=1,2,…。



对于固定的j，若p.j>0，则在事件{Y=yj}已经发生的条件下，事件{X=xi}发生的条件概率为



P{X=xiY=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pijp·j，i=1,2,…


我们称上式为在给定Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。
同理，对于固定的i,若pi·>0，则称



P{Y=yjX=xi}=P{X=xi,Y=yj}P{X=xi}=pijpi·，j=1,2,… 


为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。
容易验证，条件分布律有下面的性质： 
(1) (非负性)P{X=xiY=yj}≥0(P{Y=yjX=xi}≥0)； 
(2) (规范性)∑∞i=1P{X=xiY=yj}=∑∞i=1pijp·j=1p·j∑∞i=1pij=1

∑∞j=1P{Y=yjX=xi}=∑∞j=1pijpi·=1pi·∑∞j=1pij=1。
根据第1章条件概率部分的乘法公式，很容易得到二维随机变量的乘法公式为


pij=P{X=xi,Y=yj}

=P{X=xiY=yj}P{Y=yj}

=P{X=xiY=yj}·p·j
=P{Y=yjX=xi}P{X=xi}

=P{Y=yjX=xi}·pi·。


二维随机变量(X,Y)的联合分布、边缘分布和条件分布有如下关系： 由X和Y的联合分布可以确定X和Y的边缘分布和条件分布； 反之，如果知道了X和Y的边缘分布和条件分布，则(X,Y)的联合分布也可以确定。
例3.2.6对于例3.2.2，求出在X=2的情况下Y的条件分布。
解(X,Y)的联合分布律为







Y
X1234

114000
214×1214×1200
314×1314×1314×130
414×1414×1414×1414×14



P{X=2}=14,
P{Y=1X=2}=P{X=2,Y=1}P{X=2}=12,
P{Y=2X=2}=P{X=2,Y=2}P{X=2}=12,
P{Y=3X=2}=P{Y=4X=2}=0。


所以在X=2的情况下Y的条件分布律为





Y12

P{Y=yjX=2}1212
例3.2.7设(X,Y)的联合分布律为








Y
X123

10.20.250.3
20.10.080.07


求： (1) X和Y的边缘分布律； 
(2) 在X=1的条件下Y的条件分布律。
解(1) 由公式



PX=xi=PX=xi,Y<+∞=∑+∞j=1pij=pi·，i=1,2,…； 
PY=yj=PY=yj,X<+∞=∑+∞i=1pij=p·j，j=1,2,…


可得X和Y的边缘分布律为









X12
pi·0.750.25








Y123
p·j0.30.330.37




(2) 由公式


P{Y=yjX=xi}=P{X=xi,Y=yj}P{X=xi}=pijpi·


计算条件概率： 



P{Y=1X=1}=P{X=1,Y=1}P{X=1}=0.20.75=415，
P{Y=2X=1}=P{X=1,Y=2}P{X=1}=0.250.75=13，
P{Y=3X=1}=P{X=1,Y=3}P{X=1}=0.30.75=25。


所以在X=1的条件下Y的条件分布律为







Y123
P{Y=yjX=1}4151325

3.3二维连续型随机变量
3.3.1二维连续型随机变量的概率密度与边缘概率密度

定义3.3.1设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)使对于任意的实数x,y都有



F(x,y)=∫x-∞∫y-∞f(u,v)dudv，



则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称非负函数f(x,y)为(X,Y)的概率密度或称f(x,y)为X和Y的联合概率密度。
按照定义，概率密度f(x,y)具有以下性质： 
(1) f(x,y)≥0； 
(2) ∫+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)dxdy=1；